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Full text of "Traité élémentaire de mécanique, adopté dans l'instruction publique"

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TRAITE   ELEMENTAIRE 


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MÉCANIQUE 


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TRAITE   ELEMENTAIRE 


DÉ 


MÉCANIQUE 


IMPRIMERIE  DE  H.  L.  PERRONNEAU. 


TRAITÉ   ÉLÉMENTAIRE 

DE    MÉCANIQUE, 


•ADOPTÉ    DANS   L'INSTRUCTION   PUBUQUEj 
PAR  L.  B.  FRANCCEUR, 

Professeur  aux  Lycées  de  Paris ,  Examinateur  des  Candidats 
de  rExîoIe  Impériale  Polytechnique  y  Membre  associé  du, 
département  de  la  marine  de  l'Empereur  de  Russie  j^ 
de  la  Société  d'émulation  de  Cambrai.  •  .  •  . 


/QUATRIEME    EDITION, 


^   '  < 


A    PARIS; 

Wz   BERNARD  y    LiBKAïKE   CE    l^Egole    Impériale 

PoLTTECaiïIQXTE^    QUAI   DES   AxJGUSTIZÏS^   W®.   25.. 


J 

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il 


M.  DCCC.  VII. 

i  — 


ce  Au  milieu  de  riufÎBie  variété  des  phénomènes  qui  se  succèdeiil» 
u  continuellement  sur  la  terre;  on  est  parvenu  à  démêler  le  petit 
(c  nombre  de  lois  générales  que  la  matière  suit  dans  ses  meuve-' 
n  mens.  Tout  leur  obéit  dans  la  nature;  tout  en  dérive  aussi 
(c  nécessairement  que  le  retour  des  saisons^  et  la  courbe  décrite -> 
<c  par  Tatôme  léger  que  les  vents  semblent  emporter  au  hasard  p 
M.  est  réglée  d'une  manière  aussi  certaine  que  les  orbes  plané- 
Xc  taires.  » 

LjL  Plagb,  Système  du  monde  y  livre  III. 


»  • 


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P.   S.    LA    PLACE, 

CHANCELIER   DU   SÉNAT, 


MEMBRE   DE    L'INSTITUT    IMPERIAL 


DES   SCIENCES   ET   ARTS, 


AUTEUR 


DE    LA   MÉCANIQUE   CÉLESTE, 


L.  B.  ERANCCEUR. 


VJET  Ouvrage  est  celai  que  le  Goùyemement  a  adopté 
pour  renseignement  dans  les  Lycées  iiiperiaux  y  et  que 
les  célèbres  professeurs  de  TEx^ole  Impériale  Polt« 
TEGBNiQUE  out  placé  parmi  les  livres  classiques  dont  Fétude 
est  ordonnée  aux  élèves  de  cette  Ecole.  Afin  de  prouver 
au  public  ma  reconnoissance  pour  Taccueil  favorable  qu'il  a 
fait  aux  trois  premières  éditions  de  ce  Traité,  je  lai  revu 
avec  le  plus  grand  soin;  jai  développé  quelques  passages 
difficiles  ou  obscars  ;  j'ai  fait  disparoitre  des  incorrections ,  et 
j'ai  ajouté  diverses  théories  importantes  qui  manquoient  à 
l'ouvrage,  ce  qui  la  augmenté  d'environ  trois  feuilles.  Aussi 
je  puis  affirmer  qu'il  n'est  aucane  partie  qui.  nait  été,  ou 
corrigée  dans  ses  détails,  ou  tout- à-fait  changée.  M.  Poisson ^ 
instituteur  à  TEcole  Impériale  Polytechnique,  a  bien  voulu 
me  prêter  ses  secours  obligeans  dans  cette  réforme. 

C'est  sans  doute  un  désavantage  que  chaque  édition 
éprouve  des  variations  qui  rendent  inutiles  les  éditions  pré- 
cédentes :  mais  on  est  amplement  dédommagé  de  cet 
inconvénient ,  lorsque  le  livre  sur-tout  est  d'un  prix  modéré 
et  invariable ,  par  la  facilité  de  Tétude  et  la  perfection  des 
théories.  Maintenant,  ce  Traité  a  reçu  la  forme  qu'il  paroic 
devoir  conserver,  et  j'ai  la  certitude  que,  si  on  est  suffi- 
samment préparé  sur  l'analyse  géométrique,  différentielle 
et  intégrale ,  on  pourra  le  comprendre  aisément ,  et  se  livrer 
k  l'étude  des  Mécaniques  céleste  et  analytique -y  but  que 
j'ai  eu  sur-tout  en  vue  dans  la  composition  de  ce  Traité. 

J'ai  évité  l'emploi  des  méthodes  synthétiques,  qui,  dans 
les  choses  compliquées,  sont  ordinairement  confuses,  et  qui 
d'ailleurs  ne  sont  point  d'accord  avec  l'esprit  d'invention  et 
le  langage  de  la  Mécanique  transcendante.  Par  les  mômes 


raisons ,  je  n'ai  jamais  énoDcé  les  théorèmes  ayant  lenr 
^lémonstration.  Quant  aux  proportions ,  je  ne  les  ai  jamais 
écrites  sous  la  forme  reçue ^  A  :  B  i:  C:  D  -y  mais  sous  celle 

A  C 

qui  lui  équivaut -j^  =  "jr  -  Sans  m'arrêtera  développer 

les  avantages  de  ce  changement,  il  me  suffit  de  faire  re- 
marquer qu'il  est  inutile  d'avoir  deux  manières  de  repré- 
senter les  idées,  et  qu'on  doit  préférer  celle  qui  se  prête 
à  toutes  leurs  combinaisons  :  cette  dernière  propriété  appar- 
tient essentiellement  aux  équations. 

Les  ouvrages  les  plus  répandus  et  les  plus  estimés  sont 
ceux  où  j'ai  renvoyé,  lorsque  j'ai  supposé  quelque  théorie 
connue  :  je  terminerai  en  les  indiquant. 

Mécanique  céleste  y  de  La  Place. 

Exposition  du  Système  du  monde  ^  Idem. 

Mécanique  analytique  y  de  Lagrange. 

Analyse  géométrique  ^  de  Monge* 

Calcul  différentiel  et  intégral  y  de  Lacroix,  2^  édit.  ^  et  les 

autres  ouvrages  de  ce  géomètre. 
Architecture  hydraulique  ^  de  Pronj. 
Mécanique  philosophique  y  Idem. 
Principes  de  ^équilibre  et  du  mouvement  ^  de  Carnot. 
Géométrie  analytique  y  de  Biot,  i"".  édit. 
Astronomie  physique.  Idem. 

Physique  mécanique  de  Fischer,  traduite  par  Biot. 
Physique  de  Haûy. 
Géométrie  de  Legendre. 
Céodéiie  de  Puissant, 
etc 


4ta 


TABLE    DES    MATIÈRES. 

Pages. 

Définitions  y  notions  préliminaires •   •  i 

LIVRE  I.     STATIQUE. 

CHAP.  I.     Ecfuations  d'équilibre^ 

ï.*        Propositions  générales ».  6 

II.  Parallélogramme  des  forces 1 1 

III.  Des  forces   qui  concourent   en   un   même 

pointj  momens  •••••••••••  19 

IV.  Des  forces  parallèles  y  momens 55 

V-        Des  forces  de  directions  quelconques  agissant 

sur  un  corps  solide  ..•••••••.  4^ 

VI.      Des  pressions  sur  les  points  et  axes  fixes.  .  58 

CHAP.  n.     Centres  de  gravité. 

I.  Propositions  générales  ••.•••••••  61 

II.  Des  corps  term  inés  par  des  droites  et  des  plans.  68 
m.      Des  courbes ,  des  aires  et  des  volumes.  .  .  74 

IV.  Méthode  de  Guldin 95 

CHAP.  nr.     Machines. 

I.  Polygone  funiculaire  y  cordes  y  chatneUe.  •  .  98 

II.  Equilibre  sur  une  surface^  Plan  incliné  .  .  112 

III.  Levier  y  balance  y  romaine.  •  •  •  •  «...  129 
rV".      Poulie  y  mouffles i54 

V.  Treuil^  cabestan;  roue  de  carrières  •  •  •  .  i58 
VI»  Roues  dentées  j  horloges  y  montres*  .....  142 
VIL    Crie.    ,   .   .   . 184 

VIII.  ris i55 

IX,  .  Coin i58 


*j  TABLE  DES  MATIÈRES. 

CHAP.    IL      Des  fluides  îmcompressihtes 

et  pesans. 

L  Sjrphons  ;  niveaux  ;  pressions  qu'éprouvent  les 
surfaces  planes  plongées  dans  un  fluide  ; 
centre  de  pression  ;  vannes  décluse  •  •   •  .     Sg^ 

n*  Equilibre  des  corps  flottans  ;  pressions  qu'é- 
prouvent  les  surfaces  courbes  plongées 
dans  un  fluide,  •••••••••••.     4^ 

IIL      Pesanteur  spécifique ,    aréomètre ,    balance 

.    hydrostatique  .•••••••••••.     4^9 

rV.      Stabilité  et  oscillations  des  corps  flotians  ; 

métacentre  .•^•.    ••••••••••     4^7 

CHAP.   IIL     Fluides  pesans   de    densité 

variable^ . 

I.         Fluides  hétérogènes  pesons  et  incompressibles.  4^ 

IL       Fluides  élastiques.  •••••• 4^ 

IIL      Baromètre;  moyen  de  le  faire  servir  à  la 

mesure  des  hauteurs  ••••..••••  44^ 

IV.      Des  pompes  .••.•••••••••••  4^^ 

LIV.  IV.     HYDRODYNAMIQUE. 

I.         Circonstances  du  mouvement  et  un  fluide  dans 

r hypothèse  du  parallélisme  des  tranches.  •     4^9 

IL  Cas  oii  V orifice  est  infiniment  petit -y  Clep- 
sydres  4^7 

JIL      Equations  générales  du  mouvement  des  fluides.*    476 

CALCUL  DES  VARIATIONS 485 

DIVERSES    VALEURS   NUMÉRIQUES.   •   •.    5o4 
TABLE  DE  PESANTEURS  SPÉCIFIQUES  .  .  /  607 

Fin  de  la  Table. 


TRAITE 


DE 


MÉCANIQUE    ÉLÉMENTAIRE. 


I .  \Jw  dit  qu'an  corps  est  solide ,  lorsqu'il  est  composé  ^ 
de  parties  ou  molécules  adhérentes  les  unes  aux  autres^ 
c'est-à-dire  qu'on  ne  peut  séparer  sans  effort.  Les  mé-^ 
taux^  les  pierres  y  etc.  sont  autant  de  corps  solides.  On 
appelle  Jluide  toute  substance  composée  de  molécules  peu 
adhérentes  ^  et  susceptible  d'obéir  au  plus  léger  effort  : 
l'eau  y  l'air  y  etc.  sont  des  fluides. 

2.  L'espace  est  une  étendue  considérée  comme  sans  ♦ 
bornes  ^  immobile  et  pénétrable  à  la  matière.  C'est  à  cet 
espace  y  réel  ou  idéal ^  qu'on  rapporte^  par  la  pensée^  la 
position  des  corps.  Le  mouvement  est  l'état  d'un  corps 
qui  ne  demeure  pas  constamment  dans  un  même  lieu , 
c'est-^-dire  qui  n'est  pas  toujours  à  la  même  distance 
des  divers  points  fixes  de  l'espace  :  cet  état  est  opposé  à 
celui  du  Rxpos. 

Ainsi  concevons  dans  l'espace  trois  plans  fixes  ;  si  on  a  * 
déterminé  la  position  d'un  point  par  ses  distances  à  ces 
plans  ^  on  dit  que  ce  point  est  en  mouvement  ^  lorsqu'il 
ne  conserve  pas  ces  distances  ^  et  que  dans  deux  instans 
successifs  quelconques  ^  les  perpendiculaires  abaissées  de  ce 
point  sur  les  trois  plans  fixes  changent  de  grandeur* 

1 


2  ,  Traité 

é      5.  Un  point  en  repos  ne  peut  se  donner  aucan  çioa*- 
vement ,  puisqu'il  ne  renferme  pas/  en  soi  de  raison  pour 
se  mouvoir  dans  un  sens  plutôt  que  dans  un  autre.  La 
cause  qui  change  l'état  d'un  corps,  en  le  faisant  passer  ainsi 
du  repos  au  mouvement,  est  ce  qu'on  appelle  force  ou 
PUISSANCE.  Nous  rencontrons  à  chaque  instant  l'occasion 
de  remarquer  cette  action  singulière  j  les  attractions,  les 
chocs ,  la  chute  des  corps  produite  par  la  pesanteur,  les 
corps  qui  sont  entraînes  par  le  courant  d'un  fleuve,  l'atome 
léger  emporté  par  les  vents ,  et  le  boulet  chassé  du  canon 
par  la  poudre  enflanmiée  en  sont  autant  d'exemples. 
*       Il  n'est  guère  d'efforts  qu'on  n'ait  tentés  pour  découvrir 
la  nature  des   forces  :  mais  ils  ont  tous  été  iuuti^s ,  et 
nous  ignorons  completlement  la  causé  de  cette  modifica- 
tion  singulière,  en  vertu  de   laquelle  la  matière  devient 
animée.  Mais  heureusement  les  principes  de  la  mécanique 
ne  sont  nullement  intéressés  a  celte  découverte,  et' nous 
pouvons  y  renoncer  sans  regrets.  Les  forces  ne  nous  im- 
portent que  par  les  inouvemens  qu^elles  sont  capables  de 
produire;  leurs  effets  et  les  fois  de  leur  action  sont  les 
seules  choses  que  la  mécanique  envisage  et  calcule. 
*-     '4*  ^  ^^^  d'inertie  est  le  fondement  de  la  mécanique^ 
cette  loi  consiste  en  ce  que  tous  les  corps,  soit  eh  repos  j 
soit  en  mouvement  ^  doivent  être  considérés  comme  per-- 
sévérant  dans  Vétat  où  ils   sont.  Nous   venons  de   dire 
qu'un  corps  en  repos  doit  y  rester  si  aucune  force  n'agit 
sur  lui;  mais  s'il    est  sollicité  par  une  force   qui  Taban- 
donne  ensuite  à  lui-même  (  ce  qu'on   exprimé  en  disant 
qu'il  n'est  mu  que  par  un  Choc  ou  une  Impulsion  ) ,  il 
est  d'abord  clair  que  le  mouvement  aura  lieu  dans  la  droite 
suivant  laquelle  s'exerce  l'action  de  la  puissance;  car  il 
n'y  a  aucune  raison  pout  que  ce  corps  s'écarte  plutôt  à 
droite  qu'à  gauche  de  cette  ligne,  qu'on  nomme  la  Direction 


DE   MÉCAmqUE   ÉLÉMENTAIRE.  3f 

de  la  puissance.  De  plus  ^  on  peut  voir  quç  ce  corps,  se 
retrouvera  toujours  dans  les  mêmes  circonstances  que 
lorsoue  la  force  Ta  animé  j  et  voici  comment  Laplace  rend 
raison  de  ce  phénomène.  (Sjyst.  du  Monde ^  pag.   i38.  ) 

«  La  nature  de  la  force  motrice  étant  inconnue ,  il  esf  * 

.1     ' ,  *  ■  * 

«  impossible  de  savoir  à  priori  si  cette  forcé  doit  se  con- 
cc  server  sans  cesse.  À  la  vérité^  un  corps  étant  incapablq 
vi  de  se  donner  sfucun  '  mouvement  ^  il  paroit  également 
ce  incapable  d'altérer,  celui  (|u-il  a^reçu-^  -de  sorte  que  la 
<f  loi  d'inertie  est  au  moins  la  plus  naturelle  et  la  plus 
m  simple  qu'on  puisse  iptiaginer.  Elle,  est  d'ailleurs  coti- 
u  firmée  par  l'explénenGe  :  en  effet  y  nous  .observons  sur 
o  la  terre  que  lés  piouyei^ens  se  perpétuent  plus,  longtems 
u  à  mesure  que  1^  obstacles  qui  s'y  opposent  viennent  à 
V  diminuer^  ce  qui  nous  porte  à  croire  que  sans  ces 
a  obstacles  ils  du^eroi^nt .  jtQuioucs^i  Mais  l'inertie  de  la 
(c  matière  est  principalement  remarquable  dans  les  mou* 
ce  vemens  cèles te^y<qq|i)-  depuis:  4in>  ^^âfnd"  nombre  de 
<f  siècles  ;  n'ont  pj^s .  éprouvé  d'altérâ^V^  èensibïe.  Ainsi 
«  nous  regaWèrbns.Vj^uerti^  pompiç  une,  loi, de  la  nature j 
«  et  lorsque  nous  observerons  de.l[allératjpu  dans  le  mou- 
«  vement  d'un  corps,  nous  supposerons  qu'elle  est  due 
fc  à  P«ction  d'une  canâè  étrangère.  Wf.f^ij^éz  aussi* les  ' 
Mélanges  de  Turin j' iotn.  II,  pag.  5ô8»)   ■' 

5.  Lorsque  kS"forèerf  qui  agissent  siir  ira  système  n'y  * 
produisent  pas  le: mouvement^  ©h: ««prime  cet  état  de 
repos  en  disant  que  le  système  est  en  Equilibre-  C*est 
visiblement  ce  qui  a  lieu  quand  deux  foices  égales  et 
opposées  agissent  sur  un  point  matériel.  Comme  il  con- 
vient de  procéder  dans  Tétude ,  du  simple  au  composé , 
et  que  les  questions  de  mouvement  peuvent  être  rame^ 
nées  à  celles  moins  compliquées  de  l'équilibre^  on  doit 
traiter    d'abord    ces    dernières.   Tel    est    le    but    de   la 


LIVRE     PREMIER. 


STATIQUE. 


•*<-*- 


"^■p» 


CHAPITRE   PREMIER. 

iJjUATIONS    d'ëQUILIBRE. 

I.     Propositions  générales. 

-k  8.  Xjà  statique  est  là  science  de  l'équilibre  )  elle  est 
indépendante  de  la-  notion  du  tems* 

t  'ik  II  est  évident  qu'on  peut^  sans  altérer  l'état  étiin  sys^-» 
téme ,  j-  introduire  ou  en  supprimer  des  forces  en  équi- 
libre  entre  elles» 

Tk  Lorsque  des  puissances  ne  se  font  pas  équilibre  ^  il  est 
clair  qu'en  introduisant  de  nouvelles  fprces  dans  le  système, 
on  peut  le  réduire  au  repos  :  les  forces  égales  et  opposées 
à  celles-K:i  .sqnt  appelées.; /^e^i/Z/^zn/e^  y  les  puissances  du 
sjrstênie  en  sont  les  Composantes. 

*  Le  problème  de  la  Composition  des  forces  consiste  à 
trouver  la  résultante  d'un  système  donné  de  puissances^ 
rig.  I.  celui  de  la  décomposition  des  forces  en  est  Tinvcrse.  Soient 
deux  forces  P  çf,  Q  sollicitant  une  molécule  A  )  par  le  pre- 
mier problême  on  cherche  leur  résultante  Ry  c'est-à-dire 
la  force  égale  et  opposée  à  celle  R'  qui  les  réduit  à 
l'équilibre j  par  le  second,  au  contraire,  on  cherche  deu3( 
forces  P  et  Q  dont  la  résultante  soit  R* 


Composition  des  forces;  7 

9.  Il  faut  d'abord  observer  que,  d'après  cette  définition^  * 
on  doit  regarder  la  résultante  de  plusieurs  forces  comme 
destinée  à  produire  le  même  effet  qu'elles  auroient  produit 
par  leur  action  simultanée,  et  par  conséquent  aies  rem- 
placer :  de  sorte  que  la  direction  de  la  rés>ultante  est  celle 
du  mouvement,  lorsque  le  mobile  est  un  point  matériel.  En 
effet,  soient  P)  Q ,  jR. . .  des  force/  en  équilibre ,  et  Jï  la  * 
résultante  de  P  et  Q  :  on  ne  changera  rien  au  système  ïig-  «« 
en  y   introduisant    cette    résultante  Xy   et  la   force  X* 
égale   et  opposée  (8).  Mais   par  hypothèse  P ,   Q  et  X' 
sont  en   équilibre;   donc,    en   les    supprimant,   il   reste 
X^  R.,,.,  également  en    équilibre.    De    même    si    les 
forces  P,  Q,  /î. . ,  ne  se  détruisent  pas ,  le  même  raison- 
nement prouve  que  la  force  qui  leur  fait  équilibre  le  fait 
aussi,  à  Xf    il....   Dqnc    on  peut  ^    sans   changer   la 
résultante  ou  l'état  d*un  sj" sterne ,  substituer  à  plusieurs 
forces  leur  résultante. 

10.  Deux  forces  agissant  suivant  la  même  ligne  et  it 
dans  le  même  sens,  ont  une  résultante  égale  à  leur 
somme*  Il  est  clair  que  ce  principe  ne  seroit  sujet  à  con- 
testation qu'autant  qu'on  voudroit  désigner  que  l'effet 
produit  par  la  résultante  est  la  somme  des  effets  dont  les 
composantes  sont  capables.  Or  c'est  ce  que  nous  ne  vou- 
lons pas  dire  par  notre  principe  j  car  quoique  ce  fait 
soit  vrai,  ainsi  qu'on  le  verra  plus  tard  (146),  il  est 
susceptible  de  démonstration,  et  pourroit  même  ne  pas 
avoir  lieu;  mais  il  seroit  déplacé  de  traiter  ici  cet 
objet,  puisqu'en  statique  on  ne  considère  point  l'effet 
des  forces.  On  ne  doit  regarder  ce  théorème  que  comme 
la  définition  du  mot  Somme ,  considéré  comme  ap- 
plicable aux  forces.  Ainsi  nous  disons  d'une   force   qu'elle 

est   double,    triple d^une    autre,   lorsqu'elle    est 

capable  de  faire  équilibre  à  deux,  à  trois.  •••  forces  qui 


8  Statique* 

agiroient  dans  le  même  sens  et  serojent  égales  à  cette 
fiernière  (*). 
*  '  II*  n  est  facile  de  concevoir  maintenant  comment  on 
introduit  les  intensités  des  puissances  dans  le  calcul  :  car 
comme  les  forces  sont  des  choses  d'une  même  espèce , 
en  en  prenant  une  quelconque  pour  unité  ^  l'expression 
de  toute  force  n'est  p)u8  qu'un  rapport  ^  ou  une  quantité 
mathématique^  qui  peut  être  représenté  par  des  nombres 
ou  par  des  lignes.  Ainsi  lorsque  nous  dirons  qu'une 
r\%.  t.  force  P  est  représentée  par  la  )igne  AB  ^  il  faudra  con- 
cevoir que  cette  h'gne  est  la  direction  même  de  la  puis- 
sance, et  que  la  longueur  AB  contient  l'unité  linéaire 
AE  y  autant  de  fois  que  la  force  P  contient  l'unité  de 

P         AB 
Sprce  1$ ,  c'est-à-dire  qu'on  a  — ^  =      ^.*  Nous  pou- 
vons donc  dire  que  P  =  AB ,  puisque  S  est  l'unité  de 
force  y  et  que  AE  est  l'unité  linéaire, 
j^       Pareillement  lorsqu'on  considère  deux  forces  P  et  Q , 
ri|.  1.  et  qu'on  veut  les  représenter  par  des  lignes ,  il  suffit  de 


(*)  Il  me  semble  que  rcltc  manière  de  pri^scnter  les  principes 
de  la  mëroTiique  et  d'introduire  Ja  mesure  des  forces  dans  la 
statique  est  à  Tabri  de  toute  objection.  Oa  ne  peut,  par  exemple  , 
tfleYer  celle  de  M.  Carnot  dans  son  traité  des  Principes  fonda* 
mentaux  de  Véquilibre  et  du  mouvement.  Ce  savant  géomètre 
s'exprime  ainsi  dans  sa  préface  >  pag.  xij  :  «•  Qu'est-ce  que  le 
«  rapport  de  deux  causes  différentes  !^Ces  causes  sont-elles  la 
«  volonté  ou  la  constitution  pbysîqne  de  l'bomme  ou  de  l'animal 

•  qui ,  par  son  action,  fait  naître  le  monyement  I  Mais  qu'est-ce 
«  qu'une  volonté  double  ou  triple  d'une  autre  volonté ,  on  une 
«  constitution  pbysique  capable  d'nn  effet  double  ou  triple  d'un 
«  autre  )  La  notion  du  rapport  des  forces  entre  elles  considérées 

•  comme  causes  n'est  donc  pas  plus  claire  que  celle  de  ces 
••  forces  elles*mèmcs.  *« 


Composition  dbs  forces.  g 

prendre  ces  droites  suivant  le$  directions  mêmes  des  forces,    ' 
€t'de  déterminer  sur  ces  lignes  deui^  parties  AB  et  AC 
qui  soient  entre  elles  dans  le  même  rapport  que  ce^  forces , 

ae  sorte  qu'on  ait  -pr-  =  -^^r;* 

Comme  il  est  indijFérei^t  dç  faire  entrer  les  forces  dans  * 
le  calcul  en  les  représentant  par  des  nombres  ou  par  des 
lignçs,  nous  préférerof^^  <lans  la  suite  le  premier  moyen; 
car  en  regardant  les  forces  comme  des  nombres  abstraits  , 
on  fait  une  chose  plus  conforme  au  génie  de  l'algèbre  | 
^uî  vent  que  tputçs  les  graadeui?  soient  rapportées  à  une 
unité  y  et  ne  soient  plus  traitées  que  d'une  manière  pure- 
ment abstraite.  En  représentant  au  contraire  les  forces 
par  des  lignes  y  on  traite  la  théorie  sous  une  forme  plutôt 
géométrique  qu'algébrique.  Ainsi  donc  on  ne  devra  pas 
oublier  ;  dans  le  petit  nombre  de  cas  oii  les  forces  seront 
représentées  par  des  lignes,  que  ce  procédé  graphique 
n'est  nullement  nécessaire  y  et  qu'on  ne  l'emploie  que 
pour  énoncer  certains  résultats  sous  la  forme  qui  leur  est  ' 
consacrée.  * 

12.  Le  problème  de  la  composition  des  forces ,  lors-  t 
qu'elles  ont  même  direction ,  est  renfermé  dans  ce  qu'on 
a  dit  (lo)  ;  car  en  considérant  les  forces  deux  à  deux,  il  est 
facile  d'en  conclure  que  plusieurs  forces  qui  agissent 
suiHÊuit  une  même  droite  y  équivalent  à  une  seule  égale  à 
leur  somme  y  si  elles  agissent  toutes  dans  le  niéme  sens; 
ou  égale  à  l'excès  de  la  somme  de  celles  qui  agissent 
dans  un  sçns  y  sur  la  somme  de  celles  qui  agissent  en 
sens  opposé.  Cet  énoncé  peut  être  simplifié  par  une  con- 
sidéralion  particulière  :  car  si  on  regarde  les  forces  qui 
agissent  dans  un  même  sens  comme  positives ,  et  celles 
qui  agissent  en  sens  opposé  comme  négatives ,  on  pourra 
dire  que  la  résultante  de  plusieurs  forces  qui  agissent 


ïo  Statique. 

suivant  la  même  droite  est  égale  à  leur  somme  y  en 
prenant  ici  le  mot  Somme  dans  le  sens  qu'on  lui  attribue 
en  algèbre. 
Fig.  II.  Lorsque  les  composantes  ont  des  directions  différentes , 
comme  les  forces  P,  Q,  /?....  (fig.  ii),  il  est  plus 
difficile  d'obtenir  leur  résultante.  Nous  allons  avant  tout 
poser  quelques  principes  qui  serviront  à  cette  recherche. 

*  i5.  Dans  tout  système  de  forme  invariable  j  on  peut 
prendre  pour  point  et  application  de  chaque  puissance  , 
Vtm  quelconque  de  ceux  de  sa  direction.  Car  si  en  un 
point  de  la  direction  d'une  force  P  on  apptique  deux 
forces  qui  lui  soient  égales  et  qui  soient  opposées  entre 
elles  (8)  y  comme  les  distances  du  système  sont  invariables , 
l'une  de  ces  forces  détruira  la  puissance  P  (5)  5  la  secondé 
restera  seule  et  ne  sera  ajutre  chose  que  la  force  P  trans- 
portée  en  un  autre  point  de  sa  direction^  point  qui  d'ail- 
leurs est  quelconque. 

*  Il  suit  de  là  que  lorsqu'un'  obstacle  fixe  est  placé  sur 
la  direction  d'une  force,  elle  la  détruit,  puisqu'on  peut 
la  supposer  appliquée  à  l'obstacle  même. 

*  14.   Soient  deux  forces  .P  et  Q  quelconques  j   comme 
rig.  I.   Q  ne  tend  qu'à  faire  passer  le  point  mobile^  en-<iessous 

de  jiB  y  et  que  de  même  P  élève  ce  point  en  dessus  de 
AC j  il  devra,  comme  on  voit,  se  mouvoir  dans  l'angle 
PAQ'j  donc  (9)  cet  angle  contiendra  la  direction  de  la 
résultante» 
4>  Soit  AR  la  direction  de  la  résultante  R  de  deux  forces 
pig.  3.  quelconques  Pet  Q  5  si  Ç  croit  et  devient  Q  +  7 ,  on 
composera  d'abord  Q  avec  P ,  et  ensuite  (9)  leur  résul- 
tante R  avec  q  :  et  comme  la  nouvelle  résultante  S  doit 
^tre  située  dans  l'angle  RAQy  on  voit  que  lorsque  Vune 
des  deux  forces  croit  seule  ^  la  résultante  fait  avec  elle 
un  angle  moindre.  ^ 


■^ 


Composition  dss  forces*  ii 

x5.  T/û  résultante  de  deux  forces  est  située  dans  leur  * 
plan}  car  il  n'y  a  pas  de  raison  pour  que  le  point  mobile 
qu'elles  sollicitent  s'ccarte  plutôt  en  dessus  qu'en  dessous 
de  ce  pl^n  (9).  Le  même  raisonnement  prouve  que  si  les 
deux  forces  sont  égales ,  leur  résultante  divise  Van^e 
qv^ elles  forment  entre  elles  en  deux  parties  égales* 

II.     Parallélogramme  des  forces* 

16.  Occupons-nous  de  la  recherche  de  la  résultante  de  * 
deux  forces  P  et  Q ,  et   d'abord  de  sa  direction.   Pour  Fig,  4. 
cela  ,  regardons  Q  comme  composée  de  deux  autres  forces 
q  et  q'  (10),  de  sorte  que  Q=9'-|-  q*  Composons  avec  P 
la  partie  ^^  de  Q  ;  et  soit  AR  la  direction  inconnue  de  leur 
résultante  R>  Prenons  sur  AP  un  point  quelconque  D) 
formons  le  parallélogramme  CD ,  et  regardons-en  les  points 
A,  B,  Cy  comme  liés  entre  eux  par  des  verges  AB^  ACy  B  C, 
et  soumis  à  l'action  de  nos  forces  ^  et  il,  que  nous  pouvons 
Considérer(i5)  comme  agissant,  l'une  en  C  suivant  CHy 
Taulre  en  B  suivant  BR^  Décomposons  la  force  R  en  deux 
autres  suivant  BG  et  BF'y  nous  reproQuirons  visiblement 
nos  deux  composantes ,  Tune  </'  suivant  BK ,  l'autre  P 
suivant  BF  ;  celle-ci  peut  être  appliquée  en  Cy  et  composée 
avec  celle  q  qui  agit  en  CQ  j  prenant  CG  pour  la  direction 
de  leur  résultante  S ,  les  deux  forces  P  et  Q  auront  même 
résultante  que  S  tlq')  ainsi  le  point  de  concours  G  est.  sur 
sa  direction.  Or  H  G  parallèle  à  AD ,  montre  que  cette 
résultante  est  dirigée  suivant  la  diagonale  ^G  du  paral- 
lélogramme AHGD,  dont  l'un  des  côtés  AD  est  arbitraire; 
de  sprte  qu'il  suffit  de  trouver  l'autre  côté  AH, 

A  cet  effet ,  remarquons   que  si   Q  est  double  de  P ,  * 
en  prenant  ^'  =  «7  =  P,  AR  et   CS  doivent  diviser  en 
deux  parties  égales  (i5)  les  angles  CAD  y  HCB  :  ainsi  CD 
^t  HB  sont  des  rhombcs;  donc  AC=ADz:=z CB—  IIC] 


12.  Statjque. 

et  le  c6té  AH  est  double  de  AD*  De  même  si  Q  est 
triple  de  P^  en  prenant  q' ziznP  et  ^=rP^  dans  le 
paraHélogramme  CD  ^  >^C  sera  double  de  AD\  et  coiliiiie 
WB  sera  encore  un  rhombe ,  on  aura  AH  triple  de  jiD» 
§i  Q=  4  ^  ,  pij  fçra  q'  z=i5  P  ^  q  :zs.P y  et  par  opnsé- 
qaent  ^<i7=  5  >{  ^Z>  j  d'où  ^^  =  4  x  ><i>*  En  ^én^ 
si  Q  =  nP ,  on  a  AHz=.  n  x  u^Z>. 
*  Mais  si  Pz=:na,  et  Q=:2«,  on  fera  ^  =  ç'=é«j 
le  parallélogramme  CD  y  d'après  ce  qu'on  vient  de  dire, 
devra  avoir  AD  =  n.AC'y  de  même  HC  sera  =  AC  i 

ainsi  on  aura  AIf:=.  a  AC^  d'où  --r^r-  = ss  -^, 

Si  Pz=,nÊk  et  Q  =  5«;  on  fera  ^=  2c  et  ^  =.«  :  la 
longueur   ^C  devra  satisfaire  à  la  condition  ci-dessus 

^e      2  .  ,  cH      i      . 

--ï_= ;  on  aura  aus^i  —7=1-  = ;  donc  en  aioa- 

AD         n  AD        n  *' 

AH  5  Ç      e.   r.  ^       / 

tant,  —TTT-  r= =  -i-.  &  P=:nH  et  0=4«,  oi| 

'  AD  n  P  :^       ^  ,  /      . 

fera  9'  =  5«etf  =  «...  et  ainsi  de  suite.  De  sorte  que  si 

n  .  n  AH         m  Q 

I' z=zntt  tl  y  =  m«,  on  aura     ._   = =  -^» 

^  >f  Z>  n  P 

^  Ainsi  on  prendra, en  général  sur  les  directions  des  forces 
P  et  Ç  des  parties  AD ,  AH  qui  leur  soient  propor- 
tionnelles 9  on  achèvera  le  parallélogramme  HDy  la  dia- 
gonafe  A  G  sera  la  direction  de  la  résultante  cherchée  (*}• 
'*«•  *•  Si  les  forces  P  et  Q  étoient  incommensurables  entre 
elles ^  ce  théorème  auroit  également  lieu^  car  soit,  s'il 
est  possible,  AO  cette  résultante.  Prenons  entre  O  et  G 
un  point  /  tel  que  AD  et  DI  soient  conmiensurables. 
Le  parallélogramme  DK  auroit  la  diagonale  AI  poiu*  la 

(*)  Cette  démonstration  est  de  M.  Diicha^Ia,  no.  4  de  U 
Correspondanee  de  l'Ecole  Polytechnique, 


G>MPOSITIOH  BBS  FORCES.  tS 

direction  de  la  résultante  de  deux  forces  dont  l'une  serrà 
IP  et  l'antre  moindre  que  Q;  ce  qui  est  absurde  (i4)« 

ly.  Quant  à  l'intensité  de  la  résultante,^  pour  la.trourer,  * 
appliquons  sur  le  prolongement  AK  de  la  diagonale  AG  ri^  «. 
ime  force  S  ^gale  à  la  résultante  A^  les  puisisances  P, 
Q  et  5  seront  en  équilibre.  Mais  on  peut  regarder  cet 
état  comme  produit  par  la  force  Q  entre  les  puissances 
P  ti  S}  d'oii  il  suit  que  AH  doit  être  le  prolongement 
4e  la  diagonale  du  parallélogramme  construit  sur  des  lignes 
proportioBnelies  à  P  et  à  S.  Si  donc  on  forme  sur  AD 
le  paraDâogramme  DKp  les  longueurs  AD  et  AfC  seront 
entre  dDes  connue  les  forces  P  et  S.  Or  DI=  AG=:zAK  ; 
donc  AD  y  AH  et  AG  sont  proportionnelles  aux  forces 

En  rapprochant   ce  théorème   du   précédent ,  on  voit  * 
qpie  la  résultante  de  deux  forces  est  représeniée  en  graa» 
deur  et  en  direction  par  la  diagonale  du  parallélogramme 
construU  sur  des  longueurs  proportUmaeUes  à  ces  forcés 
et  prises  sur  leurs  directions, 

i8.  Il  suit  de  là  divers  corollaires  importans.  * 

L    L.  proporition   ci-d«sn.  ±.^Jl^=^^* 

AU  AH         Atr 

peut  être  mise  sous  une  antre  forme ,  en  remplaçant  les  r^.  «•. 

trois   côtés  du   triangle   AD  G  par  les  sinus   des  angles 

oçposés  DGAy  DAG  et  ADG,  ou  RAQ^RAPet  PAQ. 

Soient  donc  représentés  par  é  ,  f  et  «  les   angles  formés 

respectirement  par  R  arec  P  et  Q  ^  et  par  celles-ci  %ntre 

dOeSy  nous  aurons 

P     _      Q     __      R 
sin  g  Sin  I  sin  «  ' 

Donc   trois  forces    gui   sont    en   équilibre ,    ou  deux 
composantes  et  leur  résultante  j  sont  telles,  que  chacune 


i4  Statique. 

m 

est  proportionnelle  au  sinus  de  V angle  formé  par  les  di^ 
rections  des  deux  autres  y  et  peut  être  remplacée  par  ce 
sinus, 

*  -    IL  Là   direction  de  la  résultante  de   deux  forces   ne 

dépend  que  de  leur  rapport  y  de  sorte  que  si  on  fait  vaiier 
ces  forces  proportionnellement ,  on  ne  changera ,  nuUe- 
nienV  cette  direction.  On  voit  de  plus  que  si  les  compo- 
santés  P  et  Q  deviennent  mP,  'wQ,  leur  résultante  R 
devient  mRy  quel  que  soit  m.  Donc  trois  forces  '  en 
équilibre  y  demeureront  lorsqu'on  les  fera  varier  propor- 
tionnellement. Ce  qui  sera  dit  (20),  prouvera  que  ces 
théorèmes  ont  encore  lieu  pour  un  nombre  qUelconqtie 
de  forces  qui  concourent  en  un  point.  .  . , 
i^  III.  Le  problème  de  lia  composition  de  deux  forces 
ou  de  la  décomposition  jd'unè  force  ei^  deux  autres  y  est 
réduit  à  la  formation  d'un  parallélogramme  dont  on 
connoît  certaiilcs  parties.  '  '• 

*  '    IV.  Si  les  forces  P  et  Q  sont  égales  entre  elles ,  le 
rig.  7.  parallélogramme    devient  '  nii    rhombe    H  AD  G' y  et   Icfà 

diagonales  HD-  et  ^G^ont  perpendiculaires  ;f  en  dési- 
gnant  par  u,  le  demi-angle  formé  par  les'  forces^  on  â 
AE  =  AD  Qos^y  d'où   AG  ==  2  AD  cos  u)  ov  AG  et 

AD  sont  proportionnels  à  /l  et  P  )  donc 

■•  1      •       ' 

Rz=:  2.P  cos  u. 

'  "...      I 

*  .   V.  Si  lés  directions  des  forces  P  et  Q  sont  à  angle  droit  j 

Tig.  «.  ïc  triangle  rectangle  ADG  donne  AG  zrn.AD^  -j-  GD  , 
ADzzz  AG  cos  ^y  DG  ==  AG  sin  d,  en  désignant  par  d 
l'angle  que  les  forces  P  et  -R  forment  entre  elles.  Remplaçons 
AG  y  AD  et  DG  par  les  quantités  Ry  P  et  Q  qui  leur 
sont  proportionnelles,  nous  aurons 

«'=^'+Ç'  \ ij) 

P  zzRcosBy  Q  =  Rsin6) 


Composition  des  forcis.  i5 

Ces  ti*ois  équations  ;  qui  n'équivalent  qu'à  deux  distinctes  ^ 
servent  à  déterminer  la  grandeur  et  la  direction  de  la 
ir^sultante,  c'est-à-dire,  R  et  6.  De  plus,  ces  équations 
servent  «ncore  à  la  résolution  d'une  foule  de  problèmes, 
crar  il  suffît  de  connoître  deux  de^  quatre  quantités  JP, 
^5?  ^  ®*  f;  ^^  même  deux  relations  quelconques .  entre 
^Ues,  pour  assigner  les  valeurs  des  deux  autres.  On  tire 
c3e  ces  équations  la  suivante^  qui  peut  être  utile. 

'  Q  =  Ptengd. 

Pi^oiis  aurons  recours  perpétuellenient  dans  la  suite  aux 

expressions  (^),    car  elles  servent  à   changer  les  forces 

^'un  système  en  d'autres  qui  soient  rectangulaires.  En  effet  ^ 

^pour  décomposer  une  force  R  en  deux  autres  de  dircc- 

'ftions  rectangulaires  et  connues,  il  sufHt  de  recourir  aux 

équations  P= il  cos  è  ,  Q-=.Rsinê y  qui  font  voir  que 

chaque   composante  est   le  produit  de  la  force   R  par 

Je  cosinus   He   Vangle  qu'elle  fait  avec   cette    corrrpo^ 

^ante» 

On  poùrroit,  il  est  vrai,  employer  pour  cette  décom- 
position, le  parallélogramme  des  forces  (i8,  III)  :  mais 
on  doit  regarder  ce  théorème  plutôt  comme  une  construc- 
tion  graphique  propre  à  peindre  aux  yeux  le  résultat  et 
à  l'énoncer  d'une  manière  commode,  que  comme  offrant 
un  procédé  d'une  application  facile.  Nos  formules  {A^ 
y.  sont  bien  plus  propres ,  puisqu'elles  sont  conformes  à 
l'esprit  algébrique ,  qui  n'admet  pas  la  nécessité  de  re- 
présenter les  forces  par  des  lignes  (ii).  C'est  pourquoi  à 
l'avenir  nous  préférerons  recourir  à  ces  formules  j  car 
comme  on  peut  presque  toujours  ramener  les  directions 
des  forces  à  ctre  perpendiculaires,  on  évite  Je  dcsavanlage 
qu'offrent  ces  équations  de  ne  pouvoir  élrc  employées  uue 
lorsque  les  puissances  sont  rectaiigulaires.  Mais  lors<]u'on  ne 


i6  Statique* 

p«ut  facilement  user  de  ce  moyen  y  ob  doit  recourir  aux 
équations  données  par  Fart.  (iS,  I). 

]  9.  Comme  ie  parallélogramme  des  iPorces  isert  de  fon- 
dement à  toute  la  mécanique  ^  nous  avons  cru  devoir 
considérer  ce  théorème  d'une  manière  purement  analytique  ^ 
ce  qui  nous  a  déterminés  à  reproduire  ici  la  démonstration 
que  nous  avions  déjà  donnée  dans  notre  première  édition. 
ïif .  9.  Premier  cas  y  les  Jbrces  étant  égales.  Soient  P  et  Q 
deux  forces  égales ,  la  ligne  jiz  qui  divise  Pangle 
PjiQ  =:  2  0  en  deux  parties  égales  (i5)  est  la  direction 
de  la  résultante  z  s  cette  résultante  est  d'ailleurs  dé  ter- 
minée  par  ê  et  P ,  elle  varie  avec  ces  quantités  ;  donc 
z  z=^f{P,  ê  ).  Concevons  dans  les,  mêmes  directions  deux 
autres  forces  égales  p  et  q^  leur  résultante  jr  sera  telle 
que  j-z=J*{p  ^  tf  )  ,  en  désignant  par  y*la  même  fonction, 
de  sorte  quey*(JP,l)  devienne /*(/»,  é)f  en  changeant 
simplement  P  en  p.  Comme  ê  est  constant  ^  nous  aurons 

feulement  z  ^=fP  ,  JT  ^=^fP' 

Cela  posé,  si  les  forces  P  et  py  Q  et  q  agissent  en- 
semble, on  aura  pour  leur  fésuFtahlc /*(/? -f- -P);  mais 
elle  est  aussi  r  +  «  5  <îonc  fp  +  fP-zzzf^  p  +  P)  z 
développons ,  par  le  théorème  de  Tàylor,  et  nous  aurons 

fP  =  P.f'p  +  rÇ../V  +  etc. 

f'p ,  f'fp . . .  désignant  des  fonctions,  de  /? ,  qui ,  d'après  la 
notation  de  Lagrange^  sont  les  ooefHciens  différentiels 
successifs  ^e  fp*  Le  second  membre  de  cette  équation 
identique  doit  être  indépendant  de  p ,  car  elle  établiroit  une 
relation  entre  Pet  p^  ce  qui  est  contraire  aux  hypothèses  : 
àoxïcf'p  ,  f'p* . .  •  sont  indépendans  de  y?  ,  ou  constans. 
Mais  fpz=ia  donne  f'^p*,  •  •  nuls,  ainsi y!P  -=.  z'Zz.aP  : 
ce  qui  veut  dire  que  la  résultante  z  varie  proportionnellement 


y 


Composition  i>bs  forces.  ^  17 

mxLx  composantes  ^  lorsque  l'angle  é  est  ^constant.  Gomme  a 
dépend  de  I  ^  nous  avons  donc  ^ 

Pouf  trouver  çû  y  décomposons  la  force  P  en  deux 
antres  xtX  j  dirigées  suivant  les  deux  lignes  Ax  et  Ay  q^i 
font  avec  AP  deux  angles  quelconques  égaux  ài  :  il  est 
olair  qu'on  a  de  même  P=ar.^i  ^  disons-en  autant  pour  Q. 
^ons.  avons  donc  quatre  forcées  égales  à  x  j  qui  ont  la 
zziéme  résultante  z  que  P  et  Q  ^  et  qui  font  avec  Az  des 
ajigles  égaux  à  é  ■+  e  et  tf  -*  c  ;  x  el  x*  ont  pour  résiil— 
-tante  â:.^(é-|-i)j  celle  de^  tljr'  est  a:.^(l  —  i):  donc 

'  P.90  =  a:..^i.^*  =  ar.f  (^+  «)  +  X.^  (^— "«)} 

^Ce  çwï  51/1/  e^/ db  Af.  Poisson^. 
Développant  y  on  a 

^'f =a  li^—.'ï—^  -__  .  ÏL^  +  etc.  \ 
K        "2.       çê        2.5.4      9^  ,  > 

^Q  peut  voir,  comme  ci-dessus,  que  puisque  ê  n'entre 
P^   dans  le  premier  membre  , --Ï- — ,  -^ — ....  sont  in- 

^^pendans  de  I ,  c'est-à-dire  ^  constans  :  ainsi  ^''érra.^éj 
^'c>ii  ^  en  différentiant,  ^'^d  =  a.(p'f6  =:  a».^^. . . .  et  ainsi 
^c   suite.  Donc 

^«=2<i  i h  ■■  „    ;  +  etc.  K 

i  2  2.5.4  f 

^^   il  est  clair  que  ce  développement  est  celui  du  cosinus 
de  l'arc  i;/  — a:donc  (pÉ  =  2cos  (c  y/  — a) ,  et  comme 
«  ^st  une    constante    indéterminée ,    nous   remplacerons 
y  — -  a  par  i  ,  et  nous  aurons 

•    z  =  2Pcos(6d). 

2 


'  i8  Statiqux. 

Pour  déterminer  la  constante  b  ;  attribuons  auX/  forces 

des  directions  telles  que  I  =  -V~~  «  ^  désignant  la  demi- 
circonférence  dont  le  rayon  est  un  :  nous  aurons 
P  ^sztlz  cos  ( ^ sr)  OU  z=o )  or  on  sait  que  la  résultante 
n'est  nulle  que  quand  les  forces  sont  opposées  )  ainsi  ^  est 
un  cadran  ^  ou  ^  sr  :  donc  6  =  i  ^  et  on  a 

z:=.  2  P  COS  ô. 

Deuxième  cas.  Les  forces  étant  à  angle  droit.  Soient 
ïig.  ».  P .  et  Q  les  forces ,  et  AR  la  direction  de  leur  résul- 
tante. Menons  IK  tel  que  Tangle  DM  =  PAR  =±  é  j 
KjiQ  sera  aus§i  égal  à  QjiR  et  complément  de  I.  Gela 
posé^  on  pourra  remplacer  la  force  P  par  deux  autres 
dirigées  suivant  AI  et  AR}  l'équation  précédente  donne 

P 

pour  la  valeur  de  ces  composantes  :   de    même 

'^  2  cos  *  '  ' 

celles  de  la  force  Q  seront  — -^ — •  Les  forces  P   et  O 

2  sm  4  .  ^ 

seront  donc  remplacées  par  quatre  autres  ^  dont  deux  op- 
posées devront  se  détruire  pour  que  AR  soit  la  | résul- 
tante) les  deux  autres  s'ajoutent  (lo).  Donc  on  a 
d'un  côté  P  sin  ô  ==  Q  cos  I,  ou  Q=  iP  tang  6}  et  de 
l'autre  P  z=:R  cos  d,  Ç  =  K  sin  ^. 

Or  si  on  prend  sur  AP  et  AQ  des  parties  AD  et  AH 
proportionnelles  à  JP  et  Q,  en  achevant  le  rectangle  AHGDj 
on  obtient  dans  le  triangle  AGD y  DG  =  AD  Xan^ù', 
AD  =  AG  cos  6' y  en  désignant  par  $'  l'angle  formé  par 
la  diagonale  u^ G  et  le  côté.  La  première  de  ces  équations 
devient  Q  =  P  tang  ê'  ;  donc  ^  =  d' j  la  seconde  donne 
P  =  AG  cos  é y  d'où  Rz=zAG.  Ce  qui  prouve  que  la 
résultante  est  représentée  en  grandeur  et  en  direction 
par  la  diagonale  du  rectangle. 


Composition  ds5  fbRCES.  19 

TYoisiime  ça$.  Les  forces  étant  quelconques»  Soient  rig.  xo. 
encore  P  et  Q  les  forces  faisant  entre  elles  Pangle  «^ 
et  AR  leur  résultante  formant  avec  ces  forces-  les  angles 
tf  et  f.  Décomposons  la  force  Q  en  deux  autres  dirigées 
si^vant  AK  et  AP  à  angle  droit  ;  elles  seront  Q  sin  i» 
et  Q  cos  «•  Par  là  on. doit  composer  les  deux  forces 
rectangulaires  Q  sin  «  et  P  +  Q  cos  a.  L'équation 
Q  2=  /l  sin  4  trouvée  ci-dessus  devient  ici  Q  sin  « = /l  sin  #» 
Or  on  peut  visiblement  y  changer  Q  en  JP ,  et  é  en  i  : 

;i  ^  Q  ^  •  j   •. 

donc  on  a  — : —  =  — r  -—  =  — : —  ;  ce  qui  .reprodmt 

sm  c  sin  I  sm  «        _  . 

le  théorème  (18,   I). 

Du  reste  en  prenant  AH  tX  AD  proportionnels  à  P 

et  Q;  il  est  visible   que  si  on  forme  le  rectangle  KL 

sur  AH  y  et  si  on  fait  DI  =z  AL  y  la  diagonale  Aô  du 

jrectangle  Kl  représentera  la  résultante  des  deux  forces 

rectangulaires  qui  remplacent  P  et  Q  :  mais  HADG  est 

«xn    parallélogramme  ^   donc   la  résultante    cherchée    est 

représentée  par   cette   diagonale  y    ce   qui    reproduit    le 

t;lïéoréme  (17). 

III.     Des  forces  qui  concourent  en   un  même  point. 

20.  Pour   déterminer  la   résultante  de  tant   de  forces  * 
c|u'on  voudra  y  quand  elles  concourent  en  un  même  point, 
on  se  servira  du  théorème  précédent;  on  composera  en- 
semble deux  de  ces  forces^   et  on  leur  substititera  leur 
résultante  (g)  ;  on  combinera  de  même  celle-ci  avec  Tune 
des  autres  forces^  et  ainsi  de  suite.  A  chaque  opération  on 
siura  une  force   de  moins  dans  le  système^  et  par  là  on 
réduira  toutes  les  forces  à  une  seule ,  qui  sera  nulle  dans 
le  cas  d'équilibre.  La  même  considération  sert  à  trouver 
la  résultante  lorsque  Jes  forces  sont  dans  le  même  plan  et 


20  •    SxATIQtjK. 

ne  concourent  pas  en  un  même  point;  il  suffit  ak 
de  les  prolonger  deux  à  deux   jusqu'en   leur  point  d< 
rencontre. 

On  peut  donc  faire  la  construction  suivante  :  soient  les  -^ 

Fig.  IX.  f;,rccs  jP,  Q,  Sj  T  représentées  par  AB  j  AC^  AD  y  AEi    := 

en  formant  le  parallélogramme  ABFC  j  on  aura  la  diago— *- 

nale  AF  pour  la  résultante  Jf  de  P  et  Q.  De  même  AG  ^ 

sera  la  résultante  de  JC  et  de  «S  :  enfin  AH  sera  la  ré 

sultante  du  système.  Ainsi  on  établira  l'équilibre  (8)  dans  ^ 
ce  système  en  y  introduisant  une  force  égale  et  directe  ■ 
ment  opposée  à  AH. 

-k      On   peut    simplifier    cette    construction.    Par    l'extré- 
Ti^.iibis.  mité  ^  de  la  droite  AB  qui  représente  la  force  P  y 

la  droite  BF  parallèle  à  la  force   Q  et  égale  à  la  partît 


—AC  qui  la  représente  :  de  même  par  le  point  F  y  menez;^ 
la  droite  FG  égale  et  parallèle  à  la  force  «S^  puis  pai 
le  point  G ,    GH  égale  et  parallèle  à  la  force  T*,  voi 
formerez  par  là'le  polygone  ABFGH  :  la  droite  AH 
^  ferme  ce  polygone  représente  la  résultante  cherchée  j  et  si  j 

par  la  construction,  le  polygone  se  trouvoit  fermé,  alors 
l'équilibre  existeroit  dans  le  système.  Cette  construction 
encore  lieu  lorsque  les  forces  ne  sont  pas  disposées  dans  les 
même  plan ,  mais  alors  le  polygone  n'est  point  plan. 

Ce  procédé  n'est  propre  qu'a  peindre  les  résultats ,  et^ 
ne  les  fait  point  trouver  d'une  manière  aussi  exacte  que^ 
le  calcul ,   c'est  pourquoi  nous  ne  nous  y  arrêterons  pas» 

21.  Nous  n'avons  jusqu'ici  composé  que  des  force^^ 
Tig  13.  disposées  dans  le  même  plan  :  soient  maintenant  troi» 
forces  P,  Q  y  S  ^  non  dans  le  même  plan ,  et  dont ,  pour 
plus  de  simplicité,  nous  supposerons  les  directions  rec-* 
tangulaires,  c'est-à-dire,  P  et  S  k  angle  droit  et  Q  per- 
pendiculaire à  leur  plan.  Les  forces  P  et  5  ont  leur 
résultante  Z'déterminée  par  les  équations  {A),  JP=  Tcos  $^ 


à 


G>xvosinoH  Bas  fokcbs*  ti 

^:=:Tnnê,  oàl  désigne  l'angle  formi  pur  7  et  P. 

C^  mfcne  les  fbices  Q  et  T  ont  leur  résultante  R  donnée 
P^r  les  é({iiations  Rmyzzz  T,  RcosysQ,  y  étant 
l'angle  fiHiné  par  Jl  et  Q.  Mettant  /{  sin  y  pour  7"  dans 
'  ^s  deux  premières  équations  ,  on  trouve 

/>  =  jRcoslsiny,    5=ilsinlsiny;    QssAcosy. 

I^  somme  des  carrés  de  ces  équations  donne 

/{•=/>•  H-  Q*  +  5»j 

ensuite  on  trouve  aisément  les  valeurs  de  0  et  y  qui  coni- 
plettent  la  solution  du  problème. 

Il  est  plus  commode  d'employer  les  angles  «  ^  C  et  y  ^ 
^e  forme  la  direction  de  la  résultante  R  avec  les  forces 
respectives  P,  S  et  Qi  or  on  sait  (*)  que 

cos  é  sinl^  =  cos  n  |   et  sin  0  sin  y  =  cos  C. 

^■— *—  I         ■  »  ■■■■III     ■— — — 1— — ^— ^— ^1^»^— 

C)  Voyez  à  cet  égard  les  Leçona  de  Monge  et  le  Traité  de 
3ioi,  Au  reste  voici  une  démonstration  de  ces  formules.  S<  it 
dans  Tespace  une  ligne  AU  rapportée  k  trois  axes  reetangu-  Fig. 
h\Te5^AS,AP  et  AQ  :  on  prend  sur  AR  un  point  quelconque  / 
.duquel  on  abaisse  sur  ces  droite^  et  sur  le  plan  PAC  da.f 
perpendiculaires  qui  forment  ainsi  Quatre  triangles  rectangles. 
On  a  donc 

-^^  =  AI  cos  a ,   AC^  AI  cos  C ,   AD  =  AI  cos  >. 

D'ailleurs  les  triiregles  rectangles  AIR,  ABH  et  ACH  donnent 

AH^AIixny,  ABzsAHcoBi,  AC=AHs\n9. 

Les  deux  dernières  équations  reviennent  à  AB  =zAIcoê^iiay 
et  AC  ^  AI  sin  «  sîn  r  ;  donc  en  comparant  aux  trois  premières 

cos  «  =cos6  siny,   cosC  =  sin  9  sin  >  , 

ce  sont  le$  équations  employées  ci-dessus  ;  elles  conduisent  ùt 
une  relation  remarquable  5  car  la  somme  de  Uurs  carre't  est 


14' 


22  Statique* 

Donc  aa  lien  des  équÀCrnss  précédentes,  on  a 

d'où  oa  tire  aisément  «,  C  et  y.  Ce  résultat  pouvoit  être 
prévu,  puisqu'on  connoissoit  Q=ftco$y,  et  que  lea 
deux  autres  équations  doivent  être  de  même  forme. 

^  Les  équations  précédentes  donnent  aussi  la  solution  du 
problème  inverse ,  qui  consiste  à  décomposer  une  force  R 
en  trois  autres  forces  P  y  S  et  Q  dirigées  suivant  trois 
droites  rectangulaires  données  ^P  y  AS  tX  AQ)  en  effet, 
œs  équations  déterminent  P  ^  S  et  Q  en  fonctions  des 
quantités  connues. 

3^  22.  Les  calculs  que  nous  venons  de  faire  peuvent  être 
rendus  sensibles  par  des  constructions  ;  car  représentons 
rig.  i3.  les  forces  P  ^  S  et  Q  par  AB ,  AC  et  AD  ;  la  résul- 
tan te  y  des  deux  forces  PetS  est  repréSntée  par  AH-^ 
on  peut  donc  substituer  la  force  T  k  P  et  S  i  mais 
si  on  achevé  le  parallëlipipède  ADIH  ^  la  diagonale  DI 
est  parallèle  à  AH  ^  puisque  Dl  et  AH  sont  les  inter- 
sections de  deux  plans  parallèles  LM  et  BC  par  un  même 
plan ,  qui  est  celui  des  deux  parallèles  AD  et  HL  Si 
on  compose  ensemble  le^deux  forces  représentées  par  AD 
et  AHj  on  aura  donc  pour  la  résultante  des  trois  forces 
P  y  Q  e%  S  y  une  force  R  représentée  par  AI.  On  conclut 


cos*«  4-  co$*  C  s=  sin*  y\  et  comme  sin*  y  =s  i  —  co$*  y  ,  on  en 
conclut 

cos*  «  +  cos*  C  4- cos*  y  =  1. 

Elle  exprime  une  condition  à  laquelle  doivent  satisfaire  les 
trois  angles  «,  G  et  y  qu'une  droite  forme  avec  trois  axes  rectan- 
gulaires; de  sorte  que  deux  de  ces  aogles  dëiermincnl  la  droite, 
et  ^uî  est  d'ailleurs  évident. 


Composition  i>bs'  roKcst.  25 

•de  là  que  trois  forces  représentées  par  les  trois  arêtes 
ijui  forment  tun  des  angles  trièdres  dun  parallélipipède , 
071/  leur  résultante  représentée  par  la  diagonale  de  ce 
parallélipipède. 

On  voit  par  là  qu'on  peut  décomposer  une  force  en  * 
trois  autres  dirigées  savant  trois  droites  données  qui  con- 
courent en  un  des  points  de  sa  direction.  Si  on  a^  par 
ciemple^  les  trois  droites  AP  j  AQ  et  AS  ^  et  là  force 
représentée  par  AI,  on  achèvera  le  parallélipipède;  pour 
cela  on  mènera  en  /  les  trois  plans  Hlkfy  LM  et  LH  res- 
pectivement parallèles  à  ceux  des  droites  données.  Ces  plans 
les  couperont  en  trois  points  B  y  C  et  D  qui  détermineront 
les  parties  AD  y  ABj  AC ,  qui  représenteront  les  com^ 
posantes  cherchées. 

On  retrouve  ici  le  théorème  du  n**.  précédent.  Car^  par  * 
exemple  y  dans  le  triangle  ADI^  rectangle  en  Z>  ^  on  a 
AD  =  AI  X  cos  DAI  )  etc. ... 

25.  Composons  analytiquement  un  nombre  quelconque  -k^ 
de  puissances  ^  et  prenons  d'abord  le  cas  où  les  forces 
agissent  dans  un  même  plan.  Menons  par  un  point  quel-  Fig.  z4* 
conque  A  pris   dans   ce  plan,   deux  axes    Ax  et  Ay 
perpendiculaires   entre    eux  \   puis    décomposons  chaque       ' 
jouissance  en  deux  autres  parallèles  à  ces  lignes.  Par  exemple, 
soit  P'  Tune   de   ces   forces ,   en  menant  MD  et  MC 
parallèles  aux  axes ,  elle  équivaudra  à  deux  autres  forces 
agissant  suivant  ces  lignes  y  et  dont  les  valeurs  y  données  par 
Téquation  {A)  sont  P'  x  cos  P'MD  et  P'  x  cos  P'MC. 
Oà  en  dira  autant  dé  toute  autre  foçce  P^ . .  • . 

Soient  donc  des  puissances....  P'yP^ * 

dont  les   directions   font  avec  Ax 

des  angles. m'y  m"  ....... 

les  composantes  parallèles  à  Ax  sont  P'.cosa'y  P'^cos i«'^ . . 
et  celles  parallèles  à  Aj-  sont....  P'  sinm'y  P^sin«'^.. 


i 


a4  Statique. 

or  les  premières  équivalent  à  une  force  unique  X  égale, 
à  leur  somme  (12);  de  même  les  autres  ont  leur  résultante  X 
égale  à  leur  somme  \  il  n'jr  a  donc  plus  à  considérer  que 
.    deux  forces  rectangulaires 

X  =  P*  cos  «•  +  P»  cos  **  4-  etc. 
r  =  P'  sin  #'  4.  P'f  cos  •'^  4-  etc. 

Soit  7{  la  résultante  du  système ,  et  «l'angle  inconnu  qu^ 
sa  direction  fait  avec  Ax  \  d'après  l'équation  {A)  y  %e& 
composantes  sont  JR  cos  «  et  /l  sin  4*  Donc  on  a 

Rcosmz=iX^   Bsin«=r (B). 

Pour  trouver  R  el  u^  lorsque  X  eX  Y  sont  donnés , 
ajoutons  les  carrés  de  ces  deux  équations  \  comme 
sin'»  m  +  cos*  «  =  i  ^  on  en  déduit 

Les  équations  {B)  donnent  eh  outre 

X        .  Y  Y       ,^ 

cos  «=-3-,   sm^::::-^-^  tang«ft= -—•..•  (Z?). 

Ces  équations  servent  a  faire  connoître  la  grandeur  et  la 
direction  de  la  résultante  :  et  il  est  facile  (  Voy*  pag.  18  )  de 
voir  qu'elles  expriment  que  R  est  la  diagonale  du  rec- 
tangle construit  sur  X  et  Y ,  ce  qui  est  conforme  à  ce 
qu'on  coimoit  d'ailleurs. 
it  Toute  droite  qui  passe  par  le  point  dont  les  coordonnées 
sont  x'  et  jr'y  et  qui  fait  avec  l'axe  des  x  un  angle  «j^ 
a  en  général  pour  équation 

y  — y  =  tang  «p.  ( a:  —  x'). 

(  AppL  de  Valg.  à  la  géom.  de  Lacroix  y  66  ^  Droite  des 
courbes  du  second  degré  de  Biot,  i5).  On  a  donc  pour 
équation  de  la  direction  de  la  résultante ,  en  désignant  par 


r 


Composition  des  vokcbs.  35 

*^  et  y  les  coordonnées  du  point  d'application  des  forces, 

^ljr-r')=y(^-^) (£)• 

Si  le  système  est  en  équilibre  ^  il  est  clair  <jue  cet  état  * 
^oit  exister  en  particulier  entre  les  composantes  parallèles 
chaque  axe^  puisque  sans  cela  le  système  auroit  une 
^sultante^  lés  équations  qui  expriment  l'équilibre  sont 
onc 


=  o,  ouP'.cos«'-f-P*.  cos «1^  +  etc. S5 
:y  =  o,  ou  P'.  sin  «^+  P".  sin  «^  +  ctc 


.ssoj 


24*  Prenons  maintenant  le  cas  où  les  puissances  ont  '>«•  *<• 
^lans  l'espace  des  directions  quelconques*  Concevons  par  1 

'im  point  arbitraire  dans  l'espace  trob  droites  AS  y  AP^  AQf 
rectangulaires  entre  elles  5  nommons  AP  taxe  des  x, 
AS  Faxe  des  y ,  et  enfin  AQ  Paxe  des  z.  Le  plan  PAS 
passant  par  les  axes  desj^  et  des  x^  sera  le  plan  des  xy; 
de  même  le  plan  SAQ  y  qui  passe  par  les  axes  des  j^  et  des  Zf 
sera  le  plan  des  yz  )  enfin  le  plan  PAQ  sera  celui  des  xz* 
Pour  fixer  les  idées  y  on  peut  supposer  que  les  axes  des  x 
et  des  j^  sont  horisontaux,  et  que  Taxe  des  z  est  vertical; 
le  plan  des  xy  sera  alors  borisontal  y  et  les  deux  autres 
plans  coordonnés  seront  verticaux.  Nous   conserverons 
dans  la  suite  ces  dénominations. 

Cela  posé  y  soient  des  puissances*  •  • .  P'y  P^,  P^'^  • .  • 
dont  les  directions  forment  y 

avec  l'axe  des  Xy  les  angles tt'  y  u^  y  «'^  •  •  •  • 

avec  l'axe  des j- C,  C^,  Q"  .... 

avec  Taxe  des  z' y' y  y" y  y"' . 


*  • 


En  décomposant  chacune  de  ces  forces  en  trois  autres  (2 1  ), 
^Qnt  les  directions  soient  parallèles  aux  axes^  on  a  pour 


286  Statique. 

les  composantes  parallèles 

aux  x...nP' cos  uf ,  P".cos *",  P'"cos  tt"'. . . ." 

SLUXjr.  ...P'  cos  V  ,   pif  cos  ff^,  P"'  COS  S" 

aux  z ... .  P'  cds  y',  P''  cos  y'',  jP^'cgs  y"^  . . . 

Chacun  de  ces  trois  groupes  de  forces  équivaut  à  une 
puissance  unique  égale  à  leur  somme  ;  puisque  ces  com- 
posantes sont  dirigées  dans  une  même  droite.  Faisons 
nsiage  de  la  notation  précédente  ;  et  nommons  X,  YetZ 
les  trois  forces  parallèles  respectivement  aux  x^jr  et  Zj 
nous  aurons 


Xz=:P'  cos  a'  +  Pif  COS  *"  +  P"'  cos  *'"  ;f  .... 
F  =  P' cos  C'  + />''  cos  V^ -J^  P'"  QOS  Q"  +  .... 
Z=P' COSy'  +  P'f  cos  y'' 4- JPW  cos  y"'  +  .... 

.  Soient  «;  C  et  y  les  angles  inconnus  que  forme  la 
direction  de  la  résultante  R  avec  les  trois  axes;  R  cos  à, 
RcosCy  Rcos  Y  y  seront  ses  composantes  dans  le  sens  des 
axes }  on  aura  donc 

Rcosti^zX j  Rcos  ff=  K,  Rcos  y  =  Z....  (G). 

Pour  avoir  la  résultante  et  sa  direction  ;  ajoutons  les 
carrés  de  ces  équations;  nous  aurons 

R*  ( cos**  +  cos*  C+  cos* y  )  =  -Y»  +  F*  +  Z*. 

r 

Or  on  sait  que  (*)  cos*  «  +  cos»  S  +  cos*  y  =  i  >  donc 

R  =  y/.{X^+  r-  +  z-} 

d'ailleurs  les  équations  (G)  donnent  f  /u-v 

^.  ....        j  .  j^ 

cos  u  =  -^-  f  cos  b  =  —5-  .  cos  y  s=:  -^ 
Jti  ri  ti 

{*)  Consultez  la  note  du  no.  21, 


Z—3f  =*  > 


■) 


le 


et  h  étaat  les  tai^ala  des  ao^fit  ^ht  £■■»  Fa 
ces  prufedicMB  flir  les  jdbns  des  jrf  el  des 
locaont  par  le  poiiii  ^,  auquel  ks  forces  sont  jiyfJiytiftf  ,  ^i^ 
les  figues  ^i^P^  ^<^  et  -^Q?  panUclcs  aax  joes  des  x  ^ 
iajr  et  des  x;  la  projectîofi  de  la  gBsntttr  il  nr  le  fAn 
P><5  sen  ^r,  ainsî  la  tençeme  0  de  fai^  TJPz=^ê 


(*)  Om  entcml  -par  proj^eitott  &mD  foist  sw  «b  plMi  le 
de  la  perpoidiciifaûre  abaissée  de  oe  pDtnt  sur  le  pl;iii.  La  prônée- 
tûm  d'ane  liçae  est  la  sotte  des  projeclioiis  de  tes  divers  poiots  : 
sll  s'agit  d'une  droite ,  le  sTStéme  des  perpendiculaires  forme  um 
plan,  dont  l'inlcraectitm  avec  le  plan  de  projection  «at  nne 
droite;  la  prcjection  d'ane  ligne  dfoite  ett  donc  une  antre  dioite 
déterminée  par  les  projections  de  deux  f[nelcon<|oes€Le  ses  points. 
Ainsi  dans  la  fig.  i3,  le  point  /  est  profetté  en  JT,  X  et  Jf  sur  le* 
trob  plans  BjâC ,  BALD  et  CAD  ;  de  même  AH  est  la  projec* 
tion  sur  le  premier  de  ces  plans  de  la  droite  Al,  dont  ^C,  AB 
et  AD  sont  les  projections  sur  les  axes  AP ,  AS  et  AQ,  9^oyc% 
à  cet  égard  les  Leçons  de  Monge  à  l*£cole  normale,  le  Cbm* 
fiémefËt  de  géométrie  de  Ldkcroixy  et  k  Traité  des  courbes 
du  second  degié  de  Btot. 


23  Statique. 

y 

se  déduit  de  ce  qui  a  été  dit  n*»,  21 ,  où  tangl=  -—  =  a* 
On  auroit  de  même  h  =  -<^*  Au  reste  on  peut  encore 

\ 

obtenir  ces  valeurs   en  observant  que  dans  la'fig.  i5^ 

où  AJ j  AB  et  AC  représentent  H ,  F  et  A ,  on  a  dans 

HR  Y 

le  triangle  HABy  t&ng»HAB=  — -—-  =  — —-    :    doncr^ 

AB  '         A 

y  *  z 

a  =  -—  ;  on  trouveroit  de  même  b  s=  -"v"*  ^®^  équa- 
tions  des  projections  sont  donc 


{J) 


Fune  d'elles  est  comportée  par  les  deux  autres. 

Si  le  système  est  en  équilibre  j  il  est  clair  que  cet  état 
doit  avoir  lieu  en  particulier  entre  chacun  des  groupes  de 
forces  parallèles  aux  axes  ^  ainsi  les  équations  M'équilibre 
isont 
I  JCsso,   K=o,  2  =  o  .....  (/). 

/Tout  ce  qui  a  été  dit  dans  le  numéro  précédent  n'est 

qu'un  cas  particulier  du  problème  que  nous  venons  de 

,  traiter  ;  car  si   les  forces  sont   dans  le  plan  acjr  ^   elles 

forment  des   angles   droits   avec  l'axe  des   z  y  et  on  a 

COS  y'  =  O  ,     COS  y"  =  O d'oÙ     21  =  O  y     €t 

'  COS*  u  +  COS*  Ç  =  I  ,    ou   sin  «  =  COS  ?.    Les    équations 

(H)  y  (/)  et  (/)  deviennent  donc  (Z>) ,  (E)  et  (F). 

♦       25.  Si  les  deux  équations  (C)  n'avoient  pas  lieu  à-Ia- 

.   fois  y  il  n'y  auroit  pas  équilibre  dans  le  système  ^   si  on 

avoit  seulement  X:=Oy  on  auroit  R,costt=:Oy  et  pu* 

conséquent  cos  «  =  o ,  ou  «  =  |  ir  :  donc   la  résultante 


Composition  des  fôkcss«  2g 

£eroit  avec  l'axe  des  ^  an  angle  droit  y  et  seroit  parallèle 
a  l'axe  des^^  de  même  si  on  avoit  seulement.  K=Oy  la 
résultante  seroit  parallèle  aux  x.  ' 

On  peut  faire  le  même  raisonnement  pour  les  WK  ëqua- 
lions  {H)  ^ .  si  on  avoit  seulement  X  zslo  j  on  en  con- 
duroit  que  cos  «  =  o  ,  ce  qui  désigneroit  que  la  résultante 
^st  située  dans  un  plan  perpendiculaire  à  Taxe  des  x  :  si 
<Mi  avoit  à-la-fois  Xz=zOy  VriiOy  il  seroit  de. même  aisé 
^e  voir  que  1^  résultante  seroit  parallèle  à  l'axe  des  z. 

26.  Quant  aux  signes  que  doivent  avoir  les  composantes  4- 
J^'  cos  §/y  P^f  COS  u^ ,  m. .  dans  les  équations  précédentes , 
ils   dépendent  de    la   direction   et  du   sens  dans  lequel 
<;haque  force  agit  :  pour  les  déterminer,  il  suffira  d'obser- 
"ver  ce  qu'on  a  dit  (i  2)  j  car  il  est  clair  qu*ici  il  faudroit 
soustraire  celles  de  ces  composantes  qui  agissent  dans  des 
«ens  directement  opposés  aux  autres.  Nous  pouvons  donc 
conclure  de  là  que  l'on  peut  regarder  comme  positives 
toutes  les  composantes  dans  le  sens  dun  des  axes ,  lors-^ 
qu'elles   tendent  à   augmenter  la   coordonnée  du  point 
sollicité  par  rapport  à  cet  axe  ,  pourvu  qu'on  prenne 
négativement  les  composantes  qui  tendent  à    diminuer 
cette  même  coordonnée* 

Il  y  a  un  autre  moyen  de  déterminer  les  signes  y  qui  * 
revient  au  précédent,  mais  qui  paroîtra  peut-être  plus 
analytique  ,  voici  en  quoi  il  consiste.  Concevons  que  du 
centre  M  y  auquel  les  forces  sont  appliquées ,  on  a  décrit  Fig.  ts. 
le  cercle  BDEF ,  et  mené  les  droites  EB ,  DF  parallèles 
aux  axes  Ax  et  Ay.  En  prenant  le  point  B  pour  origine 
des  arcs,  toute  droite  qui,  telle  que  MP  ou  MQy  tombe 
en  dessus  de  EB ,  fait  avec  cette  ligne  un  angle  dont  le 
sinus  est  positif^  tandis  que  ce  sinus  est  négatif  pour  les 
lignes  M  S  et  MT  qui  tombent  en  dessous.  Pareillement 
fes  lignes  qui  «ont  à  droite  de  DF  y  forment  avec  EB 


5o  Statique* 

des  angles  dont  les  cosinus  sont  positifs  >  tandis  que  celles 
qui  sont  à  gauche  ont  les  cosinus  négatifs.  Si  donc  on 
fait  tourner  une  force  autour  du  point  M  qu'elle  tire  ^ 
il  suit^lb  ce  qu'on  a  dit  ci-dessus ,  qu'en  passant  d'un 
cadran  à  l'autre,  le  signe  de  l'une  de  ses  composantes 
devra  changer  aussi  :  ce  qui  revient  à  dire  que  les  pro* 
/  duits  P  sin  «  seront  positifs  ou  négatifs  avec  sin  «  ,  c'est- 
à-dire  suivant  que  la  force  P  tombera  au-dessus  on 
au-dessous  de  EB  :  de  même  P  cos  «e  séropositif  ou  né- 
gatif suivant  que  P  sera  disposé  à  droite  ou  à  gauche  de 
DF.  Mais  pour  n'avoir  ainsi  égard  qu'aux  directions 
de  P'y  P'^,  etc. ,  nous  supposerons  alors  que  toutes  ces 
forces  tirent  le  point  matériel  M  dans  les  sens  de  leurs 
directions  respectives ,  ou  que  toutes  le  poussent  :  cette 
hypothèse  est  permise  dans  tous  les  cas  j  puisque  si  pour 
une  puissance  en  particulier  il  en  étoit  autrement ,  il  suf- 
firoit  de  l'appliquer  sur  son'  prolongement  et  en  sens 
opposé.  Celte  manière  de  déterminer  les  signes  est  réelle- 
ment beaucoup  plus  analytique,  puisque ,  conformément 
aux  règles  de  l'algèbre,  lorsqu'un  problême  est  posé  en 
équation ,  il  ne  s'agit  que  de  traiter  celle-ci  d'après  des 
règles  connues,  et  il  n'est  plus  nécessaire  de  recourir  au 
problême  proposé  afin  d'établir  certainqs  distinctions.  On 
voit  que  notre  procédé  nous  permet  de  traiter  les  produits 
P'  cos  «',  iP"  cos  «" . . .  à  la  manière  des  quantités  algé- 
briques ,  et  sans  nous  embarrasser  si  elles  ont  trouvé  leur 
origine  dans  des  forces  décomposées.  Ainsi  nous  regar- 
derons à  l'avenir  le  signe  des 'quantités  P'cos  u',  P"cos  «" . .. 
comme  déterminé  par  celui  de  cos  «^ ,  cos  «''..•.   et  les 

quantités   P'y  P" ne   seront  plus  considérées   que 

comme  des  nombres  abstraits. 

Quoique  nous  n'ayons  envisagé  que  le  cas  où  les  forces 
sont  dans  un  plan ,  il  est   visible  que  la  conséquence  a 


COKPOSITION  DBS   FORCES.  3i 

également  Heu  lorsque  cette  condition  n'existe  pas  ^  puisque 
les  équations  qu'on  traite  dans  ce  cas  ont  été  déduites 
d'après  le  procédé  du  n^  21  ^  dans  lequel  on  n'a  réelle* 
ment  égard  qu'à  des  forces  considérées  deux  à  deux.  Fqy*  à 
ce  sujet  ce  paragraphe. 

27.  On  tire  des  deux  équations  (JB)  une  conséquence  * 
remarquable.  Prenons  dans  le  plan  des  forces  un  point  Fig.  14. 
arbitraire  S  y  et  menons  au  point  d'application  Af  la  droite 
MS  z=is)  soit  é  l'angle  qu'elle  forme  avec  l'axe  des  x*  En 
multipliant  la  première  des  équations  (^)  par  5.sin0;  et 
la  seconde  par  s,  cos  d^  on  a 

Rs  •  cos  « .  sin  é  =  P's .  cqs  tt'  sin  #  +  P^s .  cos  *'' .  sin  d  +  jtc. 
Rs.  suni,cosêz=:P's.  sintt'cosé+P^s.  siu«^.cosd  +  etc. 

Si  on  soustrait  la  première  de  la  seconde  ^  en  observant 
que  sin  (  «  — - 1  )  =  sin  « .  cos  d  —  sin  d  •  cos  «  ^  en  a 

■ 

Rs.sin(m—9)=:P's.smiit'—ê)  +  P"s.sm{ti»—ê)'+eic. 

Cela  posé ,  l'angle  »'  —  d  sera  formé  par  MS  et  la  A, 
direction  MP'  de  la  force  P'  :  or  si  du  point  S  on 
abaisse  Sa  perpendiculaire  sur  MP' ,  on  aura  dans  le 
triangle  SMa^  Sazz. s. sm  [»' — d).  On  on  fera  autant  pour 
les  autres  forces  j  nommant  r ,  /?',  p" . . . .  les  perpendi- 
culaires abaissées  de  S  sur  les  directions  de  R ,  P'j  JP" . , . 
les  divers  termes  de  l'équation  précédente  deviendront 
Rtj  P'p'f  P^fp^ ••.  et  on  aura 

Er  =  Py  +  P'fp'f  4-  etc .{K). 

On  est  convenu  d'appeler  moment  d'une  puissance  le  ♦ 
produit  de  sa  grandeur  par  sa  distance  à  un  point  fîxc^ 
ainsi  l'équation  {K  )  désigne  que  le  moment  de  la  résultante 
est  égal  à  la  somme  des  momens  des  composantes, 

28*  On  doit  entendre  ici  par  somme  des  momens  ^  les  il' 


52  Statique. 

produits  P'p'j  P^p^  •  •  •  •  chacun  pris  avec  son  signe  :  ce 
signe  ne  dépend  que  de  la  direction  des  puissances^  c'eit* 
ih-dire  A.ep'jp^m.,  puisque  (26)  les  forces  sont  supposées 
tirer  toutes  à-la-fois  le  point  matériel  M.  Or  l'équation 
r=5.sin(«— é)  indique,  que  suivant  que  sin(«  — #) 
sera  positif  ou  négatif,  le  moment  Rr  aura  le  signe  + 
ou  le  signe  —  :  il  en  est  de  même  des  autres  forces.  On 
conclut  de  là,  et  de  la  manière  dont  on  détermine  les 
signes  des  sinus ,  que  toute  force  qui  tombe  d'un  côté  de 
la  droite  MS  a  son  moment  positif,  tandis  qu'on  doit 
regarder  comme  négatif,  le  moment  d'une  puissance  qni 
est  disposée  de  l'autre  côté  :  en  supposant  toutefois  que 
toiltes  les  forces  tirent  le  point  Af  ;  ou ,  si  on  veut,  qu'elles 
I  is-  '^*  le  poussent  toutes  (26).  Les  pieds  des  perpendiculaires ,  tels 
que  a,  by  Cy.**  sont  d'ailleurs  tous  sur  la  circonférence  d'un 
cercle  décrit  sur  SM  comme  diamètre. 

.  *  Ainsi  P'p',  P'fp'fy  P'"p"'  seront  négatifs  dans  la  fig.  16, 
ii«.  lé.  et  JP*'/>*',  P^p^'j  jP^'p^'  seront  positifs,  ou  réciproquement. 
Or  observons  que  si  on  considère  le  point  S  comme  fixe , 
et  les  droites  Sa  j  Sb. .  •,  comme  des  verges  rigides , 
l'action  de  chacune  des  forces  sur  le  point  M  ne  peut  être 
que  de  le  faire  tourner  autour  de  «S  :  de  plus  les  momens 
positifs  appartiennent  aux  forces  qui  tendent  à  faire  tourner 
dans  un  ssns ,  tandis  que  les  momens  négatifs  soi^ 
relatifs  aux  forces  qui  tendent  à  faire  tourner  en  sens 
contraire  :  on  conclut  de  laque  l'équation  (K)  peut  s'énon- 
cer ainsi  :  lorsqu^on  a  plusieurs  forces  appliquées  à  un 
point  matériel,  et  disposées  dans  un  même  plan ,  le 
moment  de  la  résultante  est  égal  à  l'excès  de  la  soinme 
des  momens  des  forces  qui  tendent  à  faire  tourner  dans 
un  sens ,  sur  celle  des  momens  des  forces  qui  tendent  à 
faire  tourner  en  sens  contraire  ^  autour  de  torigine  des 
momens.  IVÎais  on  remarquera  que  l'idée  de  rotation  qui 


\ 


Composition  des  forces.  35 

est  introduite  ici  n*est  pas  nécessairement  liée  au  principe 
précédent^  le  mouvement  n'y  est  que  de  pure  commodité 
pour  déterminer  les  signes  et  ne  fait  pas  partie  nécessaire 
de  ce  principe. 

29.  L'équation  (K)  devient         "  * 

P'p'  -4-  P^pV  +  etc.  =  o 

dans  le  cas  de  /lr==:o;  c'est-à-dire,  ï*.  lorsque  /l  =  o,' 
alors  le  système  est  en  équilibre  ;  et  2°.  lorsque  ri^^o, 
ou  que  l'origine  des  momens  est  pri$e  sur  la  direction 
même  de  la  résultante.  Ainsi  la  somme  des  momens  des 
forces  qui  tendent  â  faire  tourner  dans  un  sens  y  est  égale 
à  la  somme  des  momens  des  forces  qui  tendent  à  faire 
ioum&r  en  sens  contraire  y  i^>  quand  U  jr  ^  équilibre  f 
22*.  lorsque  l'origine  des  momens  est  prise  sur  la  direction 
4ie  la  résultante.  £b  général  y.  s'il  y  avoit  quelque  force  dont 

la  direction  passât  par  l'origine  S  des  momens  ;  son  mo- 

zxient  seroit  nul.    . 

Nous  ferons  voir  dans  la  suite  (  56  ;  Sg ,  4^  et  45  )  que 

le  théorème  des  momens  est  une  partie  importante  des 

équations  générales  de  l'équilibre. 

IV.     Des  forces  parallèles. 

5o.  Soient  deux  forces  parallèles  p  ti  q  y  agissant  dans  4> 
le  mémie  sens,  et  appliquées  aux  deux  extrém^és  E  et  F'Fig.  17. 
de  la  ligne  JSF  à  laquelle  elles  sont  perpendicuUires  :  il 
est  clair  qu'on  ne.  changera  rien  à  l'état  du  système  si 
on   y  introduit   deux  nouvelles  forces  p'   et  q'  égales, 
opposées  et  agissant   dans  la  direction  de  la  ligne  EFy^ 
quelles   que  soient  d'ailleurs  les  grandeurs  de  ces  forcer. 
On  composera  les  deux  forces  p  et  p'  en  une  seule  P  j 
de  même  la  force  Q  remplacera  q  et  q'.  La  résultante 

5 


54  Statique» 

de  p  et  q  sera  donc  la  même  que  celle  des  deiix  îot€:€$ 
P  et  Q,  qui  concourent  au  même  point  ui  y  résultante 
qu'on  sait  d'ailleurs  trouver  (18,  V).  Il  ne  s'agit  donc^  pour 
résoudre  le  problème  proposé^  que  d'exprimer  par  I« 
calcul  toutes  ces  conditions. 
V  Pour  cela ,  par  le  point  A  y  menons  uéO  perpendicu- 
laire ei  BC  parallèle  à  /?7^j  de  plus  concevons  les  deux 
forces  P  ci  Q  appliquées  en  u^  (i5),  et  décomposons  la 
puissance  P  en  deux  autres  dirigées  suivant  AB  et  yiO  :la 
première  sera  p',  la  seconde  sera  p  y  puisque  les  circoiis- 
tances  de  la  décomposition  dé  P  sont  les  mêmes  en  ji 
qu'en  E  :  de  même  décomposons  Q  en  q'  et  q  y  agissant 
suivant  AC  et  j40.  Les  deux  forces  q*  et  p'  égales^  par 
hypothèse  y  se  détruisent  :  la  résultante  de  p  et  ût  est  donc 
szzp-j-^q'y  agit  suivant  AO  y  c'est-à-dire  parallèlement 
aux  composantes. 

Déterminons  -maintenant  le  point  0  par  lequel  pasSe 
cette  résultante':  puisque  P  est  la  résultante  des  deux  forces 
rectangulaires   p  et  p' ,    il  résulte  du  n".   18  (A)  que     I^ 

tangente  de  l'angle  PEp'  est  =  -J-p  -y  or  dans  le  triangle 

EAO ,  on  trouve  -7^77  pour  la  valeur  de  cette  tangent*? 

.    .     p  JO  ^     ^         EO  ,         ^c 

ainsi  ^   =   -^^^,    dou  ;?'  =  --^-^  X  p  t  on  troa-  ^« 

OF 
de   même   q'  =:    ■  '■      '■  x  ^.  Or  p'  =  q'y    donc.  • . .     —  • 

p  X  EO  •=  q  X  OF.    Ce    qui    prouve    que    le    point  ^ 

d'application  de  la  résultante  diviss  la  droite  EF  en  pa*^  ^^ 
lies  réciproquement  proportionnelles  aux  composantes:        ^, 
si  les  forces/?  et  q  é.toicnt  égales,  le  point  O  seroit  pla  -^^^ 
au  milieu  de  EF, 

Soient  deux  puissances  parallèles  JP  et  Q^  obliques     ^ 


'      Des   forcis   PARlLLÈliES.  55 

la  ligne  d'application  EGj  et  leur  résultante  R}  menons  *> 

m 

une  autre  droite  quelconque  BD  perpendiculaire  aux  Fig.  xf^ 
forces,  et  regardons  B ,  D  et  C  comme  leurs  points 
d'application^  nous  aurons  P  x  BC=z  Q  x  CD  j  et 
comme  EFet  PG  sont  proportionnels  à  BCei  CD  y  on  peut 
remplacer  Tcquation  précédente  par  P  x  EFzn  Q  x  FG  j 
ce  qui  démontre  que  le  théorème  ci-dessus  n'exige  pas 
que  les  forces  soient  perpendiculaires  à  la  ligne  d'appli- 
cation. Donc  en  général  la  résultante  de  deux  forces 
parallèles  est  égale  à  leitr  somme  ,  leur  est  parallèle ,  et 
divise  la  droite  d'application  en  deux  parties  récipro^ 
-é/uement  proportionnelles  aux  composantes» 

5i.  Soient  deux  forces  P  et   Q  parallèles,  et  R  leur  * 
résultante ,  appliquées  en  JE^ ,  G  et  -F  j  soient  aussi  a^p  f»*-  v- 
«t^les  lignes  EGy  EF  et  FG  y  on  aura 

a  =  p  +  if,     R  =  P-hQ,     Pp=qq {L). 

Ces  équations  renferment  six  quantités  Ry  Py  Q,  a^peiq^ 
il  siîfHt  donc  de  connoître  trois  d'entre  elles ,  pour  en 
conclure  aisément  les  trois  autres  :  on  pourroit  même 
^'en  connoître  que  deux  j  mais  alors  il  faudroit  avoir  une 
3iouyelle  équation  pour  que  le  problème  fût  déterminé j 
■et  ainsi  de  suite.  En  général,  il  faut  toujours  remonter 
9UX  équations  (L)  pour  résoudre  les  problèmes  relatifs  à 
l'équilibre  des  forces  parallèles.  Nous  en  allons  donner 
plusieurs  exemples. 

I.  Supposons  qu'il  s'agisse  de  trouver  les  efforts  qu'exerce  * 
en  deux  points  donnes  E  et  G  d'ime  droite  EGy  une  Fig.  19. 
ibrce 'JR  appliquée  en  F  :  pour  cela  il  faut  trouver  deux 
forces  P  et  Q  qui  soient  parallèles  à  R,  et  "appliquées 
^n  E  et  G  y  dont  R  soit  la  résultante ,  c'est-à-dire ,  qui 
agissant  en  sens  contraire  ,  fassent  équilibre  à  R.  On 
<^anoU  ici  iî ,  ;?  et  95  il  faut  trouver  P  et  Q.  Eliminons 


r- 
le .        *.       • 


ri.  vri       i 

1.  I— «.    ,' 


'  •  •   ■   •  t  XEff     •• 


L-  j-  \  uis'iv.  uf  ■  peu:  prenarf  ircHS  ausntilés  pour 
lOcaDDii"'-  .  I  t:j;:<«ruoii  >  f^.  c  «:  f'  coniBii  ieis  :  Bons  jqMHi- 
àroIl^  pa*  il.,  c^e  rrobitaiK  .  aecociDOScr  nnf  torci*  cuniBée JS 
«li  oeu::  «LUir^.-  /  «:  C  •  i^i^"  «nit  i^  grandeur  Uje  Tiae 
d  eiic-    /  .    ?:    K    r.in:  l'  ai»?li?anor   II    dt    cettt:  £iFce 


i.  — /^  h—P 

*  I.  es*  ai»*  .  c*  air  :;^  c-.^  .  tU  mettre  J'equiiinrt  entre  denx. 
li/i'-c»  piralirri'-:  •::  l?î.:  Jàrr:?  /"  «t  J:  :  Cl.  efie:..  sait  £  it 
piui   ^TdiiOi*.  .   (i-f.'jiii!- -sfUi     vr:..-.    lOT.'t    en  à-fux  mitres 

CiUU!    .'"uTir    /'      ji«:*.    t^-.-     «-    UI'T'Cïaf"    *.    /    :    OU   aUTL    pOiXT 

c^i'-iuiiiCf  -atii:*:  •.-viuiiJL'jaiii'.  '^'  e*.  tt  poiii:  /■  m^  elle 
cui:  èiît  appû^urr*  .  le^  -«ai^urc  c.—Q*-râ5uii.  X^onc  cette 
luiot  ^'  e^uî^au:  £  J  **  -J.  -  -:  es:  îeur  rt-iuiiiantL.  Une 
lt»'.t'.  '^  •-;;«ii*-  ei  opjjoa*-  à  •.'■  prciQuiroi:  !  enuilibre-  H 
Sui'.  u»-  *«:  «iu*    ic    r»'îuîiaiî--:    o*.    Li*^i:i  i^jrre^  ]wruLeîc5  qm 

«-oiiij7i'3iiirt*'  .  •:■  î»^.:'   <i*  »i    '*    ^vci-   Gî   i£  }^iu^  4r*aDue  des 

«t   UKit*jTt   U»:!.    lot*-*::    *f'    ^;l    '-V-t    Ct    îtciit-CJ    en 

iel    <\ut  >i*.-i    *yii;^ueuît  <.    »j"  c   boni  eiicùrf    n-c^ 

JUi^^t  |wO|*vr*.*'ji:ijeIi»'t  «iui    '•:::«  -P  el  ix-  puisqaoe  * 


DSS  FORCES  PÀRAliLÈLES.  if 

Si  Us  forces  A  et  P  étoient  égales,  on  aoroit  Ç=o  4- 
et  a  =:  QD  ;  de  sorte  que  pour  produire  l'équilibre  il  fau- 
droit  appliquer  une  force  nulle  à  une  distance  infinie  : 
ce  résultat  annonce  l'impossibilité  de  décomposer  la  force  A 
en  deux  autres  dont  l'une  détruise  P}  l'infini  fait  voir 
dans  ce  cas  que  les  équations  (Z»)  ne  peuvent  avoir  lieu 
ensemble  (  Foy*  l'algèbre  de  Lacroix ,  n^.  68  )«  Donc 
une  force  unique  ne  peut  alors  établir  l'équilibre. 

m.  55.   Proposons-nous  de  mettre  en  équilibre  deux  * 
forces  P  et  Q  qui  agissent  dans  le  même  sens }  E ,  G  ^^  n. 
sont    1^8   points   d'application.    Ici  P    et  Q   sont  senls 
connus  :  les  trois  quantités  p  ^  q  et  R  -devront  donc  être 
déterminées  par  les  trois   équations  (Z*).  E!n  éliminant, 
on  trouve  ,  outre  il  =  P  +  Q , 

—      ^Q       _    ^Q  _      ^P       _   ^P 

^  ~  p+ Q  ~  R  ^  ^~  p+Q  ~ ir* 

Une  fois  le  point  F  déterminé ,  on  y  mettra  un  appui 
fixe  ou  une  force  S  égale  à  P  -|-  Q  ;  dirigée  en  sens 
contraire  de  P  et  Ç  ,  et  parallèle  à  ces  composantes. 

54*  Soient  P  et  Q  deux  forces  parallèles  agissant  dans  4- 
le  même  sens,  et  leur  résultante  R  :  d'un  point  quel-  F>g-  ^9* 
conque  ji  de  leur  plan  pris  en  dehors  des  forces ,  me- 
nons la  droite  jiD  perpendiculaire  à  leurs  directions ,  et 
regardons  les  points  By  C  et  D  comme  ceux  où  ces 
forces  sont  appliquées  ;  faisons  AC:=iry  ABzz^p^ 
4Dz=zq^  conmie  AC:=:.  BC^  AB  —  4D  —  DC ^  ou 
r^zBC -^  p-=  {/  —  DCy  en  multipliant  p^r  r  l'équation 

B=P4-Ç>,  on  trowe  iir=:P(J?C-f  p)  +  Q(çf^Z?C); 
ft  comme  P  x  BCs=z  Q  x  DC^  oi^  en  conclut 

Rr=:Pp+Qq (iV). 

Prenons  maintenant  le  point  en  A',  au-^dans  de  l'espace  * 


58  Statique. 

PBQDj  et  désignons  par  py  q^  r,  les  distances  àtm 
forces  à  ce  point  :  on  a  A'Cz=BC—  A'B—  A'D—  CL^ 
ou  r=::iBC  —  p  =  gr_  CD  'y  multiplions  de  même  par  r" 
l'écpiation  jR  =A  P  -4-  Q  ,  nous  aurons  en  réduisant 

Ainsi  le  moment  de  la  résultante  est  égal  à  la  somme' 
dans  le  premier  cas  ^  et  à  la  différence  dans  le  second 
cas^  des'  momens  des  composantes. 

t  Voyons  maintenant  ce  qui  arrive  lorsque  les  forces 
agissent  en  sens  opposé-  Puisque  la  force  S  égale  et 
opposée  à  la  résultante  R  met  en  équilibre  les.  puissances- 
P  et  Q  y  on  peut  regarder  la  force  Q  comme  destinée 
à  mettre  P  et  »S  en  équilibre.  Ainsi   Q-  est  égale  et  op— 

.  posée  à  la  résultante  Q'  des  deux  forces  .P  et  «S.  Rem- 
plaçons Ç  et  jR  par  leurs  égales  Q'  et  i^.dans  l'équation  (iV  )  ^ 
il  vient  »Sr  =  Q'^  db  Pp  y  en  cumulant^  par  le  double 
signe  ±  y  les  deux  cas  oii  Torigine  des  momens  est  prise 
en  dehors  des  forces  P  et  S  y^  ou  entre  elles.  On  tir^, 
de  là 

Q'q  =  Srz^Ppy 

ce  qui  démontre  que  le  moment  de  la  résultante  Ç'  de* 
deux  forces  S  et  P  est  encore  ici  égal  à  la  somme  ou  à- 
la  différence  des  momens  des  composantes  :  seulement 
on  prendra  le  signe  —  dans  le  cas  oii  Torigine  des  mo-. 
mens  sera  en  dehors  des  forces  ,  et  le  signe  +  dans  Tautre- 
cas  'y  ce  qui  est  précisément  !e  contraire  de  ce  qu'on  a^ 
fait  ci-dessus. 

Concluons  de  là  que  l'équation  (TV*)  est  vraie  dans  tous^ 
Jes  cas  ,  et  que  le  moment  de  la  résultante  de  deux  forcer 
parallèles  est  égal  à  la  somme  des  momens  des  compo" 
santés  ;  mais  il  faut  avoir  soin  d'attribuer  à  ces  momens 
des  signes  confoi^mes  à  ce  qu'on  vient  de  trouver.  Or  il; 


r 
^ 


Des  forces  parallèles.  59 

est  facile  de  voir  qu'il  suffit  pour  cela  de  regarder  p  tX  q  y 
tmsi  hïtD.  que  i'  et  Q,  comme  affectées  de  signes  con-> 
traires ,  savoir  :  les  perpendiculaires  j  lorsque  partant  de 
i'brigine  à^  momens  ^  t]^ts  sont  dirigées  dans  des  sens 
opposés  5  et  les  forces ,  lorsqu'elles  agissent  en  sens  con- 

.  ^ire.  On  peut  *encore  remarquer  qu'ici ,  coimne  précé- 
demment (28),  cette  manière  de  déterminer  les  signes^ 
€<piivaut  à  regarder  comme  affectés  de  signes  différens 
les  momens   des   forces    qui   tendent  à  faire  tourner  le 

*3^stéme   en  sens  contraires  autour  de  l'origine  supposée 

"ïe,  et  ne  pas  oublier  toutefois  que  la  rotation  qu'on 

introduit  ici  n'est  que  de  pure  commodité. 

On  observera  que  tout  ce  que  nous  venons   de    dire  4* 
pour  la  ligne  AD ,  menée  à  angle  droit  sur  les  directions 
des  forces,  a  encore  lieu  pour  toute   autre  ligne  AG j 
pienéc   d'une  manière  quelconque  j  c'est-à-dire  qu'on  a 
aussi 

RxAF:;=zPxAE  +  Qy^AG. 

Cela  résulte  de  ce  que  le  théorème  du  n<^.  5o  a  lieu^ 
quels  que  soient  les  angles  formés  par  les  forces  parallèles 
avec   la  b'gne  sur  laquelle  sont  situes   leurs  poiiits  d'ap* 
plication. 

Nous  pouvons  maintenant  résoudre  les  problèmes  II  * 
et  III,  à  l'aide  du  théorème  des  momens  j  en  effet ,  pre-» 
nous  l'origine  sur  la  direction  de  la  résultante,  les  mo- 
mens des  composantes  devront  avoir  leur  somme  nulle  ^ 
ainsi  ces  momeus  devront  être  égaux ,  et  les  composantes 
tendront  à  faire  tourner  dans  des  sens  contraires  autour 
du  point  d'application  de  la  résultante.  Si  donc  on  veut 
mettre  en  équilibra  deux  forces  (  fig.  18,  n°.  52  )  P  et  R 
qui  sont  dirigées  en  sens  opposé ,  on  aura  Pa  =  Rq. 
Soient  de  même  deux  forces  P  et  Ç  dirigées  dans  le  même 


I 
I 


I.ZL 


09 


— '     -/ 


70IBB  ruppon^ea  i.  ans 


iimss  P'  :»£  P* .   G  :eàtt  de 


ABi=:r'.  BC=:r''  ^D^z". 
AH=t*.  HÎ^^:^,  [K  =  z^^ 
jt£  =  af ,  EF=T  .    FG  =  cf. 

^jn  VfJi  'Uut  B':=:P'  -^P^.  Pmiaiicsans  a  irnite  DK 
\vu^''^  A  rencontre  L  av^s:  ie  pun  .=r  i  le  :tirarcBie  Jcs 
monumi;  donne 

IP  y  LO  =  P'  X  LD^  P"  X  LK  , 

<**  <omme  u»  iwîances  /IG,  Z./).  ZJÎ^.  âou  propor- 
*k>nn#5iU<»  *  .^in  proj*«noiis  .dif  ^  -^  et  ^ijff.  ior  Taxe 
iie%  X  ^  <vc%  cent  r^mpiarer  le^  ânes  par  les  aatres  *iauis 
sKi»r*5  éfp»ticM  j  qm  décrient  par  iâ  H' a'  =  P'x'  -f-  P*'x*, 
On  rsfi%onner'4  Af-.  in*:nie  par  rapport  aux.  ases  des  r  et 
'i^%  Zf  ^>n  »  fU>nc 

fi'  r^  P"  ~^P^  ,  TCh'-=zP'f  '^P'^yff  ^ 

r/a' .      P'x'  +  P^z^,        R'd=F'zf-^P'fz'K 


W  vjiX   ii^    «Jévcloppcmens   donnés    dans    l^    nunKTO 


Ds8   FORCES  PAliALLiLES.  4^ 

précédent  sur  les  signes ,  que  les  termes  de  ces  équations 

ne  sont  pas  essentiellement  positifs*  On  devra  examiner^ 

pour  fixer  ces  signes ,  si  l'une  des  forces  P'y  P",  n'agit 

pas  en  sens  contraire^  et  si  quelqu'une  des  coordonnées 

x', y' y  z' .•••  n'est  pas  négative )  puis  on  combinera  ces 

diverses  circonstances.  Les  facteurs  de  chaque  terme  ayant 

ainsi  un  signe  connu  ^  celui  de  leur  produit  s'en  suivra. 

On  doit  faire  la  raéme  remarque  par  la  suite.  Du  reste 

ces   quatre  équations  font  connoitre  la  grandeur  de  la 

résultante  y  le  sens  dans  lequel  elle  agit  et  le  point  où 

elle    est   appliquée  :  c'est  ce  qui  sera  bientdt  développé 

plus  au  long. 

Composons  maintenant  la  force  R'  (  qui  remj^ce  P'  * 
et  P*^ )  avec  la  force  P'")  on  aura  de  même 

R"     z=:R'     +P'",       R'faff  =  R'a''+P"'x'" 
RUbf  =  R'b'  +  ptyif^  Rf/c"  =  R'c'  +  P"'z'f' 

substituant  pour  71%  R'a'^  R'b',  R'c',  leurs  valeurs,  on 
obtient  celles  de  R\  R"a»j  R'fb\  R'fc'f.  On  peut  con- 
^nuer  ce  raisonnement  autant  qu'il  est  nécessaire,  et  il 
est  visible  que  pour  déterminer  la  résultante  il  et  sa 
position  y  on  aura  les  équations 


R  z=zP'  +  P"  -4-  etc. 
Rx  =  P'x'  4-  P"x"  +  etc . 
Rj  =  P'y  +  Pifj'f  -f  etc. 
Rz  =±  P'z'  ^Pffz^f  +  etc. 


(O). 


On  doit  toujours  obserVer  de  prendre  négativement  les  - 
forces  et  les  coordonnées  dirigées  en  sens  contraire  de 
celles  qu'on  regarde  comme  positives.  La  première  de  ces  4> 
équations  détermine  la  grandeur   de  la  résultante  ^    son 


/"--/•'  — *i:. 


i^. 


■■■■■iiMu»  XI*  z'î^  iarj»  tut  ri.jrcrt  ax,  jiu:r  ii»  «"i:  de 
3iiânif  K^^  ^'•^-■-  j''^--'^--*- iUCLi  Jiorî  Tiiri:n«i»  Tvtr  rtp- 
pOBt    ar   7iuaL  xts  ^z^  Aîisl  JÙc   ^rtaùicftij*  <^a/K  :F*'~sar'9« 

•nus  .iîS  3I1IIIIIS1S  ÀiiLi  :i  ï~«C"iT   XL  x'-iii  :*  ix  ii    r^snnjuM 

lue  BUIS   r^     r«5  jri%JL'o^  :jt   i:cm^  Zsir  ji-i:.-^   C2S3i_tsc*ss 
ft  TiL  itinic    jiTJr     hia&    Jtmr    ;iit.r .    î;."?».^;?    :;  •;    2r/^.Tru"^ 

Âr  Tmaoïur  ut    *«r    tirz:f:~  tut   ji^  L^iun  ^^\:  z.  j/c  tùï 

a^  z  fît   "DTS   jgmffnnKg  un  r*,*   klv   £n*?.~CJil^:^  :•*<  J^irre? . 
£'slia  £!C    irmSi»:  sur  «cf  Tiiex  tss.  xix  Ttiis#: , 


Des  fokcbs  PARALLiLis».  45 

*^  9  et  lesjr  désigiieiit  leurs  distances  respec^ves  aux  plans 
^^jz  et  des  xzy  auscpelles  cHes  sont  parallèles  ^  il  sufHt 
^ors  de  prendre  les  momens  des  composantes  par  rapport  à 
^^x  plans  parallèles  y  pour  en  conclure  la  distance  de  la 
''boitante  à  ces  plans  :  ainsi  iians  ce  cas  il  ne  faut  que 
^^ois  équations. 

Si  toutes  les  forces  ëtoient  disposées  dans   un   même  ^ 
Wan  ^  <pi'on  pourroit  prendre  pour  celui  des  xjr  ,  on  auroit 
^ors  ^  =  o,  z'f  :=o.,  >  >  et  par  conséqnent  zr=  05  ainsi 
^a    résultante  seroit   située    dans  le  plan  des   forces  )i  les. 
^^ations  se  réduisent  alors  à 

^     R    =P'     ^P''      -he^ 
Rx  =  P'x'+  Pffxf'+  etc. 

R^  =  Py  +  t>'fj«  +  etc 
«^  on  a  pour  les  coordonnées  du  point  d'application 

^'~     P'J^pii^eic.     ^^""     P'  +  P^-i-etc.    "'^   ^ 

37.  Les  équations  (P)  étant  indépendantes  des  direc-  * 
%ions  des  forces  ^  il  est  évident  que  le  point  qui  a  pour 
croordonnées  Xy  j'y  z,  doit  rester  le  même,  lorsqu'on  fait 
f>rendre  aux  forces  d'autres  directions  parallèles,  pourvu 
C[u'on  ne  change  pas  leurs  points  d'application.  Il  s'ensuit 
<^ue  dans  tout  système  de  forces  parallèles,  il  existe  un 
point ,  indépendant  ,de  leurs  directions  communes ,  par 
lequeljpasse  toujours  la  résultante  y  lorsqu'on  fait  tourner 
les  forces  sur  leur  point  d'application  sans  cesser  d'être 
parallèles  entre  elles  j  ce  point ,  dont  les  valeurs  (P)  don- 
nent les'  coordonnées,  a  été   nonmié  Centre  des  forces 
parallèles.  On  observe  en  outre  que  ce  centre  est  unique 
d^ns  le   système,  et  qu'il    ne    varie  pas  lorsqu'on  fait 


44  Statique. 

varier  proportionnellement  les  forces  ^  et  qu^on  substitue 
nP'y  nP"...  à  P'y  P"...,  puisque  cela  revient  à  multiplier 
les  deux  termes   de   chaque  fraction  par  n. 

Lorsque  les  forces  sont  disposées  dans  un  même  plan  ^ 
le  centre  des  forces  est  dans  ce  plan,  et  ses  coordonnées 
sont  les  valeurs  {Ry  II  seroit  également  facile  de  voir 
,  que  lorsque  les  points  d'application  des  forces  sont  sur  une 
même  droite,  le  centre  dès  forces  est  sur  cette  droite. 
•  58.  Soit  un  système  de  forces  parallèles  en  équilibre  \ 
cherchons  les  équations  qui  expriment  cet  état.  Compo- 
sons en  une  seule  puissance  R  toutes  les  forces  du  système 
excepté  une  P ,  ce  qui  est  toujours  possible ,  puisque 
cette  puissance  P  est  quelconque.  On  aura  la  grandeur 
et  les  coordonnées  aj  b  et  c  du  point  d'application  de 
Ry  en.  mettant  a  y  b ,  c  y  pour  Xf  y  y  Zj  dans  les  équa- 
tions (O):  et  en  désignant  par  «  et  /3  les  angles  que 
forment  avec  l'axe  des  a  les  projections  de  R  sur  les 
plans  des  xz  et  xjr  y  on  aura  pour  leurs  équations 

X — a=tangie(z — c)y    y — 6  n:  tang  ^  (  z  — c). 

Maintenant ,  pour  avoir  la  résultante  totale ,  il  ne  s'agi- 
roit  plus  que  de  composer  en  une  seule  les  deux  forces 
P  et  R.  Mais  puisqu'il  y  a  t^quilibre  ,  il  faut  qu'elles  soient 
égales  et  dirigées  en  sens  opposés  dans  la  même  droite  j 
ainsi  d'une  part  on  a  /î  =  —  P  ,  et  de  l'autre  y  les  coor- 
données Xy  jr  eX  z  àvL  point  d'application  de  la  force  P 
doivent  être  situées  sur  la  direction  àe  P  y  et  satisfaire 
aux  équations  précédentes.  Si  donc  on  y  substitue  pour 
Ry  a  yb   c  y  leurs  valeurs  y  on  obtient, 

P'     J^pn      +etc.=:o J 

P'x'+Pffx'f-\-eXc.z=zi3ingu(P'  z'+Pffz''  +  etc.)y{Sy 
P'y  +  Pffj»  ^ttc.=iangii{P'  z'  +  Pff  z'f  •+-etc.)) 


Equilibre  des  corps  solides.  .    4^ 

l^elles  sont  les  équations  d'équilibre  des  forces  parallèles^ 
On  a  oniis  ici  les  termes  Py  Px  y  etc.^  comme  étant 
Suffisamnient  indiqués  par  la  forme  même  de  chaque 
expression. 

^V»     Des  forces  de  directions  quelconques  agissant  sur 

un  corps  solide. 

59*  Considérons  d'abord  le  cas  où  les  forces  sont  dans 

txn  m-éme  plan  y  que  nous  prendrons  pofir  celui  des  xj"» 

Soit  donc  une  figure  plane  solide  y  sur  les  divers  points  de 

laquelle  agissent  des  forces  P'y  P^,....   situées  dans  le 

plan  de  cette  figure 3  désignons  par  x'yjf''y  x'^y  j'"^  ••• 

les    coordonnées   de    ces    points ,    et  par  a' y  «''....  les 

aingles  que   ces  puissances  forment  avec  l'axe  des  x*  Si 

on  décompose  P'  en  deux  forces  parallèles  aux  axes^  on 

siura  X'  et  Y'  pour  les  composantes  j  de  même  X''  et  F" 

■feeront   celles   de  P",  et  ainsi   de  suite  :  de  sorte  qu'on 

trouvera  ^25) 

P'cosm'7=^X'y       P'fcosa'f=zXffy  tic. 

P'sin  *'=  r%       Pff  sin  u^  =  YV^  etc. 

NoÀs  aurons  awrsi  deux  grouppes  de  forces  paralltlés  ani 
KTts)  fl  ïera  aisé  de  composer  chacun  d'eux  cn.une  seule ^ 
d'après  t:e  qu'on  a  vu  dans  le  paragraphe  précédent.  En 
(désignant  par  X  la  résultante  des  forces  parallèles  aux  Xy 
él  pzt  b  sa  distance  à  ciet  axe  j  par  Y  et  par  a  la  même 
chose  relativement  à  l'axe  des  j/^Êff^  obtient 

X  t£X^     J^-Xff     -t-ctc     r  t=zY'    -+r^     4.  etc. 
Xb  =  Xy+  XHji  +  etc.-  '  Ya  =  Y'x'  +  Yffx^  +  etc. 

H  •eMiaadkiletaantaiîsé  de  conïposer  les  deux  forces  X  et  V 

■   «a  Wie  seule^  -qui  sera  d'ailleurs  appliquée  en  leur  point 

de  'coQcoars  ;  ^nt  les  -coordonnées  s<m%'  à  et  b.  Pour 


46  Statique.  ^ 

faire  cette  composition ,  il  suffit  de  remonter-^ux  ëqaations' 
B'f  C*  et  Z>  du  n°.  25 ,  en  y  regardant  -X"  et  F  comme 
connus. 

Comme  le  point  d'application  de  la  résultante  cherchée  R 
peut  être  indifféremment  l'uu  quelconque  de  ceux  du 
corps  isolidè  pris  sur  la  directioh  de  cette  force ,  nous 
allons  chercher  l'équation  de  la  droite  suivant  laquelle  elle 
est  dirigée.  Cette  droite  passe  par  le  point  dont  a  et  b  S(>nt 
les  coordonnées^  ainsi  l'équation  est  j*— ^  =  tang«  (a:—- a); 

(k  cause  de  tang«=:  — — -  j  , 


-ou 


Xjr—  VxzzzXb'-^ray 
et  mettant  pour  le  second  membre  sa  valeur, 

Xr^rx  =  xy  —  y'x'  -+.  xfj'f  —  y^x»  +  etc. 

Ici  X  tlj"  représentent  les  coordonnées  du  point  d'ap- 
plication de  la  résultante.  Observons  que  K'j^' —  Y'x' 
est  la  différence  des  momens  Aes  forces  A'  et  Y'  par 
rapport  à  l'origine ,  et  on  sait  (27)  qu'elle  est  égale  au 
moment  de  leur  résultante  P'  (  parce  que  les  forces  X' 
et  Y'  tendent  à  faire  tourner  en  sens  contraires )j  il.ea 
est  de  même  des  autres  termes  de  l'équation.  Soient  donc 
p* y  /?"..•  r,  les  longueurs  des  perpendiculaires  abaissées 
de  l'origine  sur  les  directions  des  forces  P'y  P",.../î, 
l'équation  précédente  équivaut  à  /lr=P'/?'-j-P"y9'''-j-etc. 
Ainsi  on  a  les  troit.J||uations 

X=z\X'     '+-X'f      +etc.y  Y=r+  Yff-^  etc., 
Rr  =  Py  +  P'fp'f  +  etc. 

On  observe  que  ce  résultat  n'est  autre  chose  que  la  réunion 
des  équations  (B)  et  {K)  ^  n°".  25  et  27  ,  et  que  le 
théorème   des  momens ,  qui  ctoit  une   conséquence  des 


lËQtTILIBRB   DBS   COR^^   SOLIOBS.  'fyf 

premières  lorsque  les  forces  concouroient  en  an  point 
unique  ^  entre  ici  comme  une  des  conditions  nëcessaires» 
Les  signes  de  ce  théorème  doivent  d'ailleurs  être  déter- 
minés de  la  même  manière  que  lorsque  les  forces  con- 
couroient ,  puisque  les  produits  P'p' ,  P^'p^j  sont  ici 
introduits  comme  provenant  des  forces  X'y  Y'j  etc.  qui 
concourent  deux  à  deux. 

Représentons  la  somme  des  momens  des  forces  par  n  ^ 
et  nous  aurons 

IjCS  deux  premières ,  traitées  conmie  dans  le  n®.  aS  ^ 
<lc  terminent  la  candeur  et  la  direction  delà  résultante  5 
et  la  troisième  étant  l'équation  de  cette  direction  ^  en  dé-* 

termine  la  position.  D'ailleurs  elle  fait  col!inoîlrer=:  -«"■> 

oe    c{ui   fournit  y   si  on  veut  j  la    construction  suivante» 
Soient  Ax  et  Ay  les  axes  des  x  ^t  jr  i  on  mènera  par  '*£•  *'< 
l'origine  la  droite  Ap  égale  à  r^  et  faisant  ,avec  Ajr  un 
single  «y   puis  on  tirera  sur  Ap  la   perpendiculaire   Rp 
^%.\L  point  p  y  et  sera  la  direction   de    la   résultante.    On 
Jremarque  il  est  vrai  qu'il  y  a  quatre  droites  R,  R' y  /î",  R" 
cjui  satisfont  à  la  condition  ci'-dessus  indiquée  ;  mais  les 
signes  de  sin«,  cos«  et  tang«  lèveront  toute  incertitude* 
40.  Examinons  les  conditions  d'équilibre    du  système 
^ui  vient  de  nous  occuper.  Pour  cela  y  si  on  en  ^te  Tune 
des  forces ,  telle   que  P  y  l'équilibre  ne  subsistera  plus , 
et  il  sera  toujours  possible  de  composer  les  autres  puis- 
sances en  une  seule  R,  puisque, P  est  quelconque  j  /{sera 
déterminée  de  grandeur  et  de  position  par  les  équations 
{T)  i  et  pour  que  la  force  P  produise  l'équilibre,  il  faut 
qu'elle  soit  égale  et  directement  opposée  à  la  force  R>  Ainsi 
B= — Py  etTéquation  Xy — Fx=:n,doit  être  aussi  celle 
de  la  force  P*  En  passant: tout  daps.un    seul   membre  ^ 


ifi  Stati^ui. 

et  observant  que  Xj  —  Yx  est  =  Br  =  — •  Ppy  on  en  con- 
clut que  les  équations  d'équilibre  sont  au  nombre  de  trois  ; 
Mvoir  : 

/  A*'    4-  A"    ■+-  etc.  =  o 

'  Y'    +  Y»     +  etc.  z=  o 

} (l/> 

Py+pifpft+  etc.  =  o 

ou  Xy-^rx'+Xfjrff-^  Y''xf+  etc.  =  o 

Nous  avons  omis  ici  les  termes  en  P  ^  parce  que  comme 
ils  sont  dé  même  forme  que  les  autres  ;  ils  sont  suffi- 
samment indiqués. 

4i*  L'équilibre  pourroit  aussi  avoir  lieu  en  supposant 
que  le  sjstême  est  fixé  en  l'un  de  ses  points ,  A%:  sorte 
qu'il  ne  puisse  prendre  qu'un  mouvement  de  rotation 
autour  de  ce  point  :  or  pour  que  l'équilibre  ait  lieu ,  il 
n'est  plus  nécessaire  que  les  forces  s'entredétraisent  ^  il 
suffît  que  leur  résultante  soit  dirigée  vers  ce  point  ^  car 
alors  elle  sera  détruite  par  la  résistance  qu'il  oppose  (i5). 
Pour  que  la  droite  suivant  laquelle  la  résultante  agit  soit 
dirigée  à  ce  point ,  il  faut  que  son  équation  soit  satisfaite 
Iorsqu''on  mettra  pour  x  et  j"  ses  coordonnées.  Prenons , 
si  on  veut^  1^  point  fixe  pour  ongine  des  coordonnées  ^ 
alors  jr  :=  o  et  j^  ==  o  ,  donnant  n  =  o  ^  il  est  clair  que 
pour  VéquUibTe  il  suffit  c/ue  la  somme  des  mamens  soit 
nulle  par  rapport  au  pomtjpxe^  ou 

py^pffpfi  4-  etc.  =  o (T) , 

ainsi  on  retrouve  le  théorème  du  »•.  .29. 

42.  Si  rëquilifare  n'a  point  beu  dans  le  sj'stéme  libre, 
on  l'établit  aisément  en  introduisant  une  force  dont  la 
grandeur  et  la  position  soient  déterminées  par  les  con* 
ditioDS  que  nous  avons  examinées^  mais  si  le  système  a 
mi  4e  ses  points  fixe  t  ooBane  on  peut  le  prendre  pour 


h^  E^CILIULE  DKS  CORPS   SOLIDES.  49 

piipiir  y  il  snfiîn  d'introduire  une  force  P  qui  Satisfasse 
^  %   fèquatâon  { F)  ^    en   désignant  par  p    sa  distance  «u 
Ipoint  fixe  y  oa  devra  donc  prendre  P  et  p  telles  qu*oa 
«ûl  Pp  -h  P'p'-r  P'p"  +  elc.  =  o.    Or    cette   équation 
me  £ût  connoitre  que  i*uae  des  deux  quantités  P  et  p  ^ 
l'antre  est  entièrement  arbitraire  ,   ainsi  que  la  direction 
^e  la  force  P  :  donc  le  problême  est  indéterminé.  Dans 
''ce  cas  on  peut  exiger  que  les  quantités  inconnues  satis- 
fassent à  certaines  conditions  ^  telles  que  de  donner  à  la 
pression  sur  le  point  fixe  une  grandeur  et  une  direction 
déterminées. ...  etc. 

43.  Concevons  dans  l'espace  un  corps  solide  dont  les 
divers  points  sont  sollicités  par  un  sj^stémc  de  forces 
quelconques  y  et  assignons  à  leurs  grandeurs  et  à  leurs 
directions  les  màoies  dénominations  qu'au  n®.  :i4;  c'est- 
à-dire   désignons  les  forces  par  P',  P^ nommons 

a'f  Cy  y' y  les  angles  formés  par  la  direction  de  la  force  P' 
i  avec  les  axes  des  x ,  des  jr  et  des  z  j  de  même  «^,  ff^,  y*^, 
X  pour  la  force  P^y  et  ainsi  des  autres  puissances.  Mais  ici 
1  les  forces  n'étant  pas  supposées  concourir  en  un  même 
point,  la  position  de  chacune  doit  être  en  omtre  déter^ 
ininée  par  celle  d'un  des  points  de  sa  direction ,  tel  que 
son  point  d'application  au  syslênie.  Soient  donc  x'^j^'j  z'\ 
x'f y  j'^,  -s* .  • . . .  les  coordonnées  des  points  d'application 
des  forces  P',  P^ .... 

[Décomposons  chaque  force  y  au  point  même  oii  elle  ett 
appliquée ,  en  tnois  autres  respectivement  parallèles  aux  x , 
aux  j"  et  aux  z'y  soient  X\  F'  et  Z'  les  trois  composantes 
de  P'*y  de  même  soient  X^y  F'^,  2^"  les  composantes  de 
P'iy  etc. ....  c'est-à-dire  faisons 

P'  cos  «'  =  X'*y  P'f  ces  u'f  =  Xff-y  etc. 
P'  cos  C  =  F'j  P"  cos  Q'f  =  r»i  etc. 
P*  çoSy'=  JZ'j  JP"  cos  y"  =  Z^'y  etc. 

4 


Se  Srjmcnri,. 

Ceis  iKie». .  txnce^'un:-  uu  ou  i-  TsnsmÊmB  se  mléi 

■iiffi  ifOlir  cfTiLi.  iÈf:-  rr-^  :  rroionseon .^  cmfBK  Torce  ^ 
sa  fviictfiHi''  av«'.  Lt  r«ai..  .Lc:  erniannm  lit  m  i 
«àifViio:  iciqiiekt:  s$s.i  ic:  Aurc.  3-'    Sun: 

G^  >  «fTc:    connue  an  n' .  sl^  ■  eonaïKH.  3     OB'.  ^'= 


iCî  /•  =:  — ^ —    •'  w  pon-    uiHcirr  jf   poiii:    cl  i£  x 


jr-»  .  1.  laH:  imr^  x=:  'D .  ce 


ir 


4uiâÎu!«::uc  |M3Si:  *«:  zsi\v^\   far:*-    LGiii-Tiia>  iiam  a 
>t  |>2it!.  jr-  ■  -e*.  Urt-Lijzrirofciiii— i.    în    "-"•  .  '  :r^  stores 


ni> ..  ««i 


"""    J-*    -rfi-r-  /*:.   r  -n    -*?-  rat  ou  .   i.  »r  ■••fii-   rr-nT^ 
«eu«t  l.'T'*     .* -r^»i:..*'T»    II*    ■•'ru*  avor  jku. 


*^ji<:rf  ^-  «:  — '  ^  .   ' -'j      -r.  ^t«t  iauis  ^mntf  ai:  lo 


EquILIBKE  DK8  CORPS  SOLIDBS.  5t' 

!l*.  Les  forces  parallèles  aux  z  doivent  satisfaire  aux  trois 
équations  {S)  ;  et  comme  la  force  Z'  est  appliquée  au 
point  dont  4'  et  b*  sont  les  coordonnées  ,  on  a  pour  les 
moniens  de  Z',  Z'a'  et  Z'b'y  ou  Z'x'-'XW  et  Z'r'  -  Y'^'. 
H  ea  seroitde  même  des  autres  forces  Z^,  etc.^  ainsi  on  a 

Z'  -f-  Z^  +  *'c,  =  o , 
Z'x'  —  X'z'  4-  Z^x'f  —  XH"  -H  etc.  =  o , 
Zy  r-  Y'z'  H-  Z^x^  —  y^^'*  +  etc.  =  o. 

a**.  Les  forces  situées  dans  le  plan  xjr  j  doivent  satis- 
faire aux  trois  équations  (  IJ) ,  n<*.  40»  Pour  les  appliquer 
ici  y  il  faut  décomposer  chaque  force  en  deux  autres  paral- 
lèles aux  X  «t  aux  y  )  celles  provenues  de  P'  seront  visible- 
ment égales  à  X'  et  Y*  ;  X^  et  P'^eront  de  même  cellet 
provenues  de  P^  y  etc.  Ainsi  il  ne  faudra  rien  changer  aux 
forces  qui  entrent  dans  les  trois  équations  (  V)»  On  devra 
ensuite  y  mettre  a'  et  b'  pour  x'  eijr'y  «*  et  b^  pour  x^  ^ 
t\.jr^  y  etc.  )  par  là  on  trouvé  que  la  quantité  X'jr'  ^^  Y'x^ 
reste  telle  qu'elle  est  :  ainsi  les  trois  équations  ((/)  sont 
encore  vraies  ici  sons  les  mêmes  formes.  } 

On  a  donc  ;  pour  exprimer  l'état  d'équilibre  d'un  corps 


sultaDCeofNque  Z  ;  MÎeni  P  il  R  les  forces  Q  (t  — Q,  et  />  le  Vif.  rt. 
point  où  Z  rencontre  le  plan  xy.  Menons  une  droite  quel- 
conque i?Z>^  et  décomposons  la  force  Z  en  dinx  autres  4$*  et 
T  parallèles  et  appliquées  aux  points  B  rt  C  où  cette  droite 
i?C rencontre  Pet  Ri  composons  S  et  Pj  puis  T  et  R',  il  n'y 
aura  pas  équilibre  entre  les  deux  résultantes ,  puisqu'elles  seront 
situées  dans  des  plans  parallèles. 

S*.  Enfin  si  ^haqne  groupe  n*est  réductible  qu'ft  deux  forces^ 
Q  et  -  Q ,  Z  et  Z\  après  avoir  décomposé  comme  ci" 
dessus  Z  en  S  et  T^  on  en  fera  autant  pour  —  Z  :  on  aura 
six  forces  situées  dans  deux  plans  parallèles;  or  on  pourra 
toujours  composer  chacun  de  ces  groupes  de  trois  forces  en 
une  seule .  ainsi  on  retombera  dans  le  même  cas. 


5a  Statique^ 

solide  libre  y  les  six  équations 

A'  +  A»  +  Jï»  +  etc.  =0. 

p  +  r «  +  F"  +  etc.  =  ol, . .  •(JO* 
Z'  +  Z^  +  Z'"  +  etc.  =  o) 

A''^-'  —  Y'x*  4-  X^jf.^  Yfx"  4-  etc.  =  ox 

A'5'  —  Z'x'  +  X^z"  —  Z^x"  4-  etc.  =  o\ . . .  .(F). 

Zy  —  V'z'  +  Z»jf  —  I'»z»  4-  etc.  =  oj 

Les  trois  équations  ^X)  sont  celles  (J)  n*.  25 ,  qa'on  a 
obtenues  lorsque  les  forces  concouroient  ^  ainsi  il  faut 
éfu^n  supposant  hs  forces  transportées  paraUèUmenl 
pour  hs  appliqutr  en  un  même  point  y  eUcs  soient  oicore 
en  éifuilibre*  Mais  ces  équations  qui  soffisoient  pour  ez- 
primer  Tcquilibre  ne  sut^sent  plus  ici ,  et  il  faut  en  outre 
trois  autres  équations.  A'  et  1*^  sont  les  composantes  de  P' 
parallèles  au  plan  jet*  ,  et  A^  —  F'x'  est  la  diffémice 
des  momens  de  ces  forces  par  rapport  aux  deux  antres 
plans  coordonnés.  ^Vinsi  la  première  des  équations  (Y) 
iniique  que  la  somnte  des  momens  des  composantes  pa- 
rallèles aux  X  «  est  é^ale  à  la  somme  des  momens  de  cdles 
parallèles  aux  ^r.  Les  deux  autres  équations  sont  des 
txpressions  analoâ:ues  par  rapport  aux  antres  axes.  On 
voit  donc  que  les  trois  équations  .  F  indiquent  qœ , 
lorstfu^on  a  décomposé  chaque  Jbrce  en  troif^  autres  pa» 
ralièies  aux  axes  y  il  faut  tfue  les  sontmes  respeclitfes  des 
Foomens  des  jorces  tfui  composent  deux  de  ces  groupes 
soient  égales  entre  elles  c  les  momens  étant  d'aiUears  pris 
par  rapport  aux  deux  pians  coordonnés  para^èLes  aux  com- 
posantes [  Vcrr^  n**.  56  qui  passent  par  Taxe  perpendiculaire 
aux  torces  qu'on  considère,  .\insi  si  on  prend  les  forces  pa- 
rallèles aux  z  et  aux  x .  les  oiomeas  devront  être  pris  par 
rapport  aux  plans  des^s  et  xt*  ,  qui  passent  par  lue  des  /-. 


5> 

14-  La  îiiBMiirtiiTiM  ^ae  bobs  vcbobs  <âe  Awifr  sep- 
Bc  y'juiL— e  ^  £[sces  ■  est  paf^iK^  «a  pUa  jt*-;  ibù« 
cA  mt  de  r^pfsSiqvfr  à  cf  as  mÔBe  :  car  si  P  a  ccfl^ 
Rcaîoa^  «■  p0Bl  ■wner,  par  le  point  dappficaiÎQa  dt 
eue  force,  «ae  droite  <pekoB<]oe;  par  excBpSe,'  «ne 
«iL&  aax  X  ,  et  ajoalA-  an  srsfg'aii  dass  cette  dînectâoK 
Ion  Carres  P  et  Q  cg:^es  et  opposées  ,  ce  <|n  n V  cbm^ie 
iea.  Ek  ccmposBat  Fine  d'elles,  telle  qœ  Q,  avec  P' 
la  obbeat  xoae  £Drce  naiqse  ^  ;  de  mie  que  la  force  F' 
staÎKÎ  iiM|din(\  par  deox  pnwaiices  P  eC  ^  ^^ 
lOBiRBi  le  plaa  jrr.  Ainsi  nos  six  ôpatioBS  derant 
iea,  i  ne  s'apt  qœ  d y  oKttre  ponr  chaque  tcnne  pr»- 
tnat  de  P*,  deux  tenacs  analogncs  en  P  et  5.  \t&5s  il 
st  cfaîr  c|ne  cela  ne  Ghan|:era  rien  â  ces  êqBatioBS , 
■iiqae  la  dêoompositîon  de  P  et  ^  rcprodaîra  !es  m^isca 
imposantes  ^ae  P,  Ç  et  P*;  ainsi  les  dcBx  pm&icr» 
nui^pint  des  ttiin  «pd  s^cntre-détniifwkt ,  et  il  ce 
stcra  qne  cens  qui  Tiennent  de  P*. 

4S.  L'cqailibre  pent  exister  sans  qœ  cependant  !:s 
nccs  s'entre-dêtnusent  y  car  si  le  STStème  contient  ua 
e  fixe  on  on  point  taxe  ,  il  sn&t  risKÎ^^dinect  t^* 
nies  les  Ibrces  qui  ne  se  détraisent  pas  scient  dir^e^.^ 
cet  axe  on  à  ce  point,  cVsl-^k-dire  qa'd  suffit  qaaîcrs 
i  puissances  équiralcnt  â  d  autres  qni  Ttnip!Î5sent  citi^ 
Eidition. 

^  le  système  est  retena  par  an  axe  fixe,  que  aoni 
endrons  poor  celui  des  z ,  en  proSoi^cant  cfaaqoe  iorcz 
décomposant  comme  dans  le  n*.  -|5,  on  roît  que  î-ts 
issanccs  parallèles  â  Taxe  fixe  sont  indifiereates  aa  %^^l 
cmyement  que  le  ccvps  poiise  prendre ,  et  cp'il  est  inn* 
e  de  les  considérer.  Aicii  il  sofât  que  Its  paissance» 
û  agissent  dans  le  pLin  xr-  soient  en  éqai!ibre  aatoor 
-  Tongioe  fixe.  ?^oiis  &Toas  ru  ^i)  cpie  cette  conditicra 


.y 


54  Statiqtte. 

entraînoit  pour  conséquence  Téquation  (  f^)  ou 

X'j^  —  Y'x'  +  X^fi  —  r"xff  +  etc.'  =  o (Z)  , 

laquelle  n'exige  d'ailleurs  aucun  changement  pour  étrm 
appliquée  au  cas  présent.  On  en  conclut  qu'un  corps  solide 
est  en  équilibre  autour  d'un  axe  fixe  toutes  les  fois  que 
les  deux  groupes  de  composantes  qui  sont  dans  des  plans 
perpendiculaires  à  cet  axe  ont  les  sommi^s  de  leurs  mo-» 
mens  égales  par  rapport  à  deux  plans  rectangulaires  passant 
par  Taxe. 

Si  on  cnnsidère  que  X'  et  Y'  sont  des  composantes  de- 
jP'  paVallèlcs  aux  x  et  aux  j-  ;  que  d'ailleurs  dans  le  plan 
qui  contient  ces   composantes  (  qui  est  perpendiculaire  k 
l'axe  fixe  et  passe  par  le  poipt  d'application  de  P')^  X'jr* 
et    Y'x'  sont  leurs  momens  par  rapport  au  point  où  cq 
plan  coupe  l'axe ,  on  voit  que  Xfi  — ^  V^x^  est  le  produit 
de  la  composante  de  P'  dans  ce  plan  par  sa  dist§nce  k 
l'axe.    Bien    entendu    que   ce    produit  aura  le  signe    de 
X'j''  —  Vx'.    Ainsi   il  sera  positif  pour   les   forces  qui, 
tendent  à  faire  tourner  dans  un  sens ,  et  négatif  pour  les 
autres.  Le  système  d'un  corps  solide  retenu  par  un  ajc, 
est  ce  qu'on  nomme  en  général  un  Leyier,  et 'la  distance 
d'une  force  à  l'axe  est  son  bras  de  levier.  On  peut  donc 
dire   que  pour  qu'un   levier  soit  en  équilibre^   il  faut' 
qu'après  avoir  décomposé   chaque  puissance  en   deux  y, 
l'une  parallèle ,  Vautre  dans  un  plan  perpendiculaire  à 
l'axe  fixe,  la  somme  des  produits  de  ces  dernières  cotn^. 
posantes  par  leurs  bras  de  levier  soit  nulle* 

46.  Si  le   système  est  retenu  par    un  point  fixe,  que 
nous  supposerons  à  l'origine  des  coordonnées,  la  condi- 
tion précédente  a   encore  visiblement  lieu  ;  mais  elle  ne 
suffit  plus,  car  les  forces   parallèles  aux  z  ne  sont  plus  > 
inutiles  à  considérer  :  il  €aut  que  leur  résultante  passe  aussi 


/ 


Equilibre  des  corps  solides.  55 

|iar  Porigine.  Or  on  a  vu ,  n<».  45  y  que-  a' ,  6'  5  a" ,  i»'^ . . . . 
désignent  les  distances  de  ces  forces  Z*y  Z^  •  • .  •  aux  plaps 
des  j^z  et. des  xz  :  donc  Jes  momens  d«  leur  résultante  (56) 
$OBt  Z'a' 4- Z^'a^' +  etc.  et  Z'6' -f- Z^Zr^^  4- etc.  Ces 
sbnuaies  devront  donc  être  nulles  pour  que  la  résultante 
soit  dans  ces  deux  plana.  Ainsi  j  outre  la  condition  dD^ 
n^.  précédent ,  on  a  encore  deux  autres  équations.  En 
les  mettant  sous  la  forme  convenable  j  on  voit  que  pour 
qu'un  corps  solide  soit  en  équilibre  autour  de  l'origine 
^/Sre^  il  fout  que  les  trois  équations  (V)  aient  lieu.  On 
voit  aussi  par  là  que  lorsque  l'équilibre  a  lieu  autour  de 
trois  axes  fixes  rectangulaires ^  il.  auroit  lieu  aussi  par 
rapport  à  un  autre  ax^  quelconque  passant  par  le  même  point. 
On  désigne  les  équations  {X)  y  (  V)  par  des  dénomina- 
tions tirées  de  leur  nature  ^  ainsi  les  premières  sont  nommées 
équations  de  translation  y  comme  ai  '  elles  étoient  destinées 
à  indiquer  que  le  corps  n'est  point  animé  d'uu  mouye- 
ment  de  translation  :  on  appelle  les  autres  équations  de 
TOiaùon  y  parce  .qu'elles  semblent  employées  à  exprimer 
que- le  cqrps  n'éprouve  point  de  rotation. 

E11.  rapprochait   ce   théorème  de  ce  qu'on  a  vu  ei« 

dessus  y  on    remarque  que   pour   qu'un  systésie    soit  en   - 

équiUbre  autour  d'un  point  fixe  y  il  doit  remplir  les  trois 

conditions  auxquelles  il  seroit  assujetti  y  s'il  y  avoit  trois 

^\t%  fixes  rectangulaires  passant  par  ce  pomt.  Si  le  sys* 

témé  est  libre  y  il  faut  en  outre  que  si  on  transporte  le$ 

forces  parallèlement  à   elles  -  mêmes  pour  ies  appliquer 

toutes  trt  un  même  point ,  l'équilibre  ait  encore  lieu  dans 

cet  état. 

47*  Supposons  qu'il  n*j  ait  pas  équilibre  dans  le  sjs« 
t^ie,  et  que  cependant  il  n'y  ait  qu'une  seule  résul- 
tante R  5  c'esl-à-dire  qu'en  y  introduisant  une  force^égale 
^1  directement  0{^osée  à  cette  résultante  y  Téif^uilibre  ait 


N 


56  Statique. 

lieu.  Soient  X  y  F  et  2r  les  composantes  de  21  ^  les 
équations  {X)  et  (K)  devront  donc  être  satisfaites  loi 
qu''on  y  comprendra  les  trois  forces  -— X,  —  F  et  T\% 

Les  trois  premières  équations,  traitées  comme  à  la  page  2^  .^^ 
conduisent  aux  valeurs  {H)  qui  déterminent  encore  ici  ^Ji  \a 
grandeur  et  la  direction  de  la  résultante  :  ainsi  il  ne  s'a^^^  git 
plus  que  d'employer  ébs  trois  équations  {Y)  à  la  recherc  ^^^he 
des  coordonnées  Xj  jr  et  z  de  son  point  d'application. 

Pour  abréger,  faisons 

9 

L  ==;  (  X'y'  —  Y'x/  )  +  etc. 
M=  (  Z'x'  —  X*z'  )  +  etc. 
iV=  (  F' 45' —  Z'jr' )  + etc. 

X,    Yy  Zy  Ly  M  et   N  représenteront  des  grandeurs 

0 

connues  y  et  les  équations  (F)  donneront 

Xj'^Yxz=zLy    Zx--'Xz=:My     Yz-^ZyznNy 

ce  qui  détermine  x  y  j  e\  z.  ^\  on  élimine  deux  de  ces 
quantités  y  la  troisième  disparoît  d'elle-même  :  ainsi  en 
multipliant  ces  équations  respectives  par  Z  y  Y  tX  Xj  et 
ajoutant  ^  mi  a 

LZ  +  MY+NXz=:zç> 

équation  sans  laquelle  les  trois  équations  précédentes  ne 
peuvent  avoir  lieu  à-la-fois  ;  et  qui  exprime  une  condition 
entre  les  données  du  problème  pour  que  les  forces  soient 
réductibles  à  une  seule. 

Il  suit  de  là  qu'wn  sj^stéme  de  forces  dans  l'espace  ne 
peut  en  général  être  mis  en  équilibre  avec  une  seule 
force  ;  mais  que  lorsque  Véquation  de  condition 
LZ  +  MY 4-  NX  =  o  est  satisfaite,  il  y  a  en  effet  une 
résultante  unique  qui  est  connue,  car  les  équations  (i/), 


EqihLIBRE   DES   CORPS    SOLIDES.  Sy' 

pag.  19;  en  donnent  la  grandeur  et  la  direction ^  et  on 
"peut  prendre  pour  son  point  d'applicatioji  l'un  quel- 
conque de  ceux  de  la  droite  qui  a  pour  équations 
JT^  —  Yx  zzi  L  y  etc. 

Par  exemple  ;  lorsqu'on  a  un  système  de  forces  parallèJes, 
elles  font  ^vec  les  axes  les  mêmes  angles  ^  et  «  =  «'=«''= etc. 
On  obtient  donc 

X=:(P'7-'4-P'(;-"+etc.)cos«— (P'a:'4-P"j:^+ctcOcosff 

On  auroit  de  même  M  et  N)  ma^s  comme  d'ailleurs 
X^=^  R  cos  et  y  Y  :^  R  cos  G  ^  Z-=R  cos  y ,  Téquation 
de  concfition  est  satisfaite.  Ainsi  un  système  de  forces 
parallèles  a  toujours  une  résultante  unique  ^  excepté  lorsque 
JlCszO;  F=o,  Z  =  o  (  Voy.  n°.  52). 

Mais  si  l'équation    de  condition    n'est  pas  satisfaite , 
alors  il  faudra  introduire  deuk  forces  pour  établir  l'équi- 
libre :  en  effet  ^  concevons  en  un  point  quelconque  du 
système  une  force  dont  les  composantes  Xy  YeX  Z  soient 
prises  telles  que  l'équation  de  condition  ait  lieu ,  ce  qui 
peut  se  faire  d'une»  infinité  de  manières^  alors  il  n'y  aura 
qu'une  résultante  qu'on  déterminera  aisément  d'aprèfi  ce 
qui  vient  d'être  dit.  On  connoitra  donc  par  là  les  deux 
forces  q&i  seroiçnt  propres  à  produire  l'équilibre.  Ainsi- 
dahs  un  système  de  forces  agissanl  sur  un  corps  solide  y 
Hf'a  deux  résiliantes  qui  ne  peuvent  en  général  ^S0 
composer  en  une  seule.  On  vient  d'ailleurs  de  .voir  qu'il 
€St  &cile  d'assigner  ces  résujtantejs  ^  et  que  le^  problème    > 
^     est  indéterminé. 

Si  le  corps  étoit  fixé  à  un  point  ou  à  un  axe  y  il  fau- 
droit  introduire  dans  le  système  une  force  qui  satis£i( 
aux  trois  équations  (Y)  dans  le  premier  cas^  et  àl'cqua- 
^n  (Z)  dans  le  second.  Il  est  évident  que  le  problème 
€*t  indéterminé  y  et  qu'on    peut    disposer  des    quantiléa^ 


58  ''  Statique. 

qui  servent  à  assigner  la  grandeur  ^  la  direction  et  la  po» 
sition  de  cette  force ,  excepi^  trois  d'entre  elles  s'il  s'agit 
d'nn  point  fixe^  et  excepté  une  s'il  s'agit  d'un  axe.  On 
peut  donc  exiger  de  nouvelles  relations  entre  ces  indéter-: 
xpinées  j  telles  que  de  produire  une  pression  qui  satisfasse 
à  certaines  conditions ,  etc....  Mais  nous  ne  nous  arréterona 
^  ,  point  ici  pour  lie  pas  nous  écarter  de  notre  objet,  d'autant 
que  la  solution  de  ces  problèmes  est  implicitement  ren- 
fermée dans  les  principes  généraux  de  ce  Traité. 

VI.     Des  pressions  sur  les  points  et  axes  fixes. 

-à  4^.  Pour  que  la  résultante  d'un  système  soit  détruile,  i( 
faut  qu'elle  passe  par  un  axe  ou  un  point  fixe  :  mais  il  est 
très-important  de  connoitre  quelle  pression  cet  axse  ou  ce 
point  ^prouve'3  car  s'il  n*est  pais  capable  d'une  résistance 
indéfinie  j  l'obstacle  n'est  pas  suffisant  pour  détruire  l'ac- 
tion des  forces.  Or  cette  pression  est  visiblement  égale 
et  opposée  à  la  force  qu(^  devroit  être  employée  pour 
produire  l'équilibre  dans  le  système  y  sans  le  secours  de 
l'axe  Qu  du  point  fixe  ^  puisque  la  réaction  est  toujours 
ëgale  à  l'action  ^  si  donc  on  cherche  la  résultante  du  sys- 
tème y  le  point  où  elle  est  appliquée  doit  éprouver  un  effort 
de  même  grandeur  et  de  même  direction  qu'elle.  Ainsi , 
d'après  ce  qui  a  été  dit  précédemment,  la  recherche  de 
la  pression  exercée  sur  un  point  fixe  n'a  aucune  difficutté  , 
puisqu'elle  est  réduite  à  celle  de  k  résultante. 

*  Quand  il  s'agit  d'un  axe  fixe,  il  arrive  souvent  qu'il  est 
retenu  en  deux  points,  qu'on  appelle  Tourillons j  dans 
des  colliers  ou  crapaudines  :  alors  il  est  beaucoup  moins 
intéressant  de  connoitre  la  pression  qu'éprouve  le  point 
où  la  résultante  rencontre  l'axe  ;i  que  l'efîort  qui  a  lieu 
rJÉ  ".  sur  les  points  d'appai.  Soient  donc  jEF  l'axe  (ixe-,  A^  B 
les   deuic   colliers}   /ÎAf  la  résultante.   Pour   trouva   la 


Des  fuissions.  89 

presskm  csercee  tmjitteAByûJït  s'^àgît  que  de  dé- 
cckiilposa-  la  force  R  en  deux  autres  appliquées  en  ces 
points.  Ce  problême  a  été  résolu  n'*.  5 1 ,  et  les  équations  (Af) 
en  donnent  la  solution. 

Oans  ce  que  nous  avons  dit  n**.  4^^  lorsqu'il  s^a^ssoît 
de  Téquilibre  autour  d'un  axe  fixe  y  nous  avons  omis  la 
force  qui  étoit  parallèle  à  cet  axe;  mais    lorsqu'on  veut 
déterminer  les  pressions    qu'il  éprouve ,   on   ne  peut  se 
dispenser  d'j  avoir  égrard  :  cherchons   donc   reflet  que  fî»  »s. 
produit  sur  un  axe  ^B  j  fixe  en  ^4  et  en  B  y  la  force  R  qui 
lui  est  parallèle,  et  qui  en  est  distante  de  ACz=:BD^n 
Soit  uéB  =  a ,  Cl  supposons   que  la  force  R  agît  de  C 
vers  Dm  Appliquons  en  ^4  deux  forces  Af  et  Q  dans  les 
directions  jiM  et  yiQ'y  et  au  point  B  y  la  force  «9,  di- 
rigée suivant  BS  :  déterminons  les  trois  forces  M  y  Q  et  S 
de  ntanière  à  produire  l'équilibre  dans  le  sjstême  CABD^ 
et  nous  connoîlrons  les  efforts  exercés  en  ^  et  en  Z?  {^). 
Or  si  on  prend  A  pour  origine  y  AB  pour  axe  des  x , 
AC  pour  axe  des  j^^  les  équations  d'équilibre  (  V)  de- 
viennent ici 

H— -Afziro,   S — Q  =  o,   Rr  — 5ûz=o. 

I^a   première  de  ces  valeurs    fait  voir    que  le    corps  est 
sollicité  dans  le  sens  de  AB  y  comme  si  la  puissance  R 

m 

agissoit   ^suivant    cette    droite    même  :   les    deux   autres 

Rr 
donnent   S  :=  Qzzz  ;  ainsi  la  force  R  tend  à  faire 


{*)  Les  forces  M ,  Q  et  S  sont  disposées  aux  points  fixes 
A  t\  B  de  la  manière  la  plus  générale  que  le  système  puisse 
comporter.  Quant  aux  sens  dans  lesquels  on  dirige  les  actions 
de  ces  forces ,  îR  sont ,  il  est  vrai ,  présupposés;  mais  si  on  leur 
eût  donné  tout  autre  direction,  le  calcnl  même  anroit  rectifia 
kl  «rrtivs. 


f 

0 


(^ 


60        '  Statique. 

tourner  Taxe  autour  des  points  A  et  B  y  en  sens  opposes^ 
et  avec  une  action  égale. 

VII.     De  la  décomposition  des  forces. 

-^  49*  D'après  ce  qui  a  •  été  exposé ,  on  voit  qu*il  sera 
toujours  possible  de  déterminer  la  grandeur,  la  direction 
et  la  position  de  la  résultante  d'un  système  donné  dé 
forces  :  et  on  peut  remarquer  que  nous  avons  fait  dépendre 
toute  notre  théorie  de  ce  principe  ,  deux  forces  égales 
et  directement  opposées  se  détruisent.  Le  problème  inverse 
est  ce  qui  doit  maintenant  nous  occuper.  Ce  problème 
consiste  à  décomposer  au  contraire  une  force  donnée  en 
plusieurs  autres.  Pour  le  résoudi*e,  il  faut  supposer  que 
la  résultante  R  est  donnée  ;  et  qu'il  s'agit  d'en  trouver 
les  comppsanles  :  c'est-à-dire  qu'il  faut  regarder  comme 
connu,  dans  les  équations  précédemment  obtenues,  tout 
ce  qui  est  propre  à  la  résultante ^  et  chercher  tout  ce 
qui  dépend  des  composantes  :  or  il  est  clair  que  ce  pro- 
blème renferme  plus  ou  moius  d'indétermination. 

^  Par  exemple  ,  si  on  veut  décomposer  une  force  R  en 
d'autres  forces  P*y  P"  «...  agissant  sur  le  même  point , 
et  disposées  dans  le  même  plan ,  il  faut  trouver  les  gran- 
deurs et  les  directions  de  ces  dernières  à  l'aide  des  équa- 
tions (/?,  25),  c'est-à-dire  déterminer  P'y  P".  •.«'*'', 
par  les  éi|uations 

P'  cos  «'-f-  P^  cos  <»"  +  etc.  =  R  cos  «. 
P'  sin  te'  +  P't  sin  »'^  +  etc.  lin:  R  sin  «. 

Or  comme  elles  ne  peuvent  faire  connoître  que  deux  d« 
ces  quantités ,  on  voit  qu'on  pourra  disposer  de  toutes  , 
excepté  de  deux  d'entre  elles. 

Pareillement  si  on  vouloit  que  les  composantes  fussent 


I 


CfiNflUtS  D£   GKAVITlS.  6l 

^ppUquëes  aa  même  point ,  mais  disposées  dans  Tespace  , 
^^  emploieroit  les  équations  (G)  qui  ne  déterminent  que 
*^  sommes  -X",  Y  et  Z  dés  composantes  dans  le  sens  de 
chaque  axe.  L'indétermination  est  ici  plus  grande  quoique 
le  nombre  des  équations  soit  plus  considérable ,  parce  qu« 
celui  des  inconnues  est  augmenté. 

En  général ,  pour  décomposer  une  force  donnée  R  eu 
d'autres,  il  faut  employer  les  équations  (D) ,  (G),  (O), 
(T)  ou  (-rY  et  V)y  suivant  les  diverses  circonstances, 
et  disposer  arbitrairement  de  plusieurs  des  inconnues ,  dft 
manière  qu'il  n'en«*este  qu'un  nombre  égal  à  celui  des 
équations. 


CHAPITRE  IL 

De  la  pesanteur  et  du  centre  de  gravxti^. 
I.     Propositions  générales, 

5o.  J^'expérie>ce  nous  apprend  qtie  les  corps  aban-  * 
donnés  à  eux-mêmes  éprouvent  des  efforts  dirigés  vers 
le  centre  de  la  terre  :  cette  direction  se  nomme  Verticah  j 
c'est  celle  que  prend  dans  1^  vide ,  un  corps  qui  n'est 
retenu  par  aucun  obstacle.  On  appelle  Plan  horisdntal 
celui  qui  est  perpendiculaire  à  la  verticale.  Non -seule- 
ment tous  les  corps  sont  souirâs  â  celte  action  j  mais  l«>Mf  s 
parties  les  plus  intimes  y  sont  séparément  huy\V:i  :  aiiui 
les  portions  quelconques  d'im  corps  divisé  tom!>#'nt  iso- 
lément, si  aucun  effort  ne  les  'jLrtt'M',  on  voit  luinif  que 
chacune  de  ces  parties  airive  à  la  surface  de  Ja  it-sve.  dans 
le  même  lems  qu*cmp!oi»rroil  le  corps  «entier.  Si  l'Ji  cho'iet 


tîi  Statiquk» 

nous  paroîssent  se  passer  différemment,  cela' tient  à  U 
résistance  de  l'air  :  sous  le  récipient  de  la  machine  po^Be^ 
matique  ,  l'or  et  la  plume  la  plus  légère  mettent  leméfoe 
tcms  a  descendre.  (Voj^cz  la  Physique  de  Hcatf  et  « 
Fischer.  ) 

Celte  tendance  univcrselîe  n'est  pas  essentielle  aux  corps} 
c'est  un  effort  réel  dont  la  matière^  par  elle-même,  est 
incapable^  uin^i  il  est  dû  à  une  puissance  extérieure  & 
laquelle  on  a  donné  le  nom  de  gravité  ou  pesanteUI'^» 
La  pesanteur  est  donc  une  force  dont  l'action  s*exerc« 
continuellement  et   séparément  sur  toutes  les  molécule* 
de  la  matière  :  cette  action  n'est  point  comme .  celle  dc^ 
attractions    chimiques  y    dont  Tintensité    varie    pour    \c^ 
diverses  substances  ^   celle  de  la  pesanteur  est  la  mém^ 
sur  toutes  les  molécules  ,  et  quelle  que  soit  la  nature  de^ 
corps  sur  lesquels  elle  agit  :  c'est  du  moins  ce  que  l'ex^^ 
périence  conGrme ,  ainsi  que  nous  aurons  occasion  d'en- 
parler  lorsqu*il  sera   question  du   pendule.  On  donne  le 
nor^  de  poids  à  la  résultante  de  toutos  les  actions  de  la 
gravité  sur  les  diverses  molécules  d'un  corps.  On  ne  doit 
donc  pas  confondre  la  pesanteur  avec  le  poids  3  puisque 
la  pesanteur  est  la  force  qui  impnme  des  impulsions  égales 
aux  diverses  particules  des  corps  \  tandis  que  le  poids  est 
la  résultante  de  toutes  ces  impulsions. 

On  appelle  masse  d'un  i;orps  la  quantité  absolue  de 
matière  dont  il  est  coir.po^é  :  et  il  faut  bien  distinjjuer  la 
masse  d'un  corps  de  son  volume,  c\f-t-a-dire  de  l'espace 
(géométrique  renfermé  par  sa  surface  ;  car  Texpériencc 
nous  a  appris  que  tous  les  corps  sont  criblés  en  tout  sens 
d'une  infinité  de  trons  ou  pores  ;  ils  ont  donc  des  quantités 
de  matière  bien  différentes  sous  dt%  volumes  égaux  ;  c'est 
ce  qui  fait  que  tous  les  corps  n'ont  pas  le  même  poUès  , 
quoique  tous  soient  sollicités  par  la  même  force.  Comme 


CxNTAlES    DE   GRAVITE»  6$ 

la  grdyité  n'exerce  son  action  que  sur  la  partie  matërielle 
des  corps  ,  et  qu'elle  a  lat  même  intensité  pour  tous  ^  il 
s'ensuit  que  le  poids  est  proportionnel  à  la  masse  :  d'où 
Ton  voit  que  le  poids  dépend  de  la  masse  des  corps  ^ 
tandis  que  la  pesanteur  en  est  indépendante^ 

5i.  On  a  nommé  densité  le  rapj^ort  de  la  niasse  au  ♦ 

volume  ;  de  sorte    qu'on   dit    qu'une  substance  est  plus 

dense  qu'une  autre,  lorsqu'elle  a  plus  de  masse  sous  un 

volume  égah  Si  on  avoit  une  substance  qui  n'eut  point 

de  pores  7  sa  densité  ^roit  la  plus  grande  possible ,  et  en 

lui  comparant  la  densité  des  autres  corps ,  on  auroit  la 

quantité  de  matière  qu'ils  renferment  j  mais  ne  connois-  / 

sant  point  de  substances   semblables,    nous  ne   pouvons 

avoir  que  les  densités  relatives  des  corps  ,  c'est-à-^re  le 

rapport  de  leur  densité  à  celle  d'une  substance  donnée  t 

M 
de  sorfe  que  dans  l'équation  D  =   — ^  ^  où  jÇ  est  la 

densité ,  M  la  masse ,  et  V  \e  volume  dSin  corps ,  Içs 
quantités  D ,  M  ei  F  expriment  les  rapports  à  des  unités 
dt  leur  espèce* 

Si  df ,  m  et  V  désignent  la  densité ,  la  masse  et  le  vo- 
lume  d'un  autre  corps,  on  aura  aussi  dz=z  ^  on  déduit 


m 

de  là 


que    ' 

X**.  Les  masses  de  deux  corps  sont  en  raison  directe 
de  leurs  volumes  à  densités    égales  j  car  dzzzD   donne 

T--  -7-. 

^'*«  Les  masses  étant  égales ,  les  densftés  des  substances 
«ont  en  raison  invelrse  des  volumes ,  car  m:=L  M  *donne 

^*»  Les  densités  de  deux  corps  sont  en  raison  directe 


r 


64  Statique. 

.de  leurs  masses  ;   à  volâmes  égaux;  car.   Vz^y  doni^ 

d  m 

^  Oa  observera  qu'o/t  peut  substituer  les.  poids  auM 
masses ,  à  cause  de  la  proportionnalité  ;  et  comme  daatf 
les  corps  homogènes ^  c*es4-à-dire  de  même  nature,  ]m 
densité  est  constante  ;  ou  peut  substituer  aussi  les  Tolumctf 
aux  masses. 

it  52.  Lorsque  les  corps  obéissent  à  l'action  de  la  gravité  y 
les  verticales  décrites  par  leurs  molécules  se  joignent  •» 
centre  de  la  terre  :  ainsi  ces  verticales  ne  sont  pas  do^ 
lignes  parallèles.  Mais  comme  de  tous  les  corps  qui  acNli 
à  notre  disposition  ^  il  n'en  est  aucun  dont  le  volume  soîl 
assez  considérable  pour  que  ses  dimensions  ^soient 
parablcs  au  rayon  de  la  terre  y  on  peut  regarder  les 
ticales  comme  des  droites  parallèles  dansv  un  espace  de 
peu  d*<hendue.  Ainsi  les  actions  de  la  pesanteur  peuvent 
être  considérées  comme  celles  de  forces  parallèles  appli» 
quées  aux  diverses  molécules  des  corps.  Tout  ce  qui  • 
été  dit  (3o  et  suiv.  )  a  donc  lieu  ici,  reprenons  les  résultats 
déjà  obtenus^  et  appliquons-les  à   la  gravité. 

♦  1°.  Quand  il  s'agit  de  la  pesanteur,  le  centre  des  forces 
se  nomme  Centre  de  gravité  ou  d'iîicrtie  ;  ce  centre  .est 
donc  (Sy)  le  point  par  lequel  passe  la  résultante  de  tous 
les  efforts  verticaux,  exercés  sur  chaque  molécule  ^r 
l'action  de  la  pesanteur  quelle  que  soit  la  position  du  corps: 
celle  résultante  est  parallèle  aux  forces  y  c'est-à-dire  vcjPli- 
caîe  ,  et  sa  grandeur  est  ce  qui  constitue  le  poids  du  corps. 
Elle  est  égale  à  l'effort  qu'il  faut  employer  pour  le  soutenir. 

*  2**.  Quelle  que 'soit  la  position  qu'on  donne  au  corpS; 
cette  résultante  passera  toujours  par  le  centre  Je  gravité, 
])nisque  cela  équivaut  à  changer  la  direction  des  puissances, 
suns  chanircr  leurs  grandeurs  et  leur  paraliélisuie. 


Cektres  dk  BKAviTi.  Ç5 

V.  Ub  corps  pesant  est  en  éqoilibre,  si  son  centre  de  * 
Snrité  est  soutenu. 

4*-  Lor»|u'on  veut  trouver  le  centre  de  gravite  d'an 
-■Tilèiie  de  corps,  on  peut  supposer  la  masse  de  chacun 
d'cox  concentrée  en  son  centre  de  gravité  propre,  puisque 
le  poids  de  chaque  corps  est  une  force  proportionnelle  k 
la  masse  et  qui  passe  par  ce  centre  :  par  là,  on  n'aura 
pins  à  considérer  qu'un  système  de  points  pesans. 

5*<  Pour  trouver  le  centre  de  gravité  mécaniquement,  * 
H  infGt  de  suspendre  successivement  le  corps  dans  deux 
poslians  d'équilibre,  à  l'aide  de  fils  verticaux  appliqués 
bnr-i  tour  en  deux  points  difTérens  de  ce  corps;  le  lieu 
d'iaiersection  de  ces  deux  fila  sera  le  centre  cherché. 

55.  Pions  disons  qu'un  corps  est  Symétriifue  par  rapport  * 
*  on  plan ,    lorsque  sta  molécules   sont  deux  à  deux  à 
>a  m^e  distance   de  ce   plan. 

Concevons  un  corps  homogène ,  sjraétriqne  par  rapport  * 
"  on  plan  :  si  l'on  prend  deux  molécoles  qui  soient  à 
-**  même  distance  de  ce  plan,  leurs  moniens  seront  égaux 
*^  de  signes  contraires;  et  on  peut  en  dire  autant  de  toutes 
W  molécules  prises  deux  à- deux.  (  Vojei  les  notes  pages 
^  et  71.  )  Ainsi  la  résultante  du  système  sera  dans  ce  plan 
(36),  et  par  conséquent  le  centre  de  gravité  y  sera  aussi  ! 
^onc  le  centre  de  gruvUê  de  tout  corps  homogène  ,  symé~ 
*fîijue    par  rapport  à  un  pian ,  est  situé  dans  ce  plan. 

Nous  dirons  d'nn  corps  qu'il  est  symétrique  par  rapport  * 
a  un  axe,  lorsqu'il  le  sera  relativement  à  deux  plans  quel- 
conques qu'on  foroit  pai^ser  par  cet  ase.  l^  centre  dt 
grayilé  de  tout  corps  homogène,  ^métrique  par  rapport 
i  un  axe,  est  situé  sur  cet  axe,  .puisqu'il  doit  se  irouier 
dans  chacun  de  ces  deux  plans.  Le  mot  de  syméiriijue 
n'est  eniployé  que  <ponr  exprimer  ti'uue  manitrFe  ai>regée 
que  ta  «omme  des  momens  est  nulle.  Si  donc  un  corps 
5 


% 


66  Statique. 

est  symëtrîque  par  rapport  à  deux  axes^  le  centré  dé 
gravité  est  à  leur  intersection  y  qui  est  ce  qu'on^^  nomme 
le  Centre  défigure  :  ainsi  celui  d'une  droite  est  en  son 
milieu  ^  celui  d'un  cercle  y  d'une  circonférence  ^  d'un  poly- 
gone régulier^  etc.  est  au  centre}  celui  d'un  cylindre  est 
au  milieu  de  son  axe  )  etc. 

54-  Nous  ayons  vu  que  les  valeurs  (P  page  4^)  déter- 
minent la  position  du  centre  des  forces  parallèles^  en 
donnant  les  trois  coordonnées  de  ce  point.  Faisons4eur 
prendre  la  forme  convenable  pour  qu'elles  donnent  celles 
du  centre  de  gravité.  Les  forces  P' j  P^  • . .  •  etc.  sont  ici 
les  actions  que  la  pesanteur  exerce  sur  chaque  molécule  ^ 
actions  proportionnelles  aux  masses  sur  lesquelles  elles 
agissent;  d'après  ce  qu'on  a  vu  (5o).  Soient  m',  m^ . . .  les 
miasses  des  molécules  sollicitées  par  la  pesanteur )  x'yj-'  elz' 
les  trois  coordonnées  de  m' j  x^fyjr'^y  z"  celles  de  ï»^,  etc* 
on  a  P'=  gm'y  P"  =  grn^fy  etc.  Les  valeurs  (P)  donnent 
donc  pour  les  coordonnées  J^^  Fet  ^du  centre  de  gravite 

m'x'  +  m^x^f  -|-  etc. 

ja  ^'**    Il 

m'  +  m"  +  etc. 
y_     my+mV^+etc.  \ ^,^^ 

79*y  mXm    Vn.ft    mXm     At^.  / 


Z  = 


m'  +  m''  +  etc. 
m' z'  +  m"  z'^  +  etc. 


m'  +  ^'  +  etc. 

« 

Ces  résultats  sont  indépendans  de  la  force  av^c  laqueUe 
la  gravité  exerce  son  action.  C'est  cette  raison  qui  a  engagé 
Euler  à  préférer  le  nom  de  Centre  d'inertie  à  celui  de 
centre  de  gravité. 

On  peut  écrire  ces  formules  d'une  manière  concentrée 
qui  est  fort  commode.  On  observe  que  le  numérateur  de  la 
valeur  de  X^  est  une  somme  de  termes  de  même  forme  que 
mx,  en  affectant  le  premier  terme  d'un  accent,  le  second 


Centres  dx  oRAviTé.  67 

Ûe  âeuX;  etc.  •  •  •  •  On  remplace  m'x'+  m^'o:^ -|-  «te.  par 
'^•(mx)  ',  pareillement  ■m'/'  +  m^x''  -+-  etc.  par  X.  (mj-)  , 
m'z'^m'fz^  +  etc.  par  S-  (mz) ,  et  enfin  m'+  m"+  etc. 
ou  la  masse  entière  du  système ^  par  2. (m).  Par  là^  on  a 
pour  les  coordonnées  du  centre  de  gravité  les  formules 


X:=, 


S.  (ma:) 


Yz=z 


X.(mx) 


Z~ 


S.^»^':) 


m  y 


S.(7?i)  ^  S. (m)  '  i.(m) 

équations  dans  lesquelles  le  caractère  2  indique  une  somme 
de  termes  de  même  forme  ;  ou'une  intégrale  finie ^  lorsque 
le  nombre  des  points  est  lui-même  fini)  et  une  véritable 
intégrale  de  quantités  infinitésimales^  lorsque  le  nombre 
des  points  est  infini.  C'est  ce  qui  sera  bientôt  éclairci. 

55*  Il  arrive  quelquefois  qu'on  prend  dans  un  système  le 
centre  de  gravité  pour  origine  des  coordonnées  \  alors  on  a 
jr=o^  Ksso^  Z'=zo)  on  conclut  de  là  que 

tn^x'  +  7W^x''+  etc.  =  o  ou  2;.(7nj:)=  o\ 

m'y  +  m^j*^  +  etc.  =  o  ou  S.(mr)  s=  o  > (C). 

îw'z'  -+-  m^z^  +  etc.  =  o  ou  S.  (iwz)  =  0/ 

I 

Si  le  centre  de  gravité  étoit  dans  le  plan  j--2,  la  première 
de  ces  équations  auroit  seuje  lieu  ;  s'il  étoit  dans  l'axe  des  z  y 
on  auroit  k-la-fois  les  deux  premières. 

56.  Les  équatipns  {B'j  A')  servent  à  faire  çonnoître  les 
trois  coordonnées  du  centre  de  gravité  d'un  système  de 
points  y  ou  d'un  corps  continu^  et  par  conséquent  la  dis- 
tance de  ce  centre  aux  plans  respectifs  àtsjrz^  des  xz  et  des 
a:jr*  On  peut  remarquer  que  ces  équations  sont  conformes  au 
théorème  des  momens  (56)  j  car  la  première ,  par  exemple, 
équivautà  (m'-f-Fn'/+ etc.)  x  A"=w' ar'  +  m"  j:"+etc. 
Or,  (m'-^m^  +  etc.)  x  -X"  est  le  moment  par  rapport  au 
plan  j^z,  du  corps  entier  considéré  comme  concentré  en 
son  centre  de  gravité  5  m^x'^  m^x^^  etc.  sont  les  momens 


68  Statiqui. 

des  molécules  par  rapport  au  même  plan.  Donc  pour  ayoir 
la  distance  du  centre  de  gravité  et  un  corps  à  un  plan  y 
■il faut  multiplier  un  de  ses  élémens  par  sa  distance  à  ce 
plan  y  et  intégrer  dans  toute  l'étendue  du  corps;  on  aura 
la  somme  des  fnomens  de  ces  élémens  :  il  faudra  ensuite 
diviser  par  la  masse  entière  du  corps. 

On  observera  que  si  le  système  est  homogène  ^  on 
pourra  remplacer  les  masses  par  leurs  volumes  ^  puisqu'elles 
leur  sont  proportionnelles  (5i)  ^  et  que  s'il  est  composé  de 
molécules  réunies  dans  un  même  plan  ^  il  suffira  de  prendre 
les  momens  par  rapport  à  des  axes  tracés  dans  ce  plan. 

II.     Des  centres  de  gravité  des  corps  terminés  par  des 

droites  ou  des  plans* 

*  67.  Trouver  le  centre  de  gravité  du  contour  tTun  pofy^^ 
gone  rectiligne  quelconque. 

A>       Supposons  le  poids  de  chacun  des  côtés  du  polygone 

Fig.  24.  'ABCDE  concentré  en  son  cénïre  de  gravité  qui  est  en 

son  milieu  G',  G". . . .  et  cherchons  la  résultante^  soit  p«r 

le  principe  de  la  composition  des  forces  (5o).^  soit  par  celui 

des  momens  (5^). 

*  i®.  Si  on  se  sert  de  la  thécfrie  de  la  composition  des 
forces,  on  trouvera  le  centre  /  de  gravité  des  deux  droites 
AB  «t  BC  à  l'aide  des  équations  {L) ,  dans  lesquelles  on 
fera  JP  et  Q  proportionnels  à  AB  et  B'C,  On  aura  de  la 
même  manière  le  centre  de  gravité  H  Au  système  des  trois 
côtés  ABy  BCj  CD ,  en  supposant  qu'il  y  a  en  /  et  G^^  des 
forces  parallèles  et  respectivement  proportionnelles  à 
AB-\'BCy  et  CD)  ainsi  de  suite. 

2**.  Si  on  veut  employer  le  principe  des  momens ,  00 
mènera  dans  le  plan  du  polygone  deux  axes  quelconques 
Fx  y  Fjr  perpendiculaires  entre  eux  :  on  désignera  par  x'yj-'^ 
ae^f^jrff)  etc.  les  distances  des  centres  de  grîavité  de  chacun 


\ 


Centres  bs  gkàvité.  69 

iw  cèt&  à  CCS  deux  axes ,  et  par  c',  c^  • .  • .  les  longueurs 
respectives  de  ces,  côtés  j^^  c'est-ànlîre  qu'on  fera 

'  La  position  de  la  résultante;  par-  rapport  à  chacun  des^  * 
^€ux  axes ,  sera  d|éterminée  par  les  équations  ( 7^ ,  36  ) 

^  c'H-c"4-etc.     ^   ^     ^      c'+c'^  +  etç.'    '. 

^es  valeurs  donnent  le  point  O ,  qui  est  le  centre  de  gra- 
nité demandé. 

58.  Trouver  le  centre  de  graviié  de  Faire  d'un  triangle  it 
^rectUigne.  Pig.  ,5. 

Soît  le  triangle  ABC 'y  il  est  clair  que  si  on  divise  lé'  * 
^dté  ABy  au  point  J9  ^  en  deux  parties  égales  j  la  droite  CD 
<rouperala  surface  du  triangle  en  deux  ][)arties  symétriques  (*)• 

On  peut  en  dire  autant  de  la  droite  AEj  menée  au  point  Ey 

milieu  de   CB  :  donc  le  centre  de  gravité  est  à-4tt-foîs; 

sur  les  droites.  AE  et  CD  y  aikisi  C0  ce9»ti7e.  est  à  kur 

intersection  G.  ^ 


(*)  La  symétrie  dont  il  est  question  ici,  consiste  en  ce  que  la  Fig.  xg. 
somme  des  momens  d^  fontes  les  molécules  qui  composent  le 
triangle  estnn^le  pav  rapporta  GD-,  £n  effet,  -soit  u«^  d<e  ces^ 
mol^icules  en  m  :  m^n^^s  A^9'  pttraliéWJl  Aff  9  il  J'  4Ui>ai  djQ, 
l'autre  côté  de  CD  une  autre  molëcele  mf  à,  1a  m^me  distance 
du  point  O  d'intersection  de  A*B^  avec  CD\  et  par  con^ëq^ent 
m  et  mf  seront  &  la  même  distance  de  CD-,  Si'dx)nc  on  prend  - 
CD  pour  l'axe  des^  momens  ,  lés  molécufes  m  et  m'  auront  des 
momens  éganic  et  des  signes  contraires  ;  et  comme  O  est  le  mi- 
lieu de  A'Bl  y  la  même  chose  auraMieu  pour  toutes  les  mole-, 
cules  de  oeUe  lignç  y  ou  pqur  une  c^ui-çei  p^ralUle  quelconque 
à  AB\  ce  qui  démontre  que  la  somme  des  moipens  des  molécules 
est  nulle;   donc  le  centre  de  gravite  est  sur  CZ>(36}. 


ufr  t*  cti*-  luLfr:  i.  von:  u^  'jz^nanti^.  Kt.  *A^i  i£ 
c  fe  jur;:uvr.  wn..  i..  Tnuiu-  cl-,  ^w  Mai:^  le:  uauiiyMk 
6i-  1"C      v «si-^— inr-   ul"  ï    o:    àrvisr    Cl*  et  arcis 

I    c:     u  diifffur    i:iii:'  uo-    ^     arou-. méfie-,   a-  J/  .ai.  aa^ 
ji*:.4  u-    .^'    ,  tHib>-   i>r     .'•    Doic  il  ai2-' la  coBsnazcùaL 

t^'t.>cù3ki     !»■    uuiiii*.    i|Li  u:    c'ciIl!--  e-   rrBvu-^     ca:    ot:  à«» 
3iiui!'<*::u:    u-' iiiciii"  uii-    ccii-.    cruu.    aai.  conoe:  .HLi  jbl 

\j^.    iifci«»-i.    o-    i  ii:     u*'    ansif    -•    a:    Dorccraiif.  .  dfi? 

v:«vii..    '        O'       ^'."'  .   oa'    1-  rrcct:i2-   r/r<xuntm;    Cjt   siii*- 
|lc^rx.    ••    inu'j    v>-    cuuuu*.  iTicui:!    caccexur*   (3.  ce  ^Mun; 

4»  t     t»!     ci.'rraîcr-    i.    resi.iiaT^i-      soi.  *    V. 

=-!»•  |.*j  ■*'■  :i**-  jt'  i(    coxnposiiioi   o*   lorce-     'j:  ;    sen'  '  ^' 

t'     Ijrtu     j*.    preiiLiîr*   ca..     -ne    iiTiZr^    l      f    t-' 
Uiiii»*      ',«.   M*,'iMo*T.   ti    L     £.    •^-     ^îi-i:  rorcp.  naraltèîsts.. 
icai«rtiivt"ur::  ^TOLKTLzomielie.  £.a:  w^z'ik'^f' .Ah^-    ^Ol  .. 

^  ej«;*..'Ui"L:.'-    V    jt  r*îirulLmir    .      .■.:.i-    ae.-    «:'TnaTii"aiî   .Z  . 


Centres  de  gravita.  71 

2*.  Dans  le  second  cas ,  on  imitera  ce  qui  a  été  fait  dans  * 
le  paragraphe  67 }  on  mènera  dans  le  plan  du  polygone 
deux  axes  arbitraires  perpendiculaires  entre  eux  y  on  sup- 
posera que  c'f  c^j  etc.  sont  les*  masses  ou  les  aires  des 
triangles  j  et  que  ar',  ^'5  x"y  jr'^'y  etc.  sont  les  distances 
entre  les  axes  et  les  centres  de  gravité  G'j  Cy  G"',  de 
chacun  de  ces  triangles.  On  aura  pour  les  distances  de  ces 
mêmes  axes  au  centre  de  *  gravité  du  polygone  les  valeurs 
du  n**.  67.  Ces  coordonnées  déterminent  le  centre  de 
gravité  cherché. 

6o*  On  voit  y  d'après  ce  court  exposé^  qu'on  pourra  ^ 
trouver  le  centre  de  gravité  d'un  système  quelconque  de 
droites  ^  ou  d'aires  planes  terminées  par  des  droites.  Il  ne 
faudra  que  chercher  le  centre  de  gravité  de  chacune  des 
parties  :  le  problème  sera  réduit  à  trouver  celui  d'un  sy^ 
tème  de  points  ^  ce  qu'on  peut  faire  à  l'aide  de  la  théorie 
de  la 'composition  des  forces  ou  du  principe  des  nu>* 
mens. 

61  •  Trouver  le  centre  de  granté  du  volume  d^un  prisme  * 
çuelconque  à  bases  opposées  parallèles. 

On  cherchera  les  centres  de  gravité  des  surfaces  de  ses 
bases,  et  on  mènera  une  droite  par  ces  deux  points^  elle 
sera  placée  symétriquement  par  rapport  au  solide-,  et 
devra  (55)  contenir  le  centre  de  gravité  cherché,  qui 
sera  en  son  milieu. 

62.    Tivuyer  le  centre  de  gravité  d'une  pyramide.        * 
On  cherchera  le  centre  de  gravité  G  de  la  base ,  et  on  ^îg-  *8  «» 
mènera  une  droite  A  G  au,  sommet  à  ce  point  3  elle  sera 
disposée  symétriquement  (^),  et  devra  contenir  le  centre 


(*)  Oo  fera  ici  la  même  observation  que  poar  le  triangle, 
tX  le  mot  de  symétrie  dont  on  se^  sert  ,  n'est  employé  que 
pour  exprimer  d'une  manière  abrégée  que  la  tomme  des  momena 


ya  Statique. 

cherché  :  il  y  sera  d'ailleurs  placé  aux  Snw  gttaiis  de 
longueur  à  partir  du  sommet.  Pour  démontrer  celte  pi 
position  y  nous  distinguerons  deux  cas. 
lis.  29  i**.  Si  la  pyramide  est  iriar/gulaire y  on  anra  les  ces' 
de  gravité  F  et  G  des  faces  BCD  et  ABC  y  en  luen^a 
.  du  milieu  E  de  Paréte  BC  des  droites  aux  angles  A  et  D^ 
et  prenant  EF=  ^ .  ED ,  puis  EG  =  ^ .  AE,  les  dr 
A  F  et  GD  devront  se  couper  en  un  point  H^  puisqn'eUeg- 
sont  dans  le  plan  AED  :  de  plus  chacune  d'elles  devra 
contenir  le  centre  de  gravité  cherché  (55)  qui  sera  par  coii«^ 
séqnent  en  /T.  Menons  GF)  cette  droite  s^a  parall^  à 
AD  y  et  sa  longueur  sera  le  tiers  de  AD  ^  car  «lie  coupe 
ED  eX  EA  au  tiers  de  leurs  longueurs  respectives^  et 
comme  les  triangles  G//F  et  AHD  sont  semblables  ,  oft  a 

^  =   ~  ;  donc  HF=^AHj  et  si  on  divise  AF 

sir  Krr 

en  quatre  partiea  égales,  HF  sera  l'une  d'eUe&y  et  AH 

contiendra  les  trois  autres. 


T\^'  a8.  de  toutes  les  molécules  par  rapport  à  tout  plan  passant  par  AG 
^%l  nulle.  En  effet,  menons  deux  plans,  l'un  parallèle  à  la  base, 
et  l'antre  RgO  suivant  AG  :  le  premier  doit  couper  la  pyramide 
suivant  un  polygone  hcébpf  (semblable  à  la  base  BCDEF)  doat 
le  centre  de  gravit^f  sera  visiblement  au  point  ^ ,  où  ce  même 
plan  rencontre  AG.  Représentons  maintenant  les  poids  dçs  di- 
verses molécules  de  la  pyramide  par  des  forces  parallèles  an 
second  de  ces  plans  HgG;  la  somme  des  momens  de  relies  cpii 
agissent  sur  les  molécules  du  polygone  doit  être  nulle,  pttîsque 
ce  plan  BgG  contient  la  résultante  qui-  passe  en  g;  et  commfe 
«n  peut  en  dire  autant  de  tout  antre  plan  parallèle  à  la  bai!^ 
de  la  pyramide,  il  s'ensuit  que  le  plan  mené  par .^G  contient 
le  centre  de  gravité  :  mais  tout  autre  plan  mené  suivant  Au 
0ffriroit  la  même  conséquence  ;  donc  ^G  contient  le  centre  de 
gravité  de  la  pyramide» 
Ce  raisonnement  doit  s*appliqaer  au  prisme,  n?.  6u 


Centra  bb  GRAviTi.  yS 

La  construction  qne  nous  venons  de  faire  sur  le  milieu 
EdeBCy  peut  être  appli^ée  à  tout  autre  srèXeBD,  et  on 
obtiendroit  le  même  point  H.  Celia  réjsulte  4^  ce  que  la 
ligne  qu'on  mèneroit  ^n  centre  de  gravité  de  la  face  ABD 
à  Tangle  trièdre  oppose  C^  devroit  aussi  couper  GD  et 
AF  aux  trois  quarts  ^  à  partir  des  points,  D  et  ^. 

2°.  Si  la  pjrramidc  à  une  base  quelconque  y  après  avoir  * 
trouvé  le  centre  de  gravité  G  de  cette  base ,  on  mènera  Fig.  3«« 
la  droite  A  G  par  le  sommet  :  elle  contiendra  le  centre 
cherché.  On  divisera  la  base  en  triangles  par  des  diago- 
naleé  menées  de  l'un  de  ses  angles  F'y  on  fera  passer  par  le 
sonmiet  et  ces  diagonales  des  plans  ;  qui  décomposeront  le 
volume  en  pjrramides  triangulaires  ^  dont  on  cherchera  les 
centres  de  gravité  respects  ;en  ^  ,*  Af  et  iV.  Ils  seront  y 
d'après  ce  qui  vient  d'être  dit  y  sur  les  droite^  menées  aux 
centres  de  gravité  de  leurs  bases ,  et  aui(  trois  quart3.de 
leurs  longueuri  à  partis  du  sommet^* 

Par  la  théorie  des  lignes  proportionnelles  ^  ii;  est  clak*  que  * 
les  points.  Ly  ^M  ei  N  seront  dans  un  plan,  parallèle  à  la 
l>asc  ;  ce  plan  contiendra  d'ailleurs  le  centre  de  gravité 
cherché  y  puisqu'on  peut  concentrer  chaque  pyramide  en 
son  centre  de  gravité,  c'est-à-dire  euLy  M  et  iV(52,  /^^.)y  et 
que  lê~*centre  dea  forces  est  toujours  situé  dans  le  même 
plan  que  les  points  d'application  (57)*  Le  centre  de  gravité 
cherché  séra^  donc  en  Ij  au  point  d'interseclâon  de  la  ligne 
jiG  par  ce  plan;  or  on  sait  que  ce  plan  doit  coiq^er  toutes 
les  droites  partant  du  point  Ajcn  pactietf  proportionnelles: 
oonc  /  sera  aux  trois  quarts  à  partir  du,  somqijçt. 

65.  D'après  cela,  on  peut  trouver ^  soit  à  l'aide  de  la  ^ 
compo'sition  deS/ forces^  soit  par  le  principe  des  momens^ 
le  centre  de  gravité  d'un  corps  terminé  par  des  faces  planes^ 
puisqu'on  peut  toujours  le  concevoir  décomposé  en  pjra^ 
mîdes  on  en  prismes  ;  dont  on  saura  trouver  en  partici^rfier 


yG  Statique. 

sera  symétrique  par  rapport  à  la  courbe  ;  puîsqu'alors  cet 
axe  contenant  le  centre  de  gravité  ^  on  aura  F=  o. 

Si  la  courbe  dont  on  cherche  le  centre  de  gravité  est 
à  double  courbure  ^  elle  doit  être  donnée  par  ses  deux 
projectii^ns  (24)  sur  les  plans  coordonnés  ^  ou  plus  gé- 
néralement par  deux  surfaces  courbes  dont  elle  est 
l'intersection  :  ainsi  on  aara  y  dans  ce  cas  ,  deux  équations 
pour  cette  courbe  j  et  é/5  =  j/  (  dx*  +  <fy**  +  dz'^  ) ,  don- 
nera ds  et  s  en  fonction  de  Tune  des  variables  x^jr  et  z* 
Les  coordonnées  du  centre  de  gravité  sont  visiblement 
alors 

s       ^  s      ^  s      ' 

65.  Chjtrchoias.  le  centre  de  gravité  d'une  ligne  droite.  H 
est  évident  (55)  que  ce  centre  est  au  milieu  de  la  longueur 
de  la  droite  :  ce  n'est  doic  pas  tant  pour  déterminer  ce 
centre  que  nou$.  allqns  rcsoudre  le  problème  analytique- 
menty  que  pour  appliquer  à  un  exemple  simple  les  valeurs 
(£)'),  et  les  observations  précédentes. 
wig.  3a.  Soit  jrzzzax  ^b  l'éqiatioa  de  la  droite  DE  j  suppo- 
sons  qu'il  s'agisse  de  trouver  le  centre  de  gravité  de  la 
partie  DE  de  cette  droite  :  faisons  AB  •^=.  «t^  fiD  =  ff  j 
ACzzLtb'j  CEzuzt'.  Cb.a  (fy:=zadxy  d'où  on  tire 

dr 
ds:=ida:.\/{\r\-a^)y   d$-=.  — ^=^  .  V/(i -f-a^). 

or5=o,  donne  :r=;:«c,  et ^=ff}  donc  ^=: — «•V/(i+a*V 

et  uBr;: : —  •  l/  (  I  +•  ^*  )  t  ainsi 

a 


Centres  de  ORAviTi.  77 

substituant  dans  les  formules  (7>^}  on  trouve 

-* —  "Z ^  =^ï*  "T: y  '  ^^  'Z 7" — «'  "7 — ?• 

X — «  a:— «  jr  —  b  J^— "• 

On  détermine  les  constantes  C  et  D  en  égalant  les  numé-  « 
rateurs  à  zéro  après  y  avoir  fait  :r  =  «  etj'zziC,  ce  qui 
donne  •  C  q=:  —  «* ,  D  =  — Si}  et  par  conséquent 
-X:=i(T  +  ;),  r=i(7-4.ff).  Pour  completter  l'in- 
tégrale j  il  faut  changer  x  en  u'  et  j"  en  S'  ':  ainsi 
Je  =  1  (  «'  4.  «  )  et  Y  :=^  (  C'  4- 1).  Mais  dans  le  trapèze 
BDEC  j  on  voit  que  pour  le  milieu  G  de  £>i&,  on  a 
^F=i(«'4.#6:),  FG  =  i(^'+iî)  :ce  qui  démontre 
que  AFisiX,  FG=Y. 

66-  Soit  demandé  le  centre  de  gravité  d'u|i  anc  de  cercle  Fig.  ft.  j 
MM'.  L'équation  du  cercle  est  ^'  =  a*  —  a:* ,  quand 
l'origine  est  au  centre  C^-et  que  a  est  le  rayon  AC. 
Prenons  pour  axe  des  x  la  ligne  Cx  qui  passe  par  le 
milieu  de  A  de  l'arc  MM'  ;  à  cause  des  arcs  AM  et  AM' 
symétriques  par  rapport  à  ACj  le  centre  de  gravité  est 
sur  AC  en  un  point  /,  et  sa  distance  CI  à  l'axe  Çy  est 
la  même   que  pour  l'arc  AM  :   faisons,-^ifef  =  5j   d'où 

,           -  -  _            ,     .              adx                      adx 
ds  =  x/(dx^  +  dr'')= =-^  —n 19 

(  on  préfère  ici  le  signe  —  parce  que  x  décroît  lorsque  s 
croît)  la  première  équation ^Z7')  devient 

s  J   y^(a'— ;c»)        s      ^^  ^  s 

■ 

Pour  déterminer  C  j  il  faut  faire  j*  =  o  danis  le  numé- 
rateur et  égaler  à  zéro  ;  car  l'arc  étant  nul ,  la  somme 
Qes  mohifens  de  ses  paities  est  aussi  nulle  :  on  a  Cz=zq. 


.^  Statique. 

Donc  a:=  .^;    on  tire  de   là  -li-  =-  -^  ♦   on 

s  a  IC 

SiTc  MjéM'         corde  MM'      . .    .    ,^  .._^ 

ra;yoa  AC    =  7C-^-    ^'""    '^  «^çuaft-i^^* 

proportionnelle  à  tan:  y  au  r^ijon  et  à  la  corde. 

Le  centre  de  gravite  de  la  circonférence  entière  c*** 
visiblement  au  centre  C  (55).  C'est  aussi  ce  que  dont»^ 
la  valeur  ci-dessus  de  A^  j  car  a:  =  —  a ,  donne  y  =  ^ 
et  s  zn  9  a'y  d'oîi  on  tire  -X"  =  o.  Pour  la  demi-circonfé-^ 
rence,  on  a  2^  =  %^>  et  j*  =  a  :  donc  \ifX-=.  a\  c^ 
qui  veut  dire  que  le  rayon  AC  est  égal  au  quadran  décrite 
avec  un  rayon  =  X.  ' 

Fig.  34.      67.  Soit  enfin  proposé  de  trouver  le  centre  de  gravité  d« 

Tare  cycloïdal  MAM'^  dont  le  cercle  générateur  a  pour 

diamètre  ABzzz  a>  L'équation  de  la  courbe  (  Traité  éléntm 

ydy* 
de  calcul  diff.  de  Lacroix ,  n<>.  1 02  )  est  dr  =  >^.  • 

l'origine  étant  en  C,  et  l'axe  des  x  étant  CB*  Trans- 
portons l'origine  au  sommet  ^  ^  et  prenons  AB  pour  axe 
des  X  :  comme  CO  est  le  développement  de  la  circon- 
férence du  cercle  générateur,  on  a  CE  •=z\%a'y  il  faut 
donc  changer  x  en  ^%a  — y' ^  et  j*  en  a  —  x''^  par  là 
on  a 

{a-x')dx'    _         1  // a-x'\ 
"^  -  ^{ax'-x")-'^'y    \      X'     /■ 

Désignons  l'arc  A  M  par  s ,   nous  aurons 

ds:=X^{dx*^  +  dj'^)  —  dx.^(j^^j  d'où  on   tire 

P  dx' 

s-=.yj  a.  I  — r— 7-  =  2  ^  \ax')  'j  (  d'où  on  conclut  que 

dans  la  cycloïde  l'arc  AM  est  double  de  la  corde  correspon- 
âsiaXe  AL  du  cercle  générateur ,  car  ALz=:y/ {ax')): 


Centres  de  ORAviTii.  79 

ainsi  5*=  4ax'.  En  vertu  de  la  symétrie  (55)  des  arcs 

MA  et  M^A  j  le  centre  de  gravité  est  sur  AB ,  et  son 

abscisse  X  est  la  même   que  celle  du  centre  de  gravité 

•                             /^  s^  ds  .»      ' 

de  AMz=z  55  comme  f{xds)  =  /  — y  la  première 

équation  (Z)')  devient 

^_A^às)_s'-\-A_      s'      _  4^3:  _  ,  ^ 
i^as  i2as  i^as  12  a 

Ainsi  le  centre  de  gravité  de  Parc  MAM'  est  au  tiers  de 
l'abscisse  AP,  Celui  de  la  cjrcloïde  entière  est  au  tiers 
du  diamètre  AB. 

68.  Trouver  le  centre  de  gravité  de  l'aire  if  une  courbe  vi^  jr. 
plane»  Soit  A  l'origine,  et  DCM  une  courbe  donncîe  par 
son  ^txdXionjrzn  fx  )  proposons- nous  de  trouver  le  centre 
de  gravité  de  l'airç  BCZF  j  soit  AP  =z  x  y  PM-=.j. 
L'élément  infiniment  petit  PMmp  a  pour  VLV^jdx)  sa 
masse  peut  être  concentrée  au  milieu  de  iPiXf  qui  en  est  le 
centre  de  gravité  :les  momens  par  rapport  à  Ax  et  Ay 
sont  donc  ^jr^dx  et  xjrdx.  On  éliminera  de  chacune  de 
ces  expressions  l'une  des  variables  à  Taide   de  Tcquation  ^ 

^^  '=.fx  y  et  intégrant  ensuite  depuis  x  =  AB  eij':=:  BCy 
jusqu'à  j:  =  ^jP  et  j^=jPZ,  on  aura  zfx*^^  ei  fxydx 
pour  les  sommes   des   momens  de  tous  les  élémcns  qui 
composent  Vmt  BCZF  i  çX  fydx  pour  cette  aire  :  ainsi 
on  aura  (56)  pour  les  coordonnées  du  centre  de  gravité 

^_f{xydx)         v_f{rdx) 
f{jrdx)  ^f{jdx) 

S'il  s'agissoit  de  l'aire  B'CZF'  comprise  entre  deux 
coorbes  j  ou  deux  branches  de  la  même  courbe  j  on  auroit 
leurs  équations  y'^^f^  V^^  ^^  ;  ^^^'  =  ^^  P^"'^  fi'/*'  : 


8#  Statique* 

on  fera  le  même  raisonnement.  L'élément  P'Mmp'  est 
c=(j* — jr')dx)\t%  coordonnées  du  milieu  de  jP'Af  sont  jt 
**  a  (T  "+"/')  '  ^^*  momens,  par  rapport  à  Ax  et  uiy 
sont  donc  (  en  concevant  l'élément  concentré  au  milieu 
de  P'M)y  i  (^* — j-'^)  dx  et  {y -^  y' )  ocdx  ]  de  sorte 
que  les  coordonnées  du  centre  de  gravité  sont 

,  ^^j\jr^^j^)xdx     Y__nr-y^)dx 

On  peut  aus^  trouver  les  formules  {E*)  et  {F')  par  le 
procédé  suivant  ;  qui  se  prête  aisément  au  cas  où  ^  au  Heu 
des  droites  BCy  FZy  on  auroit  pour  limites  deux  courbes: 
cette  marche  nous  sera  d'ailleurs  utile  par  la  suite.  Con- 
cevons un  élément  abcd  rectangulaire  ;  infiniment  petit 
dans  les  deux  sens^  et  dont  les.  côtés  soient  respectivement 
parallèles  aux  axes  Ax  et  Ajr  :  et  faisons  aP  =  z.  tu 'élé- 
ment sera  dxdz  et  ses  momens  j  par  rapport  à  ces  axes  j 
seront  zdxdz  et  xdxdz.  Si  on  intègre  ces  expressions 
par  rapport  à  z  seule  ,  l'aire  de  Télément  PMmp  sera 
zdx  y  ou  plutôt  j-dx  (  à  cause  que  cette  aire  a  été  prise 
de  zzrz  0  3L  z=z  jr)^  dans  le  cas  où  l'aire  est  terminée  par 
Taxe  Ax  :  ^  z^  dx  et  xzdx,  (ou  par  la  même  raison 
j^'éir  et  xj'dx)j  seront  de  même  les  momens  par  rap- 
port aux  X  et  aux  j^,  de  tous  les  élémens  renfermés  entre 
les  deux  coordonnées  infiniment  voisines  PM  et  pm. 
Intégrant  ensmit  jdx  j  ^jr^  dx  et  xydx  ^  de  x=ABy 
à  X  =z  AF  y  on  aura  Taire  BCZF  ^  et  les  sommes  des 
momens  de  tous  les  élémens  de  cette  aire  ,  par  rapport 
aux  X  et  aux  j^  ;  ce  qui  redonne  les  formules  (f  ). 

Supposons  qu'il  s'agisse  de  trouver  le  centre  de  gravité 
de  l'aire  B'CZF'  renfermée  entre  deux  coordonnées  et 
deux  courbes  données  ou  deux  bran(  hes  de  la  même 
courbe  ;  tout  ce   qui  a  été  dit  ci-dessus  peut  aisém.ent 


GeI^TTRES   BE   GlVAyiT£«  8l 

Recevoir  ici  son  application  ;  dzdx  j  zdxdz  et  xdàcdz  sont 
rélément  abcdy  et  ses  moniens  :  zdx  j  ^  z^  dx  et  xzd:t 
sont  encore  Taire  P'Mmp'y  et  les  sommes  des  moniens 
de  ses  élémens  par  rapport  aux  axes^  pourvu  que  ces 
ihtégrales  soient  prises  de  z  =±  PP'y  à  z  =PM,  Ainsi ^' 
soit  PM  '='Jf  f  et  PP*  =  J"S  Oïl  2inra  respectivement 
{j  — j^  )dx y  \  ( j"^  —  y'"^  )dx  et  {y  —  J*' )  xdx  pour 
Vaire  P'Mmp^  et  les  raomens  de  ses  élémens.  On  inté- 
grera de  x=jiS  à  xz=zAF,  et  on  aura  Paire  B'CZF'^ 
et  les  sommes  de  tous  les  moniens  des  éléniens  qui  la 
composent  î  ce  qui  concluit  aux  valeurs  {F'). 

n  est  intéressant  de  remarquer  que  les  formules  précé* 

dentés  peuvent  aussi  s'appliquer  aux  cas  où  les  coordon- 

j^éts  de  la  courbe  ne  sont  pas  à  angle  droit.  En  effet, 

soit  «  l'angle    qu*elles    forment ,    l'élément  PMmp    est 

ydx  •  stn  I» , .  et  Taire   entière*  est  fyâx  sin  «  ;  de  même 

kfy*  ^^  •  *^^  *  7  ^^  f^J^^  •  sin  «  sont  les  sommes  des 
produits  des  élémens  de  cette  aire  par  leurs  coordonnées. 
Or  observant  que  le  théorème  du  n*'.  54  ^  lieu  même 
lorsqu'elles  ne  sont  pas  à  angle  droit ,  il  est  évident  que 
les  coordonnées  -Y  et  F  du  centre  de  gravité  de  Taire  sont 
les  méines  que  nous  avons  trouvées  précédemment,  puisque 
la  constante  sin  w  disparoît  comme  étant  facteur  comniun 
<les  deux  ternies  de  chaque  fraction. 

*  69.  Prenons  pour  premier  exemple  le  trapèze  DE*  Il  rig.  3J. 
faut  concevoir  que  la  droite  AG ,  axe  des  x  y  partage 
chacun  des  deilx  côtés  parallèles  DC y  EFy  en  deux  parties 
égales.  Le  centre  de  gravité  /  sera  sur  cet  axe ,  et  la 
breniière  des  formules  {E')  suffira  pour  trouver  la  dis- 
tance de  ce  centre  /  iiu  point  A  y  car  les  abscisses  des 
entres  de  gravité  des  aires  ACE  G  y  CEFD  sont  les  mêmes  y 
à  cause  de  la  symétrie  (55)  des  deux  parties  ACE  G  y 
AGFD.  Soient  CDz=^  h  y  EF=  l'y  AG=my  AP=Xy 

6 


02  Statique. 

PiM^y  )  quoique  les  coordonnées  puissent  être  obliqnei _ 
on  a  j*  =  aa:  -h  1 6 ,  pour  l'équation  de  la  droite  CE 
et  par  conséquent 

fixyàx)  zszf^ax^dx  +  i  hocàx)  =  \  .  aa^+  \ .  hx*  +  C. 
f{jdx)=f{axdx +  i  bdx)z=:^.ax^-\-\.hx  +  C 

Les  constantes  C  et  C  sont  nulles  parce  que  les  inté- 
grales le  sont  elles-mêmes  lorsque  x=:o  ^  ainsi  on  a  pont- 
l'abscisse  du  centre  de  gravité  de  CAP  M  ou  de  CMM'^D^ 

X  =   ~ — —  X  X.  Mais  la  droite  CE  étant  assujettie 

6  ax  +  66 

à  passer  par  lé  point  E  dont  l'abscisse  est  xzzm  ^  et  Tor- 

donnée  est  j'zzz^b'^  l'équation j'*  z=z  ax  ^  ^  b  devra  être 

satisfaite  par  ces  valeurs 5  ainsi  ^  6'  =  am  -^  ^b  j  â^ovt 

b^—  b 
a  =  .    .  Il  ne  s'agit  plus  maintenant  que  de  mettre 

2  m 

cette  valeur  pour  a  dans  Xy  et  pour  avoir  uil  j  de  faire 

X  z=z  mx  mettant  donc  ici  a  dm  ou  b'  -^  b  pour  2  ox  ^ 

on  trouve  enfin 

^    ...       ^  b-\-:tb' 

"^  b  ^  b' 

Cette  valeur  donne  aussi  la  position  du  centre  de  gra- 
vité du-  parallélogramme  et  du  triangle  :  en  effet ,  dans 
le  premier  cas  on  a  b'  z=ib  y  ainsi  AI  =  ^  w  j  dans  le 
second  ,  on  a  6  =  o  ,^  d'où  AI  =  f  w  j  ce  résultat  a 
été  déjà  obtenu  (58)^  on  auroit  pu  le  chercher  immé- 
diatement par  Panalyse. 

70.  Cherchons  le  centre  de  gravité  d'un  segment  parabo- 
J*  lique  :  Téqùation  de  la  parabole  éx.2Lïïi  j*  =  px  ^  on  a 

fA:rdx  —  lxW{px)-\^C'/fydx  =  ^Xy/{px)+a. 
Si  l'aire  dont  on  cherche  le  centre  de  gravité  coaunence 


GeNTRBS  Bft  GRAVITA»  8S 

^  ^^origine,  C  et  O  sont  nuls.  En  observant  que  la 
*y<&étrie  par  rapport  à  l'axe  des  x  rend  la  seconde  for- 
^lirfe  [E')  inutile  y  on  a  A^=|a:j  donc  le  centre  de 
i^vtvzife  é'un  segment  parabolique  est  sur  Vuxe  des  abs^ 
cisses,  aux  irais  cinquièmes  de  la  longueur  de  cette 
nhfisse* 

'    71.  TVou9er  le  centre  de  gravité  de  ^aire  dune  surface 
de  réf^uiion. 

•  SapposQQ&  que  la  courbe  génératrice  tourne  autour  de 
j'axe  des  x '^  le  centre  de  gravité  est  sur  cet  axe  y  et;  en 
ciésigBant  par  jr  ^=-fx  l'équation  de  cette  courbe  ;  Taire 
engendrée  a  pour  élément  circulaire  2  %yds  :  si  donc  on 
conçoit  un  plan  perpendiculaire  à  l'axe  des  ^^  et  passant 
par  Torigine  y  le  moment,  de  cet  élément  par  rapport  à  ce 
plan  est  %%xj'ds*y  en  mettant  pour  j*  et  dj=\/(dlr"r4-  ^"), 
leurs  valeurs  en  fonction  de  x  tX  dx  ^  et  intégrant  entre 
les  limites  convenables  ;  on  aura  2  isfyds  pour  Taire  entière^ 
et  ^vfxyds  pour  la  somme  des  momens  de  tous  les 
^léHketis  qui  la  composent.  Ainsi  (56)  on  aura  pour  la 
^iistance  du  centre  de  gravité  à  Torigine 

X=l^- (C). 

Jjds 

Prenons  pour  exemple  les  surfaces  engendrées  par  une 
droite.  L'équation  de  la  ligne  génératrice  est j^  =  àx  +  i j 
donc  ds  =■  dxyj  (a*+  i  ).  Ainsi 

fxydszsi\/{a-'^x)fxrdx,    tX  fjds\=::^y{a-+i)fydx. 

fxjrdx 


Donc  X-=z 


jydx 


Or,  cette  expression  est  la. même  chose  que  {E')  )  ce  qqi 
fait  voir  que  le  centre  de  gr&vlté  de  Taire  de  toute  9ur£iu>» 


I 


Statique. 

«    --^     ««Mfmlrêe  par  une  droite  autour  de  l'axe 

.    -*«jkHM'  coordonnée  dans  le  sens  de  cet  axes 

^.  ><}«•  ^«aritc  de  l'aire  génératrice.  U  en  résultes 

•^*^,   «A"  granité  de  l'aire  dun  trapèze  j   dum 

fi  i^^  .^.j^MtnQir  ou  if^n  triante  j  est  respectivement  À 

•*,,    .i.'iMUce  de  torigins  que  le  centre  de  gravité 

•■  :;    ,  ■*««  cône  tronqué ,  if  un  cylindre  ou  dun  cône% 

.   X/»''.  proposr  de  trouver  le  centre  de  gravité  de  la 

'- .    ♦.'une  ïAne  Aphérii^ue ,  c'est-à-dire  d'une  portion 

■vv  d'une  splirrc  comprise  entre  deux  plans  parallèles. 

*»M..  i^cla  ,  l'tiiMMifî  IV(|uati(>n  du  cercle  est  j^*=  aarr — x*, 

«Mut   le  m  y  on  ,   et  I*origine  étant  au  sommet  ^    on  a 

à  ^ »  d'oii  yds     '  adx.  En  substituant  dans  u 

r 

formuU*  l^.'î  ,    on  .i 

y  ax-  +  C 

"^        ^ax  +  a   • 

On  (lt>i«>iiiiiiiMM  •ii«i'iii/!iit  C  et  Oy  quand  on   connoîtra 

|;i  jM';'«i.-.i  .1  :.  I(iii;^iii  in  de  l*urc  générateur  par  rapport 
il  i  i«>  ''t  •  '.  vJ.n^  .'it  >':ixit  <rune  calotte  sphérique  ^  on 
;i   «  ••  .    '  '        «» ,  •;!  j).ir  ciiuséijuent  -Y  =  5  j:.   Donc 

'«       ■■'•  ■    /•-  yj.ntft'th:  ta  culotte  sphérique  est  au  milieu 

/  •     f  '''tntt   /t.  '  i)niiv  di'  (gravite  d'une  surface  courbç 

f  .    'i  .•.*■  y'/.' 

'  .11,-     iiiir,!  .,  iM|<|>vMtr<*  •(   trois  plans  coordonnés^  a 
•I        iiiiii.ii   il.iiiiirt  >  %\h\  dz  :.^  pdx '^  qdy  y  l'équation 

I  II  ..  ,,r.  Il  .  .1..  t,  Ho  «iiiiUro;  vi  faisons,  pour  abréger, 

II  1       I    I   /••   »   i;'\   I .VIrincnt  de  Taire   est  Mdxdf 
mJ- .111  lu  M»    .iM\   j«iinri|M''!    du  calcul   intrg.al  (  voyei 

/i.  ...       •.•.,»     yju.  r;!^»  «./  dil)\  do   liacroix,    25i  )  :  donc 
K'.  ;i       »  V''-^*   ^\    r'^iihd)'^  sont  les  momens  dç 


■  I 


Centres  de  gravitiS.  85 

^t  élément  par  rapport  aux  trois  plans  respectifs  des  xjy 
^^xz  et  des^z.  Donc  ffMdxd/  est  Taire  entière,  et 
SfzMdxdy,  ffjMdxdjjffxMdxdj,  sont  les  sommes  des 
^omens  des  élémens  qui  la  composent  :  les  doubles  inté- 
grales doivent  être  prises  dans  les  limites  convenables. 
«Ainsi  les  trois  coordonnées  du  centre  de  gravité  sont  (56) 

y^ff^'^àxdr.    y_ffj^dxdjr   ^         ^ffzMdxdy 

~  ffMdxdjr  '  ffMdxdj  '  ffMdxdj  \ 

74.  Trous^r  le  centre  de  gravité  éhiri  volume  quel-  ^'*^*  ^' 
conque  sjrmétrique  par  rapport  à  un  axe  s  tels  sont  les 
pyramides  ,  les  solides  de  révolution ,  etc. 

Si  ;  à  partir  du  point  C  quelconque ,  on  prend  sur  Taxe 
une  longueur  CP  =z  x  y  et  si  on  coupe  le  solide  par 
im  plan  perpendiculaire  à  cet  axe ,  la  section  K  qu'on 
obtiendra  sera  connue  en  fonction  de  ^^  puisque  la  gé- 
nération du  solide  est  donnée  ^  ainsi  on  aura  K  ^=fx. 
Soit  Pp  i=.dx  j  Kdx  sera  l'élément]  M'Mmmf  du  vo- 
lume j  et  si  on  conçoit  un  plan  perpendiculaire  en  C 
à  Taxe  CB  j  sur  lequel  est  le  centre  de  gravité,  Kxdx 
sera  le  moment  de  cet  élément  par  rapport  à  ce  plan. 
Ainsi  fKdx  serar  le  volume ,  et  fKxdx  sera  la  somme 
des  momens  de  tous  ses  élémens.  On  aura  donc  (56) 

fKxdx  . 

^-  jKdT ^"^- 

Pour  se  servir  de  cette  formule ,  il  faut  trouver  K  eu 
fonction  de  Xj  d'après  la  nature  du  corps,  faire  les 
intégrations ,  et  déterminer  convenablement  les  constantes. 
Il  est  clair  que,  par  la  même  raison  que  précédem- 
ment (68),  il  n'est  pas  nécessaire  que  AB  soit  perpen- 
diculaire sur  MM^ 

75.  S'il  s'agit,  par  exemple,  d'une  pyramide  ou  d'wi  rig.  a?. 


\ 


66  Statique. 

cAne  y  r«r^te  JlH  est  ua«  droite  :  preHons  Yorifpai^  an 

semmet  A  ^  faisons  jiB  ses  6 ,  et  représentons  par  a  Vw% 

de  la  base  Hh»  On  s^t  que  iC  et  a^  qui  sont  les  adjres  de 

deus  sections  parallèles^  sont  proportionnelles  aux  carres 

fc*  a 

de  leu^  distances  au  sommet  A  :  ainsi  on  a  — p  =  -^  y 


ax 


d*oii  on  tire  K  =  J  substituant  dans  la  fôrmule  (/i^')^ 

on  a 

_  fKxdx  _  /rVo:  _  5  x^  +  A 
~   fKdx    ~  fx^dx  ~  4^3  + J5* 

Si  le  solide  n'est  pas  tronqué  y  on  a^=:oetji?  =  o^ 
d'où  X=z^  X)  puis  faisant  ;r  =  ^,onaX^|^^ce  qui 
est  le  résultat  déjà  connu  (62).  Mais  si  le  solide  est  tronqué, 
en  prenant  AS'=..m  pour  l'abscisse  de  la  base  supérieure 
LkO ^   on  a  ^  =  -—  5 m*,   et  ^  =  —  k"^ y   à^ou  on 

tire  ,  en  mettant   h  pour  x  ,    A  =  *  . 7-.  Le» 

quantités   qu'on  regarde   comme  connues  dans  un  cône 

tronqué  sont  les  rayons  des  cercles  de  ses  4^^^  bases  et 

sa  hauteur.  Soit  SO  z=l  r  ^  BH  =^  R ,   et   SB  =  h -^  il 

s'agit  de  trouver  X  en  fonction  de  Rj  r  et  h^  Or  on  a 

hr  ,  hR  .     . 

aisément   m  ^  -= et  6  =  -= :  en  substituant 

R  —  r  il  —  r 

on  obtient 

76.  Troz/f'^r  /c  centre  de  gravité  du  volume  d'un  corps 
de  révolution. 

On  sait  que   ny^dx  est  l'élément  du  corps  perpendi- 
culaire k  l'axe  de  révolution }  %xjr'^dx  est  son  moment 


v^ 


CeICTRIS  de   G&AVITé.  87 

(ù  rapport  à  un  plan  perpendiculaire  à  cet  axe  ^  et  passant 
pat  l'origine  j  wfjr*dxe%l  le  volume  entier,  wfxf^dx  est 
la  somme  des  momens  de  ses  élémens.  Donc  on  a  (56) 

fxy-d^ 

-^-J^^FdbT ^^> 

Cette  formule  peut  se  déduire  de  (/f  )  comme  cas  par- 
ticulier :  en  effet  K  est  ici  un  cercle  dont  j"  est  le  rajon-^ 
ainsi  on  a  K^zwjr*^  en  substituant  y  on  retrouve  Ja 
Taleur  précédente. 

On  pourroit  appliquer  immédiatement  la  formule  {!') 
à  la  recherche  du  centre  de  gravité  du  cône ,  et  du  cône' 
trQUCjué  i  il  faudroit  pour  cela  prendre  pour  génératrice 
une  droite  passant  par  Torigine  )  et  dont  l'équation  seroit 
jr  .==  ^^^^  On  obtiendroit  ainsi  pour  X  les  valeurs  déjà 
trouvées. 

77.  Soit  pris  pour  exemple  le  segment  sphérique  MAM'  :  rig.  3?. 
Péqnation  du  cercle  jdont  le  rayon  est  a,  l'origine  étant 
au  sommet  A^   est  j'*  =  2  oar  —  x' j    la    formule  (/') 
devient,  donc  _ 

_f{7,ax^dx  —  x^dx)  _  ^ax^-^lx^-^  Ç 
f{2axdx''^  x^'dx)  ax^  —  ^a:^H-/> 

V 

En  observant  que  le  volume  et  les  momens  doivent 
devenir  nuls  quand  x  =  o ,  on  trouve  C  =  o  ,  et  Dç=:o. 

Ainsi  ^  -n 

_-  8  a  —  5  X 

X=z  • X  x. 

12a  —  /^x 

S'fl  s'agit  de  la  demi-^phcrc ,  il  faut  faire  xz=  a  y  et  on  a 
X=,^a  ;  donc  le  centre  de  gravité  de  la  demi-sphère  es 
aux  trois  huitièmes  du  rajron  à  partir  du  centre. 
JDans  le  segment  pqraboliquc   le  centre  de  gravité  est 


*t 


88  Statiqub»^ 

aux  deux  tiers  de  F  axe  à  partir  du  sommet  :  car  I' 
lion  de  la  parabole  ;  y^  ^px ,  donné  pour  (/') 

fpx^dx    _    )^px'^    _  ^ 
Jpxdx  ÏV^^ 

L'équation  de  l'hyperbole  est ,  en  prenant  l'origine  a 
sommet^  ^*:?=  — ;-  (2aj:-f-  ar*)  :  on  aura  pour  le  centre  d 
gravité  du  solide  engendré  par  celte  courbe. 

f{iaX'\'X'^)dx       ax*+  h^       iia-^-l^x 

Cette  valeur  approche  d'autant  plus  défi:  que  x  est  plus 
petit  y  et  de  f  a:  que  x  est  plus  grand  ^  par  rapport  à  a  : 
J^  ne  peut  jamais  avoir  pour  valeur  Tune  de  ces  deux, 
quantité^;  et  elles  senties  limites  entre  lesquelles  le  centre  de 
gravité  doit  se  trouver.  Donc  le  centre  de  gravité  du  seg-. 
ment  hyperbolique  est  entre  les  deux  tier^  et  ^les'  trois 
quarts  de  V abscisse  à  compter  du  sommet. 

78.  Trouver  le  centre  de  gravité  dun  volume  quel'» 
conque. 

Supposons  que  ce  volume  s'étende  depuis  le  plan  des 
xy  y  jusqu'à  une  surface  courbe  donnée  dont  l'équation  est 
z  =y(x,  j-  )  ,  et  soit  terminé  latéralement  par  des  plans 
parallèles  à  ceux  des  xz  et  des^^z^  zdxdy  sera  Télénient  d^ 
solide  y  et  on  pourra  en  supposer  la  masse  concentrée  (52,  4**0 
au  milieu  de  sa  hauteur.  Ainsi  les  momens  de  cet  élément 
par  rapport  aux  plans  respectifs  des  xj^y  des  xz  eldesj'z  spnt 
jz^dxdy  y  yzdxdjr  y  xzdxdy  :  on  obtiendra  donc  les 
sommes  des  momens  de  tous  les  clémens  <]ui  composent  le 
Tolume,  et  le  volume  lui-même,  en  sublstituanty(  x yjr) 
pour  z,  d«i08  ces  trois  expressions  ;  et  dans  zdxdjr  3  puis 


Centhes  de  gkàvité.  89 

Sntégrant  par  rapport  aux  deux  variables ,  v  fjr^  <entre  les 
limites  convenables.  Ainsi  (56)  les  coordonnées  du  centre 
^e  gravité  sont 

j^  _  ffoczdxdjr        y  _  ffjrzdxdj       ^  _  ffz'^dxdjr  .. 
ffzdxdy    ^  Jfzdxdy    ^  nffzdxdj-  - 

Si  le  corps  étoit  compris  entre  deux  surfaces  courbes  j  ou  > 
deux  nappes  de  la  ménie  surface  ^  il  seroit  facile  de  se  régler 
sur  ce  qui  a  été  dit  (68). 

Soit  proposé  de  trouver  le  centre  de  gravité  du  volume  rîg.  3i. 
d'un  Conoïde  ;  cette  surface  <ist  engendrée  par  le  mouve- 
ment de  la  droite  QAf  qui~se  meut  sans  cesser  d'être  paral- 
lèle au  plan  xy^et  en  glissant  le  long  de  l'axe  des  z  d'cine 
part^  et  sur  un  cintre  DMC  de  Pautre.  Nous  regarderons 
cette  courbe  comme  elliptique  y  et  en  désignant  par  a  tXb 
Its  deux  demi-axes  OD  et  OGy  et  AO'^dLV  c,  l'équation  de 
cette  surface  C^)  est  û"c^"  +  b^x^z"^  =  a*i»x'.  La  va* 
leur  X  est  ici  seule  nécessaire.  * 

Cherchons  d'abord  le  volume  du  corps  oixfzdxdy;  on 
mettra  pour  ^  sa  valeur  et  on  intégicera  par  rapport  à  j-  seul 
la  quantité 

adx 
dxfzdj  =:  — — -  fdj  \/  (  6»^:*—  cy)  , 

viÂt 

Qn  fera  pour  cela  y/(  ^*^'  —  c^*  )  =  /  (  ^jr  4-  c/-  )  5  celte 

(*)  CcîT,  les  équations  du  cintré  DMC,  sont  x  =.c  ,  et 
4*j^  4"  h*z*  ^  a*h*  ;  celles  d'une  génératrice  quelconque  sfont 
y-^-tix,  2&  =  C.  En  éliminant  â:,  jr  et  2  entre  ces  quatre  équa- 
tions^ on  a  a*tf*a»-4"  ^■«*  c=a*t*  qui  exprime  que  la  droite  est 
une  génératrice  :  i!  ne  s'agit  donr  plus  que  de  mettre  pour  «  et  C 

Ifiurs  valeurs  -^-—  et  c 


/  - 


go  Statique. 

transformation  ordinaire  donne 

bx        i  —  #■         -  Lbx  tdi 

2  bxi 
par  là  le  radical  ou  /  (  bx'^cy  )  devient  — —^  j   de  sorte- 

qu'oi(^  a  à  intégrer 

,    -   -               Sabxdx     f^       Pdt 
drfzdy  = __y-__; 

or  â  on  intègre- — — — --,  par  parties ^  on  obtient 


■  1    =        »  -I-  2  n  /  — 

(i+r)"         (,+!»;'«  ^      J    (1 


edi 


+  <")-^' 


on  fera  successivement  n  égal  à  i  et  à  2  ^  et  retranchant  du 
second  résultat  la  moitié  du  premier ,  puis  réunissant  en 
une  seule  les  deux  intégrales  qui  ont  (  i  -f-  ^  )  '  ^u  dénomi- 
Bateur  et  réduisant  y  on  obtiendra 

* 

Cela  posé  pour  avoir  le  volume  qui  est  en  dessus  du  plan 

xj  j  il  faut  prendre  l'intégrale  depuis  la  plus  petite  valeur 

de  x  jusqu'à  la  plus  grande  :  on  les  trouve  par  la  théorie 

bx 
connue ,   et  z  =  o    donne   y*  =  ± .   On  intégrera 

donc    depuis    c^  =  —  bx   jusqu'à  c/z=z  -^  bx.   Or    la 

/iralenr  f^=  1/    (- ^  j  donne  pour  limites  /  =  oo 

tt  /  =  o.  Ces  deux  hjrpothèscs  réduisent  à  zéro  les  deux 
premiers  termes  de  notre  intégrale  3  la  taogente  qui  entre 


Centres  db  ghititi^.  ~  91 

iu^  le  troisième  est  infinie  dans  un  cas  et  nulle  dans 

1  autre  ^  Parc  est  donc  et  sféro.  Ainsi  notre  intëgrate 

^^vicnt  d'une  part  =  J  ,  et  de  l'autre  =  0  :  retran- 
chant le  premier  résultat  du  second,  on  a ^>  qui 

^^stitué  ci-dessus  y  donne 

ahxxdx 


dxfzdy  = 


2  c 


^n  intègre  de  nouveau  depuis  x  =  o ,  jusqu'à  j:  =  c  et  on 
double  pour  avoir  le  volume  total  du  corps ,  ^'on  trouve 
ainsi  fzdxdjr  =  ^  abat}  c'est  comme  on  voit  le  promit 
de  l'aire  elliptique  du  cintre ,  on  ab^,  -par  la  moitié  d^ 
la  hauteur  ^  c.  ' 

Pour  avoir  la  seconde  intégrale  de  xzdocdy  il  Ëiudra  de 
même  intégrer  relativement  à  y  seul  )  ce  qui  se  réduit  à 
multiplier  par  x  le  résultat  ci-dessus  :  donc 

nb  ftx"^  dx 
xdxfzdy  = : ,  d'où  ffxzdxdjr  =  ^  a6  sr  c» , 

2  c 

et  enfin  Xzsz^  c)  résultat  simple  et  remarquable. 

79*  Appliquons  à  un  exemple  ce  qui  a  été  dit  (52 ,  4^*)  i^ig-  33. 
pour  trouver  le  centre  de  gravité  d'un  système  de  corps. 
Cherchons  celui  du  secteur  sphérique  engendré /par  le  sec- 
teur circulaire  MAC  en  tournant  autour  de  AC.  Ce  vo- 
lume est  composé  d'un  segment  sphérique  et  d'un  cône , 
soient  I  et  L  leurs  centres  de  gravité  respectifs  3  on  a  vu 
(77)  qu'en  désignant  \^P  par  x  ,  et  AC  par  a ,  on  a 

^j_Sa  —  5x   ^^     et  PL=i.  CP  =  i(«  — ^î- 

12a — 4x        ^  J 


• 


J 


'     "'$'.■■  *  • 

-> 
'   ■  "  .  • ." 

Mais  comme  les  positions  de  /  et  de  L  ne.  «ont  pm'  i 
rapportées  au  ménie  point^tf  ^  on  rempkcela  seconde  de  cct^  1 
yakorspar  - 

4       .       T 

r 

Cela  posé  y  concevons  les  rolomes  dé  ces.denz  corps 
réonis  en  leurs  centres  de  gravité  /  et  £  :  on  cpnnott  êct 
Tolnmes  par  la  géométrie  y  et  on  sait  que 

Le,secteur   =f»û*ar. 
.  '  ^  Le  segment =^îrar*  (5  a— «âr). 

t  Le  cône       =^ir(2<M:— ,«*)  (a-^ar).  ' 

£îi  prenant  les  mom'ens  par  rapport  au  point  ut,  on  a  pour 
celui-du  segment 

— -a:«(5a— a:) — X  ^  =  -f-  ^  ; . 

Pour  celui  du  c6ne  * 

«  • 

«•        ^                    \  ,              V       5a:  +  a.' 
~- •  (2aa:  — a:*)  (a  — à:)  X  ; . 

o  4     • 

Enfin  divisant  la  somme  des  momens  par  la  somme  des 
masses  y  qui  est  le  vdlumé  du  secteur  ^  on  a  (56)  pour  la  dis- 
tan^  du  point  ji  au  centre  de  gravité  cherché ,  th  ôtant  le 
facteur  commun  ^.  xX; 

^ar'CSa— 5a:)  +  ^(2a  — a:)  (a— tx)(5ar+a) 
•A—  -  ■  '.      • 

2  a*  .  * 

et  en  réduisant 

X=zi(2a+5x) 

ce  qu'il  s'agissoit  de  trouver. 


Cfilvi'RES  DX  GRAViTÉ.  qS 

IV.    Méthode  de  Guld'm 

80.  La  méthode  Centroharlque  (*) ,  découverU  par  Pap^ 
pus ,  est  aussi  appelée  règle  de  Guldin ,  parce  que  ce  savant 
en  a  fait  des  applications  utiles  :  elle  consiste  en  un  procédé 
fort  simple ,  pour  trouver  Taire  ou  le  volume  engendré  par 
la  révolution  d'une  courbe  quelconque  y  quand  on  connoît 
l'équation ,  et  le  centre  de  gravité  de  la  ligne  ou  de  l'aire 
génératrice  :  voici  en  quoi  consiste  cette  méthode. 

On  peut  écrire  les  secondes  équations  \D')  et  {E') 
ainsi  qu'il  suit 

I  — ,  ,       ei   X  _  — ' — - — - — . 

^%s  ii^Jjdx 

La  première  de  ces  deux  équations  exprime  la  coor- 
donnée,  dans  le  sens  de  Taxe  desj",  du  centre  de  gravité 
d'une  b'gne  :  elle  donne  iw  Y.sz=.fi  isyds.  Or  â^r  K  est 
la  circonférence  dont  Y  est  le  rayon  j  c'est  celle  que  décri- 
ront le  centre  de  gravité  autour  de  l'axe  des  a: ,  si  on  faisoit 
tourner  la  courbe  sur  cet  axe  :  de  ^lus  fT.'srjrds  est  l'ex- 
pression de  l'aire  de  la  surface  qu'engendreroit  l'arc  de 
courbe  s  par  cette  révolution  :  donc  la  surface  de  révolu^ 
tion  engendrée  par  une  courbe  donnée  autour  if  un  axe  ^ 
est  égale  jcLU  produit  de  la  longueur  de  Varc  générateur  par 
la  circonférence  décrite  par  son  centre  de  gravité. 

La  seconde  des  deux  formules  ci-dessus  exprime  la  co- 
ordonnée dans  le  sens  des  jr  du  centre  de  gravité  de  l'aire 
d'une  courbe  :  elle  donne  2  ît  V.Jjrdxzzzfny'^dx.  Or  si  on 
fait  tourner  la  courbe  autour  de  l'axe  des  x ,  l'aire  dont 
l'expression  tsijjrdx  y  engendrera  un  corps  dont  le  volume 


(•J  ICIts*»,  centre  \    Vi::^%%,  poids. 


^  StaItiqve.  f 

sem/wj^^dx;  et  le  centre  de  grayitë  de  l'aire  décrira  une  cir- 
conférence =  2  «>  K.  Donc  le  corps  qv^ une  courbe  lengêndrt 
par  sa  révolution  autour  dun  axe ,  a  pour  volume  iepro» 
âuil  de  l'aire  génératrice  y  par  la  circonférence  que  décrit 
son  centre  de  gravité*  i 

Cette  dernière  proposition  a  lieu  même  lorsque  Paire  gé- 
nératrice est  comprise  entre  deux  courbes  y  ou  entre  deux 
branches  d'une  même  courbe.  En  effet ,  la  seconde  formule 
{F')  àonnt  7,wY  X  f{j— y )dx=fw{f^—y)dx y  qui 
conduit  à  la  même  conséquence  ^  puisque  y*(j^—j'')  dx  est 
l'îure  génératrice ,  et  queyîr(j^' — x'^)  ^  ^^  l'expression  du 
volume  engendré  par  la  révolution  de  cette  aire. 

Fig.  i5.  8i.  Par  exemple  ;  on  pfeut  regarder  l'aire  d'un  cercle  ' 
comme  engendrée  par  le  mouvement  de  son  rayon  autour 
du  centre^  la  ligne  génératrice  est  le  rayon  R  dont  le 
centre  de  gravité  est  au  milieu  :  la  ligne  décrite  par  ce 
centre  est  une  circonférence  dont  le  rayon  est  \  R;  ainsi 
elle  est  =  TT  /i ,  et  la  surface  du  cercle  est  ^R^j  ce  qu'on 
savoit  d'ailleurs. 

Si  la  circonférence  fDBE  tourne  autour  de  l'axe  Ax  j 
en  faisant  le  rayon  J^B  =  «  7  et  la  distance  MH  du  centre 

à  Taxe  -izzb  y  on  a  pour  l'aire  qu'elle   décrit , 

cir.  a  X  cir.  i  =  4îr*û^    :    et  comme    cette  valeur  est 
double  de  la  voûte  annulaire  décrite  par  la  demi-circon- 
férence DEF  yV^ive  .de  cette  voûte  est  =  2  Ti^ah»  De  même 

le  volume  engendré  par  l'aire  du  cercle  est. 

=  cercle  MB  x  cir .  MH-rr.  2  ^'^a'^b.  Si  az=zby  c'est-à-dire 
si  le  cercle  tourne  autour  xLe  la  tangente  en  F ,  l'aire  dé- 
crite =  (2 «-a)'  =  le  carré  qui  a  pour  côté  la  circonfé- 
rence a  ;  le  volume  =  2  «•  *a^. 
Fig  ^9.  De  même,  si  le  rectangle  ABDC  tourne  autour  du  côté 
BD  ,  il  engendrera  un  cylindre  :  soit  ACzzzh  ,  CD  =  r, 
le  côté  ACdi  son  centre  de  gravité  au  milieu  /,  qui  décrit 


CeNTASS  SB  GAÀVITé.  c/i 

«ne  circonférence  dont  le  rayon  est  r;  donc  la  surface 
engendrée  j  ou  l'aire  du  cylindre  zsm^rh.  Comme  le  rec- 
tan^  a  son  centre  de  gravité  à  rintersection  G  des  deax 
diagonales  ,  le  volume?  du  cylindre  est 

jiCx  CD  X  cir.  i  CD=9fhr^. 

Enfin  j  le  triangle  rectangle  ABH  j  en  tournant  autour  Fig.  37, 
du  côté  AB  engendre  un  cône;  faisons  AHz=.  Uy  BH'zzzry 
et  AB  =  A.  Comme  le  centre  de  gravité  de  AH  est  au 
milieu  F  ^iX  décrit  une  circonférence  dont  le  rayon  est 
KF-=i\  r/  Taire  du  cône  est  donc  »  ra>  Soit  l  le  milieu 
de  BH;  prenons  sur  la  droite  Alwae  partie  AD  =z=  |.  Af^  - . 
D  sera  le  centre  de  gravité  du  triangle  ABH^  et  le  volume 

du  cône  sera.  cir.  DE  x  BH  x   \*  AB  i  or 

D£  =f  5/=^  BHy  donc  cir.  £>£=§. îrr,  et  le  volume 
du  cône:=  ^.«r*^. 

C^s  résultats  y  déjà  connus  ,  ne  sont  mis  ici  qu^  pour 
n^eax  développer  la  méthode  centrobarique }  on  pourrait 
d'ailleurs  l'appliquer  également  au  cône  tronqué^  à  U 
sphère ,  etc. 

82.  On  pourra  donc  trouver  la  surface  engcndré,e  par  1% 
révolution  d'une  courbe  donnée  ou  le  volume  engendré 
par  celle  de  son  aire,  lorsqu'on  connottra  le  centre  de  gra- 
vité de  la  courbe  ou  de  l'aire  génératrice  ;  ce  qui  sera  facile 
à  trouver  parles  formules  précédentes,  tontes  les  fois  que 
la  courbe  sera  soumise  à  une  loi  donnée  par  une  équation. 
Si  cette  courbe  ne  faisoit  pas  une  révolution  entière  sur  sou 
axe  y  il  seroit  aisé  de  trouver  encore  Taire  ou  le  volume 
engendré  y  car  on  a  évidemment  cette  analogie  :  Taire  ou  le 
volume  engendré  par  une  révolution  entière  est  à  une  cir- 
conférence quelconque,  comme  Taire  ou  le  volume  en- 
gendré par  une  portion  de  révolution  y  est  à  Tare  de  cette 
circonférence  qui  lui  sert  de  mesure  angulaire.  Donc  V<iirc 


g6  STATiquEi 

ou  le  volume  engendré  par  une  révolution  entière  j  ou  pair 
une  portion  de  révolution  ^  est  égal  au  produit  du  chemin 
ijue  fait  le  centre  de  gravité  par  la  courbe  ou  Faire  gêné* 

ralrice. 

0 

85.  Réciproquement  aussi  ^  on  obtient  la  circonférence 
décrite  par  le  centre  de  gravité  d'un  arc  courbe  dans  sa  ré- 
volution autour  d'un  axe^  en  divisant  la  surface  iju'en- 
gendre  cet  arc  par  sa  longueur  même  :  donc  pour  avoir  la 
distance  du  centra  de  gravité  d'un  arc.  à  un  axe  y  il  faut 
le  faire  tourner  autour  de  cet  axe  ^  et  diviser  la  surface 
<p.'il  engendre  y  par  la  circonférence  qui  auroit  pour  rayon 
}a  longueur  de  cet  arc  ^  ce  théorème  peut  servir  dans  un 
grand  nombre  de  cas  à  trouver  le  centre  de  gravité  d'un 
arc.  Par  exemple  ,  pour  trouver  le  centre  de  gravité  de  l'arc 
rfjj.  33.  MAM'  j  on  le  fera  tourner  autour  de  Cy  perpendiculaire* 
ai;  rayon  AC:=za  qui  divise  cet  arc  en  deux  parties  égales^ 
comme  la  surface  engendrée  par  Tare .  sera  une  zone  sphé- 
rique  ,  elle  sera  z=  2îra.  MM'  :  en  divisant  cette  valeur 
par  la  circonférence  qui  a  MAM'  pour  rayon ,    ou  par 

2  » .  MAM' .  on  a      ,'    ^,^ —    pour   la    distance   X,    dii 

MAM'      ^ 

centre  cherché  à  Cy.  S\  Tare  est  la  demi-circonférence , 
elle  engendre  une  surface  sphérique  =  4«^^'?  et  comme 
l'arc  générateur  z=:  %a  y  on  a  pour  la  circonférence 
décrite   par  le   centre  de   gravilé    autour   de    Cjf ; 

2    AT  -Y  =    =  4  ût  :   d'où  ^  -Y  =  2  a.   Tout    ceci 

Tsa 

5'accorde  avec  ce  qu'on  a  vu  (66). 

De  même  en  divisant  le  solide  engendré  dans  la  révolu-» 

lion  d'une  aire  autour  d'un  axe  ,  par  cette  aire  et  par  a», 

on  aura  la  distance  du  centre  de  gravité  de  cette  aire  à  l'axe» 

ïij    9.  Ainsi  ABDC  en   tournant   autour  de  BD  engendre   un 

cylindre  dont  le  volume  est  srr'/r  ;  l'aire  ABDCz=hr ^  en 


Machines.   .  9^ 

^visant  donc  «t'A  par  rh  x  a» ,  on  a  ^r  pour  la  distance 

'^u  centre  de  gravité  de  ABCD  à  la  ligne  BD.  On  auroit 

^e  même  |A  pour  la  distance  de  ce  point  à  la  ligne  CD* 

M)yez  à  cet  égard  un  mémoire  de  Farignoriy  inséré  parmi 

®êux  de  rAcadémiey  pour  Tannée  17 14»' 


CHAPITRE    ni. 

DsS     MACHINSS. 

S^,  \Jv  appelle  Machines  des  corps  retenus  par  des  n 
oi>8tâcleS;  tels  que  des  points  ou  des  axes  fixesy  et  à  Taide 
descjuels   les   forces  agissent  les   unes  contre  les  autres. 
I^  ^i^dttstrie  et  le  besoin  ont  produit  de  concert  ces  inventions 
n^^oaniques^  on  en  distingue  de  simples  et  de  cony?osées» 
H   1%'ja  que  trois  machines  simples ^  les  Cordes,  le  Plan 
indiné  et  le  Levier  :  il  ne  s'agit  pour  former  des  machines 
coinposées  que  de  réunir  en  un  même  système  plusieurs 
macljines  simples  en  les  faisant  communiquer  entre  elles. 
l>e  but  essentiel  d'une  machine  est  de  changer  la  grandeur 
et  la  direction  des  forces  ^   de  sorte  que  tout  ce  qu'on  doit 
dire  des  machines  n'est  qu'une  suite  d'apphcations  très- 
simples  des  propositions  démontrées  précédemment* 

Nous  allons  traiter  séparément  de  chaque  machine  sim-  ^ 
pie  y  et  des  machines  composées  les  plus  ordinaires  y  en 
faisant  d'abord  abstt'action  des  obstacles  qui  proviennent  de 
la  nature  des  matières  qu'on  y  emploie  et  de  leur  cons^ 
truction  y  tels  que  le  frottement^  la  roideur  des  cordes ^  etc.  ; 
nous  réservant  d'y  avoir  égard  par  la  suite. 


98  Statique. 

I.    Des  Cordes. 

^      85.  Les  CORDES  sont  assez  connaes  pour  que  nous  m 

dispensions  de  nous  étendre  sur  leur  usage  :  dans  ce  qac^^ 
nous  allons  dire  ^  nous  les  considérerons  comme  parfaite-  -^^ 
ment  flexibles  y  sans  pesanteur  ^  et  réduites  à  leur  axe ,  à    -^ 
moins  que  nous  n'avertissions  expressément  du  contraire. 
On  nomme  aussi  les  cordes  des  Machines  Funiculaires» 

*  Nous  appellerons  Tension  d'un  cordon  la  force  cpii  agit 
à  l'une  de  ses  extrémités  quand  l'autre  est  fixe  :  lorsqu'on 
a  deux  puissances  égales  et  opposées  y  appliquées  à  un  cor- 
don y  l'équilibre  a  lieu  y  on  peut  regarder  l'une  des  extré- 
mités coiimie  fixe }  la  tension  du  cordon  est  l'une  des  forces 
qui  agissent  sur  ce  cordon.  Mais  si  l'équilibre  n'a  pas  lieu^ 
ce  qui  arrive  lorsque  les  deux  puissances  sont  inégales ,  la 
tension  est  la  plus  petite  des  deux  forces  :  car  l'effet  de  la 
plus  grande  est  d'aaéantir  la  plus  petite  ^  et  de  l'entraîner 
dans  le  sens  de  sa  propre  direction  comme  le  feroit  une 
force  égale  à  l'excès  de  l'une  sur  Taiitre  :  or  cette  dernière 
partie  de  Teffet  ne  peut  contribuer  à  la  tension^  qui  sera  la 
même  que  s'il  n'y  avoit  que  la  plus  petite  des  deux  fd^ces 
qui  agit. 

^  83.  Soient  trois  forces  P  y  Q  et  Ry  sollicitant  un  point 
rig  a»  matériel  Z>,  à  l'aide  de  trois  cordes  AD  y  CD  ,  BD  y  unies 
par  un  nœud  en  D  :  comme  on  considère  les  cordes 
comme  inextensibles  y  lorsque  les  forces  se  servent  de 
cordons  pour  transmettre  leur  action  ,  elles  doivent  tirer 
CCS  cordons  afin  de  les  tendre  ;  ainsi  ils  sont  assimilables  a 
des  verges  rigides,  de  sorte  qu'on  peut  y  appliquer  les 
puissances  en  un  point  quelconque  (i5)  de  leur  direction.  Il 
est  donc  visible  qu'il  n'y  aura  é<juilibre  eutre  les  forces 
P^QyRy  qu'autant  que  la  proposition  (  i8;I)  aura  lieu } 


Machines  ^    cordes.         .  99 

I 

ainsi  le  théorème  du  parallélogramme  des  forces  ;  et 'toutes  les 
vérités  qui  s'y  rapportent  reçoivent  ici  leur  application  im- 
médiate. £n  général^  quelque  nombre  de  forces  qu'on 
considère  agissant  à  l'aide  de  cordons  sur  un  poin^  maté- 
riel; les  conditions  de  l'équilibre  y  ou  la  résultante  ^  seront 
données ,  savoir  :  par  les  valeurs  {F)  ou(B  ^  C)  si  les  forces 
^nt  disposées  dans  le  même  plan^  b>t  par  les  expressions 
(J)  ou  (H)  si  elles  sont  dans  des  plans  différens.  \ 

87»  Mais  lorsque  toutes  leà  puissances  ne  sont  pas  réu-  ^ 
nies  en  un  même  nœud ,  alors  le  cordon  qui  transmet 
leur  action  mutuelle  des  unes  aux  autres  y  prend  la  forme 
d'nn  poljgone  qu'on  appelle  Polygone  Funiculaire  :  por- 
tons notre  attention  sur  ce  système  remarquable  ^  et  sup^ 
3>osoDS  d'abord  que  toutes  les  forces  sont  dans  un  même 
plan. 

Ainsi  soit  P'M'M^M".  •  •  • .  •  ^  •  le  polygone  en  ques-  ^ 
^ovLj  et  P'  y  P"  y  P"'  . . .  des  puissances  faisant  avec  une  Fi-.  41. 
^oite  quelconque  AX  menée  dans  leur  plan^  des  angles         > 
W.,  «^ .  •  •  •  Nommons  a' ,  a^^  y..,,  les  angles  que  forment 
les  directions  des  cerdons   avec   cette   même  droite}  et 
i'  y  t^  y  .  ••»  •  les  tensions  respectives  des  cordons  P'M'  y 

M'Mfy  MffM"' 

Cela  posé^  puisque  l'équilibre  a  lieu  dans  ce  système  ^  il  He 
faut  qu'il  existe  dans  chaque  portion  du  polygone  séparé- 
ment}  que  P'y  P^  et  /"  soient  en  équilibre  autour  du  nœud 
M' y  aussi  bien  que  i" ,  P**'  et  i"'  autour  du  nœud  M'* ,  etc. 

Ainsi  on  aura  d'après  les  équations  {Fy,  pour  l'équilibre  4^ 
autour  du  nœud  , 

(  P'  cos  tif  +  P'f  cos  tt'f  +  /"  cos  a"  =  o , 

M'... } 

(  P'  sin  a'  +  P"  sin  Jf  +  /"  sin  a''  =  o. 

Observons  d'ailleuts  qu'on  devra  faire  précéder  ces  divers 
termes  du  signe  indiqué  par  le  sens  suivant  lequel  chaque 


.■i 


lod  Statique. 

composante  agit  (26)  :  nous  laissons  le  signe 
toaty  car  pour  trouver  des  é<piations  générales  et  propres]^ 
être  appliquées  à  tous  les  cas  y  il  ne  faut  ici  rien  exprimer^ 
cpii  tende  à  attribuer  aux  forces  données  des^  directions 
déterminées  ,  et  se  réserver  ^  pour  chaque  cas  particulier  | 
de  fixer  leurs  positions  d'après  les  signes  des  si^ius  et  coô- 
nuSy  ainsi  qu'on  l'a  déjà  expliqué  (26).  Quant  aux  quantités 
incoAnueSyOn  doit  regarder  ces  équations  conmie  destinées  k 
les  déterminer  d'après  la  connoissance  des  autres  quantités; 
si  donc  une  force  est  inconnue  (ainsi  que  cela  arrive  ordinaî* 
rement  pour  <^  et  a"  )  on  doit  encore  en  laisser  les  compen- 
santes positives  j  et  le  calcul  même  donnera ,  par  les  signes 
dont  elles  seront  affectées^  le  sens  suivant  lequel  elles  agissent» 

Au  point  Jlf  ^  l'équilibre  a  lieu  entre  les  forces  /♦ ,  /•" 
et  i'^'  y  ce  qui  conduit  à  deux  équations  analogues  aux  pré- 
cédentes :  seulement  on  doit  observer  que  la  force  t^-  dont 
il  s'agit  ici  y  n'est  point  la  même  que  celle  qu'on  a  employée 
plus  haut  y  et  qu'elle  est  égale  et  opposée  à  celle-ci  :  de 
sorte  que  quelque  signe  que  les  composantes  de  t^  aient  dh. 
recevoir ,  elles  doivent  en  avoir  icT  de  contraires  ;  elles 
sont  donc  négatives.  Ainsi ,  on  a  polir  le  nœud 

i  —  t'i  cos  al  +  P'"  cos  «'"  ■+■  t'"  cos  a!"  =  o . 
M''....'  ' 


{ 


/"  sin  a'f  •+  P'"  sin*'"  -f-  tf'f  sin  a"'  =  o. 
on  auroit  de  mémo  pour  Téquilibre  du  nœud 

—  l'"  cos  a"'  -f-  JP'^  cos  «'^  +  t'''  cos  a'^  =  o  , 


M'" 


r  —  i"f  ces  a'"  -f-  JP'^  cos  «'^  +  f''  cos  a'^  =  o 
"  "\  —  /'"  sin  û'"-h P'^ sin  «'^ -+-  /'^ sin  a'^  =3: o. 


et  ainsi  des  autres.  Maintenant  ces  conditions  sont  néces- 
saires et  sufTisantes  pour  Téquilibre  :  si  n  est  le  nombre 
des  cordons  ou  côtés  du  polygone ,  n  —  i  sera  celui  des 
nœuds ,   et  2  {  «  —  i  )  celui  des  équations  ;   ainsi  on  peut 


MACHINES;     COADES.  101 

^^Ondre  tout  problème  sur  le  polygone  funiculaire^  pourvu 
¥^^  y  renfermant  2  ( n-^  i  )  inconnues^  il  ne  s'en  suive  pas 
^^  contradiction    entre  les   équations  ^    ce   que  le  calcul 
^prendra 5  et  que  de  plus  P'y  P^...*^ agissent  en  ti- 
rant (86).  Il  y  â  n-f-  I  puissances  P'  ^   P'* ,,...  autant 

dÏDgles  m' p  af* ;  les   tensions  des  cordons  sont  au 

nombre  de  n-*-  2  en  n'y  comprenant  pas  celles  des  cordons 
extrêmes  qui  sont  déjà  comptées  }  (elles  sont  P'  et  P^'^O) 

il  y  a  aussi  n  —  2  angles  a^  ^  a"'  ; :  ainsi  puisque  nos 

équations  comprennent  4  n  —  2  quantités  ^  2  n  -«-2  seront 
inconnues  et  2  n  données. 

88.  Le  problème  le  plus  ordinaire  est  celui  oii  y  donnant  ^ 
toutes  les  forces  ^  on  demande  si  elles  sont  en  équilibre  ^  de 
plus^  il  faut  construire  le  polygone  funiculaire  et  déter- 
miner les  tensions  des^  cordons.  On  voit  d'abord  que  les 
données  sont  P' yP^'^y  *, ,.  «' ^  «''••••  ,  dont. le  nombre 
est  2  n  +  2  ^  ainsi  il  y  a  deux  quantités  données  de  trop  : 
on  devra  donc  être  conduit  à  deux  équations  de  condition 
pour  que  l'équilibre  ait  Heu.  Ajoutons  les  premières  équa- 
tions de  chaque  groupe  entre  elles  y  2 ,  5  ^  .  •  * .  ensemble  y 
et  &isons-en  autant  pour  les  secondes  y  nous  aurons  y  outre 
les  deux  premières  ^  les  suivantes  : 

■ 

CP'  cos  m'  +  p»  cos  «'^  +  Pff'  cos  «w  +  H»  cos  a!"  =  o 
\P'  sin  a'  +  P»  sin  *''  +  P"'  sin  éû"  +  H"  sin  a»'  =  o 

^P'cos«'-t-P*cos«'''+P"'cos«'''+P*'cos«*^-h/*^cosa'^=o 
tP'  sin  n'-^Pff  sin  ti^+P"'  sin  a'" + P'^  sin  «'^-f-/"^  sin  a'^=:o 

et  ainsi  des  autres. 

n  est  clair  que  ces  résultats  conduisent  tous  à  des  équa-  * 
tions  de  la  forme  l  cos  a  =  —  Xy  /  sin  a  =  —  K,  A*  et  V 
étant  des  quanlilcs  connues  ^  qui  représentent  la  somme 
des  composantes  des  forces  données  dans  1c  sens  des  axes.  En 


é 

102  Statique* 

qaarrant  et  ajoutant  (comme  au  n®.  25)  on  a  ^  =  X*  4-  I^  j 

Y 

de  plus ,  en  divisant,  on  trouve  tang  a  =  -^  :  ainsi  on 

connoitra  les  tensions  et  les  directions  des  cordons  y  c'est- 
à-dire  t^  f  l"  y a'  y  a'*  y :  les  longueurs  sont 

d'ailleurs  arbitraires ,  le  premier  et  le  dernier  cordon  du 
|K>lygone  sont  tendus  par  les  deux  forces  extrêmes ,  on 
pourra  donc  construire  le  polygone  funiculaire.  Enfin  ,  en 
ajoutant  toutes  les  équations  dans  l'ordre  ci-niessus  dé<« 
signé;   on   obtient 

P' cos  «'  +  P'i  cos  Jf  +  etc.  -1-/^0 -t-'^cos  «C  -^0=:  o  , 
P'  sin  *'  +  P'i  sia  *'/  +  etc.  ^-  PC  -^0  sin  «(-"^0=  o. 

H^  Ce  sont  les  deux  équations  de  condition  dont  nous 
avons  parlé  5  et  l'équilibre  ne  peut  avoir  lieu  si  elles  ne 
sont  satisfaites.  On  voit  y  en  les  comparant  avec  les  valeurs 
{F)  y  que  pour  que  tant  de  forces  qu'on  voudra  soient  en 
équilibre  autour  d^jin  Pofygone  Funiculaire  y  il  faut  que  si 
on  transporte  ces  puissances  parallèlement  à  leurs  direc-* 
lions  pour  les  appliquer  en  un  même  point ,  elles  soient 
en  équilibre*  Ainsi^  deux  des  quantités  P* y  -P"....,  «',  «".... 
doivent  être  indéterminées ,  (  telles  que  la  dernière  puis- 
sance et  sa  direction  )  ^  alors  nos  équations  de  conditioi;! 
servent  à  les  faire  connoître  y  par  le  même  procédé  que 
t*f  et  a".  Mais  on  ne  doit  pas  oublier  qu'en  général  l'é- 
quilibre n'est  la  conséquence  de  nos  équations  de  condition 
qu'autant  que  le  polygone  est  de  forme  inconnue  et  que, 
comme  ilya2  (tï— i)  équations  qui  doivent  être  satis- 
faites ,  elles  servent  à  faire  connoître  cette  forme.  La 
tension  /"  du  cordon  M'M'f ,  devant  faire  équilibre  aux 
forces  P'  y  P'^  y  est  égale  à  leur  résultante  j  la  force  qui  agit 
sur  le  point  M'' est  donc  la  même  que  si  deux  forces  P*,  P^ 
j  étoient  appliquées  parallèlement  à  leurs  directions ,  et  ce 


'• 


Machines  ;    corbes.  iq5 

V^W  est  sollicité  parles  quatre  forces  P',  P^,  P"'  et  t!"  :  or  oa 
*^^oit  voir  de  même  que  /"'  équivaut  aux  autres  puissances 
*^^^  f  P^ ,   etc.  Ainsi  chaque  angle  de  polygone  est  dans 
*^  même  état  que  si  toutes  les  forces  y  étaient  appliquées 
^^rallèlement  à  leurs  directions.  Il  faut  d*aiileurs  observer    '\ 
^ue  tout  ce  qui  vient  d'être  dit  ne  suppose  pas  essentielle- 
ment que  chaque  angle  du  polygone  n*est  sollicité  que  par 
^ne  seule  force.  Si  donc  on  veut  établir  l'équilibre  dans  un 
polygone  funiculaire  ^  il  suffit  de  déterminer  convenable^ 
ment  une  force  et  de  la  placer  en  l'un  quelconque  des  angles. 

Toutes  les  conséquences,  que  nous  venons  de  déduire 
ne  sont  pas  particulières  au  polygone  funiculaire  plan  :  ou 
y  parviendroit  de  même  en  imitant  ce  qui  a  été  dit  ci- 
dessus  ,  et  décomposant  les  forces  parallèlement  à  trais 
axes»  Noiis  ne  nous  arrêterons  point  à  cette  théorie ,  assez 
facile  pour  que  chacun  puisse  parvenir  aisément  à  ce  ré-  . 
sultat^  de  plus  j  on  pourra  en  conclure  que  les  projections 
du  système  sur  chaque  plan  coordonné  forment  des  polygo- 
nes funiculaires  en  équilibre.  .. 

89.  Il  suit  de  là  que  si  un  cordon  P'M'M'f ....  a  l'une  ♦ 
de  ses  extrémités  B  retenue  par  un  p'oint  fixe  )  et  si  l'autre  Fig.  4t. 

.  extrémité  P' ,  ainsi  que  plusieurs  pointé  M' ,  Af " , 

de  ce  cordon  sont  sollicités  par  des  forces  quelconques  P' , 
P^ , .  •  .'données  en  grandeur  et  en  direction  ,  l'équilibre 
s'établira  et  le  polygone  funiculaire  prendra  une  figure 
P'M'M'f  •  •  •  •  qu'on  construira  facilement.  L/effort  exercé 
surle  point  fixe  Bj  ou  la  tension  P  ^'*'*'*  )  du  cordon  retenu 
par  ce  point  ^  sera  facile  à  déterminer  :  car  cette  tension 
étant  donnée  par  les  deux  équations  de  l'article  88  y  sera 
exprimée  en  grandeur  et  en  direction  par  la  résultante  de 
toutes  les  forces  ^  supposées  transportées  parallèlement  et 

'  appliquées  en  un  même  point ,  qu'on  peut  prendre  pour  le 
point  fixe.  A  plus  forte  raison  si  les  deux  extrémités  du 


io4  Statique. 

cordon  sont  fixes  Tëquilibre  aura-t>il  lieu  y  et  le  problème 
de  la  construction  du  polygone  sera  alors  indéterminé  ,  à 
moins  toutefois  qu^on  ne  donne  quelque  autre  condition. 
Si  9  par  exemple  y  les  directions  des  cordons  jextrémes  soiit 
données  y  alors  nos  deux  équations  feront  connoitre  leors 
tensions  /"  et  P  (»-«- 1  )  Q^  ]gg  pressions  (48)  des  points  fixes  } 
on  peut  à  la  place  de  ces  équations  employer  (x8)  cette  cons- 
truction :  on  prolongera  les  cordons  extrêmes  BM^^y  P'JU* 
dont  la  direction  est  connue  ;  et  on  appliquera  en  leur  point 
de  concours  O  toutes  les  forces  P'^  y  P"' ....  parallèlement 
à  leurs  directions  (88) }  enfin  on  cherchera  leur  résultante  y 
qui ,  décomposa  isuivant  les  cordons  extrêmes  y  fera  çon- 
Tig.  4*.  nohre  les  pressions  /^'  et  PC"-**  O,  De  même  si  un  cordon 
AEB  y  fixé  eil  deux  points  A  ti  B  y  a  tous  ses  points  sol- 
licités par  des  forces  quelconques  y  il  prendra  la  cpurbure 
AEB  'y  cherchons  le  point  de  concours  O  des  deux  tangentes 
AO  et  ^0|  et  transportons  ces  forces  parallèlement  à 
leurs  directions  pour  les  appliquer  en  O  ^  en  décomposant 
leur  résultante  Q  en  deux  autres  forces  dirigées  suivant 
^Oet  Oj5(86),  on  obtiendra  visiblement  Téffort  exercé 
sur  chacun  des  points  fixes. 

90.  Ce  cas  s'applique  visiblement  à  la  pesanteur  y  puisque 
cette  force  exerce  son  action  sur  tous  les  points  du  cordon  , 
actions  qui  peuvent  être  assimilées  à  des  poids  distribués 
dans  toute  la  longueur  de  la  corde  pesante}  la  courbe 
qu'elle  forme  a  été  nommée  Caténaire  y  Chaînette  ou 
Courbe  Funiculaire,  Il  est  d'abord  visible  que  cette  courbe 
est  plane 3  en  effet,  soient  des  puissances  verticales  P^  y 
Tig.  43-  P'" y  .....  appliquées  au  cordon  ABCD y  il  est  visible 
que  ce  polygone  est  dans  un  plan  3  car  P'B ,  P^B  et  BC 
sont  dans  un  même  plan  :  il  en  est  de  même  de  BC  y  CP"' 
CD  y  et  de  plus  ce  dernier  plan  est  le  mçme  que  le  premier; 
ainsi  des  autres.  Les  extrémités   étant  fixes  ^  les  cordons 


extrêmes     ont  nue  direction  qu'on  peut  [M'endre  comuie 
on  veut  (  8g  ) ,  à  moins  «fue  la  longueur  du  cordon 
toute  autre  condition  ne  soii  donnée. 

Dans  la  cliaînetle  ,  les  points  fixes  A  tt  B  supportent  ' 
le  poids  entier  de  la  corde  ;  les  pressions  qu'éprouvent 
ces  points  sont  (4^)  i*s  deux  forces  P',  P"  qu'il  fandroit 
employer  dans  les  directions  des  tangentes  en  ^  et  S  ,  au 
lieu  des  points  (iics.  On  peut  supposer  que  la  corde  perde 
sa  flexibilité  et  conserve  la  forme  AEFB  ;  et  puisque 
P'  et  P"  détruisent  le  poids  de  la  corde  ,  la  résultante 
des  efforts  exercés  par  la  gravité  passe  par  le  point  Q  de 
concours  des  tangentes  extrêmes.  Donc  le  centre  de  gra- 
vité de  AEFB  est  sur  la  verticale  OE  :  de  plus ,  si  on 
place  en  O  un  poids  Q  égal  à  celui  de  la  corde,  et  soutenu 
par  deux  lils  ineitemsibles  et  sans  pesanteur  AO  ,  BO ,  les 
points  ^  el  B  seront  pressés  de  la  même  manière  qu'ils  le 
sont  par  l'action  de  la  pesanteur  sur  la  corde  ;  donc  les 
efforts  /*',  P",  exercés  en  A  et  B  sont  proportionnels  aux 
sinus  des  angles  fiO£:  et  ^0£"  (i8,I),  et  onles  déduit  de 

Q         _       P-         _        P" 
sia.AOB  ~  sm.BOE    ~  ùa.AOE' 

Cela  doit  même  avoir  lieu  ,  quels  que  soient  les  points 
A  et  B ,  puisque  l'élat  d'équilibre  perroet  de  considérer 
comme  Gxes  deux  points  quelconques  pris  sur  le  cours 
de  la  courbe.  Si  doue  on  regarde  le  point  F  comme  fixe 
au  lieu  du  poiat  B  ,  le  reste  AEF  de  la  courbe  ne  chan- 
gera pas  de  forme  ;  de  plus  la  tertsion  P'  exercée  en  A 
seTa  encore  la  même  :  pour  nous  en  convaincre, 
quons  que  comme  on  peut  regarder  conune  fixe  telle 
partie  qu'on  veut  d'un  système  en  équilibre  ,  on  peut , 
dans  la  fig.  4'  ,  supposer  que  le  point  M"'  est  fixe, 
rien    changer  à  l'état  d'équilibre  du  systênke  ; 


:i>nuiie       ^^^1 

4 


io6  Statique. 

polygone  P'M'M^M"'  conservera  la  même  forlne:  ie 
plus  l'introciuction  da  point  fixe  en  M"  équivaut  à  celle 
d'une  force  qui  produiroit  l'équilibre^  cette  force  agiroit 
donc    dans    la    direction    M'^M^"  ,    et   puisqu'elle    doit 

équivaloir  aux  forces  P^^ ,  P^ supprimées  conune 

inutiles^  elle  doit  faire  éprouver  à  ce  cordon  la  même 
tension  t"'  :  d*où  il  suit  que  /^  ^  et  enfin  P'  sont  restés 
de  même  grandeur. 

yjg-  4+-  gi.  Cherchons  l'équation  de  la  courbe  AMC  formée 
par  une  corde  inextensible  j  uniformément  grosse  j  fixée 
en  deux  pouits  donnés  ^  et  C  j  et  sollicitée  dans  tous 
st&  points  par  la  gravite.  Prenons  l'origine  en  ^ ,  Pho- 
risontale  Ax  pour  axe  des  a:  ^  et  comptons  les  jr  verti- 
calement :  pour  un  point  M  quelconque  y  nous  aurons 
AP  =  a: ,  PM=jr  et  AM-=i  s.  Les  tensions  exercées 
«n  A  et  en  Jlf  suivant  les  deux  tangentes  AD  et  Jlfl} 
"  donnent  (i8,  I  ) 

poids  de  AM  sîn  .  ADM 

tension  en  A  sin  .  IDF 

Or,  observons  que  comme  la  tension  en  A  est  constante  , 
et  que  le  poids  de  l'arc  A  M  est  proportionnel  à  sa  longueur, 

s 
'  le  premier  rapport  est  =  — y  a  étant  une  constante  indé- 
terminée.  De  plus ,  sin  IDF  z=  --r-  ,  cos  IDF  =  J^  ; 

as  ils 

en. désignant   par  $   l'angle    lAD  ,  on   a 

m.ApM=sin.ADF=sm.  {IDF-^IDA),  ainsi 

jniLi          dxsin$  —  djr  .  cos  è 
sm  .  ADM  = ■ — ", .  Donc  on  a* . . . 

as 

s  dx  .  sin  6 — r  dfr  .  cos  â        ,,  , 

— -  = — ^ ;  d  ou  on  tu*e 

a  ax 

sdx  =;=  adx  sin  é  —  adx  cos  d.  ...,.«•.  «  «(i} 


Machines^   coades.   '  107 

Telle  est  i'ëquation  différentielle  de  la  chaînette.  Pour 
éliminer  une  des  variables  Xyj  et  s^  on  différentiel 
et  prenant  dx  constant ,  on  obtient  — -  dsdx  =  hd^y  j 
en  faisant   b  ziza  cos  I.   On  déduit   de  là  y    en  mettant 

^  (rfx' + dr)  pour  ds,  -  dxdjr  =  ^^^y^^.j  ; 

or  dx  étant  constant  ^  l'intégrale  du  second  membre  est 
visiblement  b  .\/  { dx^  -f-  dj*  )  j  celle  du  premier  membre 
est  ^^jrdx  y  et  ajoutant  à  cette  dernière  pour  cons- 
tante cdx  (  à  cause  de  Thomogéuéité  )  ^   en  a 

dr 
(  c  —  J")  dx  z=zb  .\/{  dx^  4-  dj-^  ).    Or  -5^  étant    la 

dx 

tangeiite  de  Pai\gle  que  forme  avec  l'axe  des  x  la  tou- 
chante à  la  courbe  en  chaque  point ,  si  on  fait^:;=Oy 

dy 
on  devra  avoir  ——-  =  tang  $  :  cette   condition  donne 

dx 

c  =r  b  \/  (1  +  tang*  é)  s=  6 .  sec  èy  d'où  c  :^a»  Donc 

Pour  intégrer  cette  équation  on  fait  a — y=zz,  et  on  a 

di  =  —r : —   :  on    rend    cette    fraction    ration- 

nelle  en  supposant  ^  suivant  les   principes  connus 

y/(  a*  —  À")  =  z  —  t^  on  en  déduit  z  et  dz  en  fonction 

de  /  ;    et  on   a  ^   en    substituant  y  dx  =  b . ,   donc 

a:=^».log^+  >jf  =^.log[^  — V^(2>— ^0]  +  :^; 
ou   enfin 

^  =  ^  log  [  a  — j  —  V(a — jY  —  ^»  ]  +  ^. 

Cette  équation  renferme  les  trois  constantes  A ,  a  et  ^  ; 
•r  1®.   X  =  Q^  doit  donner  j*  ss  o  j   donc -. . 


4 

•J 

i 

108  Statique. 

^  =  —  i.log  [a  —  V/(a»  —  *»)]  >  «* 

a**  Si  on  tire  de  (2)  la  valeur  de  b  .  ~-  pour  la  sulMlîlaer 
dans  (i);  on'  aura  l'équation 

^  =  a  sini  —  v/ [( «  — J")*  —  *•] (B'')f 

qui  donne  la  longueur  de  l'arc  qui  correspond   à   ane 

ordonnée  connue.  Si  on  met  les  quantités  connues  AMC 

et  KC  pour  ^  et  j-  y  cette  équation  devant  être  satisfaite , 

donnera  une  relation  entre  a  et  tf .  S^«  Enfin  ^  si  on  met 

'AK  pour  X  f  et  KC  pour  j^  dans  (u^^)  7  on  aura  une 

nouvelle  équation  entre  a  et  I.  Ainsi  on  pourra  trouTer 

les  valeurs  de  ces  deux  constantes.  L'équation  (^^)  ,  dans 

laquelle  les  constantes  sont  maintenant  connues  ^  est  celle 

de  la   chaînette  :  elle    s'étend  à  tout  le  cours   de  cette 

courbe  considérée   comme   prolongée  de  part  et  d'autre 

lÊûTs  A'   et  vers   C'. 

D'après  la   théorie  des  maxima,  on  trouve  le  point 

dr 
B  le  plus  bas  de  la  courbe  en  faisant      ,      j=  o  :   cette 
■^  ax 

hypothèse  faite  dans  réquation  (2)  donne  pour  j^, 
HB  rs  a  —  ^  j  l'équation  (A**)  donne  l'abscisse  AU  de 
ce  point  ^  et  (B'^)  ou  (i)  donne  pour  5 ,  AB  =  a, sin9> 
n  suit  de  là  que  pour  les  valeurs  de  s  qui^  telles  que 
AOf  sont  plus  grandes  que  AB  ^  on  devra  dans  l'équa- 
tion {B^f)  faire  précéder  le  radical  du  signe  +  j  de  même 
pour  {A'^)  :  et  que  pour  deux  points  C  et  C  placés  de  part 
et  d'autre  de  B  y  de  manière  que  CK  =  OK'j  on  a 
KH=K'Hy  BC=z  BO,  et  les  valeurs  de  AC  et  AO 
>  AC  diffèrent  que  par  le  signe  de  ce  radical. 


l 


MACHINES;     CORSES.  I09 

gâ.  Comme  la  courbe  est  symétri({ae  par  rapport  à  BH^ 

on  pourroit   demander  que  l'origine  fût  au  point  ^^  et 

qae  les  abscisses  fussent  comptées  sur  la  verticale  BH}  car 

l'équation  seroit  plus  simple^  et  plus  propre  par  conséquent 

à  trouver  les  propriétés  de  la  courbe.  £n  faisant  de  nouveau 

les  raisonnemens  ci-dessus  et  ^ AT  =5;  nous  trouverons 

i'ëqnatioa  séfy'  =  cdx }  et  comme  ds*  r=  dx^  -f-  dj-*  y  on  a 

-                         sds  ,,  , 

aûc  =  —7- ; ,  d  ou 

j:*  +  2  ex  =  s** 

Ainsi  la  chaînette  eist  une  courbe  rectifiahle.  On  tire  de 
\aL  dy  •==.  — —- : pour  l'équation  différentielle 

de  cette  courbe;  et  opérant  comme  précédemment ^  on 
aura  pour  intégrale 

^  =  clog|-- ^ J 

On  auroit  pu  arriver  à  ces  divers  résultats  par  une  simple 
transformation  de  coordonnées  ;  car  pour  transporter 
rorigine  de  ^  en  5 ,  il  suffit  de  faire  changer  dans  les 
équations  du  n®.  précédent  Xy  7^  et  5  en  AH^^y^ 
HB  —  X  et  AB  ^s. 

C'est  une  des  propriétés  les  plus  remarquables  de  la 
caténaire  y  qu'elle  est  de  toutes  les  courbes  de  même 
longueur  et  fixées  aux  txtrémités  A  et  C'y  celle  qui  ait 
son  centre  de  graphe  le  plus  bas.  Nous  ne  démontrerons 
pas  ici  cette  propriété  y  parce  qu'elle  exige  un  genre 
d'analyse  trop  délicat.  Mais  il  s'ensuit  aussi  que  si  on 
fait  tourner  l'arc  de  chaînette  ACO  autour  de  l'horî- 
sôntale  Axy  elle  engendrera  par  sa  révolution  une  surface 
plus  grande  que  celle  qui  s.eroit  produite  par  tonte  autre 


ijo  Statique. 

courbe  de  même  loagueur  terminée  aux  mêmes  poioU 
C  et  O.  En  effet  y  le  centre  de  gravité  étant  dans  la 
chaînette  le  plus  bas  possible,  la  circonférence  qoe  dé- 
crira ce  centre  sera  aussi  la  plus  longue ,  et  la  régie  de 
Guldin  donnera  (80)  pour  la  surface  courbe  une  plus  grande 
quantité. 

Concevons  une  voûte  en  équilibre  composée  de  petites 
sphères  qui  fe  touchent ,  et^  joignons  les  centres  de  ces 
sphères  par  des  lignes  droites.  Imaginons  ensuite  que  la 
direction  de  la  pesanteur  de  ces  sphères  change  tout-à-coup 
et  se  fasse  en  sens  «contraire ,  et  que  les  sphères  soient 
liées  ensemble  par  des  fils  ou  autrement^  de  manière 
qu'elles  ne  puissent  pas  obéir  à  Timpulsion  verticale  de  la 
pesanteur^  il  est  visible  que  l'éqnih'bre  ne  sera  point 
troublé  y  puisqtfe  des  puissances  qui  sont  en  équilibre 
I  continuant  d'y  être  lorsque  y  sans  changer  ces  puissances  y 
on  ne  fait  que  leur  donner  à  toutes  des  directions  con- 
trarres.  Il  est  visible  de  plus  que  dans  ce  cas  la  voûte  devra 
former  une  chaînette ,  que  les  pzeds^droits  de  cette  voûte 
Seront  les  points  fixes,  et  qu'il  n'y  aura  d'autre  diffé- 
rence que  dans  le  renversement  de  la  figure  j  donc  la 
vofite,  pour  être  en  équilibre,  devoit  avoir  la  figure  de 
la  chaînette. 
ik-  95.  Il  résulte  de  ce  qu'on  a  dit  précédemment  ,  qu'on 
i^.  43.  ne  peut  tendre  une  corde  pesante  en  ligne  droite ,  si  ce 
n'est  verticalement  j  car  le  poids  de  la  corde  peut  être 
assimilé  à  une  force  appliquée  au  centre  de  gravité  :  or  , 
soit  ADC  le  cordon  retenu  par  les  deux  forces  -P  et  Q  j 
soit  R  le  poids  de  ce  cordon  ,  on  a 

P      _     sin  .  BDC 
"'R  sin.  ADC   * 

Or,  plus  la  corde  est  tendue,  plus  l'angle  ADC  est  grand, 
et  plus  aussi  ^/?C  approche  de  l'angle  droit  3  de  sorte  que 


,  I 


MACHINES;      COADES.  IlIF 

pour  que  la  corde  soit  tendue  horisontalement  en  ligne  > 

P  I 

droite,  il  faudroit  qu'on  eût  -=r-  =   — -•  ouP  =  qo, 
^  ^  R  o 

tant  que  R  n'est  pas  nul.  Ainsi  quelque  petite  que  soit 

la  force  R  y  elle  fera  courber  la  corde.  C'est  ce  que  l'ex- 

.:   périence  confirme  tous  les  jours. 

94*  Soit  un  cordon  ADC  fixé  en  ses  extrémités  A  tl  ^ 
C  j  tX  passé  dans  un  anneau  mobile  le  long  de  ce  cordon,  rîg-  *fi* 
I     On  voit  que  cet  anneau  est  assujetti  à  décrire  une  ellipse 
KDLt  dont  A  et  Csont  les  foyers ,  et  AD  +  D.C  lé  grand 
axe  KL  :  si  donc  une  puissance  R  agit  sur  l'anneau  à  l'aide 
dû  cordon  BD ,  elle  devra  être  normale  à  cette  ellipse  (97) , 
pouf  que  l'équilibre  ait  lieu,  c'est-à-dire  que  BD  devra 
diviser  l'angle  ADC  formé   par   les  rayons   vecteurs  en 
deux  parties  égales  )  d'où  il  suit  que  les  tensions  JP  et  Q 
des  cordons    AD    et  DC  doivent   être   égales.  Si   donc 
deux  forces  P  et  Q  agissent  à  l'extrémité  d'un  cordon 
ADC  y  passé  dans  un  anneau  ou  nœud  coulant  D  ^  retenu 
par  une  force  R  ,  voici  les  conditions  de  leur  équilibre  : 
I".  lajiroite  DB  doit  diviser  l'angle  ADC  en  deux  éga-  • 
lenaent ,  et  2".  les  forces  P  et  Q  doivent  être  égales.  Il 
résulte  de  là  que  si  une  corde ,  aux  extrémités  de  laquelle 
deux  forces  P'  et  P^""+"'^  agissent,  est  courbée  sur  un  po- 
lygonc  solide  P'M^M^'M^"* ...  il  faut,  pour  qu'il  y  ait  Fig.  4». 
équilibre ,  que    ces  deux   forces    soient  égales  \    csg:  on 
peut  regarder  les  angles  M'y  Af" ...  du  polygone  comme 
autant  d^anneaux  fixes. 

Soient  A  et  B  les  deux  points  de  suspension  d'un  Fig.45»tV. 
cordon  AEB  auquel  est  attaché  un  poids  Qy  ayant  un 
nœud  coulant  ou  un  anneau  en  son  point  d'attache  E 
avec  le  cordon  :  cherchons- les  conditions  d'équilibre  de  ce 
système ,  dont  on  trouve  un  exemple  ^us  les  Réverbères 
destinés  à  éclairer  les  rues. 


lia  Statique. 

Menons  l'horisontale  AC  et  la  verticale  CBHy  ACt% 
CB  sont  connus^  ainsi  que  la  longueur  ^£j9  du  cordon = A* 
Puisque  QEG  partage  l'angle  AEBen  deux  parties  égales, 
les  angles  H  et  GEB  sont  égaux  :  ainsi  le  triangle  EBH 
est  isocèle  y  et  HE^zEBy  enfin  AHz=zh.  Donc  si  die  ^ 
comme  centre  et  d'un  rayon  ==  A  ^  on  trace  nn  arc  de 
cercle  y  il  coupera  CH  au  point  H  y  tel  que  la  perpendi- 
cuhiie  EFy  élevée  sur  le  milieu  de  BHy  déterminera 
le  point  E  de  su^nsion  du  poids  Q  :  cette  construction 
résout  donc  graphiquement  le  problème  proposé.  On  peut 
en  trouver  aisément  une  solution  analytique. 

II.  De  l'équilibre  dun  corps  qui  ne  peut  se  mouvoir  que 
sur  une  ligne  y  ou  une  surface  et  en  particulier  surun 
Plan  incliné* 

*  96.  n  est  évident  qu'une  force  N  y  de  direction  pep- 
Tig.  àE.  pendiculaire  à  un  plan  AB  ,  sollicitant  un  point  matériel, 

est  entièrement  détruite  par  la  résistance  du  plan  y  puisqu'il 
n'y  a  pas  de  raison  pour  que  ce  point  se  meuve  dans 
vLJkf  sens  plutôt  que  dans  un  antre.  Réciproque^ient , 
pour  qu'une  force  unique  sollicitant  un  point  matériel 
sur  un  plan  le  laisse  immobile  y  il  faut  qu'elle  sôit  de 
direction  perpendiculaire  à  ce  plan  j  car  si.  cette  force  étoit 
comme  P'^,  dirigée  obliquement ,  on  pourroit  la  décom- 
poser en  deux  autres  y  l'une  dans  le  sens  même  du  plan  y 
et  l'autre  de  direction  perpendiculaire  au  plan  3  la  pre- 
mière pouvant  produire  entièrement  son  effet  y  le  point 
obéiroit  à  son  action ,  ce  qui  est  contre  Thypothèse- 

*  Donc  un  corps  pesant  y  placé  sur  un  plan  y  n'y  peut  être 
en  équilibre  que  lorsque  ce  plan  est  horisontal ,  puisque 
la  direction  de  la  gravité  est  verticale. 

*  Donc  aussi  pour  qu'un  système  de  forces  retienne  un 
point  matériel  en  équilibre  sur  un  plan^  il  est  nécessaire 


NlÀGHINSSy    PLÂir   INCLINÉ.  1 13 

«ït  11  B^Ht  cjuè  là  Résultante  de  des  forces  soit  pêrpendi^ 
culaire  à  ce  jilan.  Si  aonc  on  prend  xe  plan  pour  celui 
des  xy  y  et  si  on  cherche  la  résul tacite,  de  toutes  les  forces  ^ 
comme  il  a  été.  dit.  {2/^)  y  les  éi|ttftl|io»6  (f)  de  la  résultante 
devront  être  réduites  à  xzSLx'tt  yzzzy^  x  ainsi  il  y  a 
dtîUJC  conditions  X  =  o  ^    F  r=:  o. 

Gomme  on  n'a  le  .plus  souvent  que  deux  forces  /"  et  P^^  -h 
il  convient  d'examiner  ce  cas  en  particulier  :  comme  il 
faut  que  leur  résultante  soit  perpendiculaire  au  plan  ^  on 
vpit  d'afaiord  que  le  plan  des  forces  doit  être  perpendiculaire 
au 'plan  donné.  De  plus,  si  on  décompose  chaque  force 
«n  deux jf  l'une  dans;  le  sens  du  plan^  e^  l'autre  qui  lu^ 
soit  perpendiculaire  ). il. faut  que  les  deux  c^mpôsàfites  dans 
le  sens  du  plan  sodeut  opposées  et  égafes».  De  ces  deux 
conditions  y  la-premiière  est  satisfaite  ^  puisque  le  plan  des 
fbrç^  est  perpendiculaire  au  plan  donné  :  quant  à  la  se- 
içoade^-  soit  la  figure  /fi  le .  plan  dçs.  forces  ^  et  uiB  ^jx 
iBtefvsection  avec  le  plan  donné.  Nommions  d'  et  é'^  les 
atigles  que  forment  tes/directions,dçs  forces  avec  ce  plan  :. 
les  CQpjiposaute^  ,qui,.lui  sont  perpendiculaires  (  18  ^  V) 
9Qnp  JR^  sin  l'^et  P^.sin  tf'^^  on  a  poiu*.  )es  composantes 
dsK^  le  feùs  àa  plaifi  i?'  cp^  6f. .  et .  P^'cps,  $'! }  dpnc    


:m 


.A^nsi  il  faut  ici  pour  l'équilibre  deux  conditions;  U  ^ 
première  exige  que  le^  plan  des  forces  sôi^  perpendiculaire 
au  plan  donné  ^  là  seconde  est  renfermée  dans  l^eqàa<^ 
lion  (C*).  Q^ant  à  la  pression  qu'éprouve  le  plan,  elle 
est  la  sonune  des  composantes  qui  lui  sont  perpendiculaires  s 
WHàX'îf  cette  presnon ^  on  a  r      ,.? 

'  N  =  P'  sin  ô'  +  P^  sin  <'^- 

P'  CÙSé'  .      '  ' 

En  mettant  pour  P*  sa  valeur :t— •  et  observant 

^  cosi'' 

8 


t  x4  Stâtiquk* 

que  sin  ê^..  ços  ê'  •+  cos  ê^  sin  é'  =  sîn  Çé'  r^-  tf *  > ,  on  trouvé 

pour  la  valeur  de  la  pression  dans  Ijc  cas  d'équilibre  . 

cos  tf^  ^        ^ 

é 

%       96.  Appliquons  cette  théorie  à  la  pesanteur.  On  appelle 
•   Plan  incline  celui  qui  forme  avec  un  p^an  horisontsîlan 
angle  quelconque ^  et  l'inclinaison  se  mesure  par  cet  angle: 
c'est  celui  que  forment  entre  elles  deux  droites  menées  ^hns 
chacun  de  ces  plans  par  uii  point  quelconque  de  leur  l^e 
d'intersection^  perpendiculairement  à  cette  ligne.  Puisqae 
Pune  des  deux  forcer  est  ici  verticale,  et  qne'l'éqoîKbre 
a  lieu,  le  plan  des  forces  est  vertical  ^  et'= de  plus  ^ 'per- 
pendiculaire au  plan  incliné  :  ainsi  il  doit  couper  ccf  plan, 
et  lé  plan  hûrisôntal  lïuivant  deux   droites  -jiB-  et  AC, 
7ig.  46.  formant  entre  elles  l'angle  même  des  deux  plans.  Soft  M 
le  point  matériel"  pesant  j  si  on  abaisse  une  verticale  BC 
d'un  point  B  de  là  lijgnè  j4B,  elle   sera   contenue  dans 

r 

le  plan  de  là  figure  qui  est  vertical  :  on  nomme  AC 
Ih'bùsey  BC  la.  hauteur  y  et  AB  la  longueur  diif  plan 
incliné.  Soient  donc  deux  forces,  l'une  P' ~de  dircotiort 
verticale  ,  représentant  le  poidV  du  point  mobile  M,  l'autre 
JP^  destinée  à,  retenir  ce  pojds  en  équilibra-  sur  le  plan 
incliné  :  désignons  par  ^  l'angle  d'inclinaison  A.  Puisque 
P'M  est,  par  hypothèse,  perpendiculaire  sur  ACj  dans 
le  triani?le  M  AD  0^  a  cos  0'  =  sin  1 ,  et  Téquation  (^    1 


devient 

P'  sin  i  ^  P''.cos  é^ -{E"\ 


\ 


î>îâi§   outre   cette  condition ,  il  faut  que  le  plan  Vcrdc»  f 

conduit  suivant- P"  soit  perpendiculaire  au  plan  incliné.  \ 

*      Quant  à  la  pression, qu'éprouve  le  plan  incliné^  la  valeur  j 

<£>")  devient  \  l 


MàCHINSS^   »LAN    IKGLINlî.  î)(ï 

En  rapprochant  cette  expression  de  l'équation  (E^)  j  on' a 

P'      __    P'    _  N    .  ... 

cosi''  sine  cos  («—**') 

Aimî  k  poids,  là  puissance  et  la  pression  sont  respecti-*    ""' 
yôrient proportionnels  aux  cosinus  dês  angles  formés  par' 
^  direction  de  la  puissance  uvec  le  plan  incliné  ^  par  ce 
flan  avec  la  verticale,  et  par  la  puissance  avec  rhorison. 
La&nnule  (G'f)  tient  lieu  des  deux  équations  {E'^)  et  {F^^)^ 
€l  on  A'oit  que ,    d'après  .  les  principes  d'algèbre ,   étant 

donné  trois  des  cinq  quantités  suivantes  y  le  poids,  la' 

puissance  y  sa  direction  y  la  pression  et  rinclinaison  du 

fHaÂy  on- peut  toujours  trouver  les  deux' autres* 
'  Parmi  toutes  les  di'rectiops  qu'on  ^ut  donner  à  la  puis-  j^- 

:ance  P'^  y  il  y  en 'a'  deux  qui  conduisent  à  des  résultats 

'émarquables. 
1*;  Si  P^  agit  horizontalement  ^  on  a  d'^  !=  € ,  et  la  for-  a- 

dulè   {E")  devient  JP' sin  «  =  P^  cos  e  :  on  a  donc  les 

eux  équations' 

..  ^  \i    '       ■              ■  pr 
P»=P'tangf,  et  iV=   : {Rfl). 

°     '  COS  f 

3jr  y'daos  le.  triangle  rectangle  ABC  y  on  a.  tang  i  j=    ■  ^  ; 

ionc 

P'    _    AC 

*  *    ■  -     ■  ■  I .    .  '     '■  '        ■.■'."■'. 

Âiuà  le  poids  du  ÇOiffs  est  à  lafort^e.  hprisonti^le  cm^ 

piorée  à  le  retenir  en  équilibre  sur  un  plan,  incliné  y 

comvys^  la  base  de  ce  plan  est  à  sa  hauteur* 

""■■''■  ..^  .......     ■  ^^ 

Quant  à  la  presntitoîA^,  Sa  YaléiJr--r^-^  fait  Voir  qu'on  > 


iiû  Statique. 

a  iV  >  P'j  c'est-à-dire  la  pression  plus  grande  qnc  fe 
poids  du  corps.  Si  le  plan  jiB  ëtoit  horisontal^  on  aoroit 
f  =  G  y  d'où  N  =  P'^  ce  qui  est  évident  :  et  si  ce  plan 
ctoit  vertical  ^  i  seroit  un  quadran  ^  d'où  cos  c  =  o ,  et 
par  conséquent  iV  =:  oo  :  P^^  devient  alors  perpendîcnlaire 
au  plan. 

4.      2<^.  Si  la  force  P'f  agit  dans  le  sens  du  plan  jiB  j  en 
a  l'^  =  o  ;  nos  formules  deviennent  donc  P^  =zP'  siat, 

BC 

JV=P'costicomme\ttnsLrîŒ\e'ABCàonnt  sini=  —7=-, 

-  Ad 

P'  AB 

la  j^remière  devient  -^^^  -=  —^  i  ce  qui  prouve  que 

ie  poids  du  corps  e^t  à  la  force  parallèle  au  plan  incliné  j 
dans  le  cas  d'équilibre  ^  comme  la  longueur  du  plan 
est  à  sa  hauteur.  D'ailleurs  on  a  toujours  iV<  P';  si 
le  plan  est  horisontal ,  t  =  o  donne;.  P'  =s:  iV,  ou  la  pres- 
sion égale  au  poids ,  et  P^^  =  ô';  ce  qui  est  d'ailleurs  évident. 
4  Toute  la  théorie  du  plan  incliné  repose ,  comme  on 
voit;  sur  les  équations  générales  (C)  et  (Z)'0  :  d'ailleurs 
on  auroit  pu  démontrer  directement  tous  les  théorèmes 
précédons ,  en  appliquant  immédiatement  au  cas  de  la 
pesanteur  les  raison nemcns  généraux  qui  nous  ont  conduits 
aux  valeurs  (C")  et  (Z>"). 

97.  Si  le  point  mobile  est  sur  une. courbe  ou  sur  une 
surface  courbe,  en  considérant  la  tangente,   ou  le  pla» 
tangent  mené  au  point  où  le  mobile  est  placé ,  on  peut  J 
appliquer  ce  qu'on  a  dit  (96)  ;   ainsi  la  force  qui  sollicite 
un  point  mobile  ne  peut  Je  laisser  en  équilibre  sur  cette 
courbe  ou  sur  cette  surface  courbe ,  qu'autant  qu'elle  est 
dirigée  suivant  là  normale.  Nous  né  dirons  rien  ici  de  l'é- 
quilibre sur  une  surface  courbe ,   ou  sur  une  courbe  a 
double  courbure ,   on  peut  consulter  a  cet  égard  la  MéccT 
ni^ue  philQ§9phiqu&y  numéro*  y5  et  96. 


i 


Machines  y  ^lan  incliné.  117 

-  Soil  une  courbe  plane  DZ  ,  dont  y  '==-fx  est  l'ëquatîoa  f*  47. 

APzrzXy    PM:=:jr  ;  et  un   point   M  sollicité   par*  un 

nombre  quelconque  de  forces  :  cherchons  la  condition  d'é- 

^oilibre.  Nommons  X  ti   Y  les  sommes  de  composantes 

respectivement  parallèles  aux  axes  des  x  et  des  jr  (25).  La 

tangente  en   M  fait  avec   Taxe  des  x  un  angle  dont  le 

dr  1         ,  .  àx. 

sinus  est  —■ — ' ,  et  dont  le  cosinus  est  ~ —  ^   y   rcpre-r 

tentant  l'arc  4ie  courbe  DM.  Or,  on  a  pour  les  com- 
posantes de  A"  et  F  dans  le  sens  de 

dx  dy 

La  tangente X  .  -- —  •    F.  4—-, 

ds  ds 

Jjà  normale X.  ~-  •   F.  - — . 

ds.  ds 

n  devra  y  avoir  égalité  entre  les  composantes  dans  le  sens 
de  la  tangente  ^  et  la  pression  N  sera  la  ^omme  des  deux 
^utreç  composantes  :  donc 

Xdx  —  Ydr ,  et  Nds  =  Xdjr -+ Vdx {P). 

La  première  de  ces  équations  fera  connoitre  Puné  des 
forces  X  ou  F  y  ou  donnera  Péqua|ion  différentielle  de  la 
courbe  DZ  lorsque  ces  forces  seront  connues  y  pour  que 
l'équilibre  aii;  lieu  en  un  point  quelconque'^.  Si  la  courba 
DZ  étoit  donnée  y  ainsi  que  les  forces  JC  et  F,  cette  équa- 
tion entre  ar  et  j-  serviroii  à  trouver  les  coordonnées  du 
point  où  l'équilibre  a  lieu  sur  la  courbe.  Ainsi ,  soient  des 
poissânces  données  sollicitant  un  point  inatcriel  enferJné 
dan^  ua  canal  curviUgne^  d'un  pointa  l'autre  la  tangente 
variant  d'inclinaison.,  les  composantes  dans  le  sens  de 
cette  tangente  doivent  aussi  varier  :  l'équation  précédente , 
f9p:^\né^  ayçc  çelliç  de  la. courbe;  servira  à  faire  c^onnoître 


I  iS  Statiqvb. 

\\v  rt  1^*  du  i>oiut  de  cette  courbe  où  l'équilibre  doit  aTeîr 
lieu. 

Si  oi\  met  pour  ds  et  -p-  leurs  valeurs  y/(dx*+dy*)y 

dx 

\ 

«t      '    -   duns  U   seconde  équation  ^    on    trouvera 

A       ^  \  .V*  -f-  P }  ♦  ce  qui  est  d'ailleurs  évident ,  car  (i8y  V) 

II  iô*ulUiito  de  A  et  de  Y  est  =  x/(-X*-|.  F»). 
N  \»u  i»i  vuiut  p<.>ttr  Inéquation  de  la  ligne  DZ  celle  d'une 

>if^uo  Jivito«  cV^t"4-dùrc^r  =  «*-t-^  >  les  équations  pré- 
i  Cl  II.  ut  VA  (cioiotit  tn^uver  de  nouveau  les  théorème»  96  et 
K\\\  .  iKMi.^  lie  iiouït  arrêterons  pas  à  &ire  ces  calculs^  qui 
u'ouL  .àUiUiic  ditticuUè. 

M^i*   il  rmivieut  pour  Tintelligence  cooiplette  de  cette 
iliL'uric  d'eu  t*aii*e  ipielques  applications  \  nous  prendroa^ 
lu  ta.s  du  cercle*  Lorsque  le  centre  est  à  l'origine,  et  qt>^ 

le  xik^K^^x  e«t  /',  on  a  x»  ^-j"*  =  r*,  d'oii ^  =—  -i^—  djT  > 

X 

\v.    <|ui    chausse   la   première   des   équations   (/')    en.. 

Si  donc  un  piùds  p  est  placé  dans  un  canal  circulaire  er 
%\  (iti  dviuuudc  le  lieu  oii  il  sera  en   équilibre  lorsque  \^ 
IJ^uvUô  seule  a^rasur  lui^  on  trouve  que  A'=o  ,  K= — ^ 
(  Um  \\\\\^  Irtxo  dos  j' est  vertical  )  :  d'oii  —  gx=-Oj  ainsi  \f^ 
\\\\\\\\  rh^ichô  a  pour  coordonnées  j:=o,j-=:ihrj  cequi 
ii|i^Minti  «piM  n\Y   a  que  les  deux  extrémités  du  diamètre 
iri^f  h»ftl  \\\\\  tMtnviennent  à  rê^juilibre  :  vérité  conforme  à 
%'^  i|Ml  l'^i  d^rtdlfMM's  connu» 

Kïn  i»  f>\\\\  nii  .W  nu  imdul<»  pesant  retenu  par  un  fil  CM  9m 
|l»iliU  \U\\  i\  t^  ivpouMe  }ur  une  force  agissante  en  A 
^\\\\  (tMt  lit  dn'0i  lii^M  d«i  u  Oi^rdr  AM ,  en  raison  inverse  du 
i:miii  Ja  u  Ittii^iuiM-  de)  celle  oortie.  Le  mobile ,  dont  ^ 
49^^U«i  U  pMid»)  o«l  «tinjelhà  rester  sur  la  circonférence^ 


Machinés^  PLAN  INCLINÉ.  ii^  ' 

Cpznxy    i'ilf  est  verticaV  et  =   y.   Soit  F  Pinten^ité 

de  la  force  répulsive  lors<pie  la  distance  AM  est  PcAiil)é  ; 

/r         •        •  •  .      -,     • 

«le  §era lorsque  A  M  =  z  :  cette  force  fait  ayec 

IW  des  X  un  iangle  «dont  le   triangle  AMN  doilufé  lë 
cosinus  = et  le  sinus  := ;  ainsi  les  composante^ 

z  z        '  '      '    I 

»nt  >==  -Ç-,  r=  Zilriil—^,  etrécpiation 

-Z  ■  jz        '  ■       ■ 

w^  +  Yx  =  o  devient  •         ' 

* 

Fr  =  gz\  '     ,  .       . 

Puisqu'on  a  z'=j:*  +  (^ — ^J^)'  =2r*(  r—j)  on  poùn^ 
en  conclure  les  coordonnées  x  ef^  du  poiktt  où  le  ntôbife 
devra  s*arrêter  :  mais  il  est  clair  qiié  l'équation '^f^ris:^^ 
suffit  à^  cet  objet  puisqu'elle  donne  z'efn  foh'ction  (fê''^ran^ 
deurs  .connues.  .Si  on  considère  une  auU^  forcjî  F'  applir* 
quée   au  même  appareil  elle  donnera  F'rz=igz'^  y  d'où 

'— 3ç-  "=  — jT  y  aiifsi   les  forces  répulsives   sont  enlise 

elles  comme  les  cubes 'dés  distances  auxquelles  elles 'sâif- 
tiennent  le  poids  du  corps.  La  seconde  dos  équationir^/'') 
'donneroit  de  même  la  tension. iV  qu'éprouve  le  fil  CMI 

On  a  un  exei^iple  de  ce  système  dans  VÈlectromètre  .*  on 
sait  que  si  ^  et  Af  sont  deux  corpg  âectrisés  de  la  même 
manière  y  on  développe  en  eux  une  force  répulsive  d'au- 
tant plus  grande  qu'il  y  a  plus  d'électri^të  accumulée  eiî  A. 
On  pourra  donc^  à  l'aide  de  rân&dysé  p^écédefit^',  ^dÀei^ 
miner  par  eàcperience  l'intensité  de  la  force  F  pour  ohaq&ie 
cas/^  et^  par  conséqueq^^  comparer  des  expériences  faites 
avec  des  électromètres  différens. 

.  Supposons  ;  pour  derm'er  exemple  y  que  dans  le  systêiçe  rig.  48. 
précéaealt  lé  corps  M  soit  s^ns  pesanteur ,  mais  que  la 


I30  SrATiqcK* 

fhrce  répnhiTc  de  jL  soit  détroits  par  isk  pcdsasBce  (p 
teaiibrait ànunaier  il/ ¥en  Aj.€L qmL sennC pmjpoctÛNiiMAc à 
WL  arc  £  J/  compris  entre  an  point  tîxe  ^  et  tie  lien  Jf  ou 
Pépilibre  s'établît.  (Test  ce  «pi  arrive  braque  le  corps  Jf 
aoa  pesant^  est  en  repos  au.  point  ^  ^  et  qa'eimrilr  k.  fiarcc 
répol^Ye  de  ^  tend  à  Le  porter  en  D  tanàâak  ^'on  ressort  ' 
pressant  Cilf  tend  an  contraire  à  le  ramener  rers  B  :  en 
Tertn  de  ces  deux  ai; tiens  cumliinêes ,  le  rmAfle  se  tient  en 
équilibre  an  point  JET;  le  ressort  étanC  d'aîQcnrs  supposé 
me  fnrce  proportionnelle  k  Tare  décrit  ^Jtfl 

?îbiis  conserverons  les  dénomi na dons  précédemles }  de 
plus  j  nous  ferons  ACM-^ I  y  ACB  =  i  ^  et  nous  représenr 
terons  par  T  l'intensité  de  la  force  du  ressort  pour  on  ace 
écmt  la  longueur  seroit  =  i  i  da  reste  ce  ressort  est  asû* 
snilabie  à  nne  force  qui  agit  suiTant  U  tangente  en  Mf 
qui  £ût  arec  Faxe  des  x  raiiglef'=z  JkÊCA^ei  cette  fonc 


=  Tr  f  —  I }  ;  comme  cos I  =  -=^—  et  sxn ff  =  ,   le* 

composantes  sont  T^CI  —  e'  .  -^ —  et   7'(^  — i).  —  ^ 
de  sorte  qa'on  a  pour  Téquation  2fy  -f-  Yx  =  o 
•Fx       771— f^N      .  fF  r—y.       T:ê^f)x\ 

on  ir=:  _ZL  (i_,;^, 

n  pent  arriver  gue  le  point  3  coïncide  avec  A,  c'est» 
•-dke  qoe  A  soit  le  point  même  où  la  force  da  ressoft 
«ft  QoQe ,  alors  t  =  o  ,  et  on  a  simplement 


Wooi  BOUS   bomeroBS  à  ce^demier  caS;  qui   est  celui 


MACHmESy   PLAT»    INCLINÉ.  ,iaij' 

qu'on  emploie  ordinairement.  Il  '  CoUi^ent  d'éviter  ,  dans 
cette  formule  y  Templpi  de  plu$ieUr%  variables.;  ajiD3i  npu^ 
remanierons  qae  dans  le  triangle  CMN y  on  a  j: =r  siu  I 
et  j^=  r  cos  0,  d'oii  z^  =-%r[r — j)  zzzoj^  (i-^ca|  I) 
pu  ^  =  a  r$in  ^  I  :  de  sorte   que 


smé 


une  autfe  fo^çe.  F^  comparée  à  celle-ci  donne  donc 


#  sin^  i  #.  sin  ô' 


1/  ei**i3   1   A/     Xr^  à       > 


é'sm^'^^'.ântf 


c'est  la  formule  que  Biot  a  donnée  d^s  les  Annales  de 
chimie. 

On  applicpie  cette  analyse  à  la  Balance  électrique  de 
Coulomb  y  doiit  voici  l'usage*  Le  plan  de  la  fig.  ifi  est 
horisontal;  CM  est  une  aiguille  suspendue  à'nn  fil  Effeé- 
talliqoe  Tertical^  c'est-à-dire  perpendiculaire  en  C  à  la 
figure  :'6eâè  aiguille  porte  en  M  un  disque^  métallique 
isolé  y  dur  lequel  agit  le  fluide  électrique,  condensé  tn  A^ 
et  de  même  nature  que  celui  du  disque;  ainsi  il. y  a 
Tépulsioià ^. ce. qpi .force  l'aiguille  y  originairement  en  BCy 
de  tourner  autour  de  C^  et  par  conséquent  de  tordre  \ft 
fi]  vertical  /josqti'à  ce  que  la  force  répulsive  étant  diminuée 
par  l'augikientation,  de  la  distance  y  et  an  contraire  la 
force  élastique  du  fil  métallique  étant  augmentée  avec  la 
torsion ,  l'équilibre  s'établisse  en  CM.  Or  l'expérience 
prouve  que  cette  dernière  force  est  proportionnelle  à  l'angle 
4e  torsion  y  c'est-à-dire  à  l'angle  BCM  décrit  par  Tai- 
gnille  CM.  Ainsi  les  formules  précédentes  peuvent  être 
appliquées.  On  s'en  sert  pour  vérifier  si  en  effet  la  force 
répulsive  décroît^  comme  on  Ta  supposé ^  en  raison  du 
^arré  de  la  distance;    c'est  du  moins  ainsi  que  Coulomb 


19»  Statique. 

«Vil  AMiur^  de  cette  v^^ritc  importante  }  seolement,  comme 
il  n'uvûit  fkit  ses  expMeaces  quasar  des  arcs  très-petits  ^ 
Im  fumiule  s'est  simplifia;  caries  sinus  étant  égaux  aux 
tti'âi  y  .r  :=  <  =  Ir  I  f  t  on  a  simplement  y  soiyant'l^e  B  tit 
il'aborti  ilislaiit  de  jé ,  on  confondu  avec  ce  point '^ 
F  («  —  •)*•  F  1^       ^T 

p-  =  ^|/-o<"  ^"  F^  =  "7^-  ^^^  ""^  P^^' 
vous  développer  davantage  ici  ces  théories  pour  lesquelles 
nous  renvoyons  aux  T^raiiés  de  physique  de  Haûy,  n*.  555^ 
et  de  Fijirher ,  pa^;.  o.^S  et  aSy.  Nous  ajouteroïks  seulement 
i|iie,  (puàque  nous  n'avons  ici  envisagé  que-  le  cas  de  la 
rôpulsiiiu ,  cependant  celtii  où  les  deux  corps  auroient  des 
électricités  dilYérentes ,  et  par  conséquent  s*attireroient  ^  y 
est  implicitement  compris. 

f  1^  ij.      99*  ti^i^Qt  deuT  points  matériels  m,  m',  disposés  sur 
deux  plans  inclinés  mhssês.  ^C\  CB  (ainsi  qu'on  le  voit 

Aë«  49  ^  «  *^  ^^^^^^  t^''  ^^^  ^^  inextensible  mCm'^  passé  dam 
la  ^itr^e  ii*uue  |Hudie  C:  on  demande  les  conditions.d'éqni- 
lilire  de  doux  forces  P^  P\  a^<ant  sur  ce»  points,  et 
formant  avec  les  |Uaus  ^-iC  et  BC  les  angles  I  et  é'* 

Les  pressions  exerce^'s  sur  les  plans  sont  les  compo- 
santes perpendicuUires  P^n$^  P*  siné'i  mais  elles'  ne  se 
cvunulent  pas  comme  pre<.edotument.  Pour  qu'il  j  ait. 
éipulibre  à  l'aide  de  la  p^>uiîe  C ,  d'après  ce  ({n'on 
verra  (io-\  il  faut  vjue  les  composai  rites  dans  le  sens  des 
plans  soient  égales,  ihi  a  donc  P  .  cos  êzzzP' ,  cos  I'. 

Si  les  forces  P  et  P'  svuU  verticiles,  en  nommant  f  et  i' 
les  angles  fctnuo!!  par  les  plaus  avec  la  base  horisontale 
AB  ,  ou  a  Ci»:i  d  -■  siu  i ,  et  cos  f '  =  sin  t'  ,  ainsi 
P.  siu  iz=  P' .  iiu  »',  ou 

P  X  — rrr  =  P  X  — rrr-  >  ou  enha 


.:/6'     •"  '"      Ci^      '  jP'  Ctf 


MACHIIfES^    PLAN   INCLINÉ.  ia5 

Ce  cas  a  lieu  quand  les  forces  P  et  P'  sont  les  poids  àés 
deux  corps  m  et  m'.  Ainsi  deux  poids  eh  équilibre  sur 
deux  plans  inclinés,  sont  entre  eux  comme  les  longueùts 
de  ces  plans. 

m 

loo.  Soient  deux  poids  m  y  m'y  placés  sur  les  courbes  vîg.  5< 
^F  et  EB y  et  attachés  au  fil  mCm'  passé  dans  la  gorge 
de  la  poulie  infiniment  petite  C3  cherchons  deux  courbes 
uiF  tt  EB  telles  que  l'équilibre  subsiste  entre  ces  poids  ^ 
quelles  que  soient  d'ailleurs  leurs  positions  respectives  sur 
ces  courbes. 

Menons  la  verticale  CN  par  le  point  C^  et  supposons 
cpie  les  équations  des  deux  courbes  y  rapportées  à  cette  ligne 
coimne  axe,  soient jr  zrrjic  pour  la  courbe  AFij\z=.Fx' 
pour  la  courbe  EB  :  le  point  C  étant  d'ailleurs  pris  pour 
origine  commune  des  x  et  des  j/.€ela  posé,  nomnidiis  a 
la  longuetir- mOn'  du  fil;  faisons  Cm-r^^Zy  Cm' z=  z' y 
nous  aurons 

^  +  z'=a,  z*  =  a:*'+*J**>     z'?  =  a?'* H-»/'^* •  •  •  (0- 

\je  poids  771  est  une  force  qui  agit  dans  la  direction  verticale 
mh  'y  en  représentant  cette  puissance  par  mhy  et  formant  (17) 
le  parallélogramme  mdbc ,  elle  sera  décomposée  en  deux 
autres,  l'une  md  agissant  dans  le  sens  du  fil  Cm 'y  l'autre 
7nc  dirigée  dans  le  sens  de  la  normale  772iV..  Or,  on  a 

^*r  xdx'+^dr      ,    d[x*+y*)      zdz  ' 

CiV=:^+spunorai.=         ^        ^ï-  — ^^-  "^  i 

d'ailleurs  les  triangles  semblables  mdb ,  Cm.N  dbnnent 

,77irf  Cm        -  *         mdx 

=  ■  ^      y    donc  77îa  == 


mb  CN  '  /  dz^ 

i^  (^rant  de  la  même  manière  pour  le  poids  m'-^,  on  a 


1^  5rAï»-T; 


=/• 


pnMSre  z=s  psa£^  f«  «£  ik  .  î*   :i*ir«  ôe  £:ï.Yi>  -Ji'  leur 

ce  c"ïpr-j  la  ««r=iLfcai    -^  ;  ,  Ii   liaîu»:*  àt  ce  cenlrt 
i  ïbfxiam'Àje  OH  «st ^    TiSsd-   qui  ^    ^ 


trotnrcr  b  coorbe  £^^ ,  P^?^  ^  i'«<^:âLibre,  il  mt  Agîm 
^ne  de  y^kmA^  «ccx  cfpatHBS  :  -st  (3'  ,  ceOe  de  JÊF^ 
et  d'Amincf  entre  cinq  cqoat&ocii  ,  «r:!:  c»>ztHfliiie9it  les  n 
Tarîab&ei  x  «  j^^  x;  je^,  .*" .  ^'  :  aisa  <iV-è>tfair  nne  reblkm 
entre  x*  etj»-'.  La  conilir?*  arlitTL:.-*  A  «ra  ie!ensiiiée 
4'^r«  la  coBsid^ratios  da  po:r.:  fT  câ  U  courbe  BE 
raKontre  la  Tcrtfcale  C.V:  ou  c'^prâ  !apaàLon  donnée 
d*aB  point  quelconque  àt  •:>»Ue  courb*;. 

Si ,  par  exemple  ,  îa  li^e  .-^F  est  droite ,  et  si  la  poulie 

^■^  *^    C  tU  placée  j  rxjnssk^  dans  U  àzur^  ^Q,  en  son  point 

de  rencontre  arec  la  vertical  CD  ,  en  nosimant  t  l'angle 

qn'cUe  £dt  arec  Vhorsozi ,  l'éqîijtion  »•  ^  fx  devient  ici 

^•tangf  =  x.  Poor  elioûner,  reprenooi  les  deux  premières 

équations  'i),   et  mettocs  prïir   »•;  eîles  donne- 

roat  s-z^a  —  2',  et  z=  — : —  :  c^âlàct  ..es  deux  valeurs. 
onen  tire  xs=(a— z)  sin  f^  ce  qiû  change  la  râleur  (2) 


^      Machines,  plan  inclina.  ïîi5 

tn  m  {a  — '  z*  )  sin  i  +  m'x*  =  A.  Si  on  veut  que  la 
courbe  cherchée  passe  en  C^  il  faut  que  x'  et  z'  soient 
nuls  en  même  tems  ^  ce  qui  donne  A:=zma  sin  g  )  donc  on  a 

Tn*x'  =  mz'  sin  t. 

Enfin  élevant  au  carré  ^  et  mettant  x'^  4-^^'*  pour  ^'*^  on 
trouve        '  ' .  :  ....'«: 

pour  l'équation  de  la  ligne  c|ierqhée.  Elle  conduit  d'ailleurs 

au  résultat  énoncé  n^.  §9  :  car  il  est  clair  que  cette  ligne 

est  droite  3  et  comme  en  nommant  t'  l'angle  qu'elle  fait 

ces  1' 
avec  rhorison-,  son  équation  doit  être  j*'  =  ar' .  — : J 

•  1  ■   ■ 
en  comparant  cette  équation  a  la  précédente  ^  on  en  dé* 

dnit  m  sin  f=i7nf  sin  f'. 

loi.  Un  point  matériel  est  en  équilibre  sur  un  plan  j^ 
lorsque  la  résultante  des  forces  qui  le  sollicitent  est  p^r- 
pendicalaire  à  ce  plan  :  mais  s'il  s'agit  d'un  corps  ^  cette 
condition  n^est  plus  sufHsante  ;  en  efïet  une  force  per- 
pendiculaire à  un  plan  ^  n'est  détruite  que  parce  qu'où  la 
suppose  appliquée  en  son  -point  même  de  rencontre  avec 
ce  plan.  Lorsqu'il  s'agit  d'un  corps ,  cette  hypothèse 
n'est  permise  qu'autant  que  ce  point  fait  partie  du  corps 
(i5),  c^str4i-dire'  est  un  de  ceux  de  sa  base  en  contact 
avec  le  plan;  Si  le  corps  né  posé  sur  le  f^lan  que  par  diffé- 
rens  poînjts  ^  comme  une-  table  -portée  par  des  pieds  ^ 
pour  que  ta  force  perpendiculaire  soit  détruite  ^  '  il  faut 
qu'on  puisse  la  décomposer  en  d'autres 'qui  hli' soient  pa- 
rallèles ^t  qui  passent  par  ces  points  ;  ce  qui  eiige  visi- 
Memeiit?  que  le  point  de  rencontre  de  cette  force  avec  le 
p^an j  tombe  dans  rinterieur-'Jù  polygone  qu'on  fonhê  eu 
joignant  ces  points  par  d^s  drdties';'icar,  sans  cela /on  ne 


N 


128  Statique. 

car  en  regardant  cette  droite  comme  axe  des  a:*  ou  desj^; 
l'une  des  équations  ci-dessus  devient  inutile. 

]05.  Soit  un  corps  pesant  placé  en  équilibré 'sur  deux 
plans  inclinés  :  cet  état  ne  peut  exister  qu'antant^pe  la 
résistance  de  ces  plans  détruit  le  poids  du  corps  :  si  donc 
chacun  d'eux  ne  rencontre  le  corps  qu'en  un  point ,  et  si  on 
leur  élevé  en  ces  points  des  perpendiculaires^  elles  se  coupe- 
ront en  un  des  points  de  la  verticale  passant  par  'e  centre  de 
gravité^  afin  que  le  poids  du  corps  puisse  être  décomposé  en 
deux  autres  forces  de  directions  perpendiculaires  aux  plans  : 
les  composantes  seront  les  pressions  exercées  sur  ces  plans. 
Il  résulte  de  là  que  le  plan  qui  passe  pur  les  appuis  et  par 
le  centre  de  gravité ,  doit  être  vertical  ;  ou  de  plus  pef" 
pendiculaire  aux  deux  plans  inclinés  y  ou  à  leur  ùiier^ 
section  qui  sera  par  conséquent  horisontale. 

Tout  ce  que  nous  venons  de  dire  n'est  pas  particulier  au 
cas  d'nn  corps  sollicité  uniquement  par  la  gravité;  et 
s'il  y  avoit  dans  le  système  des  forces  quelconques  ^  il 
faudroit  dire  de  leur  résultante  ce  qu'on  vient  d'exposer  sur 
la  verticale  passant  par  le  centre  de  gravité. 
'ig.  5r.  Le  plan  de  la  fig.  5i  est  supposé  être  celui  des  pressions; 
K  et  J  sont  les  appuis;  les  pressions  ont  pour  directions 
K^O  et  OI  perpendiculaires  aux  plans  inclinés  ji Bel  BC 
elles  concourent  en  O  sur  la  verticale  OP  qui  passe  par 
le  centre  de  gravité  G  du  corps  KGl  :  UZ  est  un  plan 
horisontal  passant  par  rintersection  B  des  plans  inclinés. 
Menons  Thorisontale  Hl  5  représentons  le  poids  du  corps 
par  P  et  les  pressions  qu'éprouvent  les  plans  par  Q  et  7^? 
enfin  par  «v}/ ,  9  et  6  l'angle  que  les  plans  forment  entre 
eux  et  ceux  qu'ils  font  avec  Thorison,  Pour  obtenir  les  pres- 
sions^ il  faut  concevoir  le  poids  P  du  corps  comme  une 
force  verticale  appliquée  en  O ,  et  la  décomposer  en  deux 
autres  dirigées  suivant  OK  et  01  :  et  comme  ces  lignes 


i-'ï 


Machines  ;  levier.  129 

IM  sont  pas  perpendiculaires;  on  doit  avoir  recours  au  thëo- 
tème  (18  y  i)  <]ui  s'applique  a  ce  cas.  Or  les  forces  Py  Q 
et  jTle  sont  aux  côtés  du  triangle  HBJ  ;  on  peut  donc  reni'* 
placer  les  angles  que  ces  forces  forment  entre  elles  par  ceux 
de  ce  tnangle^  c'est^i-dire  par  4"^  f  et  I  ^  ce  qui  donne 


P      _     Q     _     T 


sin  4^  sin  i  sin  6 


,(*:*) 


d'oii  on  tire  les  valeurs  des  pressions  Q  et  71 

Si  le  corps  GKJ  touchoit  les  plans  en  plusie{!u*s  points  ^ 
l^aire  comprise  contiendroit  le  centre  de  pression  pour 
lequel  la  théorie  ci-dessus  a  lieu.  C'est  ce  qui  arrive  pour 
J*éi|ialâ>re  des  parties  d'une  voûte ,  et  pour  1%  pression 
^leroée  par  chacune  d'elles  sur  ses  voisines  ^  c'est-à-dire  par 
^ei  Voussoirs  les  uns  sur  les  autres.  Yojrez  à  cet  égard 
^^Arckiiàdurt  hydraulique  de  Prony  ^  et  le  Coin  (i!2i)* 

m.  Du  Levier* 

io4*  On  appéfle  Levier  un  corps  (45)'  retenu  par  un  axe  «. 

Ixe  y  et  sollicité  par  des  forces  quelconques  :  tout  ce  qui  a 

té  dit  dans  le  paragraphe  A5  doit  ici  recevoir  son  appli- 

^lialioii;  ce  qui  résout  le  problême  du  levier  dans  l'état  le 

^^lus  général.  Mais  comme  ce  système  se  rencontre  moins 

Jouirent  qtie  celui  qui  ne  contient  que  deux  forces ,  nous 

^examinerons  ici  en  particulier  le  levier  composé  simplement 

<3'ufle  verge  inflexible  ^  sollicitée  par  deux  puissances ,  et 

^^étenue  en  an  point  fixe. 

Soient  P' ,  P^  les  deux  forces  j    BAC  un  levier  non  ^ 
pesant  :  il  est  clair  que  les  forces  ne  peuvent  être  eji  équi-  rie.  s?, 
libre  qu'autant  qu'elles  ont  l^ur  résultante  détruite  par  la, 
k         résistance  de  l'appui  ^  ainsi  ces  puissances  sont  dans  le  mâi^e 
k       plan  ;  e)^lctir  résultante  doit  passer  par  le  point  fixe. 


i5o  Statique. 

Tk       Cette  douille  condition  est  nécessaire  pour  TëqUilibiKT^ 
or  la  dernière  peut  être  exprimée  analjtiqaenient }  cair  oi 
sait  (27)  que  le  moment  de  la  résultante  des  deux  forcef 
P'  et  P"  doit  être  égal  à  la  somme  des  niom^is  de  ces 
forces  :  si  donc  on  prend  ces  niomens  par  rapport  au  point 
iixe  A  qui  est  sur  la  direction  de  la  résultante  ,  le  moment 
de  cette  résultante  sera  nul  3  de  sorte  que  faisant  ANz=:p' , 
AM-=.  p"  y  on  aura  donc  P'p'  +  P"/?^  =  o.  Les  momens 
devront  donc  être  égaux  et  de  signes  contraires ,   ou ,  si 
on  veut  y  les  forces  devront  tendre  à  faire  tourner  le  levier 
autour  de  son  appui  dans  des  sens  dif/érens  ^  et  leurs 
momens  seront  égaux  par  rapport  à  cet  appuis 

ik  Ce  théorôine  est  général  quelles  que  soient  les  forces  ; 
leurs  directions  et  leurs  dispositions  par  rapport  à  l'aj^; 
puisque  dans  tous  les  cas  les  raisonnemens  ci-dessus  sont 
applicables.  De  plus ,  l'équation  P'p' =  P^'p^  suffit  pour 
exprimer  l'équilibre  y  en  observant  toutefois  que  les 
forces  soient  dans  le  même  plan  et  tendent  à  faire  tourner 
en  sens  contraire  :  car  alors  la  résultante  passe  visiblement 
par  Tappui  fixe.  Comme  on  appelle  bras  de  levier  (45)  la 
tlislançc  d'une  force  à  l'appui ,  on  peut  donc  dire  aussi 
que  les  forces  sont  en  raison  bwerse  de  leurs  bras  de  levier' 

ie       Si  les  forces  sont  parallèles  ,  le  principe  ci-dessus  peut 
lig.  19.  aussi  s'appliquer  puisqu'on  sait  qu'alors  (  54)  le  théorème  des 
momens  a  encore  lieu.  Seulement  lorsque  la  verge  E^ 
est  droite,  comme  les  distances  des  forces  à  l'axe  sont  pro- 
portionnelles aux  longueurs  EF  et  FG  y  on  peut  regard*^ 
ces  longueurs  comme  étant  les  bras  de  levier. 

i^  Quant  à  la  pression  exercée  sur  l'axe  fixe,  elle  c^^ 
la  résultante  des  forces  P' y  P"  y  et  on  la  determi^* 
aisément. 

*•  Du  reste  on  peut  regarder  comme  inconnue  l'une  d^* 
puissances  ou  l'un  dos  bras  de  levier^   et  l'équation #  •  • 


MACHINES;   LBViitl.  l5l 

J^p'z=zP*fp^  sert  à  résoudre  les  divers  problèmes  qu'on 
(eut  se  proposer  à  cet  égard. 

Quelquefois  le  levier  n'est  que  posé  sur  l'axe  fixe  :  alors  i^ 
pour  qu'il  ne  glisse  pas  sur  cet  axe  y  il  faut  que  la  résul- 
tante soit  normale  au  levier  (95). 

On  distingue  trois  espèces  de  levier  suivant  les  disposi-  k 
ti^ns  respectives  de  l'appui  j  de  la  puissance  et  de  la  résis- 
tance. Dans  les  leviers  du  premier  genre  y  l'appui  est  entre 
ta  puissance  et  la  résistance  )  tels  sont  les  balances  y  la  ro- 
>3iaine,  les  ciseaux.,  «é»    t)ans  les   leviers  du  deuxième 
é^enre  y  la    résistance  est  au  milieu  )    on   en  trouve  des 
^^cniples  dans  les  barres  employées  à  soulever  les  pierres  p 
^a.iis  les  rames  de  bateau-^  qui  trouvent  leur  appui  dans 
''eau  y  etc.  Enfin  la  puissance  est  entre  l'appui  et  la  résis- 
^^uce  dans  les  leviers  du  troisième  g^re  /  les  pincettes  eu 
^^>iit  un  exemple  y  aussi  bien  que  nos  organes  de  mouve- 
^^^ent  )  les  muscles  eu  se  raccourcissant  y  rapprochent  leurs 
P^=^ints  d'attache  ,  qui  sont  voisins  des  articulations  autour 
"^  ^«quelles  y  a  on  mouvement  de  rotation. 

jo5*    Ayons^  maintenant  égard   à  la  pesanteur  de   la  ^t 
^^rge  qui  sert  de  levier  i  soient  P'  et  P'f  deux  forces  ;  rig. 
P*    tl  p^  les  perpendiculaires    abaissées  du  point  fixe  A 
*Mr  leurs  directionjS  ;  /'  et  7"  les  centres  de  gravité  des. 
bi*anches  AB,  et  ACy  dont  on  considère  les  poids  O'  et 
Q''  comme  deux  nouvelles  forces  appliquées  à  ces  centres  : 
?'    et  q^'  les  distances  de  l'appui  A  aux  verticales  PQ', 
Ç*^?  en   raisonnant  comme  précédemment,  on   verra 
«lu'on  a  quatre  forces  dont  les  momens ,  par  rapport  au 
point  fixe  A  y  doivent  être  égaux  :  la  condition  d'équilibre 
^st  par  conséquent  exprimée  par  l'équation 

p'pi  -1-  Qfqf  =  pifpH  ^  Qllqlt . .  , .  .  (X'O- 

On  a  souvent  deux  puissances    M  et  P  verticajes ,  dont 


sa. 


i5i  Statique. 

jfig.  ji.  meip  sont  les  bras  de  levier  :  la  balance  appelée  Rûmaîm 
est  dans  ce  cas)  celte  machipe^  composée  àL*wx  fléau rt* 
tenu  par  nn  axe  fixe^  sert  à  peser  tous  les  corps  qu'on 
suspend  à  l'un  de  ses  bras  à  l'aide  d'un  poids  constant 
c{u'on  applique  à  l'autre  bras ,  à  une  distance  oonven^k 
de  l'axe. 

Ces  sortes  d'instrumens  portent  des  divisions  à  la  branche 
sur  laquelle  glisse  le  poids  constant  y  pour  s'approcher  ou 
s'éloigner  de  l'axe ^  jusqu'à  ce  que  le  fléau  soit  horisontal: 
et  l'aspect  de  ces  divisions  fait  juger  sur-Ie-^champ  du 
poids  du  corps  qui  est  suspendu  à  l'autre  bras.  Yoid  la 
théorie  d'après  laquelle  ces  divisions  sont  marquées.  Soient 
l'ig-  !»3  hit.  M'y  A/" ....  les  divers  poids  qu'on  suspend  successive- 
luent  tr\  B)mj  p'^  p'' . .  • .  leur  distance  à  l'axe ^  et  celle 
du  poids  constant  P  qui  leur  fait  équilibre  :  Q',  Q'^  1^ 
poids  des  bras  du  fléau  ^  q'y  q^j  les  distances  de  leurs 
«entres  de  gravité  à  l'axe.  L'équation  (Af'), donne 

.\r  m  +  q'q'  =  Pp'  +  Qfif  y         1 

MU  ,n  +  QY  =  Pp"  +  Q"^"  9  > W 

M't,n  ^  ^)/y'  ==  Pptff  4-  Qtfqff  y  etc.  J 

lui  retranchant  successivement  la  première  de  ces  éqot- 
tions  de  la  seconde^  la  deuxième  de  la  troisième;  etc*? 
un  eu    déduit 

M'f  —  M' 
p»  —  p'  = p X  m  ^ 

jjiii  —  y»  = _- X  m  ,  etc. 

Si  \^  poidl  M',  iV ....  sont  en  progression  arithmé- 
tique, ou  a  J*/»  —  M'  =  M""  —  M^  =  etc.,  d'o** 
pn  ^  yf  -^  pHi  ^  ^,f  _  ç|ç,  ^    |,.3   divisions   sont  ào^^ 


Machines^  levier»  ]5S 

^ales  entre   elles  :  et  si  on  veut  qu'elles  soient  de  plus 

égales   au   plus  petit  bras  y   c'est-à-dire  ==  m ,  on  aulra 

p«  —  p*  ziizmy    d'où    P  =  ilf"  —  Af'  j    alors  P   n'est 

plus  arbitraire. 

On  construit  ordinairement  cet  instrument  de  manière 

à  ce  qu'il  soit  en  équilibre,  sans  les  poids  M' P. 

On  a  alors  Q'<^'  =  Q"ç";  d'où  on  conclut  ifcf'/w=-Pp' j 
et  dans  le  cas  où  on  veut  que  les  divisions  soient= w=p', 
on  a  ^'  =  P  =  M"'^M'  j  d'où  Jlf'/  =  2  M'.  Ainsi  le 
poids  constant  P  fera  successivement  équilibre  à  des 
poids  M'y  2  M'y  5  M'  • . . .  puisque  M'  est  la  raison  de 
k  progression. 

io6.  La  Balance  ordinaire  est  un  levier  du  premier  ^^ 
genre  ^  dont  les  deux  bras  ou  fléauct  AE  ,  EB  sont  Fig. 
égaux  ^  les  forces  en  équilibre  doivent  donc  aussi  être 
égales.  L'un  des  bassins  C  porte  la  substance  qu'on  veut 
peser^  l'autre  contient  le  poids  D  qui  lui  fait  équilibre. 
Une  aiguille  gy  y  perpendiculaire  à  la  direction  du  levier  y 
est  fixée  au-dessus  de  Taxe  de  suspension  5  cet  axe  est 
lui-même  soinkiu  par  deux  couteaux  ^  et  j^,  sur  une 
chappe  Mf  verticde  y  les  directions  de  l'aiguille  et  de  la 
chappe  doivent  coïncider  dans  le  cas  d'équilibre.  Il  est 
inutile  d'insister  sur  une  machine  aussi  simple,  et  d'un 
usage  aussi  familier  :  mais  il  est  à  observer  que  si  les 
bras  de  levier  ne  sont  pas  égaux,  les  poids  ne  peuvent 
pas  l'être  non  plus,  et  la  balance  est  fausse.  Il  est  aisé 
.  de  reconnoitre  la  supercherie  )  car  en  changeant  les  poids 
de  bassin ,  celui  qui  est  le  plus  foible  aiira  un  bras  de 
levier  plus  court ,  et  il  çi'y  aura  pjus  d'équilibre. 

Quoiqu'une  telle  balance  paroisse  peu  propre  à  peser ,  on 
peut  cependant  s'en  servir  avec  avantage;  et  l'un  des 
moyens  que  nous  allons  indiquer  à  cet  effet,  doit  être  employé 
dans  toutes  les  opérations  où  on  veut  obtenir  des  résultats 


34. 


i54  Statique. 

très*justes  y  même  lorsque  les  balances  sont  exactes  ,  pareie 
qu'on  sent  assez  que  cette  exactitude  n'a  lieu  qu'à-pen- 
près.   Soit  Y  le  poids  inconnu  5  on  le  mettra  en  ëqoili* 
bre  avec  un  autre  poids  P  ^  puis  étant  Y  du  bassin  on 
lui  substituera  un  poids  Q  qui  fasse  aussi  équilibre  k  P} 
on  aura  donc   K  =  Q.  On  peut  encore  opérer*  comme 
il  suit  :  X  et  p  étant  les  deux  bras  de  levier ,  on  devra 
iavoir  Yj-  ::=:  Pp.  Si  on  change  les  poids  de  bassin ,  c'est^ 
à-dire  de  bras  de  levier  y  il  faudra  employer  un  nouveau 
poids  P'  pour  mettre  Y  en  équilibre ,  et  on  aura  encore 
Yp  zr:  P(/.   Le  produit  de   ces  deux  équations   donne 
F»  =PP' ,  ou  F  =  \/(PP')'y  c'est-à-dire  çue  le  poids 
cherché  est  moyen  proportionnel  entre  P  et  P'. 

IV.     De  la  Poulie. 

it       107.  On  peut  regarder  la  Poulie  comme  une  machine 

Tij;.  55  et  composéc  du  levicr  :  elle  consiste  en  une  espèce  de  roue 

^''''         ou  de  cylindre  d'épaisseur  arbitraire ,  retenue  par  un  axe 

Jixe  ou  mobile  5  on  la   fait  ordinairement  circulaire ,   et 

c'est  dans  cet  état  que  nous  l'examinerons  ici.  La  surface 

rourbe  de  cette  roue  est  en  partie  enveloppée  d'une  corde, 

et  pour  faciliter  le  mouvement,  cette  surface  est  creusée 

en  gorge  :  dans  le  cas  où  l'axe  est  fixe,    les  puissances 

sont  appliquées  aux  deux  extrémités   du   cordon  :  voyez 

'  fig.  55.  Quand  la  poulie  est  miobile,  comme  dans  îa  fig.  56, 

le  cordon  a  l'une  de  ses   extrémités  fixe  j   et  la  seconde 

puissance  agit  sur  l'axe  même. 

*       Pour    que   deux   forces  P'  et  -P"  soient  en   équilibre 

yis»  57.  lorsqu'elles   agissent   aux    extrémités   du    cordon  qui   est 

passé  dans  la  gorge  d'une  poulie,  il  faut  ici ,  oouime  pour 

le  levier,  exprimer  que  la  résultante  de  ces  forces  passe 

par  l'axe  £ }   on  a  par  conséquent  les  moniens  de  ces 


MACHINES;   POULIE.  lS5 

4  forces  égaux  ,  ou  plutôt  P'  ss  P^  ^  car  les  perpendicu- 
hires  OE  et  EH  sont  égales  (  on  peut  d'ailleurs  regarder 
ces  <leux  forces  comme  agissant  aux  extrémités  des  bras 
de  leviers  égaux  GE  et  EH).  Donc  la  poulie  ^xe  ne 
seri  qi/à  changer  les  directions  des  deux  puissances  qui 
agissent  au^  extrémités  du  cordon ,  puisque  ces  forces 
doivent  être  égales. 

Quant  à  la  pression  qu'éprouve  l'axe  dans  le  cas  de  la  4, 
poulie  fixe ,  elle  est  la  résultante  R  des  forces  P'  et  P^f  y;g.  5,. 
égales  j  et  ou  a  vu  que  (18,  IV)  si  on  nomme  Cle  demi-angle 
formé  par    les,  directions   des   forces  ;  c'est-à-dire  si  ^ 
d^ésignc  l'angle  P**  AE  ^  moitié  de  P' AP'f  y  on  a 

R^iP' cosi (iV"). 

^tie  équation  donne  aussi  le  rapport  qui  existe  entre  les 

^«ux  puissances  datis  le  cas  d'équilibre  de  la  poulie  mo- 

*^le«  En  effet,  on  peut  regarder  la  poulie  fixe   comme 

"Mobile,  mais  retenue  en  équilibre  par   trois  forces  P'^ 

•^^    et  JR ,  celle  -  ci  étant  appliquée  à  l'axe.  Le  cordpn  , 

^^tis  la  poulie  mobile,  a  l'une  de  ses  extrémités  arrêtée  par 

^^    point  fixe,  et  par  conséquent  il  éprouve  la  tension  P'.      ^ 

^Oïïime   dans  le  tHaUgle  GEO  on  a   GO:=  GEcosC, 

GH 
^'où  2  cos  C=:  ,  on  voit  que  l'équation  (iV")  équi-  i-;g  '75 

R        GH 

^^Ut  à  —  = ;  donc  dans  V  état  d'équilibre  de  la  poulie 

pi       GE  \  ^ 

^iabile,  la  puissance  V  est  à  la  force  R  appliquée  à     . 
^^aoe ,  comme  le  rayon  de  la  poulie  est  à  la  corde  de 
^<irc  embrassé  par  le  cordon. 

Si  la  poulie  mobile  étoit  pesante  ,  il  faudroit  regarder  * 
^^  poi<l8  ^  comme  formé  du  poids  dont  elle  est  réellement 
^Hargée ,  augmenté  du  poids  de  la  poulie. 


/ 


i56  Statique* 

*       io8.  Concevons  mainteiiMit  un   spl^e  da  pkumit 
».  ponlics  mobiles  ^  comme  on  le  roit  dans  k  fig.  58L  Lé 
ponlie  6^'  lie  peut  tourner  sans  entraiocr  ht  aiirante  &p 
et  ainû  dei  antres  ^  le  poids  R  montera  donc  par  l'acdoB  . 

de  la  force  Af.  Soient  f^  i* i")  ks   teiisioBS  des 

cordons  des  poulies  O,  C*...CC»);  aC,  aff,...aP"^ 
les  arcs  embrassés  par  les  cordons.  On  a  pour  l'ëqaîiArS; 
en  vertu  de  rëqualion  précédente  y  savoir  : 


autour .c^    C'/ l»=al« cosO» 

la  poulie 

etc. 

C(»).,.  />- 0=2f«)cosCW=2JI!fcosC^'^* 

^  Ces  n  équations  doivent  servir  à  déternÛBer  n  des  qoat* 
tités  A^  i[f y  i^,  i^. .  .Vf  C^.  •  •  et  comme  chaque  éqoatîoi^ 
doit  avoir  une  inconnue  y  nous  supposerons  que  la  figuf  ^ 
du  système  est  donnée }  C^/C*  sout  connues.  Alors  a  o^ 
multiplie  entre  elles  les  deux,  trois,  etc.,  premières  ^^ 
ces  équations,  on  déterminera  aisément  /',  t^,  etc. ,  c'es-t^^ 
à-dire  la  tension  de  chaque  cordon  ^  si  ou  les  multiple ^ 
tontes,   on  aura  pour  la  relation  entre  les  deux  forc^^ 
M  tl  R  y  Tcquation 

;  il  =  2 «  X  Af  (  cos  C ces  C'^.  ces  b»"....  cos  ff '"  ). . .  (O*). 

U  snfHt  donc  de  connoitre  les  directions  des  cordons  pou^ 
trouver  le  rapport  entre  les  forces  P  et  M. 
*       log.  Lorsque  deux  forces  parallèles  P  et  Af  sont  ap^^ 
pliquées  aux  deux  extrémités  d'un  cordon  passé  sur  une^ 
pouUe  fixe ,  leur  résultante  P,  ou  la  pression  exercée  sor 
Taxe ,  est  égale   à  la  somme   des  forces ,  ou  plutôt  au 
double  de  Tune  d'elles  (5o)  ^  et  comme  alors  C  =  o ,  la 


Maghimbs,  poulie..  157 

fianmak  (^")  l'aj^lique  encore  a  ce  cas.  Il  est  ménie 
visible  que  lorsque  la  poulie  est  mobile  ^  la  force  M  a 
alors  la  direction  la  plus  favorable  ponr  retenir  en  iitjûi- 
libre  la  fcnrce  R  y  puisqu'elle  est  la  plus  petite  possible  : 
ré^uatbn  (O'O  a  également  lieu. 

Si  on  a  un  système  de  poulies  mobiles  dont  les  cor-  * 
dons  soient  parallèles ,  alors  cos  V  =  cos  P^  =  etc.  =  1  , 
et  l'équation  (O^)  se  réduit  à  R^=z2rM'j   d'où  on  tiré 

-—  -  =  :  la  force  est  à  la  résistance  comme  V unité 

il  a'  ^ 

est  à^la  puissance  de  2   marquée  par  le  nombre  des 
poulies  mobiles. 

On  peut  emj^lojer  ce  système  de  poulies  pour  aider  Fig.sq^o. 
les  forces  à  faire  équilibre  à  des  résistances  considérables  y 
ainsi  qu'on  peut  le  voir  d'après  l'équation  /l==:  2"  Af .  Mais 
on  doit  observer  que  la  dernière  poulie  O  ne  peut  monter 
de  a^  sans  que  les  deux  cordons  qui  en  embrassent  la 
gCNTge  ne  se  raccourcissent  eux-mêmes  y ,  bbacun  d'une 
pareille  longueur  ^  ainsi  il  aura  dû  passer  dans  cette  gorge 
une  longueur  de  corde  ==  2  a  :  l'avant-dernière ,  poulie 
C^  devra  donc  monter  de  2â,  pour  que  la  dernière 
s'élève  seulement  de  a.  Par  la  même  raison  y  les  cordons 
de  la  poulie  C  doivent  se  raccourcir  chacun  de  2  a , 
pour  que  cette  dernière  C  s'élève  aussi  de  la  hauteur  a  ^ 
ce  qui  forcera  la  poulie  O^^  de  monter  de  2'  •  a  ^  et  ainsi 
de  suite.  Donc  pour  que  le  poids  R  s'élève  d'une  hau- 
teur a  ^  il  faut  que  la  puissance  développe  une  longueur 
de  corde  =  2"^  de  sorte  que  ee  qu'on  a  gagné  du  côté 
de  la  |Uûssance  est  perdu  du  côté  du  tems. 

On  appelle  Moujfle  une  machine  composée  de  plusieurs 
poulies  portées  par  une  même  chappe  :  ota  assemble  (conune 
on  le  voit  dans  les  fig.  69)  une  moufïle  mobile  avec  une 
noi^c  fixe  'y  de  sorte  qu'un  même  cordon  ;  tire  par  une 


i58«  Statique. 

force  M ,  çmbrasse  tour-à-tour  les  poulies.^  la  moufB» 
mobile  porte  un  poids  R.  Puisque  chaque  poulie  doit  être 
en  équilibre  en  particulier  y  toutes  les  portions  du  cordon 
éprouvent  la  même  tension  :  on  peut  donc  regarder  ces 
tensions  comme  autant  de  forces  égales  employées  à  sou*  . 
tenir  le  poids  R  :  en  supposant  les  cordons  parallèles ,  ce 
qui  a  ordinairement  lieu  d'une  manière  sensible ,  le  poids 
R  se  distribue  également  sur  tous  les  cordons  qui  sont 
employés  à  soutenir  la  mouflBe  mobile.  Soit  n  le  nombre 
de  ces  cordons  :  on  a  donc  R  =  Mn. 

V.  Du  Treuil. 

*  iio.  Le  Treuil  ou  Tour  est  une  machine  composée 
rig.  6«.  d'un  cylindre  et  d'une  roue  qui  ont  le  même  axe ,  et  qui 

font  corps  ensemble  :  cet  axe  a  ses  deux  extrémités  placées 
sur  des  appuis  ou  tourillons  ;  une  corde  est  enveloppée 
autour  du  cylindre  ^  et  est  attachée  à  une  résistance  ,  ou 
supporte  un  poids.  On  imprime  à  la  roue  un  mouvement 
de  rotation  sur  Taxej  elle  fait  tourner  le  cylindre,  là  corde 
s'enveloppe,  et  par  là  on  surmonte  la  résistance,  ou  on 
élève  le  poids.  Ce  mouvement  de  rotation  est  donné  à  la 
roue  soit  à  l'aide  d'une  corde  qui  est  enveloppée  sur  cette 
roue  j  et  qu'une  puissance  sollicite j  soit  en  garnissant  les 
jantes  de  cette  roue  de  chevilles  auxquelles  on  applique  des 
ibi*res  ,  ou  sur  lesquelles  des  hommes  montent  en  agissant 
par  leur  poids. 

•  Quelquefois  au  lieu  d'une  roue  on  se  sert  de  deux  leviers 
ï-ïg-  6i ,  qui  traversent  le  cylindre ,  fig.  6i  et  62  j  ou  de  Manivelles , 

«a,  et  63.  jp^g^  g5  j  mais  les  effets  sont  les  mêmes  5  la  révolution  est 
seulement  moins  uniforme  \  la  machine  a  d'ailleurs  l'avan- 
tage d'être  moins  embarrassante.  Au  reste  ,  pour  les  con- 
dition^î  d'équilibre  ,  toutes  ces  dispositions  sont  indiffé- 
rentes. L'axe  du  cylindre   peut  être  horisontal,  comme 


Machines  ^  ta£uil.  iSg 

4aiis  le  treuil  j  la  Roue  de  carrière  y  fig.  60  y  la  Grue  qui    . 
sert  dans  les  bâtimens  ^    fîg.  65  ^  etc.  Il  est  vertical  dans 
le  Cabestan  y  fig.  62^  machine  dont  on  se  sert  pour  amener 
peu-à-peu  des  fardeaux  considérables. 

Dépouillons  le  tour  de  tout  appareil  extérieur  inutile  5  * 
'jiB  est  l'axe  du  cylindre  que  nous  supposons  horisontal ,  i^>6  ^^■ 
ji  et  B  sont  ses  appuis^  FCD  est  la  roue  y  D  son  centre  ) 
le  plan  de  la  roue  est  coupé  par  le  cylindre  '  suivant  le 
cercle  LDM*  La  force  P  est  appliquée  à  l'extrémité  de  la 
iGorde  FP  tangente  à  la  roue  F  y  et  dans  le  plan  de  cette 
roue^  qui  est  perpendiculaire^  Taxe  ;  la  résistance  ^  que 
nous  représenterons  par  un  poids  Q,  est  attachée  à  la 
corde  QIH  qui  enveloppe  le  cylindre  ;  le  plan  perpendicu- 
laire- à  l'axe  passant  par  cette  corde  y  coupe  ce  cylindre 
suivant  le  cercle   GHL 

Cela  posé  y  au  point  M  y  o\i  le  plan  horisontal  conduit  ie 
suivant  l'axe  du  cylindre,  vient  couper  le  cercle  LDM y 
et  de  Pautre  côté  de  cet  axe  relativement  au  poids  Qy 
appliquons  deux  forces  verticales  Q'  et  Ç"  ,  opposées  et 
égales  à  Q)  l'état  du  système  demeurera  le  même.  Oc, 
les  forces  Q  et  Q'  sont  en  équilibre  puisqu'elles  sont  égales 
et  à  la  même  distance  de  l'axe  :  c'est-à-dire  que  leur  résul- 
tante5  =  2Q,  rencontre  l'axe  au  point  K  y  situé  au  , 
milieu  de  GD,  Il  ne  reste  donc  plus  que  les  forces  P 
et  Q^  y  qui  sont  dans  le  plan  de  la  roue  y  et  sont  dans 
le  cas  du  levier  )  ainsi  ces  forces  doivent  tendre  à  faire 
tourner  en  sens  contraire  y  et  leurs  nioniens  relative- 
ment au  point  D  doivent  être  égaux  j  ceux  de  Q  et  de 
Ç^  le  sont  d|pilleurs  aussi  (56)  :  donc ,  pour  Véquîlibre 
du  treuil  y  les  forces  tendent  à  le  faire  tourner  en  sen^ 
contraire ,  et  leurs  momens  par  rapport  à  Vaxe  sont 
é§aux:  ou ,  ce  qui  revient  au  même,  la  puissance  est  à  la 
résistance  comme  le  rajoh  du  cjrlindre  est  au  rayon  de 


i4o  Statiquk* 

la  roue»  Oa  peut  donc  regarder  coiniBe  incoowie  l'ime 
quelcoiMpie  de  ces  quatre  quantités,  et  résoudre  to«s  les. 
problèmes  relatifs  au  treoîL 

On  observera  que  ce  résultat  n'est  antre  choae  que  eelni 
qui  a  été  démontré  (4^)7  pour  les  équations  de  réqniiifare 
de  rotation  autour  d'un  axe  fixe  :  en  effet  j  les  deux  puis- 
sances étant  dans  des  plans  perpendiculaires  à  Taxe  ,  leurs 
composantes  paraîlêles  à  cet  axe  sont  nulles.  On  poumnt 
donc  remplacer  la  démonstration  précédente  par  ce  qui  a 
été  dit  n^.  45. 

4-  III.  La  corde  dont  oi^e  sert  dans  le  treuil ,  est  com- 
munément d*an  diamètre  ^on  ne  peut  négliger.  L'action 
des  puissances  se  transmet  par  Taxe  de  la  corde  ^  il  est 
évident  que  son  rayon  doit  être  ajouté  d*une  part  à  celui 
du  cjlindre  y  et  de  Tautre  à  celui  de  la  roueï»La  proposi- 
tion précédente  devient  donc  :  la  puissance  est  à  la 
résistance  qui  hiifait  équilibre  dans  le  Tour  y  comme  la 
somme  des  rayons  du  jcylindre  et  de  la  corde  j  est  à  la 
somme  des  rayons  de  la  corde  et  de  la  roue. 

Si  donc  la  corde  s'est  enveloppée  autour  du  cylindre  * 
et  en  a  couvert  entièrement  la  surface,  pour  qu'elle  con- 
tinue de  s'enrouler,  elle  doit  former  un  second  rang; 
ainsi  on  doit  augmenter  la  puissance. 

*       112.  Quant  aux  pressions  exercées  sur  !*\s   deux  appuis 

£i.  ^4  Ci  B  y  il  importe  de  les  calculer  y  elles  sont  produites  par 

les  composantes  en  ^  et  B  des  résultantes  des  forces  P  et 

'     Q  du  système ,  lesquelles  doivent  rencontrer  l 'axe.  Ces  forces 

équivalent  à  «S  et  à  la  résultante  de  P  et  Q"  y  nous  allons 

nous  occuper  en  particulier  de  chacune. 

D'abord,  la  force  S  décomposée  en  deux  autres  verti- 
cales en  ji  et  By  donne,  d'après  le  n".  5i  ,  les  pressions 

suivantes,  savoir  :  —rr.Y.  ^  en  A.  et  -■  _'x  S   en  B. 
'  AB  AB 


Mxcnmsy  t&suiL.  i4i 

SoKnt  donc  AD:=zb,  GB  =  b' ^   DGzzCy  et 

AB:siLa'zs.  t  +  6'  +  c,  ccxnme  X  est  au  milieu  de  DG^ 
on  a  KB  =  i  c  +  6' ,  et  JK  =\c^b  :  ainsi  les 
pressions  qni  proviesneiit  cle  5  âr  2  Q  sont 

!«.  ea^..«  X   V>  2**.  en  B.,..   X  V- 

a  ^  ^  a  ^ 

La  résultante  des  forces  P  et  Q^  est  déterminée  d'après  * 
ce  qui  a  été  dit  (25)  :  prenons  donc  dans  le  plan  de  la 
roue  y  un  axe  des  x  horisontal  et  un  axe  desj^  vertical  j 
les  composantes  de  ces  forces  parallèlement  aux  axes  seront 
P  cos  «  et  p  sin  « —  Q ,  en  désignant  par  «  l'angle  connu 
que  P  fait  avec  l*horison^  Ainsi;  on  trouve,  en  raisonnant 
comme  ci-^dessus  ;  que  les  composantes  verticales  sont 

i^  en  ^.•...  X  "(/^  sin  «  — ^Ç), 

a 

A'',  en  i& —   X  (Psin^—  O), 

a 

elles  doivent  être  ajoutées  aux  précédentes  :  iljliiriiii  les 
composantes  horason  taies  sont 

i*>.  en^. . .  ■  X  P  cos  «•   a*',  en  j5.  ••  — x  Fco8«; 

«  a 

on  aura  donc  en  A  deux  forces  ^  l'une  A  verticale , 
l'autre  /k  horisontal e  :  soient  de  même  hf  et  fi'  celles  qui 
ont  lieu  en  B*  L^effort  exercé  en  A  étant  la  résultante  des 
forces  A  et  ^;  sera  =:  y^  (a»  4- ^' )  ,  (18)  j  l'effort  en  B 
sera^  (a'*  -f-  ^'*  )  :  et  les  tangentes  respectives  des  angles 

fiâmes  par  ces  efforts  avec  l'horison  sont et  -^.  Or, 

comme  les  quantités  a  ,  ^'  7  f*  ^^  f*'  sont  données ,  on 
conn^oîtra  la  grandeur  et  la  direction  des  efforts  exercés 
en  A^eX  B.  On  observera  seulement  que  lorsque  le  mou- 
vement de  la  machine  a  lieu ,  corAme  le  point  K  change 


1 


i4^  Statique^ 

sans  cesse ,  ces  deax  choses  varient  à  mesure  que  la  cotd* 
s'enroule  :  niais  il  n'est  ici  question  que  d'équilibre. 
*  Le  poids  de  la  machine  contribue  encore  à  la  pression  s 
oa  peut  le  regarder  comme  une  force  T  appliquée  sur 
Taxe  au  centre  de  gravité  N  du  treuil.  En  la  décom- 
posant ,  et  faisant  AN'=.ky  NB=zk'  y  on  trouve  pour  les 

pressions  en  jt  et  B.  x  Tj  x  T.  On  doit  donô 

a  a 

augmenter  de  ces  termes  les  valeurs  ci-dessusde  A' et  A'. 

YI.  Des  Roues  dentées. 

4-       11 5.  Une  Rou£  dentée  est  un  cylindre  mobile  autour 
Yig.  66.  de  son  axe  et  dont  la  surface  est  munie  de  filets  paral- 
lèles à  cet  axe  :  ces  filets  ou  dents  s'engagent  dans  ceut 
iju'on  forme  de  même  sur  une  autre  roue  dentée ,  et  cet 
Engrenage  est  tel  ^  que  dès  que  Tune  est  mise  en  mouve- 
ment autour  de  son  axe  y  l'autre  tourne  en  sens  contraire } 
les  largeurs  des  dents  ^  et  les  intervalles  qui  les  séparent  ^ 
doivent  éjj^  égaux  dans  les  deux  roues.  Yojrez  la  fig.  66* 
^       Sur  l'axe  de  chaque  roue  dentée^  on  en  adapte   ordi" 
nairement  une  autre  y  qui  fait  corps  avec  elle^  et  est  d'un 
diamètre  moindre  :  cette  roue  s'appelle  Pignon  ;  les  dents 
se  nomment  Ailes.  Alors  chaque  roue  dentée  engrène  dans 
le  pjgpon  de  la  suivante^  comme  on  le  voit  dans.Ia  fig.  66« 
Si  une  force  Af  fait  tourner  la  première  roue  A  y  le  pignon 
a  fera  mouvoir  la  roue  B  /  de  même  celle-ci  -mènera  ia 
roue   Cy  etc.   Enfin  on  adapte  à  la  dernière  roue  E  y  hvl 
lieu  de  pignon ,   un  cylindre  non  denté  ^  autour  duquel 
est  roulée  une  corde  qui  soutient  un  poids  R  ,  ou  qui  est 
sollicitée  par  une  force  R.  Cherchons  les  conditions  d'équi* 
libre  entre  la  puissance  AI  et  la  résistance  R  y  aussi  bien 
que  les  efforts  exercés  sur  les  dents  des  roues. 
*       On  observera  que  chacune  de  ces  roues  et  son  pignon 


Machines  >  roues  dentées.  t45 

ne  sont  autre  chose  qu'an  tour  :  on  a  donc  ici  à  considérer 
un  système  de  tours.  La  manière  dont  nous  allons  résoudre 
le  problême  proposé  ^  n'appartient  pas  seulement  aux  roues 
dentées  y  mais  l'esprit  de  la  méthode  doit  être  applicpié  à 
toute  machine  composée  j  comme  nous  aurons  occasion  de 
le  voir  par  la  suite  ;  et  comme  nous  l'avons  déjà  fait  (io8)* 

La  roue  A  entraîne  son  pignon  a  y  celui-ci  n^ène  la  a- 
roue  B }  désignons  par  P'  l'effort  exercé  par  les  ailes  du  ris*  5«. 
pignon   contre  les  dents    de  la  roue  :  soient  de  même 

pu  ^  piff^ Igj  efforts  exexcés  par  les  aîles  des  pignons 

b  y  c  y sur  les  dents  des  roues  Cy  D  y  avec  lesquelles 

ils  engrènent.  De  plus  soient  r*  y  r^ ,. . .  r»,  etc. les  rayons 
des  roues  \  s' y  5" , . . . . .  sy>  les  rajoDS  des  pignons  5  l'ac- 
cent C")  est  relatif  à  la  dernière  roue.  Généralement  \t% 
rajrons  sont  les  distances-  respectives  de  chaque  axe  au  point 
de  contact  de  la  dent  avec  l'aile  du  pignon  d'engrenage^ 
mais  comime  ce  point  varie  à  mesure  que  le  système  se 
meut  y  on  peut  prendre  y  par  approximation^  une  distance 
moyenne  :  nous  entendrons  donc  ici  par  rayons ,  les  lon- 
gueurs comprises  entre  les  axes  et  lé  point  qui  est  au  milieu 
de  la  longueur  des  dents. 

Cela  posé  ^  MetP'  sont  deux  forces  en  équilibre  autour  ,|. 
du  treuil  A  y  leurs  directions  sont  tangentes  à  la  roue  et  au 
cylindre  ;  de  même  pour  les  autres  :  on  aura  donc  pour  la 
condition  d'équilibre 

r  4 Mr'    =P's» 

B P'r'f  =  P"s" 

autour  de  la  roue  /    C • P'V  =  JP'^W 

etc • .  etc. 

Dernière. . . .  jP  C«  -  O  rC«)  =  Rs(fO. 

Multiplions  entre  elles  les  deux  premières  é^juations  ^  ou  j^ 


i46  Statique. 

de  dents  des  roues  est  au  produit  des  nombres  dwle^ 
des  pignons.  On  observe  qu'ici  A>^  et  f'  n'entrent  pas  ^ 
parce  qu'il  n'y  a  ni  dents  à  la  première  roae  y  ni  aii^^ 
au  dernier  pignon  ^  ou  du  moins  parce  qu'ils  sont  inutile^ 
à  l'état  du  système. 

En  général  l'équation  (Q')  sert  à  résûodre  ce  problème^ 
de  ces  qucure  choses  ^  les  nombres  de  tours  de  la  pre^^ 
miére  et  de  la  dernière  roue  y  les  nombres  de  dents  dcs^ 
roues  et  de  leurs  pignons  j  trois  étant  données  j  trouver^ 
la  quatrième.  On  peut  donc  se  servir  de  cette  équation 
pour  trouver  les  nombres  de  dents  et  d'ailes  d'un  rouage  ^ 
en  supposant  connus   les  nombres   de   tours  de  la  pre- 
mière et  de    la   dernière   roue  :  mais   on  voit  qa'ici  le 
problème  est  très-indéterminé  y  car  il  consiste  à  tronrer 
{outre  le  nombre  de  roues  qui  est  arbitraire)  k'y  k'';.k^^^\ 
ç*,  €f" ....if^'^y  étant  donné  iV'"^  et  iV'  :  mais   comme 
ces  valeurs  sont  toutes  entières  y  cela  particularise  un  peu 
la  question. 

Si  y  par  exemple  y  on  veut  employer  cinq  roues,  et  faire 
en  sorte  qu'à  chaque  tour  entier  de  la  première  JE ,  à 
laquelle  on  suppose  le  moteur  K  appliqué  ,  la  dernière  A  y 
en  fasse  2800  :  on  fera  N'^"^  =  i ,  A'^'  =  2800 ,  et  l'équa- 
tion (Q")  deviendra  2800. A'. A". A'". A»' =7^. 9"'. 9*^. 9'. 
Ou  peut  se  donner  arbitrairement  toutes  ces  quantités  ^ 
moins  une  :  mais  cette  dernière  devant  être  aussi  un  nombre 
entier  y  on  disposera  de  .toutes  y  excepté  deux ,  en  ayant 
soin  de  prendre  les  valeurs  de  q' y  ^" . . .  •  plus  grandes 
que  k! y  A^. . . .  et  entières.  Soit  pris  ,  par  exemple  ,  pour 
k^f y  k"y  A*^,  q'"y  ^'^,  ^^,  les  valeurs  respectives  10,  12, 12, 
80,  80  et  84  ;  notre  équation  sera  réduite  à  i5  A'  ^  2  ^*. 
On  est  conduit  à  une  équation  indéterminée  y  qui ,  traitée 
par  la  méthode  connue  y  admet  pour  k'  toutes  les  valeurs 
jitires  :  on  pourra  prendre  ;  par   exemple ,  A'  :=  10,  ce 


Machines  j  AoijÈiis  dbntbes*  i4^ 

^ui  doniie  9^=75,  On  voit  donc  qu'entr 'autres  hypothèseà^ 
<^n  à  pour  le  système  d^éngrenage  des  ailés  et  des  dents 
les  nombres  suivans  : 

râ A*^=ià       "^  ^  £.;....  9^  1=  84 

I  c...  A"' =  12  )  JD^....  7*^  =  80 

Pignons  <  Roués  \ 

^  b. A"  =  10  \C .çw  =  86 

a,  ....A'    =iô  [,  B......  q'f  =  fjS 


I 


Àa  reste  à  cet  égard  on  doit  faire  une  observation.  Les 
dents  et  les  ailes  qui  s'engrènent  devant  être  également 
larges  e\  espacées^  lé  rapport  qui  existe  entre  leurs 
non&breis  doit  être  égal  à  celui  des  ciitonférenceS  de  U 
roue  et  du  pignon  ^  ou  à  celui  de  lei^rs  rayons  y  c'esU- 
à-diire  que  Tes  hornbréà  {^^ dents  et  éP ailes  sont  entre  eux 
Cùninfà  les  rayons  de  là  roue  et  du  pignon.  On  a  donc 

pout  la  roue  B  et  le  pignon  a  j  -~-  =±  — p  ;  il  en  est  de 

/c  s 

inéme  des  autres}  ainsi  on  a 

équations  qm  Servent  à  déterminer  la  grandeur  de  chaque 
roue  et  de  son  pignon^  lorsque  le  nombre  de  dents  est 
ftxé  ,  ou  réciproqueinént.  £h  l^s  multipliant  toutes  oil 
tràuVé 

M  irappi-ochant  ce  résultat  des  équations  (/"O  ^^  (Q^)>  ^^ 
obtient 

téquation   qui  sert  à   faire    connoitrt  Pan  des  rapports 


\ 


i 


"^^  rS^^  ';^^  *''"**•  les  J«ù:  «Dtrct  M«t^ 
donnés.  Or  2  irr'  et  2  ir^C")  sont  1er  ciitionftitMiciéi  de  far 
nrae  ûdf  et  du  pignon  e;  donc  le  premier  membre  de  p»\rè 
^)|aafîbn  î^f  le  rapf^ort  des  chemins  m  et  r  qae  déeriTOit 
eûlefiiblë  la  torée  et  le  poids ,  an  a  iMC 


•    Mm-=zBr\ 

/9/uj  la  puissance  sera  grande  et  plus  le  poids  aura  de 
t/Oè^st* 

*  hts  horlogers  prétendent  qoe  les  ftombres  de  dentl 
•d^une  roue  et  du  pigtfon  d'éttgrenage  doivent  être  renr 
irons;  c'est-à-dire  que  pour  faciliter  le  mourementp  ^ 
convient  que  chaque  dent  se  trouve  en  çpntact  avep  la 
mém^  aiie^  ce,  qui  exige  que  le  nombre  des  dants  agit, 
un  multiple  de .  céîui.jdes  ailes  ;  mais  cette  assertion  est« 
etle  breA  (évSàét  ?  do  moins  on  est  libre  de  ne  point  s'/ 
soumettre. 

Tig.  66.  I  ]  5*  H'  est  facile  de  comprendre  maintenant  le  méca-« 
nisfhl^  iës  b'oftô^es.  Uii  poids  ou  un  niôteur  est  appliqué 
à  la  roue  E  j  a.  l'aide  d'une  corde  roulée  autour  d'un 
cylî^clre  e.  L^aciîoiï  de  ce  poids  fait  tourner  cette  roue 
qu'on  appdie  roue  de  Cylindre;  elle  met  le  système  en 
mbuveirient.  Toici  les  nombres  de  dents  et  d'ailes  qu'on 
peut  employer. 

Boue  E  ou  ae  cylindre  S4  dc^ts;  clic  mène  le  pignon  d  de  la  ailes. 

Roue/) •   .  80  dents; cdeiiailes. 

Kone'C on  des  minutes  Sodenis\ ^deioaîlei. 

RoueJ? 75  dents; adeto  ailes. 

La  roue  A  s'appéïle  roue  d* Echappement;  nous  la  sup- 
poserons anhée  dfe  5o  dents  5  en  voici  l'ûsage.  II  ê^t  da^ 


Machinih^^  hovbs  dentées.  149 

^ae  «i  rien  n'arrétoU  les  roues  ^  l'actioa  du  poids  R  feroxt 
tourner  avec  rapidité  tout  le  système  y  jusqu'à  ce  que  la 
corde  eR  se  fut  entièrement  développée  de  dessus  le 
.cylindre.  Mais  si  ^  la  dernière  ro.ue  ^  on  ini^gine  un  pig.  67* 
pendule ,  c'e^t-à-dirç  xud  corps  pesan^t  M  ft^é  à  \\extcémi^ 
d'une  verge  ML  j  et  si  de  plus  une  jincre  KJjJ  ^it  corp§ 
avec  cette  verge  y  e,t  oscille  ave«  elle ,  il  ^i  ^içé  de  vsàf 
ce  qui  arrivera.  Chaque  fois  que  le  coips  M  p^s^er»  e^ 
oscillant ,  de  Ta^utre  côté  de  la  vertiç^e  Z/iV,  Ja  brapçhe  / 
de  V Ancre  s'élièyera^  et  9e  retopai^t  plus  sajde^t^  çoUe-^ 
Réchappera  j  \a  roue  taurjoera  donc  :  xnais  il  ne  ppur^^ 
passer  qu'une  d^ent^  car  loutre  brapcbe  fÇ.  de  l'a^o^ 
s'abaissant  en  méni^  .te^^a^s  ,qi;iie  Je  point  1  ^!élftve ,  CjbIIc-^ 
retiendra  la  dent  qu'.eljie  Ji;jencoptrersi)  et  ai^^i  <de  sui^» 
de  sorte  qu'il  ne  s'écb^pp^^  qu'une  ^^nt  à  cjt^que  oscil- 
lation 4ai^1^1^* 

Nous  ne  pouvons  ici  donner  de  détails  sur  le  |>6ndale  et 
la  théorie  dps  o$cillaUoQ3(;.9^);  ni|d^  si  Jl^  Ipng^iseur  4^L 
est  teUe  qjue  <;e$  oscillations  ^  f^sçint  (^  J9l^ip4e  en 
seconde,  la  roue  .^  p'a^ura  fail  un  ^our  .e^ti^r  qu'^n  69 
secondes  pu  «pe  n^Rte.  Sf\  4çtnc  l'^^e  de  \^  TîWe  d'éqIvîyPT 
pement  porte  une  ^iguille  QH ^  wphUe  avec  elle ,  t^^^ 
on  adapte  sur  l.e  xnéipç  x^fire  ,w  f^^^rs^n.^e  ^  4ont  4f 
cirqoi(ifér.c)Okce  soijt  .divÂséje  /5ft  ^spifanj^e  partie  ég^l^>  l'o^ 
•trémité  H  se  pré^ejp,tera  ^ucce^^sj^veiiiftilit  ^  Jtp)2&  \^  j>pi94^ 
^e  division  de  ce  cadr?^  ^  et  y  m^i^^^^  4^  jS[eqQndfes.  \ 

Ch|i.qu^  .tour  que  la  JOue  B Ser»y  oocréspcûidra  à.9 1  toora  Fig.  66.. 
£i^\S  p^  la  roue  uiy  .puisque  jceile-rlà.estaianc&'de  .75  dents  y 
taqxjiis  que  le  pignon  .a  a  xo  ailés  :  la  rôvûs^S  £ei^  donc  soix 
tQlir  en  45o  §ecoaPideis ,  c'est-à-dire  à  .chaque  demi-rquart-^ 
d|be\u*je.  Le  pigxio^  ^  a  lo.de^ts^  la  xoue  €?.ena  60  )  elle 
%|L  Aovfi  son  tour  en  une  faieure  ^  et.  on  fiiourroit  juarquer 
W  miimtiss  ^ur  im  ^litre  -cadran  ;  si  qn  w  J&posoit  uip^ 


■  !•■■» 


«^uv  l^tM'd^HtW»  C,  comme  poar'fetèM  ^édmippdiÊààMr^ 
l^  r^iM^  A  Ikft  son  }oar  en  6  h.  J  ,  et  tafia  ht  nméE; 
^f  WMrea46h.f.  •^-     • 

Ql^  9iHt  finre  |Kirter  gpur  Taxe  de  la  roue  €  m  ^feèsidl 
pklltT.^tT  «Bm  qnî  mènera  une  rbne  de84  dcnts}  ocSm 
|(|||  iQqk  Ww  en  la  heures,  et  pomtoit  par  cobt^qn^l 
Viy^p^  Im  beurei  sar  un  cadran  concentrique  ipt  'qdS[ 
l^(^t  dhrité  en  douze  parties  égales.  Noos,  ne  ftrons'  paî^ 
îi^lf  4Mi  det  dispositrâiis  qui  cpnyi^nèvit  )e  taSééûL  ônc 
f^jIMi  nf  des  nombres  dç  dents  et  d^es  qui  Sont  uaâés 
df  ptéftiience.  C<!s  nombres  penv^t  écre  trèsnclififêiréi^  flè 
^UH^que  nous  Venons  d'çmplo jei*  :  il  est  ^^Ot^r^'iare 
^^9  se  senrè  de  plusieurs  cadrans  pour  inanjafcr'lc^ 
I09oi>des,  les'mlnbtès  et  les  heares;  et  sourent  il  «l'y  og^ 
^  ^Hxn.mtij  dti  centre  dnqud  on  fait  sortir,  lès  «xtî^ 
^tinës  à  porter  les  aiguilles.  Voyez  UJThiité  ^tkfrlifgàA 
daBtirthoud:    *      i  ♦    * 

'  -ii6.  Oi(  se  sert  aussi  du  moyen  suirant  pour  imprimer* 

le  moufâiient  à  là  machine,  au  Heu  du  poids  R  :  oi^ 

adapte  à  la   roue  E   une  botte  cylindrique  F ,  qu'oa 

|4|  H.  «omme  Tamiour  ou  Barillet  j  avee   laquelle   Taxe  ou 

Wrbre  ne  &it  point  corps }  de  sorte  que  le  tambour  peu^ 

tourner  en  ménie  teftis  que  la  roue  E  sur  l'axe  HG  immo-^ 

,        -         •  . 

bile.  Un  ressort  -spral  m,  qu'on  nomme  grand  ressort, 
^  caché  dans  le  tainbour;  il  a  Tuné  de  ses  extrémité  i 
^xëe  an  'linibe  'intérieur  du  cylindre  \  Tautre  m  Test  i 
•  ..  '  l'arbr^  mlmelrSt  donc  on  fait  tourner  Tarbre,  le  res8o>rt 
se  .serre  autour  .énr.lfenveloppant,  et  faisant  efïbrt  pour  se 
ftrelepper^' 4  Àôt  tourner  le  barillet  en  sens  contraire, 
parce  que  l'arbre  dévient  fixé*  Ainsi  il  imprime  à  la  machine. 
^  nii  n^ycment  de  i^otation,  et  remplace  le  poids  R»  Pon^r. 
liander.le  vessort,  il. ne  iaut  donc  que  faire  tourner  l'arbre 
fl  le-fibBerjensuite  :  pour  cela  onien  façonne  l'extrémité  J^ 


Machines^  roues  bentéis*  i5i 

en    prisme  à  quatre .  angles ,  c'est  le  carré]  on  le  fait 
entrer    dans   une   clef  T  de  même 'calibre,  qu'on    fait 
tourner.  Le  ressort  enveloppe  alors  l'arbre  y  car  les  autre»- 
rouages  retiennent  la  roue  E  y  ainsi  que  le  barillet  F.  Après 
chaque  tour  de    bief,:  l'arbre  ne   peut  tourner  en  sens 
contraire  ,  et  il   reste  fixé  )  car  il   fait   corps    avec    une 
roue  K  à  dents  obliques ,  dans  lesquelles  est  engagée  une 
languette  AB  /  presséee  par   une   lame  d'acier  CD ,  et 
retenue  en  A  par  les  platines  fixes  M  et  N  qui  portent  les 
axes    des     roues.    Il    en    résulte    que    quand    on    veut 
tendre  le  ressort  •,  il  faut  tourner  l'arbre   dans  un  seiis  : 
alors  la  roue  /^glisse  sur. l'encliqùetage  AB'y  mais  lorsque 
l'on  abandonne  le  barillet  à  lui-même ,  il  tourne ,  entraine 
(/?^.  66  )  la  roue  E  et  lé  reste  du  système.  L'arbre  reste 
seul  immobile  par  l'action  du  grand  ressort  ;  la  durée  des 
oscillatious  du  pendule  LM  peut  varier  avec  la  force  de  Kg.  «7. 
pression  exercée  sur  les  arrêts  K  tt  1}  or  à  mesure  qu'il 
se  développe  par.  l'effet  du  mouvement ,   cette  pression 
diminue  :  il  s'ensuijt  que  les  tems  des  oscillations  pourroient 
être  inégaux  y  si  on  n*y  remédioit  par  ui\,/mécaiiism&  par- 
ticulier. La  Fusée  est  u^e   espèce  de  cône  tronqué  B  : 
le  tambour  A  y  au  lieu  d'être  acUiér^t,    comme  'dans  la  p-    ^^^ 
fig,  68 ,  a  la  première  roujs  E  y  forme  une  pièce  distincte. 
La  surface  de  la  fusée  est  munie  d'un  plan  incliné  y  en 
HfiUcey  d^liné  à  recevoir  une  chaîne  qui  s'^  .enveloppe. 
Le  grand  ressort  transmet  son  actÎQu 'à  la'  fusée, sà^  l'aide 
de  cette  chaîne.  On  voit  que ,  par.  ce  mécanisme  ingé- 
nieux, le  bras  de  levier  de  la  pui$99MCi$'.  croit  à  mesure 
que  le  ressort  se  débande  y  ce  qui  ten4  «.égaliser  ses  effets. 
Lorsque  le  ressort  est  détendu,  la  chaîne  enveloppe  en- 
tièrement le  barillet^  en  laissant  la  fusée  à  nud  :  une  clcf^ 
dans  laquelle  on  .insère  le  carré  H ,  sert  à  faire  tourner 
le  çoips  d«  la  fusée  en  sens,  contraire;,  par  là  la  cbaîn* 


.  i52  StATIQUK* 

se  déroule  de  dessus  le  bariilcty  et  le  forçasl  à  Aoumer 
dans  le  même  sens  y  tend  de  BDUvcaa  le-  ressort  y  et  re- 
porte la  chaîne  sur 'la  fusée  ^  de  sorte  -que  l'arbre  K  reste 
ici  constamment  fixe  ^  et  le  ressort  ne  se  bande  que  par  le 
mouvement  du  barillet  entraîné  par  la  .fiisée.  :I>u  reste , 
.  cette  pièce  ne  fait  pas  corps  avec  la  roue  £  qui  a  le  mèoie 
axe;  le  déclic.^,  disposé  dans  son  ixxtérietnr ,  permet  àia 
fusée  dé  tourner  sans  elle ,  d'un  côté  seulemenA  y  et  par 
conséquent  sans  rien  déranger  à  la  -sitnatîon  des  -antres 
roues  'j  tandis  que  cette  fusée  ne  penl  toucner  dans  Paotre 
sens  sans  entraîner  toutes  les  pièces  ;  ,c'est  pour  cda  qae 
quand  on  monte .  une  montre  y  les  aiguilles  ne  prennent 
£,ucun  mouvement.  En  un  n|ot  y   tout  l'apipereil  qui  étoit 
précédemment  adapté   à  la   première*,  roue  £  y  existe  de 
même  ici  y  excepté  que   le  barillet  forme  une  pièce  dis- 
tincte. 

•  i 

Après  avoir  évité  Temploi  d'un  poids  pour  moteur^  -il 
ne  faut  plus  ,  pour  rendre  la  machine  portative  ,  <Jue  trou- 
ver un  autre  régulateur  que  le  pendule.  On  fait ,  dans  les 
rii-  70.  montres  y  usage  du  mécanisme  suivant.  Le  barillet  ji 
mène  la  fusée  B  avec  sa  roue  y  de  sorte  que  le  mouvement 
se  communique  au^  autres  roues  Cy  D-y  jPj  la  tige  de  cette 
.  dernière  ,  qui  est  celle  des  minutés  y  fait  mouvoir  une 
roue  G  dont  Taixe-est  horisontal,  et  qu'on  nomme  roue  de 
PifaToi:/. .  rencontre.  Une  tige  porte  deux  palettes  alternes  L,  L  qui 
engrènent  tour-à-i4our  dans  les  dents  de  la  roue  de  ren- 
contre; car  comme  elle  porte  un  nombre  impair  de  dents  , 
chacune  est  diamétralement  opposée  à  un  entredent  y  de 
'Sorte  que  les  deux  palettes  ne  peuvent  être  à-la-fois  ren- 
contrées. La  tige  qui  les  soutient  porte  une  roue  HK.  non 
clcnlée,  qu'on  nomttie  Balancier,  Cette  roue  rf*roit  donc 
son  mouvement  de  la  roue  de  rencontre,  et  elle  oscille 
là  Taide  d'une  petite  lame  spirale  hl ,  qui  est  capillaire  ,  et 


Machinju,  aoiw,  dentiîes.  iSS 

<loBt  Tiuie  dos  extrémités  est  &&ée  en  h  aus  (dalÎBes  ^ 
■^ndis  que  l'autre  l'est  à  k  tige  du  balancier  en  /•  Cette  spi- 
xale  ^  en  se  roulant    et  se  dëyelof)pant  altemativesiciil:  ^ 
remplace  le  pendule  :  de  sonte  <ipièe  la  imut  de  reacootf  e 
avance  d'une  dent  chaque  fois  «pie   le  balancier  aohèire 
deux  vibrations.  La  rapidité  du  mouyeaàent  dépend  de  'la 
longueur  du  filet  spiral  U  ^  et  on  l'augmente  .ou  la  dimi- 
nue en  accôurcissant  ou  allongeant  ce  filet  y  oc  qui  se  prfi- 
tique  à  Taide  d'un  arrêt  disposé  à  ciA  effiet.  Dans  les  naojïitres 
ordinaires  y  le  balancier  fait  17^x80  vibrations  par  heove. 
Mais  comme  le  tems  des  oscillations  du  balancier  dépend 
8ur-tout  de  la  force  de  pression  exercée  sur  les  palettes  L  par 
l'action  du  grapd  ressort  y  -c'-est  «ur-tout  ici  qu'il  importe 
de  faire  usage  de  la  fusée  y  qui  n'est  guère  emplpj^e  lors-  . 
qu'on  se  sert  d'un  pendule  pour  régulateur. 

Le  tems  qu'une  horloge  peut  marcher  ^ans  dVQir  b^ojn 
d'être  montée  dépend  de  plusieurs  c^M^^es^  i°.  des  nomb^s 
de  roues^  de  leurs  dents  et  des  ailes  des  pig;K>n6 }  ^^.  ^e 
la  longueur  du  pendille  :  .il  y  en  a  q^i  ne  battent  .<|u^  l^s 
quarts  de  seconde^  5°  de  la  force  du  ressort  enfermé >l9Èps 
le  barillet^  ou  de  la  longueur  de  la  corde  qui  soujtiejgt  Je 
poid^  moteur  y  et  de  la  grandeur  de  la  cicçonferepce  âa 
cjlindrç  sur  lequel  elle  se  roule.  Il  arrive  fiiêfxyi  que  j 
d'après  les  principes  développés  n**.  i©^,  qn  adapte 
quelquefois  à  cette  corde  des  mouffles  y  pour  qvie  Ip^ppids 
descendant  moins  rapidement^  la^maclune  Jx'm^  pa^  .ausjsi 
..souvent  ..bç^in  , d'être  remontéç..  

x^^^JOtafiiv^  ^elquefois  que  «lies  tro^w-deniéfis  ^'^qa9^i{:^s 
leai^  ag^es  .p^r^llièles  ^  vQÎci  ^  d^ns  ce.  c^  Jé-.âj^osi^ipn 
qu'il  -convient  de  .leur  d<9WMr«  -Conoéyipn^'  ^u^  céouss 
droits  y  qui  y  ajrant  leurs  sommets  en  >mx  ouârne  ip^int 
•et  leuBâ  aikes  £^ès  y  auifoiistft  leurs  «ivriaeàs'  tUmgfiPtes 
MH^aont  (un  :d^  .k^ss  côtts  r  .^  lon  inAÔaxfr  iies  jpiiCiiçfs 


iS4  Statv^.' 

m 

rtvétiàt»  de  filets  dkpotës  dans  le  «en^dtf  cm  ct!ftii^À*ÎÊÊfi» 
cdnet.iie  pourra  tourner  sur  son  axe  sans  «ntràfea^  hnflU^ 
et  le  faire  tourner  en  sens  contraire.  Si  donc  y  par  Afcnrftte  ' 
point  du  filet  en  contacjt  y  on  fiât  passer  d^t.  lAftBfy  per* 
pendicnlairement  à  l'axe  de  chaque  càtté  j  ils  ^coîlp^kMii^ 
câ9es  et  en  détajcheront  deux  troncs,  revétns  de fikis yfHi  ^ 
féiront  l'office  de  dents  .Xés  roues  n'^uroiit  pas  léttn.'itiiis 
parallèles^  et  néanmoins  engrèneront»     j-'^  .-v  «t    --  •  ^i. 
On  peut  aussi. disposer  ces  Toues  comni^  on  lé  viûtidÉiiSr 
'''Sp  7t  les  figures  ji  et  72  j  on  donne  Ie<iiS0|à  dte  (AmJRinui'^iii;^, 
pî^piOB  qui  est  emi^oyé.dans  odle-ci;        ■*-  ^  *' - 

.    YU^Du  Cric.  -        'i 

r  ^ 

•      *         '  *  ",•  I*"".-.        •*♦*!     »       ■■     -i*,^^         '^.* 

«. .     ii8.  Gôncerons  une  barre  utfi?»  deçt^  4!lin.  <e4^-f.fst 
Yig.  7».  retenue  dans  une  chappe,  oïl  forte  boite  KL;  en  oçsiiis  bit    , 
pratique  utae  ouverture  par  laquelle  cette  barre  peutsortiri 
lorsqu'on  fait  tourner  un  pignon  £  qpi  'èiigrene''aTêc'lî^    ' 
dents  de  la  barre ,  et  lui  communique  un  mbdvênfe|it  de    . 
trauslatîbn.  Cette  machine  s'appelle  Cmc  s  son. usage  eit 
d'élever  le  poids  qu'on  applique  à  l'extrémité  A  de  la  barre* 
Pour  mettre  le  pignon  en  mouvement  y  on  se  sert  d'une 

r 

manivelle ,  disposée  comme  on  le  voit  dans  la  figure* 
♦  Soit  P  la  puissance  appliquée  a  la  manivelle  dopt  le  rayon 
EF  est  R  y  soit  r  le  rayon  du  pignon  ,  et  Q  la  irésistance  à 
vaincre  en  ji*  H  est  visible  que  cette  résistance  peut  être 
supposée  immédiatement  appliquée  sur  la  dent  du  ipignlfain 
en  contact  avec  la  barre  :  ainsi  (i  10)  les  momens  des  deux 
forées  y  par  rapport  à  l'axe  du  pignou  j  doivent ^tre-^alix; 
et  on  a  RP  =  Qr-  Donc  la  puissance  est  à  la  rêsisumce 
dms  réqùUibredu  cric  comme  le  rayon  du  pignon  est  u 
celui  de  la  îhanivtlle.  .  '      * 

it    :  Lqiequ'on  a  produit  l'effet  demandé  ^  si  la  puissance  P 
apjpteqàée  à  la  nainivelle  cessoit  son  action ,  le  p<Hds  Q  ferait 


MachinbS;  orig,  ]53   ' 

redescendre  la  barre ,  en  forçant  le  pignon  à  tourner  en 
sens  contraire.  Pour  éviter  cet  inconvénient  y  on  dispose  un 
encliquetage ,  comme  à  la  fig.  68  y  afin  d'empêcher  le  pignon 
^e  tourner  dans  l'autre  sens. 

On  observera  qu'on  se  sert  fréquemment  de  manivelles  à  ♦ 
bras  courbés  ;  mais  par  rayon  de  la  manivelle  ^  il    faut 
entendre  ici  le  rayon  du  cercle  que  la  force  P  tend  à  dé- 
crire ;  et  non  la  longueur  rectifiée  de  ce  bras. 

Le  cric  que  nous  venons  de  décrire  est  appelé  Cric  simple^  ^ 
Toici  la  description  du  Cric  composé.  On  dispose  entre  le  ng.  74. 
pignon  E  et  la  barre  une  ou  plusieurs  roues  dentées^  armées 
de  leurs  pignons 3  le  pignon.  j&  n'agit  ^lus  alors  immédia- 
tement sur  cette  barre  }  mais  les  effets  de  la  puissance  se 
transmettent  en  les  multiplis^nt.  Il  est  inutile  de  sMtendre 
SUF  une  théorie  aussi  facile  ^  puisqu'elle  rentre  dans  celle 
des  roues  dentées  :  on  en  conclut  que  dans  le  cric  composé 
lajbrcc  ¥  est  à  la  résistance  Q  y  cctnme  le  produit' des 
rayons  des  pignons  est  au  produit  des  rayons  des  roues 
p^lc  bras  de  la  manivelle* 

Vin.  De  la  ??y, 

1 19.  Le  triangle  isocèle  GFB  y  en  tournant  autour  de  ^ 
l'axe  ^^  parallèle  à  sa  base  GB  y  engendre  par  sa  révolu-  Fig  75. 
tion  deux  cônes  tronqués  opposés  par  leurs  bases.  Mais  si 
outre  le  pnouvement  de  rotation -^  ce  triangle  a  encore  un 
môurement  de  translation  dans  le  sens  de  l'axe  AZ  y  de 
sorte  que  pour  diverses  portions  de  révolution -^  le  plan  de 
ce  triangle  s'avance  dans  le  sens  de  AZ  de  parties  pro-  . 
portionn^Oes  aux  valeurs  angulaires  qu'il  a  décrites  y  et  que 
de  plus  après  une  révolutioji  entière  le  point  B  soit  en  G  y 
^t  le  triangle  en  G' F*  G  y  et  -ainsi  de  suite.  •  •  •  ^  ce  triangle 
^Q^ndrera  un-  solide  ^'oit  noinxne  Vis.  La  distance  AD 


l56  SXÀTIQUIi. 

s'appelle  le  pas  de  la  vis*  Au  reste  il  n'est  pas  nécessaire  que 
le  polygone  générateur  soit  un  triangle  :  on  peut;  employer 
aussi  un  rectangle  y  et  on  a  alors  une  vis  à  filet  carré. 
4-  On  nomme  Ecrou  une  autre  pièce  sillonnée  iniéiieure- 
ment  comme  la  vis  Test  elle-même  en  relief:  l'un  est  pour 
ainsi  dire  le  moule  de  l'autre  \  de  sorte  que  l'écrou  eA  le 
solide  engendra  par  le  polygone  GHCBF  y  dans  aa  révo- 
lution autour  de  AZ  j  en  s'avançant  dans  le  sens  dexMk 
ligne  ^  comme  dans  la  génération  de  la  vis. 

it  La  vis  n'est  donc  qu'un  cylindre  revêtu  d'un  cord/on 
spiral  de  grosseur  uniforme  ^  et  dont  l'inclinaison  ^  par 
rapport  à  la  génératrice  du  cylindre^  est  constante:  l'écroD| 
au  contraire  p  est  un  solide  creusé  de  la  même  ncifUnù^e* 
L'une  de  ces  deux  pièces  c&t  fixe 3  l'autre  est  mpbiledaBS 
le  sens  dje  ^a  génération  ^  et  peut  par  là  s'-insinuer  cpnuqe 
en  rampant  sur  la  premiùre. 

it  120.  La  courbe  que  l'un  quelconque  des  points  du  polj* 
rîg.  75  et  gone  générateur,  tel  que  A',  décrit  autour  de  AZy  se  nomme 
7^'  Hélice.  Cette  courbe  est  évidemment  tracée  sur  la  surface 
d'un  cylindre  droit  qui  a  AZ  pour  axe  y  et  EN'=  r  pour 
rayon  de  sa  base;  développons  ce  cylindre,  et  pour  cela 
formons  le  rectangle  cdcf  y  tel  que  sa  base  de  soit  égale  a 
la  circonférence  qui  a  EN  pour  rayon,  ou  de  ^=,  cir.  ^ 
=  2arr  :  de  plus  ,  construisons  sur  ce  rectangle  le  dévelop- 
pement d'une  révolution  entière  de  l'hélice  décrite  par  le 
point  N  :  pour  cela  observons  qu'il  résulte  de  la  génération 
de  cette  courbe  qu'en  prenant  pour  abscisses  x  des  arcs  de  w 
circonférence  de  la  base  de  ce  cylindre  ,  les  ordonnées 
correspondantesj'  devront  être  comptées  à  la  surface,  suivait 
les  génératrices,  et  croître  proportionnellement  aux  abs- 
cisses :  soit  donc  pris  l'un  dos  points  d  de  l'hélice  pour 
origine,  at/=  bez=zAD  =la  hauteur  dupas  de;la  vistp^ 
nous  désignerons  par  li^j'  :=^  Ax  étant  Téquatiou  del^ 


Machinss^  v^s.  i57' 

co&rbe  ^  on  aura  visiblemeiit  pour  son  développement  une 
droite  qui  forme  avec  bc  un  angle  dont  A  est  la  tangente  : 
ef  comine  om  sait  d'ailleurs  que  cette  droite  doit  passer  par 
le  point  b  qui  répond  à  une  révolution    c6mplette  ^    on  à 

Ar=z  -—  r=z .  On  concevra  plus  fiicilement  ce  déve- 

•  de        ^*r  ^ 

loppêment  en  remarquant  que  toutes  les  tangentes  me- 
nées «ax  divers  pornti  de  l'hélice  se  confondent  avec  db 
lorsqu'on  développe  le  cylindi'e. 

Nous  supposerons  ici  que  la  vis  est  fixe  ^  et  que  l'écrou  a- 
tÊi  mobile  à  l'aide  d'une  forCe  P  appliquée  à  l'extrémité  rig.  77. 
d'nn  levier  CPz=i.R,  P,.est  perpendiculaire  à  la  direction 
de  ce  leviefcy  et  agit  dans  le  sebs  horisontal.  Soit  Q  le  poids 
qne  l'écrcfn  supporte  y  on  la  résistance  qui  s'oppose  à  l'effet 
de  la  force  P.  Si  l'écrou  ne  posoit  que  sur.l'un  des  points 
de  la  vis  j  supposé  à  une  distance  r  de  Taxe ,  il  scroit  placé 
eu  tm  point  iV  du  développement  de  Thélicë  qui  le  porte  :  i?ig.  7^- 
or  ce  point ^  pesant  autant  que  l'écrou  ^  seroit  sur  la  vis 
comme  sur  un  plan  incliné  bd.  La  fof  ce  Af  appliquée  hori* 
sontalement  suivant  MN^  pour  retenir  ce  point  en  équilibre^ 
doit  satisfaire  à  l'équation  (  /f ''{>age  1 1 5  )  qui  est  ici .  • , 

ifcf  3fc  Q  X  A=  -^  .  Lorsque  l'hélice  n'est  pas  développée, 

«ette  force  JR/ est  tangente  au  cylindre  qui  contient  l'hélice^ 
et  perpendiculaire  à  la  génératrice  qui  passe  par  le  point  n. 

I^faintenant  remplaçons  cette  force  M  subsidiaire  y  par  1^ 
la  puissance  P  ^  qui  est  celle  qui  exerce  effectivement  son 
action  :  pour  que  les  deux  forces  M  ti  P  équivalent  j  il 
faut  (  Il  o ,  4^  )  que  Ton  ait  PR  =  Mr  ;  puisque  la  force  M 
est  tangente  à  un  cylindre^  et  qu^  peut  assimiler  le  levier 
de  la  force  P  à  la  roue  d'un  treuil  )  d'ailleurs  leurs  bras  de 
levier  sont  r  et  R.  Par  là  l'équation  précédente  devienot 

qh:=^iifRP (R^'y 


iSS  ÎStatiqvè; 

^      Cette  équation  né  renfermant  pas  T;  ès^  indëpeildatte  À 
la  distance  à  laquelle  le  point  pesant  est  supposé  de  Taxer: 
elle  seroit  donc  encore  la  même  si  on  eût  pris  le  point  N 
ailleurs  sur  la  vis.  Cette  observatioii  va  nous  cohdmre  à 
un  résultat  général  :  car  cette  équation  seroit  encore  vraie 
si  l'écrou  ^  au  lieu  dé  né  tdùcher  là  vis  qu'en  un  seul  points 
la  touchoit  en  un  nombre  quelconque  de  points.  En  efifêt^ 
dans    ce  dernier  cas^  chacun  polrteroit  une  portion  da 
poids  Q  :  ces  portions  étant  désignées  par  Q'  ,  Q^^  etc.^ 
donneroient  Ç'  +  Q^  -f-  Q"  -+-  etc;  =  Q;  Mais ,  d'uH 
autre  côLé  ^  la  force  P  qui  porté  le  poids  de  Pécron  y  peut 
être  considérée  comme  la  somme  d'autant  dé  forces  pai^ 
tielles  P'  y  P^  j  etc; ,  qu'il  y  a  de  points  de  coi^ct,  les^ 
quelles  serôient  employées  à  porter  respectivement  chacim' 
des  poids  Q'  y  Q^  ;•••.}  on  aura  doue  les  équations 

Ç'/ïz=2îriîPS     Qffh=i2wRP»y    Q"fk=2wRP^f^  y   etc; 

dont  la  somme  donne  de  nouveau  l'expression  (R'^)*  Ainsi  ^ 
en  général  y  dans  Péi/uilibre  de  la  vis  y  la  puissance  est  à 
la  résistance  y  comme  le  pas  de  la  vis  est  à  la  circonfé^ 
rence  que  la  puissance  tend  à  décrire, 
^       Il  est  facile  de  conclure  de  ce  qu'on  a  dit  ci-dessus ^  que 

i^.  La  vis  est  une  machiue  composée  du  levier  et  du 
plan  incliné  ^ 

2**.  Pour  une  même  vis  ^  l'effet  est  d'autant  plus  grand  y 
que  la  force  est  appliquée  plus  loin  de  l'axe  j  ■ 

3*.  Pour  deux  vis  différentes ,  et  un  même  bras  de  le-* 
vier  y  yne  force  a  d'autant  plus  d'avantage  y  que  le  pas  de 
la  vis  est  moindre. 

i:^Du  Coin. 

it       121.  Soit  BD  un  prisme  triangulaire  de  matière  très- 
r>g.  7S.  dure  ^  on  Tinsère  par  l'arête  ou  tranchani  AB  dans  nnc 


Machines  y  coin.  1S9 

fente  faite  à  un  corps  ^  et  frappant  sur  la  tête  ou  face  op« 
posée  DC  yOXi\t  fait  entrer  avec  foit;e  y  et  par  là  on  sépare 
les  parties  de  ce  corps.  Cette  machine  se  nomme  Coin  :  on 
s'en  sert  pour  fendre  ^  ou  peur  obtenir  de  grandes  pres- 
sions 'y  les  couteaux  ^  haches ^  poinçons  ;  dents  ^  griffes  ^  etc. 
sont  des  coins. 

Pour  dcteniiiner  la  grandeur  de  la  force  qu'on  doit  ap-  * 
pliquer  à  la  tête  du  coin  pour  fendre  un  corps,  il  est  clair 
qu'il  faudroit  connoître  d'abord  la  résistance  à  vaincre  : 
or  cette  résistance  dépend  d'une  foule  de  circonstances  par- 
ticulières extrêmement  variables  y  et  qui  ne  sont  presque 
jamais  connues.  La  théorie  physique  du  coin  est  donc  fort 
obscure ,  et  on  ne  doit  jamaL^  s'attendre  à  établir  rien  de 
certain  sur  cette  machine. 

Nous  supposerons  que  la   direction  de  la  puissance  P  * 

est  perpendiculaire  à  la  tété  j^B  du  coin  y  car  on  peut  tou-  'if-  7% 

jours  y  par  une  simple  décomposition  y  ramener  la  chose  à 

cet  état.  Cette  force  peut  être  considérée  comme  destinée 

à  retenir  le  coin  ABC  y  pressé  en  F  et  D  parles  parties 

da  corps  qui  tendent  à  se  rapprocher  :  bn  retrouve. donc 

ici  la  théorie  du  plan  incliné  y  et  les  pressions  en  F  et  D 

doivent  (io5),  dans  le  cas  d'équilibre ,  être  perpendiculaires 

à  BOeX  AC.  Il  suit  de  là  que  la  résistance  des  points  D  elF 

ne  peut  détruire  l'action  de  la  force  Py  qu'autant  que  cette 

force  peut .  être  décomposée  en  deux  autres  Q  et  Ry  qui 

passent  par  ces  points  y  et  dont  les  directions  soient  perpen** 

dicolaires  aux  faces  BC  et  AC  du  coin.  Donc  les  trois 

forces  P  y  Q  et  K  doivent  concourir  en  un  même  point  E^ 

être  dans  un  même  plan  ABC  y  et  de  pins  satisfaire  à  la 

condition  (18;  I) 

P  Q  H        , 


ûu.QER    ^    sin. PER  sin.PEQ 


.y 


^.V..-:.^ 


,r 


\ 

1 1 


ifiÛK  •    SrAîRQMft  -  -         ' 

Attiiea  des  simii  dis  angles  Q£il ,  JSEJI  H  >P£Q>  «i« 

pral.Mliilitder  œbx  deUan  mffléibetM  &^  jtf  4^  J^Oftl . 
plirtAe  I«B  cAcé»  c^aeti,  ipn  ëCaot  opfOBfc  àccirui^. 
dm  le  trmgle  BAC^  Mmt  f«>  ooB8éi}iiàil  (^roportiffuidr 

à  TeuH  sinui*  On  a  dicmc  —  =  -^  =  -r—  s  ^wi  oa 

c  ^  6   ' 

tire  '  ...... 

*  .  Si  U  corps  est  saHdanent  fixé,  et  ai  la'iétiitancc  ^*!l. . 
<9PQie'iii  la  sëparatioii4e  ses  parties  est  oonatuç,  oo/povnio 
donc  juger  de  TefFet  de  la  puissance  Maïs,  ôrdinaireoseat 

.  le  corps  est  sifiq>lexneàt  retenu  par  des  appusy  et:^  Jmpovte« 
de  connottre comment  ils  doivent  être  placéset^odlea  pnH 
..  sîons  ils  éprouvent.  .,  .    .    :   f. 

*  I*.  Si  le  corps. est  fixé  à  un  axe  /K^  et  ne  psnt  qat. 
glisser  suivant  sa  longueur  j  on  décomposera  Ifi  forcé  Ç  e^ 
deux  autres^  l'une  Qj*  perpendiculaire  à  cet  axe^  l'auU'e 
(^  suivant  la  droite  FD  qui  passe  par  les  points  de  contact* 
Soient  «^  Cet  y  les  angles  formés  par  BC ^  AC^X  FD  slyk. 
l'axe  IK  y  et  faisons  usage  du  théorème  (  18,  I^)  comme  ' 
sin.  Q'FQ"=cosy=sin./î'2>/l«',sin.  Q'FQ=cos  (#--r), 
sin  RDR'  =  00$  (ff+y)  7  on  trouve 

^  ^    COSy  CCOSy 

.  COS  y  C  ces  y  ' 

/l'=Ai!!:if,    flo  =  P.  ^cos(g  +  y) 

ccos  y  c  ces  y 

Pour  l'équilibre  les' forces  Ç'  et /l'  doivent  être  égales^ 

donc  *     ' 

a  sin  «  =  &  sin  ?• 


a  pression  sur  Taxe  est  la  résultante  de  Q^  et  JR^  ^  dont 
:  point  d'application  est  facile  à  déterjniner  (55) }  sa  gran* 
eur  est  Q'f  -{•  R'f  y  qui  ea  vertu  de  l'équation  précédente, 
s  réduit  à 

(  a  CCS  «  +  6  cos  C)  ou  P.  ; —     ■    , 

c  c  sm  « 

On  peut  assimiler  Q'  et  /l'  à  des  forces  qui  tendroient  * 

Q  cordon  FD ,  et  la  résistance  du  corps  sur  lequel  le 

3În  agit  seroit  alors  mesurée  par  la  tension  de  ce  cordon , 

iii  est  (85)  l'une  des  forces  Q'  et  R\  Mais  si  ces  forces 

e  sont  pas  égales ,  l'équilibre  n'a  point  lieu  j  Rf  et  Q" 

>nt  détruites ,  il  est  vrai  ;  mais  la  tension  du  cordon  n'est 

ue  la  plus  petite  des  forces  Q'  et  ïi*  ^  l'excès  de  l'une 

P  .  * 

ir  l'autre  est       ■  (a  sin«-—  ^  sin  C)  puissance  qui 

.G  cos  fjf 

^nsse  le  corps  suivant  FDj  et  tend  à  le  faire  glisser 
!  long  de  l'axe» 

2o.  Si  le  corps  est  simplement  posé  Sur  uii  plan  IK  ^  on  it 
pérera  comme  précédemment  :  Q^  et  il''  seront  encore  Kg.  u, 
Struites  ^  mais  il  ne  suffît  plus  pour  l'équilibre  que  Q^=JR'. 
u  effet  y  décomposons  ces  forces  en  d'autres  parallèles 
t  perpendiculaires  kJK 'y  celles-ci  seront  seules  détruites  , 
air  les  autres  ne  seront  plus  opposées  :  ainsi  il  faut 
Q  Joutre  que  la  ligne  FD  soit  i  parallèle  à  IK^  sans 
uoi  le  corps  tournera  pour .  se  renverser.  Soient  donc 
omme  ci-dessus ,  «  et  ff  les  angles  que  forment  les  faces 
se  et  j4C  avec  IK  ou  sa  parallèle  FD'y  décomposons 
Q  et  A  en  d'autres  forces  perpendiculaires  et  parallèles 
siu  plan  y  nous  aurons 

Q'  =  —  P  sin  «^     Qff—~  P  cos  « 

«'  =  —  PsinC:     R^  z=: P  cos  C 

c  '  c 


IX 


4f€al  ce  qéMwmtiùéité  nijriiniBhliî  j  i  1  if  ;  tiffiTilftiiii 
Aun  lot  é^lSoMi:(:3^  Da  rette  lei  ctmditMfnir  d'éjftf*^ 
Vkfrhi  Umâam  et  }^  eatié  FD  ^Upnmù^mmi'im 
mêmes  que  ci-diettiu»  .... 

^  S^.  Eafin  si  le  corps  ne  contieiit  qii'mi  point  fixrfhoé 
Vif.  7f.  en  im  Kev  détèrtoîné  My  on  décoihpostt<a  Ç^  et  ÂTcb 
dienx  forces  suivant  FD ,  et  dans  le  sens  qtd  est  per- 
pendScohirei^ cette Ugiie,  ce  qui  ^onne  les  égnitiont^: 
Q'  et  il'  devfMf  encore  ètrt  égales  eA^  dtdf,  'ttsît 
il  fiuidra  de  pbs  ^e  fa  résultante  dé  Q*^  et  iC^  pmt 
eh  M  y  b  pressîM-Âtr  le  pofAt*^  fixé  est  ^^^Jk^: 

^       122.  n  arrive  ordinairement  que  le  tri^igle  ^dBC  fA 
7%.  8i.  iiocèie  ^   et.  que  le  corps  est  simplement  plaoé  mt  v^ 

flan  qui  le  retient*  ^f*ï)  est  alors  panDâe  i  en'plsn;^ 

.       •  .  ■    '  'gf       '     *■■*•  .*'  ■ 

et  eoftnme  àt=zb ,  on  a  /F=  Q=9  •^^-«-^P  :kJCbfcl¥. 
■','*■••  ^  .*..•■■ 

doit  d'killieûrs  être  appliquée  an  miHetf  iV]  de  la  téta  ''^ 

coin,  pour  qiw  les  jtrois  forcesP,  Q^  A  concourent ea 

nn  même  point.  Q^  et  A'  sont  égales.;  aussi  bien  que  (^ 

«t  Û.^  y  tl  que  «  et  C  On  a  donc  ,. 

1^.  Pour  la  pression  sur  le  plan  horisontàl •• 


a 


2*0*==  2  - —  X  i^cos*:  or  acon»z^BNz:i^  ci  donc 

.  c  •     '    .      '  ' 

cetie  preyion  est  ss  i',  ,oe  qui  est  évident  d^aillenrs* 
2''.  Pour  la  tension  de  la  corde  FDj  Q'  = Pm*f 

oj^  a  sin  «  s:  CA^j  donc  Q'  :=  — 


c 

Ainsi  la  force  F  e^/  <z  /a  tennon  de  la  oorde^  FD^  cûtÊÙn^ 
la  tête  du  coin  est  à  sa  hauteur. 

Cette  corde  n'est  d'ailleurs  mue  dans  le  sens  FD  par 
aucame  force ,  puisque  les  puissances  horisontales  Q'  et  A' 
se  détruisent. 


MACHIIfES   COMPOSÉES.  l6^ 

Eti  rapprochant  cette  exposition  de  celle  qu'on  a  faite 
l^t^t  le  plan  hicHtf<$  ^  eit  facile  de  voir  te  rapport  qu'ehe 
tf  ave6  cette  dénrie^è^  et  avec  la  théorie  de  Fëquîlibre  detf 
vo&tes.  On  voit  d'ailleurs  que  la  force  P  agit  à  l'aide  du 
coin  avec  d'autant  ploi»  d'avantage^  que  CN  est  plus 
^nûj  et  que  c  e^  plus  petit  ^  c'est-à-dire  lorsque 
l'angle  C  est  phii  aî^. 

X.     Des  Machines  composées* 

125.  Les  dernières  machines  que  nous  venons  d'examiner  4. 
sont  y  à  proprement  parler ,  simples  ;  il  arrive  souvent 
qu'une  d'elles  ne  suffit  pas -seule  à  i'objet  auquel  on  la 
destine  :  alors  on  en  dispose  plusieurs  ensemble  de  là  ma- 
nière la  plus  convenable;  et  la  perfection  consiste  à 
eïnployer  les  moyens  les  plus  simples  et  les  plus  &ciles. 
Nèiîs  he  pouvons  ici  entrer  en  détail  sur  les  machines 
composées';  et  on  peut  consulter  à  cet  égard  des  ouvrages' 
dont  l'objet  est  différent  du  nôtre  ^  nous  nous  occuperons 
seulement  de  faire  voir  comment  on  peut  appliquer  le 
calcul;  et  trouver  le  rapport  entre  la  puissance  et  la 
résistance.  Dans  la  vis  et  les  roues  dentées  ;  nous  avons 
déjà  fait  des  applications  de  l'esprit  de  la  méthode  qu'on 
dciit  eniplover  à  cet  effet  9  nous  allons  la  rendre  encore" 
plus  seosible.  par  quelques  exemples  fort  utiles. 

X».  ï)è  la  Fis  sansjln. 

124".  ^^  cylindre  qui  a  pour  rayon  crz=ir,  porte  sur  ^■ 
son  axe  une  roue  dentée  dont  le  rayon  est  RczrzR^  cette  j.*    g,«> 
rt)tiJe   fait   coi-ps  avec  le  cylindre,  sur  lequel  i^né  corde 
rbtilî^é   sontïeril    un  poids  P  :  une  vis  jiB ,   dans   une 
situatibn  horisontale,  est  posée  sur  deux  tourillons  A  et  Di 
le  (Sas  de  cette  yié  est  EÉ=:z  h  j  elle  étogrenc  aféc  la  rothr  : 


i64  Statique. 

enfin  sur  Taxe  de  la  vis  est  une  manivelle  dont  le  bras 
est  BCzzià.  La  forc'e  Q;  en  imprimaut  un  mouvement 
à  la  vis^  fait  tourner  le  cylindre  et  monter  le  poids» 
Celte  machine  a  été  nommée  Vis  sans  fin. 

4*  Proposons-nous  de  connoitre,  dans  le  cas  d'équilibre  ^ 
le  rapport  entre  les  forces  jP  et  Q^  et  la  pression  X 
exercée  contre  les  filets  de  la  vis.  Il  est  clair  que  puisque 
l'équilibre  existe  entre  les  puissances  Q  et  X,  on  a  (120), 
hX-=z  Q.cirtf  ;  pareillement  on  a  pour  l'équilibre  entre 
les  forces  P  et  JC(iio),  Pr=  ATÎj  en  multipliant  ces 
deux  équations  afin  d'éliminer  X^  on  trouve 

JP/ir—  QR  X  cir  a (T").  -, 

■ 
Ainsi  dans  F  équilibre  delà  vis  sans  fin  ^  la  puissance 

est  à  la  résistance  comme  le  produit  du  rayon  du  cjrUndrc 

par  le  pas  de  la  vis  ^  est  au  produit  du  rajron  de  là  roue 

par  la  circonférence  que  décrit  la  puissance. 

2*>.  Du  Pont-Levis, 

ri«.  83.  13.5.  La  figure  85  est  le  profil  d'un  Pont-levis.  Cette 
machine  est  composée  du  Tablier  CD ,  et  de  deux  longues 
pièces  de  bois^  profilées  en  EB»  On  nomme  Bascule  la 
partie  EA  de  ces  pièces^  elles  sont  liées  entre  elles  par 
des  traverses  de  bois  j  Pautre  partie  AB  est  appelée 
Flèche)  chaque  flèche  a  son  extrémité  unie  au  tablier  par 
une  chaîne ,  représentée  en  J5C  En  A  et  D  sont  des 
tourillons^  qui  permettent  aux  fièches  et  au  tablier  de 
s'incliner  "par  rapport  à  Phorison. 

On  dispose  le  tablier  de  manière  a  servir  de  plancher| 
à  Paide  d'un  assemblage  de  pièces  de  bois  :  tout  le  système 
peut  être  mis  en  mouvement  par  une  force  convenable 
appliquée  en  J?  :  de  sorte  qu'on  peut  employer  le  tablier  k 


/^ 


Machines  composées.  i65 

servir  de  pont  ou  de  porte  ,  suivant  qu'on  le  met  hori- 
sontalement  ou  verticalement.  Proposons->nous  de  trouver 
la  force  propre  à  produire  ce.  mouvement^  pour  cela, 
supposons  que  les  chaînes  ne  forment  qu'une  ligne  droite 
BC j  et  que  le  pont-levis  soit  mis  dans  une  position 
quelconque.  Désignons  '  par  «  ^  ff  et  y  les  angles  formés 
par  rhorisontale ,  avec  les  fléchies ,  avec  le  tablier  et  avec 
la  chaînej  c'est-à-dire  que  JÎ^Ar=tf,  CDJ:zzQ^  CBK-=:yi 
on  aura  DCBz=.Z+y.  Soient  enfin  AE^=zhy  APz;=fj 
DCzzut^  BC=c)  puis  T,  Cj  B  et  F  les  poids  du 
tablier  ^  de  la  chaîne  y  de  la  bascule  et  de  la  flèche. 

Cela  posé ,  les  seules  forces  du  système  consistent  en 
des  poids,  savoir  :  d'une  part,  Z*,  C?  et  F,  qu'on  peut 
regarder  comme  des  forces  appliquées  respèctivejnenl  aux 
centres  de  gravité  de  DC^  BC  et  AB,  De  l'autre  part, 
le  poids  n  agissant  en  £ ,  et  le  poids  B  de  la  bascule } 
cette  dernière  force  sera  appliquée  .au  milieu  de  £Ay  et 
on  pourra  la  concevoir  décomposée  en  deux  autres , 
égales  chacune  à  ^  ^  ,  et  appliquées  l'une  en  A  et  l'autre 
en  F  y  la.  première  sera  détruite  ^  ainsi  le  poids  agissaut 
en  E  sera  =  n  +  ^  jB  ,  que  nous  ferons ,  pour  sim- 
plifier =  M* 

Nous  supposerons  les  poids  Ty  C  et  F  appliqués  res- 
pectivement au  milieu  de  chacune  des  lignes  Z>C,  BC  et 
uiB  :  cette  hypothèse  pourra  paroître  peu  rigoureuse ,  car 
les  flèches  ne  sont  ni  cylindriques^  ni  prismatique^ j  elles 
ont ,  au  contraire  >  la  forme  d'une  pyramide  tronquée  : 
mais  outre  qu'il  seroit  fort  aisé  d'appliquef  les  raisonne- 
mens  ci-après  au  cas  ou  le  centre  de  gravité  des  flèches 
«st   placé   en   un   point  quelconque,  on  remarquera  que 
dans  la  pratique  on  peut  regarder  le  milieu  de  la  ligne 
à-peu-près  comme  le  centre  de  gravité,   tarit  parce  que 
Vextrémité  B  porte  quelques  pièces  de  fer ,  que  parce  que 


'  "-TÏP. 


I 

i 


.166  Statique*  '■ 

la  «jonction  ^'égi^tfxar  de  li  flêch*  de  4^,$  ç'sft  (fi 
très-^fdaidërable.  Chacune  de  cef  forces  est  ^tioi|je}et 
peut  être  décomposée  en  deux  antret ,  laroir  : 

1*.  La  force  F,  en  4  /^  appUaaée  çy  ^  et  détruite, 
et  i  F  apj^qn)^  en  JB.  ^ 

a*.  La  force  T'^^én  i  T  âpplM]née  «n  i>  et  détrail^., 
et  j  7*  appliquée  en  C     - 

!P*.  tia  foi^e  Ç,  en  ^  C  mli^ée  eii  B ,  ptjÇ  ^jQf^ 
qnéè  çn.C.    " 

Cfi^  ûx  fprç^s.' é<puKralent  à  deux  mdumiicfs  xertic^Biy 
appfi^ée^ 

L'une    en  JB.......=5çi(F+- jp)s=5^* 

L'autre  en  C. ......  =4  (  yw4.C)  =  Q. 


"  ,1 


dtri(pé<^,  l'^^e  fuÎY^t  le  prokmecamciit  Cq  dp^i^fjifàgt 
BCj  l'antre  suivant  PC.z  celle-ci  sera  évidemment  ^ 
truite^:  <]^uant  ^  l'autre  ^  on  la  trouvera  en   form.ant  le 

parallélogramme  bif[iBf  I) ;  on  ajira      ^       =:  —     Z^» , 

.     sii>(f+y)   _   cos  ff        ;  , 

;^     cosfffr+t?) 


asin(0-{^y} 


Or,  cçl^ç  ^ç  «Cpeut  ^tre  supposée  ^ppli<}i|ée  fl»  i?î 
prenons  dpoc  BL:=^qÇj  et  formons  le  p9ral^lq|gra^n^ 
#3/.  L4  pui(ipa^ff  <?C  ser4  d|^<wnpQsée  en  dei}Ji(  ?tttp^,» 
dirigées ,  l'^pp  «liyant  Bd,  i'autre  suiys^nt  Jîi/^  cdterf ^ 
atera  détruite,  et  on  aiira  (iS,  I) 

sio  BdL    5in  BLd         \    cos  u    ^^    sin(»  +  y2^  » 


%, 


Machines  comfosbbs.  167 

donc 

cos  « 

La  résistance  et  la  puisèance  étant  pédnites  à  deiix  forcée 
verticales  ^  on  exprimera  (104)  qu'elles  sont  en  éqViilibre 
autour  du  poini  iixe  Aj  à  l'aide  du  priiioipe  des  momens  j 
(M*  y  la  force  appliquée  en  B  est 

•    .     '       asm(C-+fy)     co8«     ^  ' 

Ainsi  on  a  pour  écpiilibrç 

bM^^F^C^ ^,.  "°  f'+r; (  2^- C) V... (JC«), 
2  ^  cos«    sin(ff4-y)^  'J      -       ' 

CeUo  équfttÎQiI  fait  voir  que  la  force:  Jtf  doit  varier  avec 
là  position  des  parties  du  sjst^e^  èi  qa'on  doit  appliquer 
à  la  bascule  des  forces  n  variables  suivant  les  différentes 
inclinaisons  du  taUier  t  '  or ,  le  problème  qui  consiste  à 
trouver  pour  une  position  donnée  la  grandeur  du  poids  n 
seroit  résolu ,  si  Fan  des  angles  uy  C  ou  y  étant  donné  y 
les  autres  étoient  connus.  Pour  cela  y  menons-  les  horisott- 
^les  BN  et  CO ,  il  est  clair  que  le  triangle  ANB  donne 
^Ar=:/ sin«j  faisons  ^^C=tc,  ^G=A,  GD  s=z  a  ,- 
DC  3ïi  /  ^  nous  aurons  de  même  NO  sr:  e  sin  y  ^  ef 
GOrrztéiaê'y  on  aura  donc 

I       -  • 

'    ;  ^  *4ry^sia  «  =:  c  sin  y  4*  /  sin  C*     -  . 

Pareillement ,  en  opérant  par  rapport  a  Gtj  on  aura 
a  -j-  i  cos  S±zf  cos  «+  c  côs'y, . 

Ces  deux  équation^  serviront  à  complettear  la  solution  du- 

Vrôbléme. 


_    ■■■* 


1  !i6*  Si  les  poUits  A  et  E(  sont.  4ans  one  même  r^rtStûe, 
et  si  de  plus  le  •  qaadrflatère-^sféBCO  est  un  parallélo- 

ff 

grwaamef  on  A  a=o  y  iz=f,  czs  h  et«=C,  et  les  trab 
équatioiis  précëjeîftes  deviennent  ;    r  .  ! 

f         '  .:■.■.•■  ♦ 


■  I 


•«  I 


La  première  montre  que  comm^  la  force  M  ne  dépend  plus 
de  l'inclinaison  da  tablier^  elle  est;  constante  pourvûtes 
les  positions  <{u'il  peut  prendre.  Les  deux  autres  font  voir 
que  y  est  un  angle  droit  ^  et  que  la  chaîne,  reste  tomjour$ 
verticale.  Le  cas  le  plus  ordinaire  est  celui  dix  là  figure  est 
un  parallélogramme  ;  sans  que  né^moins  AD  soit  ver- 
tical :  la  prtfmèrè  des  expressions  ci-dêssùs  a  encorelieûV 
et  les  deux  autres  équations  deviennent  Assatangy. 
Au  restèiyi  cm .  auikâit  pu  >ésoadre  ces  car  à  priM'i  \  fM  ofé^ 
rant  de  là  sbâneiluinière  que  ci«*dessus.  • 


t  .■f 


>  •  I 


T    r-î 


*    &   • 


,  ,  5*.  .  Des  Hoquets  ^  e*0.;  *.    ■? 

127.,  On.;  appelle  Haquets  les  longes  voitures  qui 
servent  au  tj-ansport^du  .vin  et  des  autres  liqueurs*  Ces 
voitures  consistent  en  deux  longues  pièces' de  bois,  unies 
par  des  traverses ,  posées  sur  >  i\a  j  essiofi ,  ;  autour  duquel 
elles  peuvent -fairç' la  bascule ,  jçt  prendre  par  là  une  po- 
sition hprisontale  ou  inclinée.  A  l#;:P#iltie  aJatérjeure  est 
un  treuil,  destiné  à  opérer  le  chargement.  C'est  à-peu- 
près  aussi  de  la  même  manière  qu'oie  retire  tles  caves  les 
irig.  84.  tonneaux  chargés  qu'elles  contiennent.  AB  est  une  échelle^ 
en  l'adapte  à  la  porte  de  ia  cave,  en  appuyant  ses  extré^ 
mités  d'une  part  sur  la  muraille^. et  de  l'autre  sur  la  terre. 
Une  corde,  attachée  à  Tun  des  échelons  CD,  après  avoir 
passé  sous  la  tonde  /f ,  s'enroule  autour  d'un  icylindre 
£jP,  qu'on  fait  tourner  avec  des  leviers. 


MaGHINBS   COMPOSEES.  i6q 

"  Sajpposéns  les  deux  cordons  parallèles  au  pI)Mi  iitcliné  ^ 
nommons  P  le  poids  de  là  tonne  ;  r  le  rayon  du  cylindre  y 
f  l'angle  d'inclinaison  du  plan  LN}  enfin ,  soit  Q  la  puis- 
sance motrice)  R  le  rayon  du  cercle  qu'elle   décrit. 

1°.  Le  plan  incliné  réduit  le  poids  P  à  P  sin  f  (96;  2^)  ^ 
2^.  comme  le  tonneau  fait  ici  l'office  d'une  poulie  mo- 
bile f  le  poids  est  réduit  à  moitié  (log);  et  est  =  ^  Psin  e. 
Or^  ce  poids  est  mis  en  équilibre  par  la  puissance  motrice  Q, 
à  l'aide  du  treuil  ;  on  a  donc  (no) 

QR=:lrPsmt (Y^f). 

On  peut  généraliser  le  problème  précédent  ainsi  qu'il  FigiSs. 
suit.  Soit  une  courbe  F£^  rapportée  à  des  coordonnées 
jix  et  jfy  horisontales  et  verticales  ^  et  un  poids  P  placé 
en  un  point  M  de  cette  courbe  y  sur  laquelle  il  est  retenu 
par  une  force  Q  dont  l'action  est  transmise  à  l'aide-du 
treuil  BD.  Désignons  par  jR  et  r  les  rayons  CB  et  CD  de- 
là roue  et  du  cylindre 5  par  /la  tension  du  cordon  PD*  Il 
est  clair  que  pour  l'équilibre  du  treuil,  on  doit  avoir  QR=ztr» 

De  plus  la  tension  /  retient  le  poids  P  sur  la  courbe  FJL  : 
soit  «  Tangle  formé  par  PD  avec  l'axe  jix  ^  comme  /  cos  « 
et  t  sin  «  sont  les  composantes  de  /  suivant  u^x  et  jéy  ,  le 
corps  P  est  animé  par  les  deux  forces  /  cos  «  et  P  — /sin  «: 
l'équation  de  la  courbe  et  la  tangente  de  l'angle  f  que  fait 
l'axe  uix  avec  la  touchante' Git/  étant  représentées  par 
jrzzzfx  et  par  j-^  oh  obtient,  pour  l'équation  (/^,  p»  Ï17) 
oii  Y  tend  à  diminuer  lès^ 

/coSit  =  (P  —  lsinit)yy     ^' =  tang  I  =: -~— , 

Eliminons  /  à  l'aide  de  QRz=ztry  nous  aurons  la  condition 
d'équilibre  demandée , 

QR  ( cos  «  +j'sin  le)  =  Piy' (Z"). 


V 


f n  tiwEt  de j^  =f/^  U  yalfwr'4er^  9%  1»  inbuapiiii»  |cm^ 
ça  jûb^iè^dfa  une  relatif  wlra  Im  qwMJMltfy'f^y  C?> 
A  et  r  y  îaqiMUe  servir»  ft  ^«  oonsoi^re  Tum  d'elto  »  klc-^ 
que  les  Ai|tre$  saroim  ilomi^s.  ... 

Qiuii(it  à  rasBgi^  jiF  >  Qi|  p(^  }0  prf nâf»  «rbiCrpireiwiii^  > 
puisqu'on  peut  dûpiO^er  me  pOidje  4e  rsnyoi  90  f  ««0»^ 
riea  changer  è  Tét^t  d»  6jrf|()inf  (  106)  ^  d#iit»en^  k  m  w^  ^ 
valeur  détenni^ée.  Si  om  ve»!  que  la  tenaion  I  soit  paraUcL^ 

à  la  tangente  GM,  il  fattt  faire  cot  «= 

et  Téquation  (Z^)  devient 


d!r    ;l   _  & 


ds 


f  svxmzsz 


ds 


QRds  =  Pirér  oix  Çfl==J>rsini. 

C'est  aÎPIÎ  Vf^^  U  ligVjB  Fi^  est drQile>  si»  f.est 
et  QUf^  r^P^^  <)9  qu'on  9  déjà  ohlenuX  Jf*).  Iffit  ai 
j^%MÀWd  iom^i.f.myfmt  éviter  la ponlîa.deL'mHW, 
compte  PJ?  est  u9e  droite  qui ,  pessaiït  |ar.  lut 
coim^ui?,  eft  .t^ngentft»»  cerele  ÇD^  il  suflbtîpoar^o 
tenir  41  de  chercher  h  ttmjeeiite  menée  an  oereieCftptr' 
vn  point  pris  hors  de  ce  eercle. 

4^    Ue  la  Gru^> 

ijg.  65.  128.  La  Grue  est  composée  d'un  treuil  QiV*  L^  cordf 
qui  enveloppe  le  cylindre ,  a  Pune  de  ses  e^^trémitës  jfixée 
en  /  :  à  Taide  de  poulies  de  renvoi  c^ey^d^b^  elle.trax|smet 
l'action  de  la  puissance  à  une  poulie  mobile  ^  ,  à  )^  cl|a|)piç 
de  laquelle  est  attaché  un  poids  P,  La  tension  du  cordon  ba 
est  (  109)  =5-P.  Les  autres  poulies  dy  e,  c,  ne  ftmt  que 
changer  la  direction  de  la  puissance  )  ainsi  le  poids  que 
supporte  le  treuil  QN  est  ^  P.  Soient  fl  et  r  les  rajrons 
de  la  roue  et  du  cylindre  ;  Q  la  puissance  agissant  snr'la 
roue,  on  a  (  1 1  o) ,  pour  Téquilibre  dans  la  gru€^ ,  Q^,s=  \  Pr*^ 


\-  { 


Machin^  171 


CHAPITRE    IV. 


V. 


<  Des  obstacles  qu'éprouvent  les  fuissancks  lorsqu'elles 

AGISSENT   A   l'AIDE   DES   MACHINES. 

I.    Réflexions  générales  sur  les  Machines. 


129.  %li 


'uAN]p  ^^^  iqfp^  §Qfi%  en  écpii)il:(rey  si  ou  «19- 
menle  l'une  4'fU^^7  ^^  dqii  prévidair  sur  l'autre  ;  ceite 
pb^rratipii  Jfl^d/^t  )j^s  Gpn<titipi^  cl»  mouvemeiil  clans  les 
noaçhi^es  à  )a  ^éojri^  fk  \àvur  équilibre.  Cep^ant ,  comme 
les  pnissfUDK^es  éprouvent  diflerens  obstacles  ,  noua  allons 
traiter  piLrtiçuUèrei|ient  de  l'état  ou  un  qraltme  doit  être 
açdeué  pfim:  qife  cet  é^i^i^i^e  sqi^  sur  Ijepçii^t  d^étre 
rçmpi». 

I(  ré^uUt  4^  ce  qu'on  fi  vu  dai^  le  chapitre  préçédei^t , 
qu'on  peut  toujours  établir  l'équilibre  entre  deux  forces 
quelconques ,  et  <p'il  ne  faut  pour  cela  que  disposer  con- 
venablement les  machines  dont  nous  venons  d'expof^ç  Les 
propriétés^  mais  en  augmentant  ainsi  l'effet  d'une  p\ûs- 
sapçe  f  9^  tçipbe  danj^  un  ^pçQi^vénient  ifiévit^bl/s.  L'expé^ 
^^pc^  est  d'accord  en  ce  ppi^t  ;|Yeç  li^  4!^of4^,  e(  on  peut 
^:^j)^r  ççff^e  un  fipt  ^nstant  qi|e|  d^ns  toiit^  Ips  194.- 
chines ,  an  perd  du  cdté  du  ipms  çc  ^u'ùn  gagiie  du  c40 
de  la  p^tissance*  On  peut  bien  faire ,  par  eij^einple,  qq'un 
seul  hompie  élève  le  même  ppids  que  trente  ;  ni%is  il  sera 
ai^si  trente  fois  plus  de  tems  a  l'élever  d'ui^e  même  h^,^^ 
teur.  L*a  yérité  de  ce'  principe  dans  le  levier  est  évi.ctçi^^l^  ^ 
il  en  est  de  lU^ne  du  plan  incliné,  et  c'est  par  cette  raisop 


I 


*iy2  S*ATI*Q%JÏ. 

que  pour  rendre  une  route  moins  nqpi^e^  pnluifiotprenAre 
divers  circcdls.  Nous  avons  fait  voir  (  109  et  114}  que  b 
principe  ci-dessus  est  vrai  dans  la  poulie  et  les  roues  deft- 
tées  :  il  est  aise  de  voir  qu^it  a  également  lieu  dans  le  toor 
et  la  vis*  y 

En  effet,  I^  on  a  vu  (110)  qu'on  a  pour  l'équilibre  du 
tour  Ppz=:  Qq  :  donc  s^  le  ra^pn  ;?  de  la  roue  d'un  ttNir 
est  m  fois  plus  grand  que  celui  q  du  cjlindre,  une  force  P 
fera  équilibre  à  une  résistance  Q>  p  fois  plus  grande ^ 

c'est-à-dire  qu'on  aura  P  sz  -^  •  Mais  quand  le  mouve* 

ment-a  lieu^  la  puissance  fait  évîdenunent  le  totfr  dé  h 
roue  f  tandis  que  la  corde  en -s'envèloppant  autour  du'irp- 
lindre>y  ne  'Sût  monter  le  poids  que  d'îine  WèCeàr  Snk  k 
la-  circon£ârenee  de  ce  cylindre;  et  comme  les  drcdtifi^ 
ranèta  sont  entre^elles  comme  leurs  rayons ,  il  est  tkût  qw 
la  força  P  fidt  m  fois  plu»  de  chemin  que  la'i'édlîmn<m-i^'* 

=  ^^.  Quand  une  vis  tourne  dans  l'écrou  y  pônr  une  ré^ 

volutîon  entière ,  elle  n'avance  dans  le  sens  de  son  sixe  que 

d'une  longueur  égale  au  pas  :  l'équation  (R^)  n®.  120, 

k  '•.■■■ 

est  dans  le  cas  d'équilibre  P  =? =r  •  .0  ;  en  faisanjt 

^''^  D  <?  .  .  .  1  \  r- 
^=^mf  on  SL  P=z  — 2i-  j  ainsi  la  puissance  est  m  tous 


h 


m 


moindre  que  la  résistance  qui  lui  fait  équilibre  :  mais  pour 
faire  parcourif  la  hauteur  h  au  poids  Q,  la  force  P  doit 
faire  une  longueur  2  ttR  )  ainsi  elle  fait  mh  y  dan^  le  mfmê 
tems  ,^c'est-à-dire  m  fois  plus  de  chemin". 

i5o.  Le  but  n'est  pas  toujours  d'éviter  remploi  dutemS; 
et  il  arrive  souvent  que  la  durée  en  est  assez  indifférente  : 
on  peut  même  faire  servir  avantageusement  ce  qui. ,  dans 
beaucoup  de  cas  seroit  un  obstacle,  et  tirer  parti  de  l'em- 
ploi d'une  force  donnée  de  manière  à  lui  faire  parcourir  un 


'Machines*  175 

Si'and  espace.  Les  oignes  du  mouyement  de  presque  tous 
l,es  animaux  offirent  un  exemple  de  la  manière  dont  la 
nature  s'est  servi  de  cette  propriété  :  les  muscles  ont  leurs 
points  d'attache  sur  les  os  à  la  partie  qui  est  yoisine  des  ar- 
ticulations p  autour  desquelles  les  os  doivent  tourner  lors- 
que les  muscles  se  raccourcis^sent  )  il  résulte  de  là  que  l'au- 
tre extrémité  des  membres  parcourt  un  grand  espace.  Un 
procédé  semblable  peut  servir  à  rendre  un  très-petit  mou- 
vement plus  sensible. 

Soit  y  par  exemple ,  une  corde  CD ,  ayant  ses  deux  'ig*  se. 
extrémités  D  et  C  attachées  ^  la  première  à  un  point  fixe/), 
la  seconde  à  reztréroité  d'une  verge  AC^  mobile  aVitour 
d'un  point  -B  voisin  de  C^  on  tend  la  corde  ^  en  dispo- 
sant un  poids  F  en  un  point  E  quelconque  de  la  verge* 
n  est  clair  que  si  par  quelque  cause  la  longueur  de  la  corde 
CD  change  ^  quelque  léger  que  soit  le  raccourcissement  ^ 
il  sera  très-sensible  à  l'autre  extrémité  A  de  la  verge  AC  ^ 
siy  par  exemple;  ABz=l  10  >c  BC^  l'arc  décrit  par  le  point  A 
sera  dix  fois  plus  grand  que  l'arc  décrit  par  le  point  C  :  on 
se  sert  de  cette  dispositiqn  dans  les  Hygrpmètres  ;  al^rs  la 
raccourcissement  de  la  corde  CD  est  causé  par  des  varia- 
tions survenues  dans  l'atmosphère. 

On  a  dans  les  Baromètres  un  autre  exemple  de  l'usage 
qu'on  fait  de  cette  propriété.  Nous  verrons  bientôt  que  le 
mercure  monte  et  descend  dans  le  tube  qui  le  contient, 
suivant  les  variations  du  ressort  de  l'air  }  mais  ces  effets  ^ ^s*  s?- 
sont  souvent  trop  foibles  pour  être  sensibles  :  c'est  pour 
les  amplifier  que  Ton  dispose  un  cadran  ainsi  qu'il  suit. 
On  suspend  à  un  fil  un  poids  a  assez  léger  ,  et  on  le  fait 
entrer  dans  le  tube  par  l'extrémité  ouverte  c  :  on  fait  passer 
le  fil  sur  une  poulie  ^  ^  et  un  autre  poids/* un  peu  moindre 
cjue  le  premier ,  tient  ce  fil  tendu.  Comme  le  poids  ne  fait 
que  poser  sur  la  surface  du  mercure ,  ses  variations  font 


y 


./ 


r 


174  S*ATï<itrir.       .   / 

iiïôiil«lr  6I1  âèsciéddrè  ce  flôids  ',  la  pdnfiè  £  touMrtf  Â'nMfai»* 
^èhiâ  èî  iiiiè'âigii3Ié  fccée  ùtr  lé  métiié  éeàÙ%  ^è  U 
pouKe  marqae  sur  là  drcotf féj^Àce  d^an  çiuArdU  tek  dSfifit-. 
réntâf  prâsibnl  dé  TatÉàG^ir^. 

ît  arrivé  àosii  C[i»â4uéfoi8  ^ué  ta  gràndéiif  deia  fbVéè^âi^ 
presqaè  indéfinie ,  et  qn^cU  dékhiùde  ^é  ilA  èflMn  Mènli 
fàpidéB  )  iâ  choie  de  Peatl  m  Àe  Pair  tofiM  Idl  àiîcâf  d'dn 
moàlin  en  sert  d^éxemptë.  Miàii  c-ât  nous  ëti^ôidiPe  àsto 
sur  cet  objet I  passons  maintenant  voti  résîstincéf  qniales 
pttfMnteéi  iéjj^re^t  pai"  l'effet  des  ntad^hiéë  tè^htati. 


IL    Du  JFrouement 

.  i5r«  Lorsqu'un  corps  est  jJiacé  sur  un  autre^  les  parties 
séantes  de  l'un  s'engagent  dans  les  parties  r^traiitea  de 
l^âtttre  ^latf  sur£ices  les  mieux  polies  ne  sont  pas  enniplef 
do  ces  petites  inëgalitës.  Lonqu'on  veut  que  l'undasrden 
ooirps  glisse  suf  l'autre ,  il  faut  donc  dëgi^r  ces  itiégalités 
ou  les  rompre  :  la  forcé  qu'il  faut  employer  pour  vaincre 
cette  résistance  ^-est  celle  qui  va  nous  occuper  ici  ;  elle  doit 
oil  soutenir  une  partie  du  poids  du  corps  eu  le  soulevant 
pour  aiusi  dire  ^  ou  briser  les  parties  qui  sont  mutuelle-^ 
ment  engagées  :  c'est  en  cela  que  consiste  le  FroUemenL 

Le  frottement  tend  donc  à  détruire  les  machines,  et 
exige  une  action  plus  grande  pour  faire  passer  un  mobile  à 
l'état  de  mouvement.  Il  y-  en  a  deux  espèces }  la  première 
a  lieu  lorsqu'un  corps  doit  glisser  sur  un  autre^)  la  seconde 
lorsque  l'une  des  deux  surfaces  juxtà*posée$  roule  sur  l'au- 
tre :  ce  dernier  frottement  est  beaucoup  moindre  que  le 
premier  ^  car  on  voit  que  le  mouvement  de  rotation  con- 
tribue en  partie  à  dégager  les  aspérités.  C'est  pour  ralentir 
la  vitesse  d'une  vojture  qu'on  Enraie  lorsqu'on  veut  des- 
cendre une  montagne  rapide  y  afin  d'augmenter  le  frotte* 
ment  qui  devient  par  là  de  la  première  espi^ce. 

Le  frottement  tient  à  une  multitude  de  circonstances 


»  \ 


^  Frot?î*bmtbnt.  I75 

qae  te  calcà!  ne  peut  seul  embrasser  y  car  il  faurfaire  eA^ 
trer  eft  conâidétation  le  poli  des  Sinffaees  y  la  température 
et  rhtnnidité  de  l'atmosphère  y  PaHraité  des  suBtanceS;  la 
vitesse  cM  mevnrément  y  etc.  Il  f^vtt  donc  àyoir  recours  à 
Telpërieiice  pour  perfectionher  ce  qu'elle  fera  connoltre  , 
et  pfévok*  ce  qù'dle  ûe  dîrapas^. 

iSîl.  Vôki  <*e  qAê  Pexférîéricé  apprend  : 

I®.  Le  frottement  varie  pomr  des  surfaces  différemment 
polies*  Ainsi  on  peut  le  ditninuèr  en  polissant  les  surfaces  y 
ou  en  bouchant  les  pores  avec  quelques  substances  qui 
n'augmentent  pas  TadHérence,  telles  que  les  huiles^  etc. 

2®.  Le  tems  influe  sur  t  adhérence  des  corps.  On  attri- 
bue cette  infhience  du  tems  à  la'  flexibilité  des  parties  qui 
composent  les  corps  y  qui  permet  à  leurs  surfiices  de  s'en- 
gager davantage. 

3^.  Deux  surfaces  ds  métne  nature  éprouvent  un  frot" 
temènt  plus  grand  (jue  deux  surfaces  de  matières  diffé" 
rentes  également  polies,  Oest  pour  cela  ^'on  fait  rouler 
les  essieux  y  qui  sont  d'acier  y  dans  des  boîtes  de  cuivre.  , 

4**.  Le  frottement  «0  dépend  pas  de  détendue  des  sur» 
faces  en  contaàt ,  le  poids  dïi  corps  restant  le  même* 
Ce  princij^e ,  attesté  par  l'expérfenee  y  paroit  d'abord 
sin^lier  y  eepeftdant  on  peut  observer  que  y  suivant  qu'on 
fait  frotter  ua*.pataUélipipède  sur  Tune  oul'àutfe  de  ses 
faces  y  les  points  dé  contaet  soût  plus  ou  moins  nombreux^ 
mais  que  diacun  d'eux  porte  ml  poid^  moitis  ou  phis 
considérable  y  et  il  parôit  qu'il  y  a  compensation  entre  ces 
deux  effets.  Cependant  si  le  corps  frottant  étoit  terminé 
par  une  pointe  y  comme  ce  corps  traceroit  par  son  poids  un 
sillon  sur  la  surface  frottée^  ce  cas  doit  être  excepte  de  la 
règle. 

5*.  Lefrottementàst  proportionnel  à  la  pression  y  toutes 
choses  égales  d'ailleurs  j  c'est-à-dire  qu'on  éprouve  un'e 


•  ..-■■•  ■^"■'   '    ■   ■ 

réiûtance  d'autant  plus  graiidc  qut  le  Q0ipi,pri8m  4«^^ 
tage.  Voici  comment  on  doit  entendre  cette  i^rqpqntioB  ^  ^ 
qui  va  servir  de  fondement  à  tout  ce  que  ncrtia  aonmaàdin»' 
Kg.  88-      iSS*  Soit  on  corps  Jlf  placé  sur  un  pkaliorisontal  JÊB,} 
puisque  ■  le.  poids   eA  entièrement   détroit ,  il  e|t:cUr 
qu'abstraction  faite  de  toutç  résistance,  le  coi^  doit  jokët 
au  plus  léger  effort  :  or  le  frottement  empêche  qiie  cela  n^ 
soit  ainsi.  Si  on  fixe  en  D  une  soie  passée  dans  la  gwfs 
d'une  poulie  C,  le  poids  Ç  y  propre  à  entraîner  le  corps  M    ., 
sur  le  plan ,  devra  être  quelquefois  assez  considéraUe  :  or 
il  est  visible  que  de  poid$  Q  est  ce  qui  doit  mesurer  le  frûtr 
temënt.  On  a  reconnu  que  si  lé  corps  ilfpèsea,  5. ••fins 
plus  j  il  faut  au  lieu  de  Q  mettre  un  poids  prédsémenl 
double  ou  triple..  ••  La  puissance  Q  aura  donc  avec  le 
pb^ds  Jlf  ton  rapport  constant ,  en  supposant  que'  les  sur- 
faces en  contact  ne  changent  pas  de  nature ,  et  c*estdiDi' 
ce  sens  qu'on  doit  entendre  ces  expressions  usitées  i  le  60V 
tement  est  lé  tiers  ,  le  quart  de  la  pression }  pour  désigner 
que  le  poids  Q  doit  être  le  ^^  ou  le  ^  du  poids  M*  On  coa- 
elut  de  là  que 

q=fM {A"'). 

équation  dans  laquelle  il/=  i  j  donne  Qzzzf)  d'où  on  voit 
qi  e  la  constante^  est  le  poids  propre  à  vaincre  le  frotte- 
menty  c'est-à-dire  à  faire  prendre  au  corps  Af  un  mouvement 
naissant,  lorsque  ce  corps  a  l'unité  de  poids. 

On  a  construit  des  tables  propres  à  marquer  les  valeurs 
(jue  prend  /*,  pour  les  diverses  substances  les  plus  com- 
munes combinées  deux  à  deux  :  on  peut  consulter  le  Traité 
de  Brisson.  Nous  regarderons  le  nombre^* comme  connu, 
mais  l'expérience  prouve  qu'il  n'est  constant  qu'entre  cer- 
taines limites }  car  lorsque  les  pressions  deviennent  très- 
considérables  ;  le  coefficient  y*  diminue  }  et  au  lieu  d'être 
le  tiers  ou  le  quart  de  la  pression  ^  il  n'en  est  quelquefois 


Lcle'doazième:  ainsi  ^  l'écpiation  {ji"*)  n'est  pas  rigoureux 
cnenl  exacte.  ' 

iS4-  Le  frottement  étant  par  sa  nature  une  force  passive 
ml  Ve&ti  est  de  s'opposer  h  toat  mouvement ,  on  doit 
Rtiagoer  avec  soin  deux  cas  :  ou  la  force  qu'on  cons^ 
re  doit  produire  le  mouvement  dans  la  machine  ^  dan^ 

cas  le  frottement  lui  est  contraire  ^  et  la  puissance  doit 
ne  augmentée  d'une  partie  convenable  :  ou  cette  force 
a  pour  but  <|ue  d'établir  l'équiiibre    dans  le  système^ 

alors  le  frottement  lui  est  avantageux.  De  sorte  qu'une 
issance  peut  faire  équilibre  y  quoiqu'elle  soit  moindre 
l'elle  ne  doit  l'être  en  vertu  des  principes  précédens 
Ihap.  lit). 

Puisque  le  frottement  est  une  force  dont  la  direction  est 
Dgente  à  la  surface  de  contact ,  pour  connoître  les  con- 
tions d'équilibre  ^  en  y  ayant  égard  ^  il  ne  faut  'que  la 
usidérer  cônitiië  une  puissatice  ordinaire  j  et  la  traiter  a 
manière  des  autres  forces.  On  cherchera  donc  la  près-- 
Hi  normale  qui  a  lieu  au  point  de  contact^  et  la  multi- 
Lflnt  fax /y  on  aura  une  nouvelle  force  à  introduire  dans 
i  calculs  y  outre  celles  qui  agissent  sur  la  machine* 

355.  Appliquons  d'abord  ces  principes  au  plan  incliné; 
ïiplôyons  les  procédés  et  la  notation  du  n".  g5 }  la  près-  ﻫ.  ^* 
>tt  IV  exercés  sur  le  plan  par  les  forces  F'  et  P*  est 
•tuttie  Oti  saifiVtssP'  sîn  ê'  +  P"  «n  ê" ,  ainsi  on  a  ppur 
force  du  frottemetity(  JP'  sin  ô'  -+-  P"  sin  é''  ) ,  force  di- 
^  déiis  le  sens  de  la  longueur  du  plan  ^  en  opposition 
'ec  la  puissance  P''  que  nous  supposons  être  sur  le  point 
i  produire  le  mouvement.  Ainsi  on  aurs^  au  lieu  de  l'équa* 
m(af)y 

P»  CQS  ^  =  P*  cosê'  +  f{  P'  sin  V  +  P"  sin  ^0- 

'ou  on  tire  pour  la  force  cherchée 

12 


178  SriTiQtnr. 

cos  «" — jsmé'' 

On  peut  y  en  opérant  ici  comme  pour  les  cas  exposés  (96), 
&ire  prendre  à  ^  cette  expression  différentes  formes.  On 
trouve  par   exemple^  pour  le  cas   de  la  pesanteur;  <w 

tig.  4«»  é'  =  ^flr  — f, 

P^(sin>+/cosi)   '  ^ 

—      cos  é«— /sin  ô'/  V    ^ 

Lorsque  P^  agit  dans  le  sens  du  plan^  on  a  l'=0;  d'ott 

P#  =  P'  (  sin  f  4-/C0S  i). . . . .  (^i)'")- 

Et  lorsque  P^  agit  horisontalement  ;  é^  =1,  et  on  a 

p^_^P'isint+fcost)  _  P'  (tang,  +/)         '      ^ 
cos  g  —  /sin  g  I  — /  tang  i 

Ttg,  4is,  La  théorie  du  plan  incliné  fournit  un  moyen  de  trou- 
ver fy  plus  simple  que  celui  qu'on  a  indiqué  n*.  i55? 
en  effet ,  quand  un  poids  P  est  placé  sur  un  plan  incline , 
faisant  avec  Thorison  Tangle  t ,  il  est  clair  que  P  sin  1  est  la 
composante  de  ce  poids  dans  le  sens  du  plan^  et  que  Pcosi 
est  sa  composante  perpendiculaire  à  ce  plan  :  sdnsifP  cost 
est  le  frottement  ;  pour  connoître  la  direction  que  doit  avoir 
le  plan  incliné  afin  que  le  poids  P  soit  on  ctjuîlîbre  à  Taidc 
du  seul  frottement  et  sur  le  point  de  le  perdre,  on  voitcp» 
faut  que  P  sin  t  :=J'P  cos  t  y  d'où   on  tire 

/=  ^ang  t  =  -j^. 

Il  résulte  de  là  que  si  on  place  un  corps  pesant  quelcon- 
que sur  un  plan  horisontal  y  et  qu'on  incline  ce  plan  jusqu'à 
ce  que  le  corps  prenne  un  mouvement  naissant,  l'ang'c» 


FflOTTEMEPÎT.  xym 

formé  par  ce  plan  avec  Thorison  aura  une  tangente  nutaé^ 
riquemeut  égaïe  a. fi  c'est  ce  qui  a  fait  appeler  dans  le  cas 
présent  t  l'^ngie  du  frottement.  On  peut  calculer  aisément 
cette  tangente ,  c'èst-à-dire  la  quantité/j  puisqu'il  ne  faut 
que  diviser  la  hauteur  BC  du  plan  par  sa  base  AC^ 

i56.  Traitons  maintenant  l'équilibre  du  levier  dans  l'hy»^-  r-g.  sgv 
pothèse  du  froltemient.  Soit  HG  un  levier  traversé  par  ma, 
trou  circulaire  dont  le  rayon  soit  Bm  =  6  :  concevons  le 
levier  retenu  par  un  axe  ou  boulon  B ,  dont  le  rajrôu 
soit  sensiblement  aussi  =  b:  nommons  M  et  R  les  depx 
forces  qui  agissent  sur  le  levier  ,  et  considérons  la  pre- 
mière M.  comme  dcslinée  à  prévaloir. 

II  est  important  de  remarquer  que  les  problèmes  de  cette 
espèce  peuvent  toujours  être  résolus  à  l'aide  des  équa|ions 
d'équilibre  }  aussi  bien  que  tous  ceux  qui  sont  relatifs  aux 
xnâcMne's  simples.  En  effet  ^  l'axe  fixe  qui  retient  en  B  le 
levier,  peut  être  remplacé  par  une  force  iV,  susceptible 
du  même  effet ,  et  par^  conséquent  normale  en  m  au  bou-^ 
lon^  m  désignant  le  point  oîi  celui-ci  touche. le  levier» 
Le  système  sera  donc  tenu  en  équilibre  par  quatre  foi:>ces  ; 
savoir  :  i°.  la  jfésistance  jRj  2®.  la  force  ilf  qui  lui  fera 
équilibre,-  et  qui  sera  sur  le  point  de  prévaloir   sur  elle  } 
5**.  une  puissance  iV  normale  en  m  au' boulon  j  4^  la  force, 
^u  frottement  qui  est  =r/ZV,  ainsi  que  l'indique  l'expres- 
sion {A'")  y  et  qui  a  sa  direction  tangente  en  m  à  l'axe  t 
celte  force  tend  à  faire  tourner  le  levier  en  sens  contraire 
de  J>f. . Pour  exprimer  les  conditions  d'équilibre,  il  faut 
recourir  aux  équations  U  n".  4o  J  faisons  donc  passer  par 
le  point  B  y  pris  pour  origine,    la  droite   Bx  parallèle 
~i  M)    ce  sera  l'axe  des  x^  les  abscisses  positives  étant 
comptées  de  B  vers  x.  Soient  u  et  é  les  angles  que  forment 
^èc  cet  axe,  ou  DM,  lés  directions  de  R  et  de  N}  et  m^lr 
•l«s  perpendiculaires  £C,  BA.  Les  équî^Uous  V  deviennent 


x8o  Statique* 

•     » 

ICI 

-M  +  72  cos  «  =  iVcos  I  +fNAn  9  f 
iî  fiin  «  =  iVsin  é  — /iVco$  I, 
]Hm=:      Ar     +      bfN. 

Lob  signes  des  termes  sont  détermines  d'après  les  cono* 
dératioirs  développées  n^*'.  7&,  27  et  28  y  en  ayant  égard  an 
sens  suivant  lequel  chaque  force  agit.  On  peut  faire  servir 
ces  équations  à  trouver  M  ^  Netêi  en  effet  y  la  sonnai 
dts  carrés  des  deux  premières  sera 

31^  +  nMRcos  «  +  A»  =  iV»  (I  +y^)/ 

Expression  qui  donnera  N  quand  M  sera   connue.  &> 

substituant  pour  N  sa  valeur 77: tirée  de  la  Hoi-" 


sième  équation  ^  et  faisant  ,  pour  abréger.  •••••••^••»  • 

I  4-/^  I 

r  =      y     —  1  -+-  yr,  on  a 

d'où  on  tire  y  en  résolvant  l'équation  du  second  degré 
j^ „  7y2r<7'-4»^'cos  a±b}/[q%m''+2mrcos  <e+r*)-&'sinV]  ^   p,^ 

Si  les  forces  sont  parallèles  «  =  o  ^  et  on  a 

Ces  deux  équations  peuvent  se  simplifier  par  une  eon- 
sidération  particulière  :  comme  on  ne  peut  résoudre  <{ae 
par  approximation  les  problèmes  relatifs  au  frottement ,  ott 
pourra  supposer  que  b*  est  nul ,  puisque  b  est  toujours  fort 


Frottemjsitt.  i8i 

«tit  par  rsqpport  à  m  et  r  :  oa  aura  donc 

Mzz  R  {-^  ±.  — -  v/(»»'+aiwco««H-r»)J 

.  >...(JÏW). 

/ 
/ 

I  faut  prendre  ^  dans  toutes  ces  formules,  le  signe  supérieur 
pour  le  cas  çu  la  force  3/ doit  être  sur  le  point  de  prévaloir^ 
Mie  signe  inférieur  dans  le  cas  contraire* 

Lorsqu'on  ne  fait  point  entrer  le  frottement;  en  con- 
iidération  ^  on  peut  traiter  la  question  de  l'équilibre  par 
»  méthode  précédente  :  on  voit  que  sans  parier  de  l'élé- 
gance de  cette  solution  y  elle  a  beaucoup  plus  de  généralité 
ÏUe  celle  qui  a  été  donnée  (io4),  puisqu'on  peut  y  re^ 
r^i^er  comme  inconnues  trois  quelconques  des  quantités 

j^7  ^y  h  ^7  m  et  r.  H  nous  sufEra  ici  de  fairey=o, 
^  nous  aurons  ^  =  00^  d'où 

''=flX^ ,    iV  =  v/(^*+  2jtfflC0Si«+  B*)* 

m 

î^ression    3/  z=  jR  x  comparée    aux    équations 

^")f  montre  de  combien  M  doit  être  augmentée 
^ur  être  sur  le  point  de  prévaloir ,  ou  doit  être  diminuée 
our  faire  seulement  équilibre ,  en  ayant  égard  au  frot* 
cment. 

Mous  avons  supposé  ici  que  Pitxe  ne  fidsoit  pas  corps 
ïvec  le  levier)  mais  il  n'en  est  pas  ainsi  dans  beaucoup 
le  cas  ;  tels  que  dans  les  canons  y  mortiers  à  bombes  y  etc^ 
Hors  cet  axe  est  mobile  dans  des  crapaudines  fixes.  U 
ist  aisé  de  voir  que  le  système  est  le  même  que  ci-dessus  y, 
ixcepté  que  le  point  de  contact  étant  à  l'opposite  en  n , 
i  force/iV,  cjui  provient  du  firottement,  doit  être  appliquée 


i8a  SxyriQi-E. 

€n  ce  point  ^  et  dirigée  en  sens  contraire.  Ces  consic 
rations  font  Toir  qne  le  problème  est  ici  le  in^tne  m: 
ci-dessus ,  excepté  que  f  doit  r  élre  mis  avec  un 
difTérent»   Or,    comme   les    résultats   que   nous   venoi 
d'obtenir  ne  renferment  que  f^  ils  ont  encore  lieu  pour  ' 
ce  cas. 

157.  Le  probléine  de  la  poulie  avec  ou  sans  frottement^, 
pourroit  é^e  résolu  de  la  même  manière }  mais  il  est  plus 
simple  de  faire  les  deux  bras  de  levier  égaux,  ou  m =r|.] 
cette  considération  change  les  équations  P^^  G^',  fl*; 
respectivement  en 

»^      »   »w»o»-hi'cos«dif'V/[2TO'o»'i  +  coSie)— ft*sin»ij 
_     lîi'ûr*  +  ^*  —  2  mhq 

iK/=  MX  .  • 


m 


ir>s 


mq  \  m(j  / 

i58.  On  pourroit  résoudre  le  problème  du  frottement 
dans  le  treuil  de  la  même  manière  ;  mais  ici  les  forces 
étant  disposées  daus  Tcspace ,  il  laudroit  appliquer  les  j 
six  équations  (A^) ,  (K),  n''.  45.  LYli»nination  seroit  alors 
fort  laborieuse  ;  et  on  auroît  pour  résultat  une  équation 
du  quatrième  degré  si  compliquée  ,  qu'elle  ne  pourroit 
être  d'aucune  utilité.  Au  reste ,  on  peut  appliquer  ici^ 
d'une  manière  assez  exacte ,  ce  qui  vient  d'être  dit  sur 
le  levier ,  puisque  si  on  projette  tout  le  système  sur  un 
plan  perpendiculaire  à  l'axe  de  rotation  ,  on  n'a  plus  * 
considérer  que  des  forces  dans  un  même  plan,  appliquées 
à  un  levier.  Nous  ne  nous  arrêterons  pas  plus  longtems 
sur  cet  objet. 

i5g.  Traitons   maintenant  le  frottement  dans  la. vis' 
pour    cela,  comme  on  l'a  fait  (120),  supposons  d'abfr* 


\ 


/ 


^KOTTEMK^'T,  l85 

que  l'ëcrou  ne  touche  la  vis  qu'en  un  point ,  et  conser- 
vons les  notations  employées  <Jans  ce  paragraphe.   Pour  Fig  75  et 
trouver  la  force  horisontalc  ilf  propre  à  retenir  le  poids  Q  76* 
sur  le  plan  incliné  hd^^  en  ayant  égard  au  frottement , 
il  faut  avoir  recours  à  l'équation  (£'"') 

,^_    Q(tang.+/) 

m  =  .* 

I  — /  tang  I 

Mais  tang  %  =  — -  = ,  ainsi  M'=zQ ^—rr  ; 

cd         2îrr  ^  2  9rr — Jh 

il  faut  maintenant  remplacer  la  force  auxiliaire  M  par 

la  force  P  qui  retient  en  effet  le  poids  de  Pécrou  en 

équilibre  j  en  agissant  à  l'extréniité  d'un  levier  :  or  ;  on  a 

TR  =  Mr  j  donc 

^  awr — Jh 

Nous  sommes  parvenus  à  cette  valeur  en  suivant  le  pro- 
cédé employé  n\   120^  mais  comme  nous  nous  sommes 
servi  d'élémens  différens ,  le  résultat  ne  fournit  plus  la 
xnéme  conséquence  :  en  effet ,  nous  avons  supposé ,  comme 
au  n®.   120,  que  Técrou  et  la  vis  n'avoient  qu'un  point 
de   contact  j  mais  l'équation  (/*")  n'a  pas  la  propriété  de 
ne  pas  contenir  r,  comme  la  valeur  (-R")-  Nous  ne  pou- 
vons donc  plus  employer  les  considérations  dont  nous  nous 
somn^es  servi  pour  passer  au  cas  oii  l'écrou  touche  k  vis 
en  plusieurs  points.  Mais  par  une  hypothèse  fort  simple^ 
on  peut  avoir  une  approximation  suffisante  ;  car  on  peut 
ipaaginer  que  le  poids'entier  de  l'écrou  soit  concentré  sur 
l'une   des  hélices   qu'on  pourroit   tracer  sur  la  vis.   Par 
exemple^   quand   il  s'agira   d'une  vis  à   filet  carré  ^  on 
pourra  supposer ,  sans  erreur  sensible ,  que  tout  le  poids 
•st  porté  par  une  hélice  tracée  au  milieu  de  Ja  largiîur 


i84  Statique. 

du  filet.  Ainsi  on  n'aura  plus  à  considérer  que  des  poida 
portés  par  une  hélice  y  tracée  sur  un  cjrlindre^  qui  a  r 
pour  rayon  de  sa  base  :  la  formule  (/"')  reçoit  donc  son 
application  immédiate  )  car  en  continuant  les  raisonnement 
employés  n^.  120  y  cette  équation  lie  seroit  nullement 
changée  par  l'hypothèse  d'un  nombre  indéterminé  àt  pointa 
de  contact  de  Técrou  avec  la  vis^  ainsi  qu'on  l'a  observé 
pour  l'équation  (/l"). 

III.     Raideur  des  cordes. 

TJg.  9e.  i4o.  Comme  les  cordes  ne  sont  pas  parfaitement  flexibles, 
lorsqu'on  les  emploie  dans  les  machines  y  il  faut  augmenter, 
la  force  qui  doit  êt^-e  prépondérante  :  voici  l'idée  qd'il 
faut  se  faire  de  cette  augmentation.  Soient  deux  poids  P  et  Q, 
sur  une  poulie  :  si  P  prévaut,  il  est  clair  que  la  corde  iVQ. 
doit  d'une  part  y  se  courber  en  C  dans  la  gorge  de  la 
poulie  y  et  de  l'autre  se  déployer  y  pour  devenir  verticale 
en  MP.  Or^  si  cette  corde  étoit  absolument  rigiâe  y  ce. 
double  effet  n'auroit  pas  lieu,  et  d'un  côté  le  poids  Q 
se  trouveroit  porté  verticalement  au-dessous  de  quelque 
point  D  de  la  droite  horisontale  CB ,  tandis  que  de  l'autre 
côté  y  au  contraire ,  le  poids  P  seroit  transporté  au-dessous 
d'un  autre  point  h  :  et  comme  le  bras  du  levier  de  l'une 

\  des  forces   devenant   plus  grand  y  celui  de  l'autre  seroit 

au  contraire  rendu  plus  petit  ^  on  n'auroit  plus  jP=:;Q  pour 
la  condition  de  l'équilibre. 

Si  la  corde  n'est  qu'en  partie  rigide  y  l'effet  ci-dessus  in- 
diqué n'a  pas  lieu  en  entier  :  on  a  observé  même  que  dans 
la  pratique  y  le  raccourcissement  du  bras  de  levier  en  B 
étoit  sensiblement  nul ,  c'est-à-dire  qu'on  pouvoit  ne  pas 
avoir  égard  à  celui  des  deux  effets  y  qui  est  produit  par  le 
défaut  d«  flexibilité  de  la  partie  BP  correspondante  au 


I 
ROIDBUR   DES   CORDES*  lS5 

poids  P,  qui  est  supposé  prévaloir.  A^xk^i  pour  foire  entrer 
en  considération  la  rpideur  4e  la  corde  employée  dans 
une  machine  y  il  ne  faut  qu'augmenter  le  bras  de  levier  de 
la  résistance  d*une  quantité  convenable» 

n  reste  maintenant  à  connoitre  cette  quantité  CD  =  q  : 
pour  cela  y  observons  qu'un  corde  résiste  par  deux  causes 
aux  efforts  qu'on  fait  pour  la  ployer.  La  presnière  est  due 
à  la  teosion  de  la  corde  et  l^i  est  proportionnelle  ^  elle 
sera  donc  •=.bQ'y  la  seconde  est  produite  par  son  our- 
dissage y  et  on  peut  repré^^Ater  par  ix  la  force  nécessaire 
pour  la  vaincre,  a  et  ^  sont  ici ,  comme  on  voit^  des 
coefficiens  indéterminés.  Ainsi  pour  une  même  corde 
H'^'hQ  pourra  représ^ter  la  force  aéce^airepourlaâéchir. 
3NIais  si  .on  change  de  corde  ^  le  diamètre  D  $era  différent , 
f  t  on  pourra  dire  que;  toutes  choses  égales  d'ailleura^^  la 
force  qu'on  doit  employer  est  proportionnelle  à  une  cer- 
taine puissance  n  àe  D  'y  car  la  force  nécessaire  pour 
ployer  une  corde  croît  avec  son  diamètre  :  cette  puis- 
jsance  décroît^  au  contraire*  avjpc  le  rayon  r  de  la  poulie; 

(a  +^Q)  pourrk  donc  représenter  la  force  nécessaire 

pçur  vaincre  la  roideur  de  toute  corde  :  n  est  encore  une 
quantité  indéterminée.  Cette  valeur  est  l'accroissement 
qu'on  doit  donner  à  la"  force  P  pour  qu'elle  soit  sur  le 
point  de  prévaloir;  or  on  a  d'ailleurs  Pr-=,  Q  (r  +  9)  • 
çt  comme  dans  le  cas  d'équilibre  P  —  Q=:o,  P— Q 

ou  Q  X  -^  ^t  aussi  la  valeur  de  cet  accroissement)  en 
égalant  on  a 

jp^(a  +  ^Q)===Q9,d'ou9==^(a  +  6Q).'*..--{^'''> 

14  !•  Cette  équation  n'est  ^  il  est  vrai^  fournie  que  par 
d^s  considérations  générales  ;  et  n'est  pas  rigoureusement 


i86  Statique. 

dëmontrëe  ^  elle  renferme  d'aiUeurs  des  coeffidens  iscon- . 
nus yUyay  h,  variables  d'une  corde  à  une  autre.  Mais  il 
est  un  moyen  de  trouver  ces  coefiiciens  y  et  de  s'assurer 
que  cette  expression  est  exacte  dans  la  pratique. 

On  choisira  une  corde  j  et  la  ployant  sur  la  gorge  d'une 
poulie  9  on  lui  fera  porter  deux  poids  )  on  augmentera  l'un 
d'eux  convenablement ,  on  verra  de  combien  il  jdoit  excé- 
der l'autre ,  pour  être  sur  le  point  de  prévaloir  :  faisant  la 
même  expérience  quatre  fois  y  en  changeant  de  poids  on* 
de  poulie ,  on  aura  aussi  quatre  valeurs  de  JP  —  Q ,  c'est- 

à-dire'  de  (a  +  ^Q)/  ce  qui  fournira  quatre  ëqoar 

tions.  Soient  djfygy  A  ces  valeurs,  on  aura  donc  en  dé- 
signant par  r,  r*  yi^i  et  f"  les  divers  rayons  des  pouties, 
et  par  Q,  Q*  ^  Q"  et  Q^'  les  poids  employés  tour-à-tonry 

g  =  ^  (a  +  bQ"),  k=^(a  +  bQ'"). 


-S 


Les  trois  premières  serviront  à  faire  çonnoître  les  valeurs 
de  n  y  a  et  b  'y  et  la  dernière  servira  à  s'assurer  si  la  for- 
mule (K"^)  a  l'exactitude  qu'on  désire. 

Coulomb  y  à  qui  on    doit   cette   ingénieuse  théorie  y  a     -^^^ 
trouvé  que  la  quantité  n  étoit  ordinairement  i^  7  ou  i,  8  ,  ^        j 
et  que   par  conséquent  la   résistance  étoit  à-peu-près  pro 
portionuelle  au  carré  du  diamètre  de  la  corde  ;  mais  ell 
varie  d'ailleurs ,  et  devient  même  i  ,4  lorsque  la  corde  esP^-^s  st 
très-usée.    Voici  les  résultats    auxquels   il   est  parvenu         -«; 
exprimés  en  poids  anciens  : 


^e 


I 


=r:0;2..  =2;» 


KpiDEVR   DES   CORDES.  187 

ÎJ)n  liv.    J)ti  lir. 

de  5o  fils  de  carret x  a=4;2.. b  X  1 00=9 

4«ï5fils =1,2..  =^5,1 

de  6fils 

Co  J     (^e5o  fils  de  carret  =6;6..  =11^6 

goudron-/ de  i5  fils =2,0..  =5,6 

(de  6  fils =o,4**  =^?^ 

IV.  Frottement  dune  corde  qui  s'enroule  autour  dun 

cylindre. 

142.  Soit  'Bu4N  le  profil  d'un  cj^lindre,  dont  le  rayon  Fîg.55*;#. 
LCzzzr  :  AR  une  des  extrémités  de  la  corde,  à  laquelle 
est  appliquée  la  résistance  R  :  la  puissance  P ,  qui  tend  à  "^ 
vaincre  cette  résistance ,  est  supposée  agir  à  l'autre  extré- 
mité de  la  corde  ,  qui  est  enroulée  aiitour  du  cylindre ,  silr 
un  arc  quelconque  AGN)  cette  puissance  étant  sur  le 
point  de  prévaloir ,  fait  par  conséquent  équilibre  à  la  ré- 
sistance J?  et  à  la  force  provenant  du  frottement  exercée  sur 
l'arc  embrassé  par  la  corde.  La  tension  t  en  un  point  quel- 
conque B  de  cet  arc  est  aussi  dans  le  même  cas  j  elle  con- 
siste en  une  force  tangente  en  ^ ,  qui  doit  être  égale  (  par 
la  nature  de  la  poulie  ?i:Le  qui  ne  sert  qu'à  cbanger  les  di- 
rcctions  des  forces  (  106)  )  à  la  résistance  Ry  plus'  au  frot- 
tement qui  s'exerce  depuis  ce  point  D  jusqu'en  iV.  Soit 
NB  "=$  y  et  jprenons  un  arc  infiniment  petit  LB  =ds  y 
partagé  en  deux  parties  égales  au  point  G -y  menons  les 
rayons  CB  ,  CG  ,  CL  ,  et  nommons  p  la  somme  des  pres- 
sions normales  qui  s'exercent  sur  tous  les  élémens  de  l'arc 
BN  :  la  pression  normale  qui  s'exerce  sur  LB  sera  t=z  dp*> 

Cela  posé ,  la  tension  de  chacun  des  demi-élémens  GB , 
GL  éçant  désignée  par  /,  la  pression  dp  qui  en  résulte, 
c'est-à-dire  la  résultante  de  ces  tensions,  prise  dans  la  di- 
rectioa  GC,  est  T 17)  yisiblement  =  ut  cos  CGB)  mais  «a 


\ 


i88  Statiçcs. 

cxmâàintDilt  tnaïk^  CGBo^mmrro^aa^  em  B  ,  on  a 


CB       ds      ^        ^        Mdg 


ce       ar'  ^  r 

Mail  d'^vès  ce  ^Vim  a  dÀ  ô-dcssas  j/àésàpÈMnl  le  £notte- 

àt        fds 
■fflMif  pour  dp  sa  ^raiear,  on  en  oonclnt :=^^ — ^ 

dont  l'inifST^  est  loe /^  —  f+ !<:>!?•  C.   Cotnnic  5^0 


donne  1=  A.  en  a  C=^,  donc  log  -^-  =  -^  ;  et  en 

*  MX  r 

désignant  par  e  le  noiliredoet  le  logarithme  ■rpqkn  est  i  y 
on  en  oondot 

II 

i=Be'' {L^.. 

C'est  Tespression  de  la  tension  qu'éproare  le  point  B.  Sî 
ooTcnt  aToir  U  grandenr  de  U  pmssanee  Pj  qnî  fiit  é<pû- 
Bbrey  et  est  sur  le  point  de  prévaloir^  il  &nt  fiûre5=  ACNj 
tli'=zP.  S'il  arriToit  que  AGNj  oa  la  lonpieur  de  la 
corde  qui  embrasse  le  crlindre,  fut  égale  â  n  fois  la  cir« 
conférence  entière ,  c'est-à-dire  que  la  corde  fit  plusieurs 
tours  sur  ce  cjlindre  j  on  feroit  5=  2vrn  3  ainsi  on  aunnt 
dans  ce  cas 

P  =  Re'"^ M"'. 

Si  on  fait  croître  le  nombre  n  en  progression  par  diffé- 
rence j  la  valeur  P  croît  en  pro.^ession  par  quotient  ;  et 
plus  le  nombre  de  tours  de  la  corde  autour  du  cylindre 
est  considérable  j  plus  la  force  P  doit  être  grande.  La  rar 
pidité  avec  laquelle  croit  la  grandeur  de  P ,  sert  à  expli- 
quer la  cause  qui  permet  à  une  puissance  R  j  très-foible  ^  de 
faire  équilibre  à  une  puissance  P  très-considérable. 

Fin  de  la  Statique. 


LIVRE    n. 


DYNAMIQUE. 


CHAPITRE  PREMIER. 

Du   MOUVEMENT   d'uN   POINT   EN   I/IGNE   DROITE. 

145*  Jl.  N  voyant  les  choses  qui  nous  environneût  com- 
mencer et  finir  ^  nous  acquérons  l'idée  de  la  succession  : 
telle  est  l'origine  de  la  notion  du  tems.  Le  tems  n'est 
point  un  phénomène  particulier,  c'est  l'impression  que 
laisse  dans  notre  mémoire  une  suite  d'\événemens  dont  nous 
sommes  certains  que  l'existence  a  été  successive  :  la  notion 
du  mouvement  est  donc  liée  naturellement  k  l'idée  du 
tems.  De  là  on  conçoit  bientôt  des  tems  égaux  entre  eux  y 
puisqu'on  peut  se  représenter  des  successions  d'effets  iden- 
tiquement les  mêmes.  Les  oscillations  d'un  pendule  nous  ea 
offrent  un  exemple^  en  négligeant  cependant  le  frotte- 
ment y  la  résistance  de  l'air  y  et  les  autres  causes  acciden* 
telles  qui  empêchent  le  mobile  d'être  dans  le  même  état 
avant  et  après  chaque  oscillation. 

Jusqu'ici  nous  avons  fait  abstraction  du  tems,  et  c'est  le 
propre  de  lajStatique  j  car  on  n'y  considère  que  des  forces 
qui  s 'entredétruisent,  et  on  les  regarde  comme  de  simples 
pressions.  La  Dynamique  esl  la  partie  de  la  Mécanique 
qui ,  faisant  entrer  le  tems  en  considération ,  a  pour 
objet  Paction  des  forces  sur  les  corps  solides ,  lorsqu'il 


igo  Dynamique. 

rrsulfe  de  cette  action  un  mouvement.  Fidèles  à  la  marche 
que  nous  avons  suivie  dans  la  Statique,  et  que  nous  avons 
développée  (6),  nous  ne  traiterons  dans  ce  chapitre  que  du 
iHous'tmtnt  rtctiligne  if  un  point  j  afin  de  ne  pas  com- 
biner à-la-fois  tous  les  élémens  qu'embrasse  en  général  la 
D>  uaiiiique  :  nous  passerons  dans  les  chapitres  soivans  k 
lies  considérations  plus  étendues. 

I.     Du  Mouvement  Uniforme. 

144.  La  loi  b'i>"ertik  (4)  ï**^^^  apprend  que  lorsqu'une 
llkivo  uuiqiie  agit  sur  uu  corps  par  une  simple  impulsion  y 
ce  mobile  décrit  la  direction  de  Id  puissance  d'un  mouve- 
lueut  tel  que  ce  corps  se  retrouve  sans  cesse  dans  les  mêmes 
circonstances  que  lorsqu'il  a  quitté  le  repos  :  c'est-à-dire 
que  si  peudant  un  tems  quelconque  /  le  corps  a  décrit  l'es- 
pace «  >  il  devra  décrire  ce  même  espace  c ,  dorant  des 
tems  I  succesiàts  égauiL.  Lorsqu'une  force  impulsive  agit  sur  - 
uu  point  matériel ,  le  mouvement  qu'elle  proiuit  est  appelé 
VNiïoRMK,  et  le  point  parcourt  tie.c  c>y aces  é faux  dans 
des  ÎK^jns  t-^uur  ,  quels  que  sdie^t  J*:.i- leurs  ces  tems.  Le 
plus  MUiple  de  tous  îts  ^eurcs  de  n-ou veulent  nous  conduira 
à  Tanaîvse  des  autres. 

LovmUi'uu  corps  se  raeut  ualîVnr.fnient  ,  il  parcourt 
dans  ch«iqiie  unité  vîe  t-aus  ie  m- me  c?pa:e  ^ue  nous  dési- 
gnerons pivr  ^.  L'espace  que  jàt: ouïra  un  mobile  pendant 
uu  noiubre  /  d'unités  àe  îer.is  ,  sen  donc  /"/;  et  il  est  visi- 
ble que  Cela  aura  lieu  quel  que  soit  t^  ectier  ou  fraction- 
naire) :  de  sorte  que  uL-.wc  /c*  r:i?u*tfr:tfr:'  uri:''or7T2e  les 
espaces^:  yufvcurus  >\7:/^»:v:-.  -:.v::;:j/>  ij;.-î*  icms  ^m^^Icj-rs 
V'tg  ?»  à  ici  patvoun'r.  Si  donc  l.i  v'.v;'c  .:/  if  c^t  cc.ie  Tiîe  le  nio- 
bic  décrit»  B  étant  Sv^n  j  .  -ut  do  d-part  ,  ou  p-utè:  sa  p-^.- 
*itii»u  à  Imitant  où  ou  Cv^Jupte  ;  ij=  v  ;  A  *:aat  le  lieu  d» 


Mouv.  rêctilignk  et  uniforme. 


191 


irtobile  au  bout  du  tems  / ,  on  a  BN  s=:  Vt,  Soit  un  point 
fixe  A  auquel  on  rapporte  les  positions  successives  du  mo- 
bile )  en  désignant  par  e  sa  distance  AN  à  ce  point  au 
Lout  du  tems  /;  et  par  E  l'espace  initial  AB  y  il  est  clair 
qu'on  a 

e=E^Vt (a) 

pour  l'équation  générale  des  mouvemens  uniformes.  Ces 
mouvemens  difïèrent  d'ailleurs  entre  eux  par  le$  valeurs  des 
constantes  E  et  V,  Si  le  mobile  ^  au  lieu  de  s'éloigner  de 
l'origipe  ^,  s'en  approchoit ,  f^seroit  négatif^  à  moins 
que  le  point  de  départ  ne  fut  situé  en  B'  de  l'autre  côté  y 
car  alors  le  signe  de  V  seroit  encore  positif)  mais  celui 
de  E  seroit  négatif. 

145.  On  a  donné  à  la  constante  Vie  nom  dé  Vîtkssç  j 
c'est,  comme  on  a  vu,  V espace  parcouru  pendant  une  unité 
de  tems.  On  a  aussi  une  autre  expression  dé  la  vitesse,  car  Vl 
ou  l'espace  ^iV  décrit  durant  le  tems  ,  est  égal  à  e. —  E  ] 

e  —  E_BN 
t  / 


or  on  a   V 


ainsi  la  vitesse  est   le 


rapport  constant  qui  existe  entre  un  espace  quelconque  et 
le  tems  emploj'é  à  le  décrire.  On  ne  doit  pas  oublier 
qu'on  ne  peut  entendre  ici  par  e  et  /  que  des  nombres  abs- 
traits ,  qui  sont  des  nombres  d'unités  d'espace  et  de  tems  : 
ainsi  on  ne  compare  pas  entre  elles  des  choses  hétérogènes , 
comme  l'énoncé  précédent  et  l'équation  (a)  semblent  l'in- 
diquer :  il  n'est  point  d'expression  algébrique  qui  ne  donne 
Heu  à  une  pareille  remarque. 

146.  Cherchons  dans  la  nature  du  mouvement  uniforme^ 
une  quantité  propre  à  mesurer  l'intensité  de  la  force  impul- 
sive à  laquelle  il  est  dû  :  pour  cela  observons  que  les  forces 
ne  peuvent  nous  être  connues  que  par  les  effets  qu'elles 
produisent,  c'est-à-dire  par  les  espaces  qu'elles  font  dé- 
crire dans  das  temj  déterminés  :  il  est  donc  naturel  de 


1^2  Dynamique. 

prencîre  pour  leur  mesure  la  vitesse  qu'elles  engendrent  ^ 
ou  l'espace  qu'elles  font  dëcrire  dans  chaque  unité  de  tenis  ^ 
mais  cela  suppose  que  les  forces  sont  proportionnelles  au3C 
vitesses  qu'elles  impriment*  Or  c'est  ce  que  nous  ne  pou- 
vons pas  savoir  à  priori,' yn  notre  ignorance  sur  la  nature 
des  forces*-  Il  faut  donc  ici  recourir  à  l'expérience,  car 
tout  ce  qiii  n'est  pas  une  suite  nécessaire  du  peu  de  - 
données  que  nous  avons  sur  la  nature  des  choses^  n'est 
pour  nous  qu'un  résultat  de  l'observation.  Cônmie  cet 
objet  sort  des  bornés  d'un  Traité  élémentaire  ,  nous  n'en- 
trerons à  cet  égard  dans  aucun  détail  :  on  consultera  It 
Mécanique  céleste  ^  n<".  5  et  24*  On  y  verra  comme  soù. 
célèbre  auteur  déduit  ce  principe  d'un  fait  donné  par  l'ob- 
servation ,  qui  consiste  en  ce  que  tout  corps  terrestre  au- 
quel on  imprime  une  impulsion  de  grandeur  et  de  direc- 
tion quelconques,  reçoit  le  même  mouvement  relatif  que  A 
la  terre  étoit  fixe  ,  bien  qu'il  soit  emporté  par  le  mouve- 
ment  de  celle-ci.  On  tire  de  là  diverses  conséquences.^ 

1°.  Une  force  agissant  par  impulsion  sur  un  mobile  f 
lui  imprime  un  mouvement  uniforme  et  rectiligne  ^  etla 
vitesse  qui  a  lieu  dans  ce  mouvement  mesure  l'intensité 
de  la  force  ;  ainsi  la  vitesse  ^  est  ce  qui  caractérise  en 
particulier  chaque  espèce  de  force  ;  chaque  espèce  de  mou- 
vement uniforme. 

2<>.  Soient  F  et /deux  forces ,   V  ely  les  vitesses  qu'elle* 

F         V 

imprinifent  ^^deux  mobiles  identiques  y  on  aura  — ^r-  = ^ 

f 
Soit  donc  A  le  rapport  constant  -i^—   d'une    force   a  ^^ 

vitesse  ,  on  a  -P=  «  ^.  On  auroit  de  même  F'  z=tt  V^ } 
F'^  =  «  f^" .  • .  si  toutes  ces  forces  agissent  simultanémec»-  * 
sur  le  même  corps ,  la  force  ^  qui  leur  équivaut  éta»^^' 
5=  F+pf+  F'f  +...  est  aussi  =  u,  (  ^+  V'+  F"+  etcO- 


\' 


MoUVEM.    RECTILIGNE    ET    UNIFORME.  JCJH 

M 

Spit  u  la  vitesse  qui  résulte  de  la  force  ^.  on  a  ^  =  «1/; 
donc  u  =  /' -|-  y  +  V'i  4"  ^tc.  Ainsi  plusieurs  forces 
agissant 'dans  le  méine  sens  sur  un  mobile  y  feront  par-- 
courir  durant  uiui  unité  de  tems  ,  un  espace  égal  à  la . 
somme  des  espaces  que  chacune  -iT  elles  eût  fait  parcourir 
sàparénient, 

3**.  D*après  la  nature  du  mouyeracnl  uniforme ,  le  mobile 
est  à  chatjue  instant  dans  les  mômes  circonslauces  que 
lorsqu'il  a  quitté  le  repos ,  de  sorte  qu'à  chaque  point  de  ^' 
la  ligne  qu'il  parcourt,  on  peut  le  regarder  comme  eu 
repos  ;  et  supposer  que  la  force  qui  Pavoit  animé  le  sol- 
licite  dans  cot  état.  Si  donc  une  force  agit  sur  un  corps 
déjà  en  mouvement  y  la  vitesse  s'accroît  de  ce  qu'elle  lui 
auroit  communiqué  s'il  eut  été  en  repos  ,  puisqu'on  peut 
supposer  que  les  deux  forces  agissent  eusemble. 

4**-  '  La  Vitesse  étant  proportionnelle  à  la  force  ,  ces 
deax  quantités  peuvent  elre  représentées  l'une  par  l'autre  , 
et  tout  ce  que  nous  avons  établi  précédemment  (17,  18) 
sur  la  composition  des  forces ,  doit  être  dit  de  la  compo- 
sition des  Vitesses.  Lorsque  deux  forces  P  et  Q  agissent  Fîg.  s 
simultanément  sur  le  mobile  A  dans  les  directions  AD 
et  AH  y  en  prenant  ces  longueurs  égales  aux  vitesses  res- 
pectives que  les  i*npulsions  tendent  à  communiquer,  le 
corps  A  doit  se  mouvoir  unifonnément  suivant  la  diago-*» 
nale  AG  du  parallélogramme  ADGH  ^  et  cette  diagonale 
sera  la  vitesse  qui  aura  lieu.  De  même,  si  triais  forces  P,  rig.  i3, 
Q^et  5  dans  des  plans  différens ,  tcndtîut  à  imprimer  des 
vitesses  AB ,  AD  et  ^6* ,  le  mouvement  du  point  A  sera 
uniforme  suivant  la  diagonale^-^/du  parallélipipôde^Z/Arfl^j 
et  cette  diagonale  sera  la  vitesse. 

S*.   Si  les   directions  de  deux  forces  P  et  Q  sor.l  rec-  rij;.  c. 
tangulaires  ,  on  peut  les  supposer  destinées  à  éloigner  le 
jnobile  A ,  durant  l'unité  de  tems ,  des  quantités  AD  et 

i3 


i()4  Dynamique. 

AH  des  directions  respectives  >^Q  et  AP.  Or  j  puisque 
ces  deux  forces,  par  leur  action  simultanée^  transportent 
le  point  u^  en  G  ,  et  qu'on  a  GD'^^AH ^  et  GHz=îADj 
on  voit  que  Peffet  que  chaque  force  tendoit  à  produire 
isolément  a  encore  lieu.  De  même,  si  le  parallélipipède 
Fig.  i3.  ALMH  est  rectangle,  considérons  la  force  Ç  comme 
destinée  à  éloigner  le  point  A  du  plan  BAC  de  la  quantité 
AD^  durant  Tunité  de  tems  j  or  à  cause  de  ADzzzlH, 
cet  effet  est  produit.  Donc  en  général  quand  des  forces 
de  directions  rectangulaires  agissent  sur  un  point  maté^ 
riely  V effet  qu'elles  produisent  est  le  même  que  celui  que 
chacune  aurait  produit  séparément,  en  n'oubliant  pas 
quel  sens  on  doit  attacher  au  mot  effet»  C'est  en  cela  que 
consiste  l'indépendance  entre  les  forces  rectangulaires. 

i47*  Considérons  les  mouvemens  de  plusieurs  mobiles 
mus  uniformément  :  on  aura  pour  chacun  d'eux  des  é(fur 
tions  de  la  forme  e  ^=  JEJ  -}-  Ft  y  qu'il  faudra  combiner 
entre  elles  convenablement.  En  voici  quelques  exemples  : 

I.  Rapportons  deux  mobiles  à  leurs  points  respectifs  de  dé- 
part pour  origine  des  espaces,  les  équations  de  leurs  moQ- 
venlens  seront  e=  Fty  e'  =  F't'  :  on  conclut  de  là  que, 
en  tems  égaux  y  les  vitesses  sont  proportionnelles   aux 

e  V 

espaces  parcourus  ;  car  t^=.V  donne  — y  =  —^ .  Si  les 

e  F 

Vitesses  sont  égales ,  les  espaces  parcourus  sont  propor-^ 

et 

tionnels  aux  tems  :  car   F^zzz  V'  donne = :  et 

e'  V 

si  les  espaces  sont  égaux ,  les  vitesses  sont  réciproques 

aux  tems;  car  e  =  e'  donne   Ft^=.  V t' . 

IL  Soient  F  e\.V'  les  vitesses  de  deux  mobiles ,  disfans  entre 

eux  de  E'  lorsque  /=0  3  cherchons  au  bout  de  quel  tems  ils 

seront  distans  Tun  de  l'autre  de  A'.  Il  est  clair  qu'il  faut 

pour  cela  qu'on  ait  e—- >  %*  ■=.K  ^  ou  6^  —  e  =  A" }  ainsi 


MoUVEM.    KECTILIGNE   ET   UNIFORME.  rg5 

le  problème  a  deux  solutions  ^  l'une  avant  y  l'autre  après 
le  point  de  rencontre.  Pour  les  cumuler  toutes  deux  ^  faisons 
donc  /=/'  ete— e'  =  dt:/iC ,  dans  leurs  équations  e=^  Fi 
et  e'  t=  £'  +  yw  j  elles  donneront 

,      E'±iK  ^^,     E'±K  FE'±lF'K 

K=:o  donne  pour  la  rencontre  des  mobiles 

je:'  FE' 

III.  Le  mouvement  d'un  mobile  est  déterminé  lorscp'on 
connolt  les  valeurs  des  deux  constantes  E  et  F  qui  en- 
trent dans  son  équation  ^  ou  ^  ce  qui  revient  au  même  ^ 
lorsqu'on  donne  des  conditions  auxquelles  elles  doivent 
satisfaire.  Si^  par  exemple  y  dans  le  problème  précédent^ 
aa  l^eu  de  donner  E'  y  on  disoit  seulement  que  le  second 
mobile  étoit  éloigné  de  l'origine^  au  bout  du  tems  r  ^  de 
la  quantité  f ,  l'équation  e  =  J&'  +  F't  deviendroit ,  en 
mettant  ces  valeurs  pour  /  et  e,  i=z=  £'  +  Vr  j  d'où  on 
tire  E'  z=z  t  —  F^  r.  Si  on  veut  obtenir  une  solution  plus 
générale  des  problèmes  précédens,  on  substituera  f-^F'r 
à  E'y  dans  les  équations  auxquelles  nous  avons  été  con- 
duits. 

IV.  Soient  deux  mobiles  assujettis  à  décrire  uniformé- 
ment la  même  courbe.  Pour  trouver  le  point  de  rencontre  y 
il  est  clair  qu'il .  suffit  de  concevoir  la  courbe  rectifiée  y 
et  dé  recourir  aux  équations  (^).  Mais  si  la  courbe  est 
fermée  y  les  mobiles  y  en  continuant  de  se  mouvoir  y  sç 
rencontreront^  de  nouveau  :  le  lieu  de  là  première  ren- 
contre est  alors  pris  pour  point  de  départ,  et  pour  y 
appliquer  les  mêmes  formules,  il  sufôt  de  regarder  alor« 


\ 


196  Dy>amiqx;e. 

les  deux  mobiles  comme  dislans  du  përimèfre  entier^ 
de   la  courbe.    L'instant  de   la    seconde    rencontre  est 

t  z=  — ^  y   et  on    auroit    pour   le    tems    T  écoulé 

depuis   Torigine    du  mouvement    7^=  — p ^,   En 

ronlinuant  ce  raisonnement  ^  on  aura  la  troisième  ren- 
contre} etc.. . .  En  général  la  /i^™".  rencontre  aura  lieuaa 

bout  du  tems  /  1=  -p y:; — -  y  et  les  espaces  par- 
courus par  chaque  mobile  depuis  son  point  de  dëpftrt 
jusqu'au  lieu  de   la  /i*'^'*'.  l'eucontre,  seront 

^—^^  y_  yi y    ^  —  YZTp 

On  pourroit  prendre  un  plus  grand  nombre  de  mobiles. 

A  r.iidc  ue  cos  rLîiiiHilj's  ,  011  d('termine  l'instant  où  les 
aiguilles  d'une  nwjntre  ({ui  inarque  les  heures  et  les  nii- 
iiulcs,  se  dcivciiX.  ronconlrcr  7  puisqu'on  peut  regarder  les 
exlréiuilcs  des  lujvuii'îts  coniaïc  des  points  qui  parcourent 
la  mcnjc  circonri'rencc. 


II.     Du  Mouvement  Varié  en  généraU 

J4S.   T'oui  inoiiwment  qui  n'est  pas  uniforme  est  ap' 
■^tdv  Yak:::;    cl  ou   t^.il  que   ce  mouvement  est  jlccéléré 
ou  /l'j'i  ■/"/''  y  su'V;mL  queles  espaces  parcourus  daiis  des  tems     j 
i'f;aux  sn<-."';.>si(->  ^   £uiit  de  plus  en  plus  grands  ^  ou  de  plus    ; 

en  ])lu:^  îjcli*c. 

...  ^ 

Pour  iiv'jir  une  iuéi^  iielle  du  mouvement  varié  d'un  mo-     ; 

bile  ,  il  f;iut  le  concevoir  continuellement  soumis  à  l'action     j 

d'une  force  ;  de  sorte  qu'il  en  reçoive  k  chaque  ins.Unt  une 


MotJVKM;ENT    RECTILIGNE    ET    VARIÉ.  197 

nouvelle  impulsion  :  sans  tes  action^  réitérées  y  le  mouve- 
ment seroit  uniforme ,  et  on  voit  que  la  force  agissant  sans 
interruption  sur  le  mobile ,  on  peut  supposer ,  sans  qu'il  en 
résulte  d'erreur  sensible,  que  ces  impulsions  spnt  sépa(i'écs 
çntre  elles  par  des  lemg  dont  la  durée  est  infiniment 
petite.  En  effet  ,  représentons  l'espace  que  fiait  décrire 
une  force  sans  cesse  agissante,  par  l'ordonnée  d'une  courbe 
dont  l'abscisse  représente  le  tems  5  cette  courbe  ge  change 
€n  un  polygone  d'un  grand  nombre  de  côtés ,  lorsqu'on 
suppose  que  la  forcfe  exerce  ses  actions  successives  en 
laissant  entre  elles  des  intervalles  de  tems  trcs-pcïlits  5  et 
.  on  obtient  un  polygone  d'une  infinité  de  côtés  lorsqu'on 
suppose  ces  intervalles  égaux  entre  eux  et  à  l'élément  du 
tems  dt.  Nous  avons  dans  la  pesanteur ,  les  attractions  ,. .  • 
des  exemples  de  forces  continues. 

i49«  Si  on  suppose  qu'au  bout  d'un  tems  quelconque  /, 
la  force  cesse  tout-à-coup  d'agir  y  le  mouvement  du  point 
devient  sur-le-champ  uniforme ,  et  la  vitesse,  dans  ce  mou- 
vement, est  produite  par  les  impulsions  exercées  durant 
le  tems  qui  a  précédé }  cette  vitesse ,  ou  l'espiice  que  le 
corps  parcourt  dans  chaque  unité  de  tems  ,  est  ce  qu'(jn 
appelle  la  vitesse  du  corps  au  bout  du  tems  L  Cela  n'est 
point  une  chose  de  pure  définition  ,  et  en  réfléchissant  at- 
tentivement, on  verra  que  nous  ne  nous  formons  pas  une 
autre  idée  de  la  vîtrsse  variable  d'un  corps  :  toutes  les  im- 
pulsions se  sont  ajoutées.  (  1^6 y  5°),  et  dans  le  mouve- 
Vient  uniforiiie  qui  s'est  él^ibèi,  la  vitesse  est  celle  qu'auroit 
produite  une  force  unique  égale  à  la  somme  de  ces  impul- 
sions réitérées.  Ainsi  dans  un  mouvement  varié  y  la  vitesse 
d'un  mobile  à  un  instant  déterminé,  est  l'espace  qu'il 
décriroit  durant  chaque  unité  de  tems  y  si  tout-à-coup  à 
cet  instant  la  puissance  cessoit  d'agir.  Soient  y  cette  vitesse, 
^  l'espace  décrit  pendant  le  tems  i,  ou  la  distance  du  cor^w 


jgS  Dynamique. 

à  Tongine  après  ce  tems  j  de  sera  l'espace  décrit  pendant 
rélément  de  tems  dt  ;  et  puisque  le  mouvement  est  devemi 
uniforme^  dans  chacun  des  ëlëmens  de  tems  suivans  le  , 
mobile  devra  parcourir  le  même  espace  de)  àe  sorte  que 
celui  qui  sera  décrit  durant  une  unité  de  tems ,  sera  de 
pris  autant  de  fois  que  dt  est  contenu  dans  Punité  de  terni; 


ou   ^  X  —3-  f  donc 
•  dt 


HT ^'^' 


Ainsi  dans  tout  mouvement  varié ,  la  vitesse  estle  coeffi* 
dent  différentiel  du  premier  ordre  de  Vespace  ,  ou ,  f éfé- 
jnent  de  Vespace  divisé  par  Vêlement  du  tems»  Si  donc  on 
désigne  par  e  ^==-fty  Toqua  lion  qui  exprime  la  relation  entre 
les  espaces  e  et  les  tems  t  dans  le  mouvement  qu'on  consi- 
dère j  on  obtiendra  aisément ,  en  fonction  du  tems  /  et  par 
une  simple  diffcrcntiation,  la  vitesse  vz=ij*  t*  Et  récipro- 
quement si  on  a  l'équation  v^=.f  t^  il  ne  faudra  qukine 
.simple  intégration  de  Téquation  dc^=dt.f  tj  pour  obtenir 
réqualion  du  mouvement  e  =  y?.  Du  reste,  si  le  corps 
s'éloigne  de  Torigine  des  e  j  v  sera  positif,  parce  que  e  t\t 
croissant  ensemble  ,  de  et  dt  sont  d^méme  signe.  Le  con- 
traire auroit  lieu  si  le  corps  s'approcboit  de  l'origine  destf, 
et  f'  seroit  négatif. 

i5o.  Comme  l'effet  d'une  force  connue  sur  un  mobile 
est  de  lui  comrminiqaer  par  ses  actions^successives  une  vi- 
tesse finie,  au  bout  d'un  tems  fini ,  et  comme  le  nombre 
de  ses  im])ulsions  est  infini ,  chacune  d'elles  doit  être  infini- 
ment petite.  Ainsi  on  ne  peut  établir  de  comparaison  entre 
une  force  d'impulsion  et  une  force  continue ,  puisque  l'effet 
instantané  de  la  première  est  fini ,  tandis  que  celui  de  l'autre 
est  infinim«!nt  petit.  C'est  ce  que  nous  aurons  occasion  oe 
mieux  développer  par  la  juite  (222,  254). 


J 


MOVTEMENT   EKCTILIGNC  BT   VARIjé.  199 

i5i.  n  arrive  souvent  que  rintensité  de  la  puissance 
varie  à  chaque  instant^  alors  le  mouvement  éprouve  des 
variations  qui  dépendent  de  celles  que  subit  la  force.  Cher- 
chons la  relation  qui  existe,  en  général,  entre  la  vitesse  et  la 
Force  Accélératrice  y  (c'est  ainsi  qu'on  nomme  la  puissance 
dont  l'action  continue  fait  varier  le  mouvement  ).  Soient 
F  et  y  deux  puissances  qui  par  leurs  impulsions  seroient 
capables  de  donner  les  vitesses  Velv)  concevons  le  tems  r 
partagé  en  un  nombre  quelconque  n  d'intervalles  égaux  ^ 
.  et  supposons  que  les  forces  JF  et /agissent  continuellement, 
et  communiquent  leurs  impulsions  f^et  v  ,  à  la  fin  de  cha- 
cun de  ces  intervalles.  Il  est  clair  que  les  vitesses  engen- 
drées seront  «successivement  V,y):iVy  afj  5 ^,  5v;  •  • . 
ainsi  au  bout  du  téms  r ,  nV  et  nf  seront  les  vitesses  en« 
gendrées  par  l'action  continue   des  puissailces.  Mais   oa 

F        V  F         nV 

a  (i46 ,  2<*.)j  "^  =  — \  ou  -;r  = ;  donc  les  forces 

/         ^  f  nv 

accélératrices  constantes  sont  proportionnelles  aux  vitesses 

qu'elles  engendrent  pendant  des  tems  égaux,  puisqu'ici  le 

tems  qui  sépare  les  actions  successives  est  aussi  petit  qu'on 

f 

Teut.  Soit  «  le  rapport  constant  -^^,  on  a  F=  «e  x  'i  ^; 

*"  nv 

«insi    une   force  accélératrice  constante  est  mesurée  par 

la  vitesse  qu'elle  imprimeroit  à  un  mobile  sur  lequel  elle 

^giroit  durant  une  seule  unité  de  tems  :  «§  est  =  i  lorsqu'on 

^rendy=  i  et  nv=i^i ,  c'est-à-dire  lorsqu'on  prend  pour 

Xinitc  de  force  celle   dont  l'action   continue  durant  une 

Xinité  de  tems  seulement ,  conmmniqueroit  des  impulsions 

belles  que  ie  mouvement  nniforme  qui  en  résulteroit  auroit 

'9jin  pour  vitesse* :  alors  F=  nV.  " 

1 53.  Comme  pour  mesurer  les  -puissances  ,  il  faut  trouver 
^ans  le  mouvement  qu'elles  engendrent  une  quantité  qui 
leur  soit  proportionnelle  ,  il  suit  de  ce  qu'on  vient  de  dire 


] 


Soo  Dy^AMIQI'E. 

que  pour  mesurer  rintensilc  de  la  force  accélératrice  f  au 
tout  du  tcms  / ,  il  faut  supposer  (ju'elle  devient  tout-à-coup 
constante  |)endant  Puni  té  de  loi  us  y  et  prendre  la  vitesse 
qu'elle  eiigcudreroil  dans  cet  état. 

Cela  posé;  il  est  clair  que  pendant  l'instant  dt  qui  suit  le 
tenis  tj  la  force  ç  communiquera  la  vitesse  d^'y  niaissi  celte 
force  devient  tout-à-coup  constante  ,  elle  continuera  d'im- 
primer à  la  fin  de  chaque  élément  de  tems  la  même  vitesse; 
donc  la  vitesse  qui  sera  produite  pendant  l'unité  de  tenis 
sera  l'élément  dy  ,  pris  autant  de  fois  que  la  force  a  donne 
d'impulsions ,  c'est-à-dire  autant  de  fois  que  l'uni  lé  de  tems 

contient  l'élément  dfy  le  prodiul  de  dy  par  — r— ,  sera  donc 

la  vitesse  qu'aura,  engendrée  pendant  l'unité  de  tems  la 
force  ç  devenue  constante.  On  a  donc 


^  dt  ^ 


Ainsi  dans  tout  mouvement  varie  la  force  accclèratrice 
est  le  coefficient  difjèrcnliel  ilu  premier  ordre  de  la  vir 
iessc  j  ou  V élément  de  la  i.'s fesse  divise  par  rélénunt  au 
tems»  ]\Iais  on  ne  doit  point  oublier  que  ç  n'est  point  ici  la 
valeur  absolue  de  la  force ^  mais  seulement  une  quanlilc 
qui  lui  est  proportiounelle ,  et  lui  sert  de  mesure  ;  et  comme 
en  mécanique  ou  n'a  besoin  (pie  du  rapport  des  forces 
entre  elles ,  ou  avec  l'une  d'elles  prise  pour  unité ,  celle 
quantité  ç  suffit  à  nos  besoins.  Si  la  force  ^  est  accélératrice^ 
*a  vitesse  croit  avec  le  tems,  dy  et  dt  sont  de  même  sigîif  î 
ainsi  ç  est  posilif  :  le  contraire  a  lieu  lorsque  la'force.  ^^^ 
retardalricc,  car  q>  est  alors  négatif. 

On  peut  remarquer  qu'en  multipliant  entre  elles /e5  ^^''-^ 
rquatlons  du  mouyeincîit 


Mouvement  rkctiligne  et  varié.  iio\ 

de=:  vdt  y    çdl=  dv 
on  obtient 

çde  =  vdv (e)) 

autre  relation  entre  les  variables  ,  qui  remplace  souvent 
avec  avantage  Tune  des  équations  du  mouvement ,  en  se 
prêtant*  plus  commodément   au    calcul. 

i55.  On  fait  un  três-frequcnt  usage  des  équations  pré- 
cédentes. Si  on  conno'it  l'équation  €■=:  fc  du  mouvement , 
unepretiiièic  différeutiatiou  ayant  déjà  fait  connoître  la  vi- 
tesse en  fonction  du  tems,  VT=.f  ty  une  seconde  différen- 
tiation  fera  connoilre  la  force  accélératrice  ^z=zf^  L  Mais 
le  inoV.léme  inverse  se  présente  beaucoup  plus  souvent  : 
c'est  ordinairement  la  force  qui  est  donnée  en  fonc- 
tion du  tems ,  et  il  s'agit  alors  d'en  déduire ,  par  des 
intégrations,  la  vitesse^  et  l'équation  e=.ft  du  mouvc- 
inent.  Pour  bien  saisir  la  marche  qu'on  doit  suivre  dans  ce 
cas,  observons  que  la  nature  de  la  question  fournit  tou- 
jours une  relation  particulière  entre  la  force <p ,  la  vitesse  ^'  et 
l'espace  e,  qui  correspondent  au  tems  t'y  ou  seulement  entre 
^eux  ou  trois  de  ces  quantités  qui  sont  les  seules  variables 
de  cette  question  :  cette  relation ,  exprimée  par  uue 
équation ,  caractérise  le  problème  et  lui  est  essentiellement 
propre.  On  joint  cette  équation  à  celles  Je=f  J/,  dy=:^dl ; 
et  à  l'aide  du  calcul  intégral ,  en  éliminant  entre  ces  trois 
équations,  on  en  obtient  des  relations  entre  deux  quelcon- 
ques des  quatre  variables  ^,  f ,  e  et  /.  L'intégration  force 
quelquefois  à  préférer  l'équation  (pdezzzvdy^  à  l'une  des 
deux  qui  précèdent  :  cela  arrive  lorsque  ç  est  donné  en 
fonction  de  e  ,  parce  que  les  variables  sont  sur-le-champ 
séparées.  L'intégration  des  équations  effectuée,  on  obtient 
des  relations  qui  renferment  des  constantes  arbitraires  qu'il 
^t  fscile  de  déterminer  d'après  la  connoissance  de  la  vitesse 


/ 


aoa  Dynamique. 

du  corps  et  de  sa  position  à  un  instant  donné.  Des  applici^ 
lions  rendront  cette  exposition  plus  lucide.  (  Voj.  art.  IV  ). 

Le  calcul  infinitésimal  a  l'avantage  d'être  fadie  à  exposer 
et  simple  dans  ses  procédés  ^  mais  on  ne  peut  se  dissimuler 
qu'il  n'a  pas  la  rigueur  géométrique  qu'on  a  droit  de 
désirer.  L*usage  continuel  qu'on  fait  en  Dynamique  des 
équations  du  mouvement  y  rend  presque  nécessaire  une  dé- 
monstration plus  rigoureuse  et  qui  les  mette  dans  un  plus 
grand  degré  d'é\  idenoe  5  c'est  ce  que  nous  nous  proposons 
ici. 

8i)ft  c  =y  i  réi[ualion  du  mouvement  d'un  point  mobile 
sollicité  (Kir  des  fories  quelconques  dingécS  suivant  la 
même  droite  ••  au  bout  dos  tems  /  et  /  +  r ,  les  distances 
de  «e  joint  à  l'origine  des  e  sont /iet/(/+r)  j  la  diffé- 
rcuie  entre  ces  tloux  espaces  est  l'espace  décrit  durant  le 
tems  T  y  i|ui  succède  au  tems  1 1  cet  espace  est 

f'.t+r)  —ft  =  r.f'l+{  r'./*/+  etC (l). 

iÀ>UAKlci'utts  maintenant  un  tems  r  compté  avant  l'expira— 
don  Jit  wiMs/:  Tcsi^ue  j»arcoi:rii  poniîant  ce  second  in  ter— 

^rtllc  ,  Cj^.il  au  proiîiier  ,  est  vîsiL'Ierntnt 

Or  si  les  korccs  AÎcnu.'Ut  toul-j-^  «Hip  à  «'t'sser  d\igir  au 
bout  du  tems  /  ^  le  niou\  émeut  dev:tMit  imitbnue  ,  et  le 
mobile  ;  étant  supposé  avoir  la  vitesse  inoonaiie  t-' ,  doit  dé- 
crire, durant  le  tenis  t  qui  succède  au  tenii  /,  l'espace  fr. 
Supposons  que  le  mouvement  varié  dont  il  s'agit  etoit  accé- 
léré durant  les  deux  tems  r  que  nous  venons  dr»  consi- 
dérer ;  il  est  clair  (  i/fi)  que,  quel«Mie  courte  que  soit  leur 
durre ,  yr  devra  être  plus  petit  que  la  valeur  (  i  ;  et  plus 
grand  qne  celie  (9.).  Le  contraire  auroit  lieu  si  le  mouve- 
ment ttoil  retardé.  Ainsi  vt  est   rompris  entre  ces  deux 


Mouvement  rsctiligite  et  yxKii.  ae5 

développemens  y  pourvu  «qu'on  attriltue  à  r  une  vs^leur  assez 
petite  pour  que  le  mouvan^nt  soit  continuellement  accé- 
léré ou  retardé  durant  ce  tcms  ^  ce  qui  est  toujours  pos- 
sible. U  résulte  de  là  que  y  est  toujours  compris  entre 

/'^  +  î  T.pi+etc.  et  /'/  —  i  T./^/+  etc. 

Mais  plus  r  est  petit  plus  ces  deux  développemens  appro- 
chent de  la  valeur  de  leur  premier  terme/'/,  sans  toutefois 
cesser  de  comprendre  entre  eux  la  valeur  de  f  j  donc  on  a 

de  g,  , 

V  =  / '/  =  --p  ;  ce  qui  est  conforme  a  ce  qu'on  a  vu  (149)* 

-  On  poùrroit  objecter  contre  notre  démonstration  les 
cas  oii  le  développement  de  Taylor  est  en  défaut ,  et 
ceux  où  on  veut  la  vitesse  du  mobile  à  l'instant  oii  elle 
est  un  maximum  ou  un  minimum*  Voyez  à  cet  égard 
un  mémoire  de  M.  Ampère;  page  160  du  15*^.  journal 
de  l'Ecole  Polytechnique. 

Faisons  pour  la  force  accélératrice  un  raisonnement  ana-  ' 
logue.  Soit  f  :=:  Ft  la.  valeur  de  la  vitesse  au  bout  du 
tems  t  y  d'un  mobile  animé  d'un  mouvement  varié  quel- 
conque. Si  on  conçoit^  comme  ci-dessus,  deux  tems  égaux 
représentés  par  t  ,  dont  l'un  expire  avec  le  tems  / ,  et  dont 
l'autre  succède  à  ce  tems  ;  il  est  aisé  de  voir  qu'au  com- 
mencement  du  premier  la  vitesse  sera  F  (t —  t)  ,  et  que 
pendant  cet  intervalle  ;  elle  recevra  l'accroissement 

Fr  —  F(  f  —  r)  =:  T.  F'/  —  i  T\F*ft+etc (1). 

Pareillement  la  vitesse  acquise  pendant  le  second  tems  r 
sera 

ir(^+  r)  —  F/  =  r.Pt+l  T\F'U+etc (2). 

Or  si  la  force  cesse  de  varier  au  bout  du  tems  t ,  Tac- 
•  croissement  de  vitesse  pendant  le  tems  r  qm*  suit  sera  ^r , 


âo4  DrXÀSHQUK. 

ç  désignant  la  force  accélératrice  constante  qui  aura  lieu 
alors  f  et  dont  on  cherche  la  valeur  :  cela  résulte  Je  ce 
qu'on  a  dit  (i5i).  Or  il  est  clair  que  çi  sera  plus  grand 
que  la  valeur  (i)  et  plus  petit  que  celle  (2),  si  dans  It 
double  intervalle  que  nous  venons  de  considérer,  le  mou- 
vement est  continuellement  accéléré  f  tandis  que  s'il  est 
retardé,  le  contraire  aura  lieu.  Donc  ^t  est  compris  cnîrc 
ces  deux  développemens  ,  pourvu  qu  on  prenne  t  suffi- 
samment petit}  ainsi  la  valeur  de  ç  est  entre 

F't—lr.F'ft-^etc,  et  F'/+ ir-F'^z  +  etc. 

Or  plus  T  est  petit ,  plus  ces  deux  développemens  appro- 
chdnt  de  la  valeur  de  leur  premier  terme  F^t  y  sans 
que  néanmoins  ç  cesse  d'être   compris  enlre  eux  :  don® 

Ç  =  F'i  =  -—  j  résultat  qu'il  s'agissoit  d'obtenir. 

III.     Du  mouvement  Uniformément   Varié* 

i54-  La  continuité  de  raction  d'une  puissance  sur  un 
mobile  nous  a  conduits  à  la  notion  du  mouvement  varié  : 
mais  il  peut  arriver  que  celle  puissance  soit  constante  , 
c'est-à-dire  que  conservant  sans  cesse  la  même  intensité, 
elle  imprime  à  chafpe  inslanl  des  degrés  égaux  de  vitesse  : 
le  mouvement  qui  a  lieu  dans  ce  cas  a  clé  appelé  LMroR- 
MÉMKNT  Varié  :  donc  le  mouvement  uniformément  i^arié 
est  Celui  qu'engendre  une  force  continue  et  constante. 

La  définition  même  du  mouvement  donne  ^  =  cons- 
tante :  désignons  cette  constante  par  g)  c'est  la  vitesse 
qu'engendrera  durant  chatjue  unité  de  leins  la  force  ac- 
célératrice. On  a  donc  dv  =r  gdt  5  intégrons  et  désignons 
par  F  la  vitesse  que  le  mobile  avoit  au  commencement 
du  tems  /,  nous  aurons 


r 


MoUV.    HftCT.    ET   UNIFORMÉM.   VAltlé.  205 

I 

Copime  ^t  est  la  vitesse  acquise  au  bout  du  tems  /,  on 

voit   que  Zu  vitesse  croît  proportionnelLment  au   teins* 

de 
On  a  (149  ;  c  )  >  y^=^  —7-  ;  donc   de  =,  Vdt  +  gidt ,  et 

en  intégrant 

e=:£+r/  +  igP (/); 

Telle  est  Téquation  générale   du  mouvement  uniformé- 
ment varié. 

Si  on  fait  f  ztr:  o ,  on  trouve  e  =  E  :  ainsi  soient^-^JS^  '»«•  9» 
la  ligne  que  décrit  le  mobile,  A  l'origine  des  e,  B  le 
lieu  du  mobile  lofisque  /  =  o ,  on  a  j4B  =  i?  5  c'est 
V espace  initial.  V  est  d'ailleurs  la  vitesse  initiale,  c'est- 
à-dire  celle  que  le  corps  avoit  en  B  y  soit  en  vertu  d'une 
impulsion  particulière ,  soit  par  l'effet  de  la  puissance 
pendant  les  instans  antérieurs  à  son  arrivée  en  ce  point. 
Enfin  il  suit  de  ce  qu'on  a  vu{i5i)  que  g  eU  la  vitesse 
acquise  au  bout  de  chaque  unité  de  tems. 

Si  on  prend  pour  origine  des  espaces  le  point  de  départ 
du  mobile  ,  ou  plutôt  le  lieu  où  il  se  trouve  lorsqu'on 
compte  t  =2  Oy  on  a  £==o:si  de  plus  le  mobile  n'a 
aucune  vitesse  à  éet  instant,  F  z=:  o '^  et  le  mouvement 
uniformcment  varié  a  pour  ses  équations 

Ces  formules  ne  renferment  que  les  circonstances  de 
mouvement  dues  à  la  force  continue  :  de  sorte  qu'on  voit 
que  le  coefïicieut  ^,  ou  la  force  accélératrice,  est  lo 
double  de  l'espace  que  cette  force  fait  parcoiu'ir  au  corps 
durant  la  première  unité   de  tems. 

Au  bout  du  tems  /,  si  tout-à-coup  la  force  cesse  d'agir, 
le  mouvement  Revient  uniforme ,  et  l'espace  que  le  mobile 


ao6  DniAxiQUK. 

décrira  ^  en  vertu  de  la  ritesse  acquise ,  sera  gt  pendant 
chaque  unité  de  tems  y  et  (144)7  S^  ^  ^=  ^  durant  un 
tems  /  égal  au  premier.  Or  cet  espace  est  double  de  ig^, 
que  le  mobile  a  décrit  pendant  le  premier  tems  I:  donc 
Vespace  décrit  dun  mouvement  uniformément  varié  y 
durant  un  certain  tems  y  est  la  moitié  de  celui  qui  serait 
parcouru  dans  le  même  tems  y  étun  mouvement  uniforme  y 
dont  la  vitesse  serait  égale  à  celle  qu'a  communiquée 
la  force  continue  :  g  est  positif  ou  négatif  suivant  que  la 
force  est  accélératrice  ou  retardatrice  (i52).  De  même  V 
est  négatif  ou  positif,  suivant  que  l'impulsion  est  dirigée 
vers  l'origine  des  espaces  ou  en  sens  contraire  :  enfin  E 
seroit  négatif  si  le  point  de  départ  du  mobile  étoit  situé 
en  B*  de  l'autre  côté  de  l'origine  A.  En  un  mot,  A 
et  F  sont  comme  dans  le  mouvement  uniforme  (i44)  j 
on  voit  que  de  même  que  les  forces  s'ajoutent  y  les  valeurs 
des  espaces  \gP  et  E  +  f?  qu'elles  produisent,  s'ajoutent 
également*. 

i55.  Voici  quelques  conséquences  de  ce  qui  précède. 

1°.  Les  équations  (g)  donnent  la  vitesse,  et  l'espace 
parcouru  en  fonction  du  tems  3  en  élinilDant  t  entre  elles, 
on  obtient   les  équations 


v^ 


v^  -^z  1  ge  y  ou  e  = 


2^ 


qui  font  connoître  la  vitesse  en  fonction  de  Tespace ,  et 
réciproquement.  On  auroit  obtenu  directement  ces  équa- 
tions en  intégrant  la  formule  (e;  qui  devient  ici  gdez=.vdv* 

2^.  Si  on  avoit  à  comparer  entre  eux  les  mouvemens 
de  plusieurs  mobiles  ,  il  faudroit  combiner  ensemble  des 
équations  de  la  forme  e  =  ^  +  ^^  +  i  é^%  *i"si  qu'on 
Ta  fait  précédemment  (14?)  •  "^^lis  ici  les  calculs  seroi'ent 
beaucoup  plus  compliqués.  Nous  nous  bornerons  à  traiter 


MOUV.   RECT.   ET   tlNITOKM^BI.   TARIE.  ItQf 

le  cas  où  deux  mobiles  identiques  sont  soumis  aux  ac- 
tions d'une  même  force ,  et  où  on  fait  abstraction  des 
circonstances  étrangères  à  celle  force.  Alors  on  a  les 
équations  suivantes;   pour 

le  I".  mobile e  =  i  gf'y    v  z=z  gt  y   y*  =z2ge  y 

le  2«.  mobile e'=  {-  ^'%  y'=p'y  *'"=  2ge'. 

1  **.  Les  espqces  parcourus  sont  entre  eux  comme  les 

e  £* 

carrés  des  teins  y  puisqu'on  a  — y  =   -7^» 

e  * 

T       ^  7  y        t  ^ 

2**.  Les  vitesses  sont  comme  les  tems ,  car  on  a  — -  =:  —r . 

3*.  Enfin  les  espaces  sont  comme  les  carrés  des  vitesses^ 

puisqu'on  a  ~  =  -^. 

i56«  Le  mouvement  des  corps  pesans  est  celui  qui  ^ 
par  sa  nature  et  ses  nombreuses  applications ,  mérite  le 
pl^s  notre  attention.  La  pesanteur  ^  cette  force  dont 
l'action  s'exerce  continuellement  sur  tous  les.  corps  y  leur 
communique  sans  cesse  de  nouveaux  degrés  de  vitesse. 
Nous  supposerons  ici  que  celte  force  est  constante  ,  et 
que ,  par  conséquent ,  le  mouvement  qu'elle  impriptie  est 
uniforménOTit  varié.  Celle  hypothèse  est  tout-à-fait  légi- 
time y  car  nous  verrons  bientôt  (161)  que  la  force  d'at- 
traction qui  porte  tous  les  corps  vers  le  centre  de  la 
terre  y  a  une  intensité  qui  décroît  comme  les  carrés  de 
leurs  dislances  à  ce  centre  augmentent  :  mais  comme  les 
espaces  les  plus  grands  que  parcourent ,  en  vertu  de  la, 
gravité  y  les  corps  qui  sont  à  la  surface  de  notre  globe , 
sont  fort  petits  par  rapport  à  son  rayon ,  à  cause  du  peu 
^'étendue  de  la  hauteur  dont  les  corps  peuvent  descendre 
en  vertu  de  gravité  y  il  est  facile  de  voir  que  le  mouve- 
ment varié  qu'elle  leur  imprime  est  très-peu  différent  du 


/ 


208  Dynamique. 

nioun^meiit  uniformëDieiit  varié  (jue  nous  lai  substitoon*; 

En  effet ,  soient  r  et  r  +  «  les  distances  Je  deux  corps 

an  centre  de  la  teire ,  les  attractions    qu'ils  éprouvent 

m             ,               m  . 

sont  e  =   et  ^  =  -^ 5  or  comme  «  est  une 

trc'S-pctite  quantité,  on  peut,  dans  le  développement  de 
(r-f-  *  j~^,  négliger  »%  *'-*. ...  et  on  a 

5'=m(r-'— 2*/^^)  =— j3-  =g ^. 

Ait  si  la  gravité  a  décru  de  — r; —  y  quantité  absolument 

inappréciable. 

En  général  il  est  visible  que  lorsque  les  forces  variables 
n'abaissent  que  pendant  un  teuis  de  fort  courte  durée, 
on  peut  les  regarder  cauime  constantes. 

Les  équations  y^zgi^  e  =z  \  gn  y  i^'z^s^  expriment 
donc  toutes  les  circonstances  du  *:icaven!ent  d*un  corps 
qui  tombe  librement  drns  \?  v.  J?  :  It-  c?j'nici**r.t  ^^  y  désigne 
la  force  accclêialrice  de  la  ^_  .  '  .  En  faisai  t  /=  i, 
un  trouve  v  =:  g  çl  c  z=z  {  g  -.  d'(;û  u  ^  '.  r,r.ci  g  u'csL  autre 
chose  que  la  qu.a^tit.j  (Jui.t  s'accroît  j  p».  '  t  chaijue 
UTiilé  de  teins,  Ji  vitesse  \\\\n  C(»rps  a!>ai^|G:"..i  ^  fi  la 
gravité  seule  '  ce  qu'on  a  tlcja  vu  i  J4  .;  ou  ,  si  on  \îiat, 
le  double  de  l'espace  f  n'ii  pan  ourl  pcn'.^t^r.t  la  première 
unité  de  tems.  Il  est  donc  f.i(:!e  c'o!)l(i  \v  ■<  valeur  <îe  j?, 
en  laissant  tomb»^r  un  corps  «l.^.ns  le  vklo  :  il  Cbl  vrtii  que 
cette  expérience  ne  peut  r^tre  faite  avec  lout-j  i'e\::j.liiude 
convenable  j  mai?  nous  verrons  bientôt  '  li^"-,  .\\  et  255) 
d'autres  procédés  plus  ri'TourPU'^,  qui  ont  <li  <  ^v^^oîlre  qu'en 
prenant  pour  unité  la  cent  millième  pnrlic --u  jour,  on  a 
^z=i  «7,322  mètres;  et  qu'en  prenant  ia  ...:obIo  sexagé- 
simale pour  unité ,  on  a 


MotJV*    REC-r.    ET   UNirORMÉM.    VARIE.  209 

gf  =  9^809  mètres ,  ou  §•=.  3o,2  pieds (g). 

ILa  attribuant  à  g  cette  valeur ^  on  a  donc  pour  les  cqua-^ 
tiens  du  mouvement  d'un  corps,  qui  tombe  dans  le  vide 

e=  — ;    \^  =  ^/{2ge)  j 

Lies  deux  dernières  sont  d'un  fréquent  usage }  elles  sont 
destinées  à  faire  connoitre  la  hauteur  e  dont  un  corps 
grave  a  dû  tomber  dans  le  vide  pour  avoir  acquis  la 
Vitesse  f,  et  réciproquement  :  v  est  ce  qu'on  nomme  la 
vitesse  due  à  la  hauteur  e. 

157.  On  peut  obtenir  ,  au  moyen  des  équations  {h) ,  la 
solution  de  tous  les  problèmes  relatifs  à  la  chute  des  corps 
pesans.  Nous  en  mettrons  ici  plusieurs  )  et  comme  l'usage 
de  la  seconde  sexagésimale  est  plus  familier  ^  nous  la  pré- 
férerons ^  et  nous  enfiploierons  les  équations  (g). 

I.  Combien  de  tems  un  corps  mettra-t-il  à  tomber  de 
400  ipètrcs  ?  L'équation  e  =^  ^^ ,  en  faisant  e  =  4^^  ^ 
donne 

e  =z=  ^ ,  d'oii  /  =  v/  (  -r- )  =  9>o5. 

4,904  '  ^  \  4,9<^4  /       ^ 

-Ainsi  ce  corps  emploiera  un  peu  plus  de  9  secondes. 

IL  Quelle  seta  la  vitesse  de  ce  corps  à  la  fin  de  sa  chute? 
V»  =  gr/  devient  ici  9  =  9,809  x  9,o5  =  88,67.  Autrement 
^•n  a  vtc=^  (2  g»)  =  v/ (19,618x400)  =  88,67.  Ainsi 
il  parcourroit  uniformément  88",67  par  seconde. 

IIL  Un  corps  pesant  ne  peut  parvenir  au  fond  d'un 
précipice  qu'au  bout  de  7^^,  quelle  en  est  la  profondeur? 
ï 'équation  c  =  ^  g^'  donne  pour  cette  profondeur 
^  =  4,904  X  49=  24o",5. 


.  / 


a  10  DrirAMiQUx. 

ly.  De  quelle  hamteor  fiiat-îl  qa'an  corps  pesant  tombe 
pour  Acrptérir  nne  vitesse  de  4o<^  P^i*  seconde  ?  L'éqosb- 

tion  €  =  lionne  e  =  -r-rr  =  oi56^. 

y.  Jusqu'ici  nous  n'aTons  considéré  que  la  chute  Hbrt 
d'un  corps  pesant  ;  mais  si  on  lui  eût  imprimé  une  yitesse 
initiale  f^j  dans  ce  cas  il  auroit  £itlu  recourir  aux  équa- 
tions (/)  j  ainsi  ^  en  prenant  pour  origine  le  point  de 
départ^  comptant  les  e  positifs  dans  le  sens  de  l'impulsion, 
on  auroit  y  suivant  que  cette  impulsion  seroit  dirigée  de 
hant  en  bas  ou  de  bas  en  haut 

v=  F+giy        e=  Fi  +  ige^, 
v=r— ^,       €=rt^ige. 

Arrétons-nons  an  second  cas.  Les  valeurs  de  y  et  e  uxnt 

formées    de   deux   termes,   l'un   positif,   l'autre  négatif^ 

dans  le  commencement  le  corps  montera ,  quelque  petitcr 

que    soit    l'impulsion^    mais    bientôt    gt    snrpafsera    W^ 

V  deviendra  négatif  et  le  corps  redescendra.  Pour  trouver 

le  liçu  et  Tiostant  où  cela  arrive ,  il  est  clair  que  e  étant 

de 
un  maximum  ,  il  faut  faire  =  o ,  ou  r  =  o.  Ainsi 

V  y 

tant  qu'on  a  /  < le  corps  monte  j  lorsque  i  = , 

on  a  e  r= ,   et   le   corps  a  atteint -son  maximum 

d'élévation  :  enfin  t  devient  > ,  et  le   corps  redes« 

S 
cend  ^  la  vitesse  v  alors   s'accélère  en  partant  de  f=o. 

2  V 
Si  on  fait  l  =   ,  on  trouve  f  =  —  V  et  e  =  o. 

%t  qui  prouve  que   le  mobile  emploie  pour  redescendre 


Problèmes  dk  mouvement  varié.  ai; 

na  point  de  départ  le  même  tems  qu'il  amis  à  s'élever, 
et  qu'il  a  en  sens  contraire  la  vitesse  de  projection.    . 

On  peut  donc  trouver  à  quelle  élévation  est  parvenu 
un  corps  jeté  verticalement ,  quand  on  connoit  le  tems 
Gcoulé  depuis  l'origine  de  son  mouvement  jusqu'à  l'instant 
de  sa  chute.  Par  exemple  ^  un  corps  qui  lancé  verticale- 
ment n'est  retombe,  qu'au  bout  de  1 8''*,  a  mis  nécessaire- 
ment 9"  à  s'élever  :  on  a  donc  pour  la  hauteur  cherchée 

e  =  i  g'£*=  4,904  X  8i  =  597)224  mètres. 

Nous  réserverons  dorénavant  la  lettre  §  pour  désigner  la 
force  de  la  pesanteur  ,  c'est-à-dire  9";8i. 

IV.     Applications  des^forrnules  du  Mouvement  Varié. 

Nous  allons  appliquer  à  quelques  exemples  les  formules 
(c)y  {d)  et  (e)  du  mouvement  varié,  pour  mieux  développer 
Jes  principes  dont  nous  avons  donné  l'exposition  (i  55). 

3r58.  Supposons  qu'un  point  matériel  placé  en  ui  soit 
aollicilé  par  deux  forces  }  Tune  tendant  à  l'animer  de  ji  Fîg.  9». 
Vers  B  d'un  mouvement  uniformément  varié  :  l'autre  ten- 
dant au  contraire  à  le  repousser  de  A  vers  D  ,  et  agissant 
^n  raison  inverse  de  la  distance  du  mobile  au  point  B  : 
cherchons  les  diverses  circonstances  du  mouvement. 

Soit  JlB=a  y  J[N^=  e  =   l'espace  parcouru  au  bout 

'iu  teais  /  :  si  on  désigne   par  x  la  force  accélératrice  qui 

provient  de  la  répulsion  du  mobile  de  N  vers  D ,  et  par  m 

^*  valeur  de  cette  force  à  l'unité  de  distance  du  point  B ,  on 

,       .     ^         '        ,              .       ^NB       a+e         m 
^^ra ,  par  la  nature  de  la  question ou :^ } 

donc  x=:   -.  Soit    enfin   g  la    force    accélératrice 

constante  qui  agit  sur  le   mobile  de  N  vers  B.  La  force  ^ 
4*^i  aaimc  en   effet  le  corps  au  bout  du  tems  /,  est  la 


2L2  Dynamique. 

différence  entre  ces  deux  forces^  d'où  ^  =  ;^  — g^j  don^ 
on  a  les  trois  équations 

ç  r=  ' g^   çde  ==  ydy ,    ik=.pdty 

entre  lesquelles  il  s'agit  d'éliminer  deux  des  quatre  ra— 
riables  e^  iy  y  et  (p.  La  seconde  et  la  première  donnent 

ydy  =  f ij^^y  ^'^^  A^»=m  log(a+e) — ge+C^ 

Pour  déterminer   Cy  obser\'ons  qu'au   point  ^ • 

on   a  f=o,c=:05  on   en   conclut  C  si  —  m  log  fl- 
Donc 

>'  =  ±:V/{  amxlog  ( J  —  2^  \ (/)> 

équation  qui  détermine  la  vitesse  que  le  mobile  a  acquise  > 
après  avoir  parcouru  l'espace  e.  Pour  obtenir  tmc  xel*^ 
tion  entre  e  et  i  y  il  faudroit  mettre  ici  pour  y  sa  valci:^^ 

—7—,  et  intégrer  de  nouveau. 

i5g.  Le  problème  que  nous  venons  de  résoudre  se  pré^ 
sente  dans  une  circonstance  remarquable.  Si  un  corps  p^^ 
îMç  Ci.  sant,  tel  qu'un  piston  ,  ferme  un  cylindre  ou  tube  indétic»^^ 
BD  y  ouvert  seulement  à  l'extrémité  Dy  et  si  la  partie 
contient  un  fluide  élastique  comprimé^   il  est  clair  y  qu'ei 
faisant  abstraction    du  frottement    du    piston   contre  le 
parois  du  tube ,  ce  piston  sera  soumis  à  l'action  de  la  p 
sauteur  et  de  la  pression  de  Pair  extérieur  qui  tendront  à 
le  faire  descendre  avec  une  force  constante  g  y  et  à  la  force 
répulsive  du  fluide  élastique  :  or  on  sait  que  le  ressort  du 
fluide  est  d'autant  moindre  y  que  l'espace  qui  le  contient 
est  plus  grand,  ou  que  le  piston  est  plus  éloigné  deB} 
ainsi  la  force  provenant  de  la  vaptw  expansive  agit  eo 


\ 


-^ 


PROBLiMES  JDE   MOUVEMBrri*   VÀKIÉ.  il 5 

raison  inverse  de  la  distance  du  piston  mobile  an  point  B> 

Pour  obtenir  le  maximum  de  vitesse  y  il  faut  égaler  à 

dy    ' 
téro  la  valeur  de  —r-  «  et  déduire  ensuite  celle  de  a  -f-  e  : 

dt  ^  , 

>!*  cela  revient  à  supposer  que  la  force  ^  z=  o  ^   et  on 

i .  4ï  +  e  == •    Passé  ce  point ,  v  diminue^  le  mouvc- 

Q-ent  devient  retardé  et  même  il  est  nul  lorsque 


log  ( j  =  ^  j    ensuite  le  mobile  revient 


sur 


es  pas  et  oscille  indéfiniment. 

On  trouve  un  exemple  bien  simple  de  cette  espèce  de 
mouvement  dans  les  armes  à  feu  :  on  sait  que  Finflamma-- 
ion  de  la  poudre  développe  une  grande  quantité  de 
vapeur  c^xpansive  ^  qui  j  contrainte  dans  un  espace  étroit  ^ 
chasse  avec  force  le  projectile.  Si  on  suppose  que  e=.AD-=, 
la  distance  de  l'orifice  du  canon  y  au  point  de  départ  dé  la 
balle  j  a-^-e  est  la  longueur  totale  BD  de  ce  canon  y  et  y 
désigne  alors  la  vitesse  du  boulet  au  sortir  du  canon.  La 
longueur  qu'il  convient  de  donner  au  canon  pour  que  cette 

"altesse  soit  la  plus  grande  possible ,  est . 

On  peut  faire  abstraction  dé  la  résistance  de  l'air  et  du 
Poids  du  boulet  y  qui  altèrent  peu  la  vitesse  jusqu'à  l'ori- 
Sce  D  du  canon  :  ce  poids^st  d'ailleurs  nul  lorsque  l'axe 
îu  tube  est  horisontal.  Si  on  fait  ^  =  b ,  on ,  ce  qui  re- 
tient au  même  ^  si  on  ne  suppose  dès  l'origine  du  calcul 

l'autre  force  que  je  =      ■  ■      ,   on  a 

♦'  =  v/{  2m.log  (^lilf^J {k). 

i6o.  Soit  en  D  un  point  matériel  sollicité  par  une  force  71%.  «ï. 


/ 


?l4  DVKAMIQVE. 

accélcralrlçe  ,  agissant  de  D  vers  B  en  raison  inverse  èa 
carré  de  la  distar.ce  de  ce  mobile  au  point  B  :  cherchons 
les  circonstances  du  mouyemenl. 

Soit  BD=.ay  DN-:^e:=z  l'espace  parcouru  au  bout 
du  tems  4  :  lorsque  le  mobile  sera  parvenu  en  iV,  la  dis- 
tance BN  sera  a  —  e  ;  désignons  par  m  la  valeur  dç  la 
force  attractive  ç  lorsque  le  mobile  est  à  r.unité  de  distance 
du  point  B  )  les  conditions  de  la  question  exigent  qae 

Ç  m  m  1  .  . 

= 7   =         ■  :  on   a   donc  ict 

I»  jç^v  (û  — «)• 

ç  :^  — ._ _-_     ^i/e  s:  ydv ,  vdt  =  de, 

(a  —  e)* 

On  élimine  la  quantité  ^  entre  les  deux  premières,  et  on 

mde  2  m  ^ 

a  vdv  rr  9   d  ou  on  tire  v*  s=  +  ^* 

(a  —  ey  a  —  e 

Supposons   qu/à    l'origine   jf> ,    Iç  mobile   n'étoit   aiiimc 

d'aucune  vitesse,  c'esl-à-dire  n'avoit  reçu  aucune  impur 

sion  j  on  avoit  donc  en  même  lems  cz^  o  et  ç»  r=  o,  ainsi 

C  ^=z ^  en  substituant  et  réduisant  on  obtient 

a 

' = K(^)  ■<  t^(^) <"• 

Pour  obtenir  la  relation   entre  e  et  /,  il  suffit  de  mettre 
pour  {^  sa  valeur  -—  ,    et  d'intégrer 


I 


dt 
dt=\/(    "^A  l/(''"""^Vg  :    or  pour  faciliter 

rintégration  ,  il  importe  de  laisser  le  radical  au  dénonima- 

a  —  e  .        ♦ 
teur  seul  j  nous  multiplierons  donc  la  fraction haute 


a  — e 


bas  par  a  —  e ,  et  le  radical  sera  — ■ ;  donc  on  ^ 


I        Paoblêmes  »e  mouvement  varié.  2i5 

J/  =  l/  (^— ^;^  X    ^.^  ^  I  ,  ■  'de. 

Y     \  %m  J  y  i^ae  —  é')  , 

On  chasse  ae  du  radical ,  en  faislant  e  =:  ç  a  —  z ,  ce 

oui  donne  à  intëérer  la  fraction         ".*  —        -'  dz.  qui 

se  partage  en  /  '  "•'  -^  "  .    =  l/  (  î  a»  —  2*  )  ?  et 

/,  "7  ^  ^  ^  •  ;  =5  ^  a  •  àPC  (  cos  ==  —  )  j  la  constante 

est  nulle  parce  qu'on  a  à-la-fois  c==:o,  /=;=o,z=^<ij    . 
remettant  pour  z  sa- valeur  ^a  — e^  on  en  conclut  .     . 

Newton  a  dopné  une  construction  trèjs-élégante  de  cette 

....  •       * 

formule.  Soit  décrit  sur  Z>^  =  a  .comme  diamètre  un   f ig.  93. 
demi-cercle  DMB  ;  Tabscisse  DN  étant  =  e .  rordon-r 
née  NM  est  comme  on  sait  =y(^(^ieT-r.e*) j  de  plus, 
DM  est  Tare  dont  le  si|iu$  verse  est  ç,  dans  U  cercle  DJI^ffi 
dont  le  rayon  est  ^  aj  donc,  NM -^ MD  refrésenie  le 

*  »  .  * 

second  facteur  de  la  valeur  de  / ,  et  on  a 

Les  valeurs  ci-dessus  de  ^^  et  de  /  donnent  la  solution 
complette  du  pfo^lé^iè'pfôposé,  et  renfcripént'toute^  tés 
circonstanoes  particulières  du  mouvement.  Si  on  fait  c=a  y 
on  obtient   . 


^     r.  '.'  *''      ''  ■      '•'*■      !•♦:*»'#-»'*-)  ,î  r«.-   .  > 


=  «,,et/=l/('-^\x-^. 


ti 


La  vitesse  du  point  mobile  au  centre  ^  \il*attractioti  tsk 
donc  infinie  )  'ce  ^  est  ailé  à  cbncèyôilr  ^'  puisque  rintèn* 


■  ^ra 


gUéde  k  pniiBai^e  cralt  d'«Btuit  ]p|iit  que  le  mobile  est 
phit  Tonb  dtt  wiiUy  La-  aeOttde;  «qproricm  doBne  lé 
tems  nécenane  poor  «imcr  à  ce  centre^  die  est  jMtipoi^ 
tkmneDe  k'é\^^f^'%^^^*t  9iamkskms  effrayés  par 
deux  cmfê  gBOtdni  Al  niff^,^^^  au  oetura' 

dattntedanj  tmit  tnon  eux  comme  lis  racmês  carrées 
des  cubes  de  leurs  disiames  HiMaks  à  cè^cemre. 

^  i6i.  On  a  nommé  Fbrùe  CéàUrqpèie  cette  force  d^'at- 
tnurtkm  vers:  ixk  centre  6x^j  .1^  observations  Im  ploi 
constantes  établissent  qoe  l'attraction  est  une  des  pco- ' 
1  pMtés  dont  jouit  la  iaàicris  (ric^  nK  187)  }  on  a  niitfiè 
raconim'  qaé  flonr  deux  points  matôieh  de  misses  i^ales  ^ 
cette  attraction  a  Uea  en  raison  inversa  dn  cairé.  de 
hnt$  distPices.  Le  proUâne  que  \sbiis  Venomdè  résoiidre 
s'appBqne  anx  corps  qm  pèsent  sur  notre  ^pbe,  car  noBS 

*'  é0faii£i)e  tut'èas  "paiiîciilîer  de  ratiite:t»[m  nnÏTeraelIe^  S 
Aé'Hfiiift-  poib-'cebi  qae'  donner  ^  k  constante  m. Wîralrar  . 
cdnvenàblé  t  bfHok  r  le  rayon  tërrésfî^^^^  là  pesanii^'a 
lu  surCsicej'^iiisi^e  m  et  ^  sont  les  râleurs  de  la  force 
d'attraction  kvct  distances  x  et  r.  dû  centre  de  la  terre , 

on  a =  -^  ,  mettant  donc  r^g  pour  m ,  notre  for- 

mule  devient  '  x. 


•  •  I 


et  si  e  est  très-petit 'par  rapport  à  a,  l=  — 1/    f V 

r  '  •*    ■'■■■  ■    ' 

ifo.  Lorsqu'un  cofps  se  meut  dans  un  fluide ,  il  est 

R^^iî^'^-nW^PJ^ÎT  *^H^  JB^^^  4^,l^:%?9^:^^  ^  puissaace 


i 


i.S 


-      ^  ; 

Paoblâmks  bs  mouvement  VAiai.  ai^ 

faire  entre  elles  un  passage  y  et  se  mouvoir  :  e'est  ce  qui 
sera  i^endu  manifeste  après  que  nous  aurons  traité  du  choc 
des  corps  (219^  i^.).  Cet  effort  employé  par  un  corps  qui  se 
meut  dans  un  fluide  ^  est  visiblement  dirigé  dans  le  sens 
même  de  son  mouvement^  il  dépend  de  la  vitesse  qui 
l'anime.  La  résistance  du  fluide  peut  donc  être  assimilée  à 
une  force  directement  opposée  au  mouvement  du  corps  y  et 
variable  avec  sa  vitesse  suivant  une  cert^ne  loi  :  de  sorte 
qu'on  peut  considérer  un  corps  mu  dans  un  fluide  y  comme 
mis  en  mouvement  dans  le  vide  ;  pouivu  qu'outre  le  sys- 
tème de  forces  qui  agissent  sur  lui  y  on  en  conçoive  une 
de  plus  qui  exerce  son  action  en  sens  contraire  du  mou- 
vement^ et  dont  l'intensité  soit  dépendante  de  la  vitesse 
du  mobile.  Quant  à  la  loi  que  suit  cette  dépendance  ^  on  a 
coutume  de  prendre  la  force  retardatrice  de  la  résistance 
du  fluide  y  proportionnelle  au  carré  dt  la  f^ijfesse.  Voyez  à 
cet  égard  ce  qui  sera  dit  (223)*  fflt^- 

Cela  posé  y  analysons  le  mouvement  d'un  corp^'  'pesant 
lancé  verticalement  de  bas  en  haut  dans  l'atmosphère  avec 
une  vitesse  F  :  d'après  ce  qui  vient  d'être  dit,  ce  corps 
pourra  être  considéré  comme  animé  par  deux  forces  y 
savoir  :  i  °.  la  pesanteur  g  y  qui  tendra  à  le  t^ûre  descendre 
et  qui  sera  dirigée  en  sens  opposé  de  la  vitesse  imprimée  F  5 
2°.  la  force  re^rdatrice  du  fluidf  ^  dont.la  v^i^r  au  bout 
du  tems  /  sera  représentée  par  mv"^  ^  if  it^^t  la  yitesse  du 
corps  à  cet  instant  ^  et  m  n^  co^flKcieat  c(^^^t  q^  dé-«> 
pend  de  la  nature  4u  fluide  ^t  de  la  forme  d^  c^p^î^  c'est 
la  valeur  de  cette  force  Iprsqvie  U  corps  a  u|^  vU^^é^le  h 
l'unité.  Cette  pui&sancç  étant  dirigéi»  daqi  W  n^^l(^  ^^^^ 
que  la  gravité,  on  n'a  qu'âne  force  =-^  {g ^-^  m*"^)  f  ^^ 
cause  qu'elle  agit  en  se^ns  contraire  de  l'impulsion  primi- 
tive :  cette  impulsion  entrera  d'ailleurs  bientôt  en  considé- 
ration }  elle  ne  fait  pas.  partie  des  forces  qui  agissent  ,au 


si8  Dtkàmiqve. 

bout  du  temi  t.  Ainsi  on  a  les  trois  équations 

En  mettant  pour  ç  sa  valeur  dans  les  deux   dernières  y, 

on  a 

di^  ,  — ydv 

Il  est  facile  d'intégrer  ces  deux  équations  ^  et  on  obtient 

V^ (mg) .  /  =  C  —  arc  ^  tang  =  (^y.y^^^ 

2  me  =  C  —  log  (g  -f-  mv»).. 

X^es  constantes  C  et  C  se  déterminent  en  observant  que 
la  question  exige  qu'on  ait  en  même  tems  <  =  o,  e=:o, 
l^=  f  j  nous  ferons,  pour  abréger,  la  constante  m-=.a*g: 
nous  anrons  donc   C  =  arc  (tang  ziz  aV)  et 

Ç'  =  log  /  g  {i  +  a'  ^*)}  j  ce  qui  Iransfoniie  les  valeurs 

ci^dessus  en 

agt  =  arc  (tang  z=.  aV)  —  arc  (tang  =i  av^, 


Ces  deux  valeurs  servent  à  faire  connoître  l'espace  parcouru 
par  le  mobile,  et  sa  vît-esse  au  bout  du  tems  /  :  elles  doivent 
remplacer  celles  que  nous  avons  trouvées  (if>6  et  iSy) 
puisque  nous  y  avons  fait  abstraction  de  la  résistance  du 
fhiide*  Si  on  fait  v  =  o  ,  on  a  pour  la  plus  grande  éléva- 
tion E  y  à  laquelle  le  mobile  puisse  parvenir  en  vertu  de  sa 
force  de  projection  j.  et  pour  le  tems  T*  qu'il  y  emploie 

^a^gE  =zloQ  (I  -H  a^y^)y   agTz=i  arc  (lang  =  â^;. 

■ 

Parvenu  à  son  maximum  d'élévation ,  le  mobile  a  épuisé  sa 


f 

Problèmes  bk  mouvement  varié.  2iji 

vitesse  de  projection^ il  redescend  donc  :  mais  ici  la  force 
retardatrice  de  la  résistance  du  fluide  agit  tout-à-coup  en 
sens  opposé  y  et  les  équations  auxquelles  nous  venons  de 
parvenir  n'ont  plus  lieu  :  ainsi  le  mouvefîient  n'est  plusi 
assujetti  à  la  loi  de  continuité. 

Pour  analyser  ce  cas,  pk>posons-nous  de  chercher  le 
^  mouvement    d'un    corps  pesant   lancé    verticalement  de 
haut  en  bas.  La  force  accélératrice  est  alors  g  —  rm^  ^ 
et  on  a 

dv  yd^ 

d'oii  on  conclut  dt  =  ■  ■  ■  •    et  ^e  =  — 

g—my*  ^  — 


my} 


a  * 


faisant,  comme  ci-dessus  ,  mzsza^gf  puis  supposant  pour 
intégre/  la  première  af  =  m  ,  oil  a  agdt  1= , 

I  —  M* 


ce 


qui  donne  a  agi  =  C  +  'Ipg 


I  +  u 


:  on  trouve  donc 


u 


2,  ai 


Comme  /  =  o ,  donne  e  =  o  et  f  =  ^'   on  trouve 


Donc  enfin  on  a  pour  les  équations  du  mouvement 
«  6  «(1— «,.)   (x+af)/ 


/ 

220  Dr?rAMIQUE. 

Dans  le  cas  où  le  mobile  auroit  été  abandonné  à  TactioB 
de  la  gravité,  sans  avoir  reça  d'impulsion,  il  suffiroit 
de  faire  dans  ces  formules  Vz=.  o  ^  ce  qui  donne 

2«gt=logr-p— ^J  9  aa'^=— log  {(I— ûf;  'i  +«!';}• 

Consultez  la  fin  du  n^  222. 

Dans  le  problème  précédent  la  vitesse  du  mobile,  lorsqu'il 
est  revenu  au  point  de  départ,  n'est  plus  f^comme  (167,  V); 
pour  Tobtenir,  il  faut  mettre  ici  E  pour  e  \  on  trouve.  • . . 
V 


v/(i+û'  v^y 


CHAPITRE  IL 

Du    MOUVEME>T    d'UW    POI^T    EN    LIGNE    COURBE. 

I.     Propositions  générales. 

i65.  V  oin  comment  la  notion  du  mouvement  curviîignf 
peut  être  déduite  des  premiers  cicinens  de  la  Mécanique, 
^'i-  94»  Soit  AB  la  direction  d'une  force  cjui  donne  une  impulsion 
au  point  mobile  A  :  il  parcourra  uniformément  cette  ligne, 
si  aucune  cause  n'altcre  son  mouvement.  Mais  suppo- 
sons que  parvenu  en  /? ,  ce  point  soit  soumis  à  l'action 
d'une  autre  force  qui  lui  communique  dans  le  sens  BD 
une  impulsion  ;  en  formant  le  parallélogramme  BCED  y 
sur  les  parties  BC  y  BD  y  proportionnelles  aux  vitesses 
imprimées,  on  sait  que  le  coq)s  décrira  la  diagonale  BE. 
Si  de  même  le  mobile  reçoit  une  impulsion  suivant  GE y 
il  parcourra  EF  et  ainsi  de  suite.  On  voit  donc  qu'il 
décrira  le  polygone  ABEF  :  mais  si  on  suppose  que  les 
intervalles  de  tems,  qui  séparent  ces  diverses  impulsions. 


Mouvement  cuRViiiicwE.  221 

sont  plus  courts ,  le  polygone  aura  de  plus  petits  c^tés  ; 
de  sorte  qu'il  est  facile  de  voir  que  le  mobile  décrira  en 
effet  une  courbe;  si  les  forces  agissent  sans  interruption. 

164*  ^1  suit  de  là  que  le  point  mobile  qui  décrit  un 
polygone  ABEF  doit  continuer  à  décrire  uniformément 
le  dernier  côté  EF  j  si  aucune  force  ne  vient^agir  de 
nouveau  j  et  que  par  conséquent  lorsqu'un  mobile  décrit 
une  courbe,  si  à  un  instant  quelconque  Vaction  des 
puissances  cesse  tout-^^coup ,  le  mobile  doit  parcourir 
uniformément  la  tangente  à  cette  courbe  ^  au  point  où 
les  forces  ont  cessé  d'agir  sur  lui.  En  effet,  on  peut 
regarder  chaque  élément  de  celte  courbe  comme  le  côté 
infiniment  petit  d'un  polygone.  Ainsi  le  corps  change  à 
chaque  instant  la  direction  de  son  mouvement ,  qui  est 
celle  de  la  tangente. 

I:<orsqu'un  corps  décrit  une  courbe  en  vertu  de  l'action 
de  certaines  forces  ^  pour  se  faire  une  idée  de  ce  que 
désigne  le  mot  vitesse,  il  faut  supposer  ^e  la  courbe  est 
rectifiée,  et  que  tout-à-coup  les  forces  cessent  d'agir^ 
l'espace  décrit  par  le  mobile  durant  l'unité  de  tems  est 
sa  vitesse  à  l'instant  où  ce  changement  s'est  produit.  Soit 
donc  KMZ  la  courbe  que  parcourt  un  point  matériel  :  pig.  k 
si  au  bout  du  tems  t  le  corps  est  parvenu  en  M ^  en 
nommant  s  l'arc  KM  décrit ,  si  tout-à-rcoup  les  forces 
cessent  d'agir,  le  corps  devra  décrire  uniforhiément  la 

tanr^ente  MH ,  avec  une  vitesse  v  = • 

dt 

i65.  Quelles  que  soient  les  forces  qui  agissent  sur  un 
mobile,  on  peut  toujours  les  décomposer  en  trois  autres 
parallèles  à^trois  axes  rectangulaires;  il  est  clair  que  chaque 
composante  aura  un  effet  indépendant  des  deux  autres 
(146,  5**.),  et  que  par  conséquent  on  peut  appliquer  à 
chacune  ce  qui  a  été  dit  des  mouvemens  rectiligoes.  C'est 


l^r  ra  utoyttn  qu'on  parvient  â  conacSbe  I0  propriétés 
du  iMOUVtftnant  d'un  point ,  et  bi  natcre  de  la  lieiie  qa^ 
pariuuil  (qu'on  iioinme  Trajectoire; j  lorsque  ks  forces 
qiù  affÏMeat  fcur  lui  font  données  en  grandeur  et  en 
dirmiiou.  \*t  iitouveinent  curviligne  se  réduit  par  la  m- 
liiiulUiuent  &  deux  ou  trois  mouvemens  rectilignes,  selon 
quu  lu  4:uui-he  décrite  est  à  simple  ou  à  double  courbure. 
Eu  cffol ,  en  rapportaut  cette  courbe  à  des  coordonnées 
rcciuuguluirciK ,  il  est  clair  que  la  détermination  du  point 
de  la  trajectoire  où  ce  mobile  se  trouvera  à  chaque 
iiislaal,  dépendra  de  la  valeur  de  ses  coordonnées  au 
uiùtiic  i  us  ta  ni  :  ilo  s(»i'te  que  chacune  de  ces  coordonnées 
sera  une  fonction  de  tenis  ;  et  pourra  représenter  l'espace 
rcctilignc  jKircouru  par  uu  mobile  qui  seroit  la  projection 
du  vrai  mobile  sur  chacun  des  axes  coordonnés* 

Ainsi ^  lorsque  la  trajectoire  est  plane,  le  mouvement 
pourra  être  représenté  par  les  deux  équations  x'=.Ftj 
j  z=.f£  j  qui  seront  celles  des  mouvemens  rectilignes  de 
deux  mobiles  suivant  les  axes  des  x  et  des  jr.  En  élimi- 
nant /  entre  ces  équations ^  on  obtiendra,  en  x  et  enj^', 
une  relation  qui  sera  l'équation  de  la  ligne  parcourue  par 
le  mobile,  puisqu'elle  exprimera  une  condition  indépendante 
du  tcms  /,  entre  les  variables  x  et  j-.  De  même  si  la 
trajectoire  est  à  double  courbure,  le  mouvement  sera 
représenté  par  trois  équations  xz=zFt,j^-=:ftj  zz=ij^t'y  en 
éliminant  /,  on  obtient  deux  équations  en  x,^  et  ^,  qui 
sont  celles  de  la  courbe  à  double  courbure  que  décrit  le  corps. 

Tout  ceci  s'éclai^cira  par  la  suite.  Il  ne  s'agit  que  de 
di^duire  les  équations  x  zz  F( y  j- z=:ft ^  zz=:^t  de  la  nature 
dies  puissances,  ou  plutôt  trois  équatioî»s  entre  les  quatre 
variables  x  y  jr^  z  et  /  5  c'est  ce  qui  va  cire  développe. 

166.  Soient,  au  bout  du  tems  /,  P\  P" , ...  les  forces 
continues  qui  agi^sscnt  sur  le  mobile ,  «';  u" ,»  •y  C,  ff". .  . 


MoUYEMBIfT   CVUVILIGNii* 


22$ 


y'^  y^»  •  •  •  les  angles  formes  par  leurs  directions  avec  les 
axes  respectifs  des  x^j  et  z^  Décomposons  chaque  force 
tVL  trois  autres  parallèles  à  ces  axes  ^  ce  qui  donne  ^  d'après 
ce  qu'on  a  vu  (î24)  ?  ^rois  forces  A",  K  et  Z,  qui 
agissent  ensemble  sur  le  corps  ^  et  lui  impriment  une 
impulsion  élémentaire^  chacune  dans  sa  direction»  On  al 

-y  =  P'  cos  tff  -f-  J?"  cos  «t"  +  etc 
K  =  P'  cos  V  +  P'^  cos  Çf^  +•  etc 
Zz=2P'  cos  y'  +  P"  cos  y'^  4-  etc 

Il  est  inutilç  de  dire  que  chacune  de  ces  composantes 
cloit  être  prise  avec  le  signe  qui  lui  appartient^  et  qui  Sft 
détermine  d'après  les  considérations  développées  (26)*    . 

Au  bout  du  tems  /^  le  mobile^  placé  sur  sa  trajectoire 
au  point  qui  a  a:  ^  j*  et  z  pour  coordonnées  y  a  donc  dans 

le  sens  des  x  la  vitesse  -r-r—  ;    de  sorte  qu'en  ce  point 

on  peut  concevoir  ce  mobile  comme  en  repos  ^  et  rece- 
vant dans  le  sens  des  x  une  impulsion  qui  lui  imprime 

dx 
la  Vitesse  — -r — .  Cette  vitesse  doit  s'accroître  par  l'effet 

des  forces  continues  P',  P'i^. .  • .  de  d(  — — V  durant  le 


tems  dt  y  ainsi  elle,  devient 


dx 


+  d 


'(^) 


Or    la 


Vitesse  qui  est  imprimée  au  corps  dans  le  sens  des  x  {dy  162)^ 

'  dx 

est  en  effet  — ; |r-  Xdt  ;  et  comme  les  effets  des  forces 

dt  ^ 

de  directions  rectangulaires   sont  indépendans  (i45)  ,  les 

puissances  V  ei  Z  ne  changent  rien  à  cette  vitesse.  On 

eu  conclut  gue  les  vitesses  JUt  eidC         j  sont  égales. 


i^n  {^rouv^roU  1»  ménui  cho§e  psr  rsfpceiL  ans  xsss  dcsj" 


(6'}. 


^</< 


=<-2-) 


ou  bjt-u,  eu  pi'«uaut  Jt  coustaiit^ 

Telles  sont  /e^  équations  générales  du  mouvement  libre 
d'un  point.  Elles  doivent  être  employées  à-Ia-fois  lorsque 
les  forces  P',  P" . . .  sont  dans  des  plans  difFérens  :  mais 
deux  d'entre  elles  sufliseat  dans  le  cas  contraire  i  elles 
remplacent  d*ailleurs  les  équations  x:^,Ft,  J'^=Ji ,  z=z^ty 
dont  nous  avons  parlé  dans  le  numéro  précédent,  qui 
appartiennent  aux  mouvemens  des  trois  mobiles  suivant 
les  axes  ,  de  manière  à  être  la  projection  du  vrai  mobile 
à  chaque  instant. 

167.  Les  équations  (b*)  ou  (c')  servent  à  faire  connoître 
toutes  les  circonstances  du  mouvement  d'un  point  matériel 
libre,  et  soumis  à  l'action  des  forces  continues,  données 
à  chaque  instant ,  en  grandeur  et  en  direction ,  c'est-à- 
dire  servent  à  assigner  la  vitesse  du  mobile  et  son  lieu 
à  un  instant  déterminé  ,  ainsi  que  sa  trajectoire.  En ^ff et , 
supposons  pour  plus  de  simplicité  que  les  forces  soient 
dans  le  plan  des  xy  )  -Y  et  1^  étant  constans  ou  variables , 
mais  donnés,  il  ne  s'agit  que  d'éliminer   le   tems   entre 

if  s  deux  équations  —j-^  =  -^;  ~/  ~  =  ^  '  ^^  ^^  conçoit 


MOUYEMKNT    CURVILIGNE»  2^5 

ce  calcul  effectue^  ainsi  que  les  iptégrations ^  on  aura 
tinc  équation  entre  x  et  y  y  qui  sera  celle  de  la  trajec- 
toire. On  pourra  ùiênie  obtenir  de  semblables  relations 

entre  a:  et  Y,  et  r  et  /.  Lés  valeurs  de  — t-.j   — r-  don-* 
^       *•  dt  ^'     dt 

lieront  les  vitesses  du  jnobile  dans  le  sens  des  x  et  desj's 

on  en  concluera  sa  vitesse  réelle  y  qui  est 

'=^=i/{(-^)"+(4)"}- 

ïlnfîti  les  équations  entre  a:  et  /,  j"  et  /,  donneront  la 
position  du  mphile  pour  cha^e  valeur  connue  du  tems  /• 

Nous  aurons,  par  la  suite ,  plusieurs  occasions  d'ap- 
pliquer les  équations  {b'y  d)'y  nous  ferons  seulement 
observer  que  chaque  intégration  introduit  une  constante  s 
"on  aura  donc  quatre  constantes  arbitraii'es ,  dont  deux 
seront  déterminées  par  la  valeur  de  la  vitesse  qui  avoit 
lieu  à  un  instant  donné  y  tel  qu'an  commencement  du 
tehis  i  :  les  deux  autres  dépendront  des  coordonnées  du 
xno1)ile  à  un  instant  quelconque  c[ui  pourra  être  le  même 
que  le  précédent.  Ces  principes  deviendront  plus  lucides  à 
]'aide  des  diverses  applications  que  nous  en  ferons  :  nous  né 
les  énonçons  ici  que  pour  faire  Sentir  toute  l'importance  des 
équations  {b'y  d)'y  et  pour  faire  voir  en  mén^e.tems  que, 
quoiqu'elles  ne  dépendent  que  des  forces  accélératrices, 
elles  renferment  néanmoins  implicitement  la  vitesse  et  le 
lieu  du  mobile  au  commencement  du  mouvement. 

168.  On  peut  employer  le  calcul  précédent  pour  assi- 
gner la  vitesse  du  mobile  à  un  instant  déterminé;  mais 
il  n'est  guère  praticable  que  lorsque  Xy  V  et  Z  ne  sont 
pas  fonctions  de  Xy  j"  et  z.  Ainsi  il  est  plus  élégant 
d'employer  la  formule  suivante.  Multiplions  la  premier© 
des  équations  {c')  par  dxy  la  seconde  par  d^y  ^^  troisième 

i5 


X 


^ 


&a6  l)TlfÀMlQtjX« 

«.      •  •      •  •    . 

.par  dz  •  et  ajooUnu  :  il  Tient 

Or  le  numérateur  du  premier  meitibreiest  la  dIffiSreii* 
tielle  de  |  (^x'+^^+dls*)  oxkdjt^.ds^i  donc  en  intégrant 

on  a  j 

^  =  >'»=^  +  2/(  jirda:+ r4r+  zdz) {ê). 

Pour  que  cette  éqo^tion  paisse  être  appliquée  à  des  gît-* 
constances  de  mouvement  ^  il  &at  que  Xdx  -j-  Yd^^^^Ziâg 
soit  une  différentielle  exacte.  Si  donc  on  considère  JT^ 
Kçt  2r  comme  des  fonctions  de  jt^j^  et  x ,  indépendantes 
àt  t  y  elles  devront  satisfaire  aux  conditions  suivantes 

dX  _^   dY        dX^  _  ^      dï^  _  dZ 
1f^   dx   ^     dz    '^    dx  ^     dz ^••••^^^' 

e^  OU  pourra  regarder  Xdx  -J-  Yd)r  +  Zdzy  comnlie  li 
différentielle  d'une  fonction  ;j;  de  x,  j-  et  «  facile  à  trouver; 

c'est-à-dire,  qu'on  a  Xdx^  Ydj^Zdz^sidx  j 

« 

^  =  A  +  'JLjc {d'). 

La  valeur  de  la  constante  A  dépend  de  la  vitesse  initiale 
.du  mobile  y 'OU,  en  général,  de  sa  vitesse  à  un  instant 
quelconque  :  ce  résultat  nommé  principe  des  forces  vives 
(2i8)"e8t  sur-tout  remarquable  eu  ce  qu'il  fait  voir  que  la 
vitesse  est  indépendante  de  la  trajectoire.  Voyez  le  n®.  204* 

D  est  inutile  d'insister  pour  faire  voir  que  lorsque  la 
trajectoire  située  et  dans  le  plan  des  xy  ,  cette  dernière 
équation    a   lieu  j    mais  qu'alors    d^  =  Xdx  +  Ydy  et 

V«  (<>  )  ?*  réduit  a  -j—  =  — -  ;   Jï    et    K   sont 


Mouvement  curviligne»  aay 

d^ailleurs  supposées  des  fonctions  de  x  eijr  y  indépendantes 
du  tems  t. 

169.  Si  le  mobile  n'est  soumis  à  l'action  d'aucune  force 

accélératrice  ^  c'est-à-dire  s'il  ne  se  meut  qu'en  vertu  d'une 

impubion ,  on  a  A'=  o  7  Kc=o  ,  2^=  o  :  d6nc  v^szzA  ^ 

ainsi  la  vitesse  est  constante.  Les  équations  {c')  donnent 

àx  dr  dz  ,,        .    ; 

— ; —  =  c  ,       ,      =  c'  y   — ; —  =  c''  ;    a  ou    on    tire 
€Ù  ^      dt  ^      dt  ' 

dx  c  dx  c 

— ; — =:: — 7-  ;   — ; —  =  — ^r-  ;  les  équations  des  proîec- 
dy  c*  dz  c"  ^  '^    ' 

lions  de  la  trajectoire  sont  donc  c'ax=^-4-c;^,  c'^ xzzzB-{-cz; 

ce  qui  fait  voir  que  le  mobile  a  un  mouvement  reçtiligne 

et  uniforme  ;  proposition  d'ailleurs  évidente  (4)« 

lyo*  Les  équations  (c')  conduisent  à  une  conséquence 
remarquable.  Pour  la  rendre  plus  facile  à  saisir  j  nous  sup- 
poserons d'abord  que  la  trajectoire  est  dans  le  plan  x^  : 
on  ne  doit  alors  employer  que  les  deux  premières  valeurs  (c')« 
Multiplions  -  le»  respectivement  par  ys  tX  x  y  puis  sous- 

trayons  j  il  vient  ^ -r-^ =  ^jr  —  Yx  )  inte- 

grant^  on  a 

jdx  —  xdy   _  ^   .  y,,j^  ._  Yx)du 
dt  X  j  \    j 

Or  Xjr  —  Yx  n'est  nul  que  dans  deux  cas  :  i".  lorsqu'on 
a-Y=o  et  K=o,  c'est-à-dire  lorsque  le  mobile  n'est 

Y  r 

mu  que  par  une  impulsion  ^  a*,  lorsque  -=r-  =   -^^—  ; 

Y 

or  -yr  est  (18,  V)  la  tangente  de  Pangle  que  forme  avec  l'axe 

des  or  la  irésultante  des  forces  F  et  A^^  on  la  puissance  qui , 
anime  le  corps  au  bout  du  tems  t  )  -^^—  est  la-  tangente 

3C 


9a8  DriTÂMiQui'» 

de  rangle  q»  feime  irrec  Taxe  des  Xp'l^'Ugnt  meiil^ 
de  Voripne  (le  rayon  vecteur)  au  mobile  à  cetinsUiitt 
puisque  ces  angles  soat  égaux ,  il  s-ensnit  que*  cette  pnii- 
saoce  est  dirigée  vers  J'origine  t  ce  dernier -cas  est  cehd 
du  système  du  monde  ^  ainsi  que  nous  le  ferons  TOir 
bientôt  (187)*  Dans  ces  deux  cas  on  a  donc 

ç  _  jrdx^Kdr  ^^ct+  C'=/{j'dx-xdy).,.(f). 

t 

ts.  95.  Cela  posé,  on  sait  par  les  principes  du  calcul  intégral  qoe 
Paire  ADMP  d'une  courbe  est  :=if{jrdx)  :  concevons  qu'oi 
ait  mené  de  l'origine  uf  ,  à  deux  points  dé  cette  coxubt^ 
des  rayons  vecteurs  AH  et  AM  ^  on  aura  pour  l'aire 
j^jRTAf  qu'ils  comprennent,  &=udf/>MP—u^AfjpHt^Z?fl; 
oxk\s^J{yàx^'^\^XY'±LADH-^  le±: dépend  de  la  po^ 
sitîon  de  AH  relativement  à  l'axe  desjf  •  En  differenliant| 
on  obtient  d\z=iydx  '^\d{xy)j  ou  d\-==:\{ydx ^^^ày\ 
Mettons  cette  valeur  dans  l'équation  (/^},-eUe  devient 
C/  +  C  =  2  I ,  ou  plaint  ^,  C^  =  1^  car  on  peut  toujours 
supposer  C  =  o  ,  puisqu'il  ne  faut  pour  cela  que  prendre 
convenablement  rorigine  du  tems  /.  Donc  les  uires  com" 
prises  entre  les  rayons  vecteurs  ,  menés  de  l'origine  à 
trois  points  d'une  trajectoire ,  sont  proportionnelles  aux 
tems  employés  à  décrire  les  arcs  interceptés  ,  lorsque 
le  corps  ne  se  meut  qu'en  vertu  d'une  impulsion  y  ou 
lorsque  les  forces  accélératrices  qui  Vaniment  sont  di" 
rigées  vers  ^origine.  On  voit  aussi  que  les  aires  ne 
peuvent  être  proportionnelles  aux  tems  cjae  dans  ces  deux 
cas,  puisqu'ils  sont  les  seuls  dans  lesquels  la  quantité 
Xy  —  Kr  soit  nulle. 

On  remarquera  qu'en  changeant  x  en  ^  et  j^  en  x , 
JXydx'^xdy)  àe\\en\,f{xdjr — jdx))  celte  dernière  inté- 
gmle'  représente  donc  aussi  l'aire  comprise  entre  deux 


MOUVEMEMT^  B£S'?1tOJECTILES.  Sag 

rayons  vecteurs  AH  et  AM*y  celui-là  fixe  et  placé  en  dessous 
de  l'autre  qui  est  variable. 

Le  même  théorème  a  lieu  lorsque  la  trajectoire  est  dc-i^ 
crite  dans  l'espace }  car  si  on  multiplie  la  première  des 
équations  (c')  par  z ,  et  la  troisième  par  x ,  et  qu'on  les 
retranche  j  puis  qu'on  opère  de  même  sur  la  seconde  et 
la  troisième  y  on  aura  d^^ns  les  deux  cas  ci-4essus 


xdz  —  zdx 


c  jrdz  —  zdy    _ 


àt  ''  djL 

On  conclut  de  ces .  écjuatîoiis^  qu'en  nonmiant  A  ;t  A'  ;  X" 
\t^  projections  de  l'aire  {  décrite  par  le  rayon  vecteur , 
on  a  Ja  =  Cdtj  d>f  ==  4dty  d)Jf  ==  Bdl  :  or  l'aire  élé- 
inen taire  4i  étant  considérée  comme  plane,  est  égale  à 
Ja  racine  carrée  de  la  somme  des  carrés  de  ses  trois 
projections  (Compl.  de  Géom.  de  Lacroix  y  6t\  )*  J^onc 
on  a  dlzizdtyj  {A^-^- 3^-^-0)'^  ce  qui  conduit  à  la 
même  conséquence  que  ci-dessu^i  :  c'est  elle  qui  constituj^ 
Iç  principe  des  Aires  proportionnelles^  aux  tems- 

IL     Mouyement'des  Projectiles^ 

I  «7 1 .  Pour  appliquer  les  principes  précédent  à  des 
exemples  simples ,  nous.prendrons  d'abord  le  mouvement 
.des  projectiles  dans  le  vide..  Soit  un  point  matériel  A  lancé  Fig.  9& 
dans  le  vide  de  l^.dii*ec1;ion  j^D  y  ajirec  la  vitesse  IJ  y  pro^- 
duite  par  une  impulsion.  Si  la  gravite  n'agissoit  pas  sur 
ce  mobile,  il  parcourroit  la  droite  ^Z)  uniformément  ; 
la  pesanteur  tend,  K  l'écarter  4e  cette  droite,  et  lui 
{ait  décrire  une  courbe  AMC  que  nous  nous  proposons 
de  déterminer.  Prenons  Paxe  dès  j»*  vertical  ;  comme  il  n'y 
9  ici  d'autre  force  que  celle  de  la  gravité ,  nous  aurons 
JC=o,   ZaBoi  eX   Yzsz-^g}  ainsi  lea  équations  (^c'} 


;s5o  DnujQQirB. 

dcrmuiflit 

^x  ^z.  ^hy  i 

.^  =  0,  -^=0,  -5r  =  -f- -Cl). 

Eo  mt^^rant  on  obtient 

di  ^      dt  ^      di  ^ 


La  première  de  ces 'équations  ^tant  divisée  par  la  seconde , 
on  trouve  en  intégrant  ^  c'x  z:;  cz}  équation  linéaire  qui 
fait  voir  que  la  projecHon  de  la  trajectoire  sur  le  jAm 
des  xz  y  qui  ^  horisontal  y  est  une  droite.  Donc  cette 
courbe  est  dans  nin  plan  perpendiculaire  à  cdni  des  xzj  et 
par  conséquent  vertical  y  passant  par  Taxe  des j^.  Prenons  fc 
plan  xy  pour  celui  qui  la  contient  y  et  nous  n'^ncons  plus 
égard  qu'aux  équations 

àx    '  djr  ,  .  . 

— --  :;=  c ,    -~—  =  c'  —  gt (a). 

dt  ^       dt  ^  ^  ' 

En  intégrant  de  nouveau  on  obtieut 

X:=Cty    y  —  dt—'^gt- (5). 

On  n'ajoute  point  ici  de  constantes ,  parce  qu'on  doit  trou- 
ver à-la«fois  tznOy  xrrzoy  eXj"=io,  Pour  déterminer  les 
autres  constantes  c  et  c' ,  il  faut  recourir  au  commence- 

dx         dy 
ment   du  mouvement.  —7—  9    -~-  sont  à  chaque  instant 

dt   ^     dt  ^ 

Jes  vitesses  du  corps   suivant  les  axes  5  si  la  vitesse  im- 

dx 

primée  C/ est  verticale,  on  a  ensemble  ^  =  0,  —7—  =  0, 

dr 

-j-  =  Uy    d'oii   c  =  o  ,    c'  z=z  U.    Les^.  équations  (5} 


Mouvement  des  projectiles*  25i 

deviennent  celles  dun®.  (167,  V)  :  et  s'il  n*a  été  donné 

aucune  impulsion  ^  c  et  c'  sont  nuls ,  ce  qui  redonne  les 

équations  {h).  Mais  si  la  vitesse  U  fait  avec  Taxe  dès  x 

l'angle  0^  ses  composantes   sont    Ucosê  et  Usin'é'y  et 

dx      dy 
comme  ce  sont  les  valeurs  de— ^,  -j- ^'^  lorsque /=o,. 

on  a  c  =  U  cosB  y  et  c'  z=:  U  sin  6» 

D'ailleurs  Tune  des  équations  (3)  est  celle  d'un  mouvement 
uniforme^  l'autre  appartient  à  un  mouvement  uniformément 
varié  :  ce  sont  les  équations  des  mouvemens  de  deux  points 
matériels  sur  les  axes  des  x  et  des  y  j  voyez  ce  qui  a  été 
dit  n®.  i65.  Pour  avoir  l'équation  de  la  trajectoire ,  il  faut 
éliminer  le  tems  t  entre  les  deux  valeurs  (3);  ôii  troUVc 


c 


f 


gx^ 


c  2C*  * 


En   substituant   pour    c  ei   c'   leurs    valeurs ,    oti   a' 
=  tang  é  ^  et  on  met  l'équatioi^   de  la   trajectoire 


c 
sous  la  forme 


fisc* 

r  s=  a:. tang  ê  r—  — -p (g^. 

-^  ^  a  r7».cos»  $  ^  ^ 

On  peut  simplîEer  cette  équation  en  mettant  pour  U*' 
sa  valeur  2gh,  h  étant  la  hauteur  due  à  la  vitesse  t/(i56)  :' 
et  on  a 

X* 

Cette  équation  est  celle  d'une  parabole  qu'il  sera  facile 
de  construire  :  on  trouvera  qu'elle  a  son  axe  MB  vertical ,' 

et  que  les  coordonnées  de  son  sommet  sont # . . . . 

jiB  =  2h.smé.cos$=ih.sm{2$)  y  et  j5A/ =  A  sin»  «  : 
son  paramètre  est  4^2. cos'^»- 


fj2.  Les  oalcnli  précéilens  conduisent  à  pliuieurs  cocir. 
séquences  remaniuabUs. 

i".  La  irujectoire  que  décrivent  les  projectiles  dans  It. 
vide  est  une  parabole. 

3°.  I^e  maximum  d'élévation  du  projectile  est  le  point 
qui  a  pour  coordoonées  ^fl=  A.sin  (3,*)  ,  DM^  A.sin'É: 
on  peut  encore  parvenir  à  ce  résullol ,  en  igalanl  à  zéro  li, 

vaiei 


dx 

5°.  Vamplitude  du  jei  est  A  C^:  2/1  .sia  (m)  =  -i  x  ^5; 
car  en  faisant  j-  ^o  dans  l'équa lion  (/''},  on  trouve  pour  j: 
cette  valeur. 

4"-  Si  on  veui;  que  cette  amplitude  soit  la  plus  grande, 
possible  ,  pour  mie  vitesse  U donnée,  il  iaut  prendre  pour* 
la  valeur  qui  rend  sA.sin  (a(;,  ou  plutôt  sin  (26),  un- 
maiimum  ;  ce  qui  a  vidblenient  Ijeu  lorsque  sS^j  «: 
donc  é  ^=ijit  =:  So"  est  ra.rc  qui  mesure  l'inclinaison  cor- 
respondante à  la  plus  grande  portée.  On  seroit  aussi  par- 
venu à  ce  résultat  en  difiÇérentiant  a/(,sin  (z()  par  rapport 
à)^  et  égalant   ensuite   à  zéro. 

5°.  'ïn  général,  Iprsqne  h  vitesse  de  projéétion  est 
donnée,  on  peut  se  proposer  de  déterminer  l'inclinaisca 
qnfelle  doit  avoir  poiv  qu'il  en  résulte  une  portée  connue, 
^t^P  i  alors  il  &ut  tirer  la  valeur  de  I  de  l'équatioa 

^=2À.sin(2(),  ce  qui  donne  1:=  J-arc  f  sin  ^  — 5- J- 

On  Toit  d'abord  que  pou^  que  Je  problème  ne  soit  pas  ab- 
surde ,  ii  faut  qu'on  ait  P  ^  2A  :  un  observe  en  outr*  qu'il 
p 
Tt'  n-  y  a  deux  solutions.  En  efïet ,  soit  K'E'  =  — —  >    'e   rayon 

AI  étant  =  I  }  la  droite  AD  qui  divise  en  deui  parties  égalet 

p 
l'arc  jK'Z>7  qui  a  poiir  sinus  — j- ,  satisfait  à  U  question. 


^ 


N 


INIOUVEMENT    BES   PROJECTILES.  ^U 

Menons  A  'K  parsdlèleà  /'/;  l'arc  IK  a  aussi  pour  sinus  A! 'f^ 
donc  la  droite  AD'  qui  divise  cet  arc  en  deux  parties  <%ales^ 
correspondroit  k  la  même  portée.  On  peut  mémie  ajoutçr> 
que  les  droites  AD  et;  ^D' y  forment^  de  part  et  d'autre, 
des  angles  égai^x  avec  la  ligne  AO  qui  divise  l'angle  <ibroit 
LAI  en  deux  parties  égales}  car  IK-i-IUC'  valent  visi-. 
blement  v  :  la  somme  de  la  moitié  de  ces  arcs  est  donc  ^  ir  : 
ainsi  JD  ■+•  ID'zzzlL  y  d'où  JD'Zf^LD  y  et  par  consé<pient 
OD=  OD'. 

6^.  Si  la  position  du  but  est  donnée  y  soient  ses  coor-i 


a» 


données  a  et  6 ,  on  auroit   h  ^z  a  tans  I ; % 

'  ^  4/iCOS«»* 

d'où  on  tire  pour  l'angle  I  que  doit  faire  avec  l'horijH^ni 
l'impulsion  primitive   F 


tangé=  {a/i±v^(4A»— -4/1^— .û*)J 


Ainsi  il  j  a  deux  trajectoii^es  pour  uae  Titesse  initiait 
donnée  ;  ce  qui  s'accorde  avec  c%  qu'on  a  vu  (5*.). 

7*.  Si  la  vitesse  U  est  imprimée  verticalement  de  bas  en 
haut  j  onal  =  ^ir}  alors  l'équation  {h')  ne  peut  être  em- 
ployée j  mais  les  expressions  (  5  )  deviennent  xzno  ^  et 
j-  =  Ui-^^gf*  'y  la  première  indiqoe  que  le  corps  n'a 
point  de  mouvement  dans  le  sens  des  x  ',  Ul  seconde  est 
ïa  nicme  que  nous  avons  emplojrée  (iSy,  V  ^. 

175.  Cherchons  maintenant  la  trajectoire  des  projectiles 
dans  les  milieux  résistans;  telle  est  celle  qne  décrit  un  corps 
lancé  par  une  bouche  à  fen  dans  l'atmosphère.  Nous  ferons 
voir  (222)  que  la  résistance  des  fluides  est  assimilce  à  une 
force  retardatrice  y  qui  est  proportionnelle  an  carré  de  la 
vitesse  y  et  dont  la  direction  est  sans  cesse  opposée  à  celle 
du  mouvement }  ainsi  il  suffit  d'introduire  la  considération 
dç  cette  puissance  dans  la  qacstioB  que  nous  venons  de 


résoudre  ;  et  nous  aurons  à  analyser  les  circonstances  du 
mouvement  d'un  corps  en  vertu  d'uue  force  de  projec- 
tion, et  de  deux  forces  continues,  la  gravité  ^ ,  et  la  ré- 
sistance H  du  fluide  :  l'une  qui  agit  verlicaleiiienl  de  haut 
en  bas ,  et  l'autre  qui  est  dirigée  suivant  la  tangente  en 
chaque  point  de  la  irsjectoife. 

On  a  coutume  de  substituer  à  cette  courbe  la  parabole, 
parce  qu'elle  est  lu  trajectoire  dans  le  vide  ,  et  qu'on  re- 
garde l'air  comme  un  fluide  assez,  subtil  ,  pour  que  la  ré- 
sistance qu'il  oppose  puisse  être  négligée  :  elle  est  en  effet 
peu  sensible,  lorsque  la  vitesse  du  mobile  est  très-petite. 
Mais  dans  te  cas  contraire  ,  qui  se  rencontre  beaucoup 
plus  fréquemment,  l'erreur  est  si  considérable,  qu'elle  peut 
aller  même  jusqu'à  donner  une  portée  dix  fois  trop  grande. 
,  Le  problème  de  la  Ballistlque 
omoie  objet  d'application  qu'il 
nalylique.  Newtow  ,  Edieh  et 
it  donné  des  solutions  clégantet 
compliquées ,  on  peut 


Voycï.  à  cet  égard  le  n°. 

«st  donc  aussi  intéressant  c 

l'est  sous  le  point  de  vue  ai 

dernièrement  LKtiB>Di 

de  celle  question  ;   et  si  elles 

voir  que  celte  difficulté  est  inévitable  et  tient  à  la  nature 

même  du  problème, 

Prenons  l'axe  des^  vertical  ^-désignons  par  a:,^etzlei 
coordonnées  du  lieu  du  mobile  au  bout  du  ten^s'-,  et  par  5 


l'arc  décrit.  Oh  sait  que  -—  ,   -S- 


ds  ' 


ds 


-  sont  les  cosi- 


nus des  angles  formés  par  la  tangente  avec  les  axes  res- 
pectifs des  X  ,  dcs^  et  des  z  :  ainsi  les  composantes  de  la 
force   R  dans    le    sens   de  chacun   de   ces   axes ,    sont 


donc  ici,  J(-  =  _fl.^,. !-=-(«. -fc+s), 
2  =  —  R.  — j-  :  on  affecle'Ces  forces  de  signet  négatif, 


Mouvement  bbs  vkojectiles.  !i!II5 

parce  qu'elles  tendent  à  diminuer  les  coordonnées.  ^  y  y^ 
«t  z.  Les  équations  (^0  donnent  donc 

Si  on  prend  di  constant  ^  en  divisant  hi  première  équa- 

tion  par  la  troisième  on  a  — r —  =   — \ —  •  d'où.  » .  ..• 
^^  ^z  dz    ^ 

â^x  d*z 

—T —  =  --3 — ,  et  intégrant  par  logarithmes  on  conclut 

dx  z=zfdz  :  donc  l'équation,  de  la  projection  de  la-  trajec- 
toire sur  le  plah  deS;  xz  y  qui  est  honsonCal ,  est  celle  d'utoe 
droite  :  cela  prouve  que  cette  courbe  est  dans  un  plan 
vertical  qui  passe  par  l'ongine  ;  ce  qu'on  eût  pu  aisément 
prévoir. 

^  regardant  cette  courbe  comme  située  dans  le  plan 
xjr  y  la  troisième  équation  ci'-dessus  devient  inutile  :  quant 
aux  deux  premières ,  comme  aucune  différentielle  n'y  est 
constante;  en-prenant  £/x  consts^nt  on  a 

di^ 

dH.7=z  — ^-.  .R ^  (:i). 

d$  *      . 


dt*  ..  ds 

As  •  d^t 
Si  on  substitue  dans  celle-ci  pour  fi  sa  valeur •j^  y 

tirée  de  la  première ,  elle  devient 

■ 

dy  4-  gdo  =  0 (2), 


■m 

I>Ti*AttlQUC. 

M 

■i 

It  s'agit  maintenant  d'u!iiiu»er  le  Ions  t  entn? 

les  dear 

équations 

(l)  et  l'î)  :  ii<3iï^uiDiii(?  on 

L  doit  pour  c 

ela  traiter 

dtet  d?l  Cl 

UDimc  deux  inconnues ,  Il 

1  faut  se  procurer  une 

troùièiue 

ê^ualiou.   Oa  l'ofctienl  eu 

1  aifl^rcmian 

t  la  précé- 

deolc,  et 

ou  a  jy-t-agJ(.</'(  = 

:  o  j    et    mettant   pour 

dn  sa  valeur  (i),    on  a  iPj-\-  ? 

^■^-'^ 

=^o.   Or 

comme  la 

résiitance    R  est   propor 

tionuelle  au 

carré  Ae    , 

la  \itesse 

V,  on  Joil  avoir 

R^'^A.v'^\A. 

rfî' 

■\  A  étant  I 

in  coefficienl  constant  que 

:  l'expéricBce 

fait  con- 

noîlre ,  <loi 

itlavaleurdépend  deb  natun^  rji:  HuHe 

résislant 

et  de  la  fif;; 

ure  du  torpç.  Celle  valeur  i 

rilroiluilt  ildi 

is  l'équa- 

lion  précédente  donne  d^j-  -\-  Ag.dP 

.</j  =  o,  01 

1  plutdb, 

en  substiti 

lant  pour  di'  sa  vaieur  i2/ 

' 

XeprcHÙer  membre  ayant  pour  intégrale  fog  (i^),  oii  •"donc 
log  {C<Py)  =  As,  on  pli.tàt  à  cause  de  l'homogénéité  fet  de 

<£r  constant^  log  (  C.  J  ^  J  =  ^5..   Aipsi  ,    en  âésv- 

gnant  par  e  le  nombre   dont  le  logarithme   népérien  est 
l'unité,  on  a  pour  l'équation-  diflerentielle  de  la  trajectoire 

^._        Jy      


Pour  déterminer  la  constante   C,  il  faut  remontât  a 

circonstances   initiales    du    mouvement  :  rnctioas.— gi 

'/  dx  \   '  As  „  (v> 

pour  dy,  nous  aurons  1-^1  .e     =:— C^sor-^—  ( 


■  MouvEHKNT  OU  pnoiECTiLEi.  aSy 

la  ritesse  du  mobile  dans  le  sens  des  x  ,  an  tems  /  :  soit  U 
la  vitesse  imprimée ,  »  l'angle  qu'e  sa  direction  fait  avec 
l'horisoQ  :  nous  avons  donc  en  même  tenu  t^o,  X'=Of 

7-=;o,i=o,el — r^=t/co3*;  donc  Z/'.cos,''f=z — Cg. 

On  peut  aussi  mettre  pour  U' ,  sa  valeur  ag^fi  ,  h  ctant  la 
hauteur  due  à' celle  vitesse  (iStiJ;  etop  a  C= —  aA.cos'*, 
L'ëqiiatiuu  (5)  devient  donc 


—  e      —  2/j.oos'*.-T=V=îA.caï'i. -f- (4) 


en  supposant  (/r^p*/:»:,  ce  <jrd  donne  Js-=:^dx\/  {i-*-p')} 
.  comme  s  croit  toujours  en  même  tems  que  x  ,  on  doit 
prendre  le  radical  avec  le  signe  -f-  dans  toute  l'étendue  de 
la  courbe  :  en  multipliant  ces  deux  équations ,  on  trouve 


..(5). 


,  Le  prcmicrmembre  a  visiblement  pour  intégrale— --|->e      } 

quant  au  second  membre,  en  Ëûsant  ^(i'^p')^t—^, 

iPSk  dp  .\/{i  -^-p')=z  idp  -^  pdp  i  et  comme  ;>^ -«^  f 

•n  a   dp= .  dl.  On  a  donc 

/àp.^(x+p-)  =  iP-t-ilost~ip'i 
«t  remettant  pour  I  sa  valeur  ;?  +\/  (i+P'i^ona 

fdp.y'i+p-)=i{p.^(i+p^}+.los(e-H/{'+P'))+<^- 
Ainsi  l'intégrale  de  noUe  équatian  est.  .  - 
~e^'=A/,ço,'l{p.^i,.irp')+\oslfifV(.'+P''f)±C}-. 
Observons  maintenant  que^a  est  la  tangente  de  l'angle  m  que 


c 


B*4PuHrB  St  mec  GOBBOBBBft  CHF* 

aBk  fnC'wartpiey  croit  en.  m&iue  tenwcpief^iuaBCîHK 

pin  ragidfc.  Cl^oa.  sBàtfçm^fàtK^lk^mBt^Â 

gara&IeEft  »  jdk  aae  s  il  es.  oonilk.  cgK  fai 
l'âEtrêmité  tie  L'arc  f  Ae^iait  dTMlwr  pin» 
^wtfcaigqiip  f  eibgiiiiKgimii  f  damp 


rdbscxfle  éxL  pomt  de  Iftoomphe  ioHl  Ul 
rnrlinaûïoiL  donnée.  Mais  s'il  ne  aiizit  «me  des  points  die  h, 
branche  descendante  Es  y  qui  iimt  eiui^es  du  snymmetE  r 
il  ùtnt  intégrer  entr^î  deux  v:ii»îurs  tr^s^-^randes  et  p  i 
on  doit  donc  négii^^  dans    6    t  levant  p^  les  termes  coofr- 

lans  ,   et  même  loç  p.  Ainsi  — =—  =  3  -dû»*.  L'integrtle 

2  -  . 

est  jr^=c— " T  oe  oui  donne  x  dai  ouand  u  est  indin  : 

jip  '  *  ' 

«in«i  la  brandie  descendante  EF  a  une  AsjrmptDtie  rer- 

sa  on  &it  ^  et  ^  négsFtits  dans  la  ft}rnLiiIe  'k'\  elle  de» 
vient— -/^J=  log  '  i— ^jt'  ,  :  les  arcs  y  et  jf'  sont  pris 
de  -^  vers  iV  et  iV  sur  les  courbes  £'^V^  DA^  conti- 
floées  en  dc^à  da  poûtt  A*  L'é^oatiûa  précédente  donne  s 


MoUVEMENlr   »SS   FA01KCTILB8.  ^4^ 

infini  lorsque  s' sss  —^  }  ce  qui  fait  vair.que.si  on  prend 

sur  la  parabole  DAN' ,  un  arc  jiN'  numëriqir^ient  égal  à 

j  •  ...  ...  «t^ 

— ^-  ,  la  tangente  N'  F^  ati  point  7V%.  est  parallèle  à  celle 

^'ôtt  mètierôit  a  TinfinY  sûr  là  branche  J^iV^  ainsi  la  m^ 
jccloire  a^  une  antre  asj^nfptote  iV^pawillèlcà.  A^'  P  :  ce 
i]ui  Mt  Voir  que  cette  -c^rb^  €%t  foi^nsée  de  d«iîx  branchai^ 
disscttblables.  .         * 

176.  Quoique  l'Jqnation  (/')  ne  'Sôit  piis'eit  x  et^,  éllid' 
i^'ést  pas  moins  pro^pr^  à  ilécrii;^  et  calculer  l^  partie^  -fie 


grfeVfrS'  Ûh'  cW  drc's  tellcfe  '«jufe  ïcs  affilés  qu'^îfs  ïorméhf 
décreiftSent  de  degré  en  da^éw.Pour  cb^f^Uf^  de*  cti  arcs  Ift 
valeur  de  u  sera  déterminée  d'avance  ,  et  la  forThiïle  (/') 
servira  à  détcrmîtiër  fa^lô%ucur  cèr^éi^iyài^sii^Û  dé  cet' 
arc. 'Ûa'nis'  lie  tnartglë  co^,  ôii  çonnblfrd' âon"(f  l'âtigïe  c  ^' 
et  rhypotnénùse  c'o ';  ainsi  oh  p6iârra*'ën  càicutér  la  base 
cfeX  la  hauteur  /b.  Éii  opérant  dé  méiné  imK  cfi'aq'ue  phin 
arc  ,  et' réunissant  eiisujfc  lés  LâSes'  entre' elles  y  aJoiitâfiTJp^-" 
téilefnieiii  les  hauteurs  :  oii*au?a  Pabscisse.  fçrclbhnée  ef 
la  longueur  de  l'^rc  qui  répondent*!  *ône"va*fcùr  dbànée 
dfe'cè*^  11  feudf-a  ôp^lner  sépanérnetlt  sur  lés  Jtel'4'-6i4nch''es  , 
«t  prfeh<îf-e  toiités  les  valéoi**- intehfriédiaBWe*' 5d^  degti  e» 
degVéy  depuis  m±>0  •Jiis^^'iL^azriàpôfirlH'l^rink^'BÈténi^ 
àànlé)  ef  dépuis  «=2  6^  fâ^u 'à- «r^ti^Na<^9fti^ur  >^ 

qui  répond  a,  uh   point_  détei^nin^  4^\^t  'j^^'^SM?  *^®*^^^r 
dante.  £n  faisant  i)az  o  ^  on  auroit  la  longueur  entière  de 
k  branche. ascendante...  .     ..        \./^^.  ,..  ^  t-...   ♦     ,4 

Ainsi  on  pourra  construire  des  tables  pour  touleS:  1^% 
portées  et  les  inclinaisons.  Le  calcul  de  chaque  trajectoire 


m*«it  ^wJkmn  pas  ansî  laag  «(a'H  k  parait  Abord  ;  etf  ^ 
t».^«l  GOnteflft  dttns  toute  TélEikliK  ^  b  tténK  courbe; 

cricdcede  degré  ea  «kgré,  servin  pour  ionlts  les  tn« 
îcclomt;  5».  knqa%m  rend  «<i«  pou*  calculer  h 
d«M«MLiBttt  ^  cette  iJM  uii.ii   iraUar  chaire  «k 

4tfifc  pour  le  premier  tenue  j.  ^  rhiagr  de  aiçae arcc^  t 
^pia&t  au  second  »  il  drrieat  lop  [ — P^"^  (  >  +^/)f 
«r  al»  qBtuItipliaiKeC<fi!nfwit  la  quantité —|r-i-v^(i  -pj'^) 

fpâ  écpiÎTant  à^laç(/y-{-^(r -f>^;.^;  4*.  le  calcul  da 

la  qBaiuiié^.v'(i+r'>+*oÇ  /»-rW^(«+J^))  «» 

e  cit.*** 


-hWiftB«8C5ci--f-i«îjS^ 


de  la  courbe  les  arcs  devant  être  ibrt  pctita  ,  afin  de 
le    flonifcre   des   opérations  ^   os  ponira  cm- 

plojer ,  au  Keu  des  cordes  ,  les  arcs  de  êercles  oscula« 
tenn.  Ce  n'est  pas  ici  le  Hen  de  nous  étendre  sur  cette 
matière,  ^'on  tronrera  safEsariiment  détaillée  dans  le 
XI*  cahier  dn  Journal  de  l'Ecole  Poljtechnique  ^  page 
asSy  par  M.  Maretau 

177.  L'éqnaâoo  '  if^  rat  donne  point  la  relation  entre 
X  tljr  y  et  il  est  pourtant  utile  d  obtenir  cette  relation , 
an  moins  par  approsimation.  Povr  cela ,  reprenons  l'é^pia- 
tian(Qydans  laquelle ,  en  faisant  5=0  et  ^  =  tangl^ 

on  a  trouTe  la  constante  C  =  —   .  — ^    En 

Ail  cos»  I       -^ 

•àbttitnant  pour  «  sa  yalenr  ^ri%  de  Tétpatiott  (4)  ^  on 
abtient 


Pour  etëcutér  ane  nouvelle  mtëgratîoa  ^  on  supposera 
que  p  ^  tang  ê  +  Â'x  +  jS'k*4-etc. ,  -^' ,  i5', . . .  .étant 
des  coefiitiens  indétecmihës  :  on  en  tirera   aisément  la 

Valeur  de  -^  ;  d<e  sorte  qu'en  sutetîtnant  dans  l'équation 

précédente  ;  oh  adra  une  équation  identique  ^  d'où  on  di* 
duira  les  valeurs  At  jt  ^  B'y  • .  • .  •  Donc  enfin 

,        ,        .     àc  Ax^  âr 

p  =  iang  I r — r--  —  r-r r:  —  ct<^»  =  -r-  i 

^  ®         52Acos'l       4A,cos^l  dx 

>et  en  intégrant  de  nouveau  on  x>btient  enfin 


ar*  i  a: 


3 


•^  ^4      Acos»!       5.4    A.cos^f 

^      jH       /       A^     ^sinl    \ 

î.5.4    \2  A.cds4*        4  A*.c;ôs4#/"^* 

Cette  formule  est  a^ez.  convergente  lorsque  I  est  îort 
petit  et  que  la  vitesse  initiale  n'est  pas  très-considérable  y 
comme  lorsqu'elle  n'excède  pas  7O  mètres  par  seconde  : 
ainsi  on  peut  l'employer  avec  avantage  1orsc[u'il  s'agit  du 
tir  à  Ricochet.  Consultez-  à  cet  égard  un  fort  beau  Mé*- 
moire  de  Borda  y  Acad.  des  Sciences  j  1 769* 

Lorsque  la  résistance  est  nulle  >  on  a  ^sso^eton 
retrouve  la  formule  (A'pag.  25 1  ). 

III.    Des  Forces  CentraleSm 

178.  Examitions  le  mouvement  d'un  rorps  qui  étaift 
lancé  dans  le  vide  avec  une  force  de  projection  queW 
€onque|  §eroit  attiré  vers  un   point  fi;se  par  une  ibrc» 


Cen&ipêie,  dont  Tactioa  yarieroit  à  diÇféf  entes  distance 
db  ce  point. 

Menons  par  le  centre  d'attraction  trois  axes  rectanga- 
lairesy.iet  désirons  par  P  la  vaTeùr  absolue  de  la  force 
cenfaipetç  à  lîn  insiant  qaelcotique  :  le  rajon  vecteur 
mené  dfn  centré  àù  tien  'ou  se  trouve  lé  mobile  à  cet  ins- 
tmiy  hii  avec  les  axes  des  angles  dont  les  cosinus  sont 

^  j^  ^  r^^  ;  ainsi  m  cotnposantes~  de  la  force  P 

Px        Py        Pt 
soijt y  — =^  ,  .  Si  donc  on  prend  dt  cons- 

taifl,  on  «trôTiVe   pour  Tes  fofinutéS,  (c*) ,   en   obèênràât 
que  ces  forces  tendent  à  diminuer  les  troordonnëes 

tf'ar_       Px^     ^J_       Py_^      f^  — _Zî         (^ 


n  s'agit  d'intégrer  ces  équations. 

Mul€lplidns  la  première  par  jCt^  sebonde  par  «r  y  et 
soustrayons  le  premier  produit  du  second ,  nous  aurons 

Xd^—j'd^x  »  .  ,.        ♦ 

—      .    =  G  ,  et  mtegrant 

d^ 


V       « 


'  ^(fr  -^  f^^  =  cdt • . .  (2). 

i  ' 

un'  calcul  sef^blable  pour  la  troisième  donne    . 

.'■  • 
,.  zdx  —  xdz  =  c'di, 

j^dz  —  zdj"  =  c^dt. 

Ces  formules  reproduisent  les  équations  (/^^  1 70  )  par  le 
calcul  même  qiife  ttOùS  venons  d'exëcuHer  ici  pour  montrer 
cgpiment  disparoi ssei>t  les  termes  qui  proviennent  des 
forces  cefntràles.  Miilliplions  ces  équations  respectives 
^  Vyéi  ajoutons ,  nous  aurotis  c'^x  +  c[^  -f*  cz:=o^ 
i  appàrlicnt  à  la  trajectoire  ;  puisque  le  tems' 


Borges  cK^TiUfiES.  *  24S 

est  éliminé  \  d'où  il  suit  que  cette  courbe  est  dans  un 
plan  qui  passe  par  le  centre  des  forces.  Ce  résultat  ^  qu'on 
pouvoit  d'ailleurs  prévoir  j  permet  de  ne  plus  traiter  le 
problème  qu'en  deuf  dispensions  ^  en  prenant  pour  plan 
des  xy  celui  de  l'orbite.  Soit  donc  FDM  la  trajectoire. |  Pig.  95  et 
M  le  lieu  du  mobile  à  l'instant  ty  Aie  centre  des  forces,  ^s, 
Ax  et  Ay  les  axesj  on  aura  AP  =  x ,  PM=ijr ,  AM-=z  r, 
et  l'angle  MAx  =  m  :  il  suffira  d'employer  les  deux  pre- 
mières équations  (1)  ,  qui  produisent  celle  (2)* 

Le  triangle  rectangle  MAP  donne  pour  la  transforma- 
tion en  coordonnées  polaires 

x  =  rcos  w,  7^=rsinw,  r^rzrar^+J"* 

d'ok     dxz=:^-^rsmu>du^cosu,€bry  \ (5)» 

dy  z=:      r  cosu,du  -|-  sin  i/.rfr, 

Ainsi  çcdy  -^jrdx  =  r^d^ij  ce  qi^i  change  réqMation,(2) 

en 

r^du  =  cdt (4). 

'  '  ■' 

Or  on  sait  (170)  cjuefr^du  oxif{xdjr~^ydx)  est  le  double 
de  l'aire  |  comprise  entre  deux  rayons  vecteurs  AH  et  AM 
dont  l'un  a  une  position  fixej  donc  cette  aire  iz=z\ct^A 
ou  plutôt  \r=z\cty  ejx  prenant  poyir  le  rayon  fixe-df/f.çeW 
qui  passe  par  le  lieu  du  mo}>ile  lorsqufs  tzzio.  Ainsi  quelle 
que  soit  la  force  çenirafp  ^  Va,ire  décrite  par  le  rajrori 
vecteur  pendant  le  têms  t ,  est  propqriiçrurj^He  à  ce  tem^> 

Prenons  sur  le  rayon  vecteur  AM  un  point  distant  du 
centre  A  d'une  longueur  égale  à  l'unité ,  ce  point  décrit 
une  circonférence  Icï^fqueie  rayon  vecteur ^.^t.le  corps  ikf 
dans  son  orbite ,  et  la  vitesse  que  ce  point  prend  à  chaque 
instant,  mesure  celle,  du  rayon,  , et  par  conséquent  celle 
du  corps  :  c'est  ce  qu'on  appelle  la  vitesse  angulaire  à\x  rayon 

du>     .    c    •       •    j    • 
vecteur  ;   ëflc  est 'ëxj^rimec  par  -~~~'  =  »  >   uonc 


-  »         «^ 


à4jl  '  BnrAittQVB. 

«f  çonif  4ir  £i  'S$km€m  du  mobÛt  au  etmri. 
Ki^fS*,      A.lMiippMi  de  VarigOÈé  A  oBfc  pcrpeadfeehnre  jélmr^ 
tanflente  en  JV«  Ia  lumucur  ^de  celle  Une  cet  Mie  i 


9  fiwmt  iiftq;!^  d^  iraknis  C^  ct.4)  et  à  caoi^  Vel| 

damf.un  poùu atmleanque  de  son  caifitôj  eH.nfe^rafittA 
fa  bmguûKir  de  la  papendjcidaire  wnenéeducmtnsaru^ 
i/mgente  e»  ce  poiiu. 

179,  IQ^prenoiii  les.  deux  preniieret  éipeliom  (i)|.  c^ 
imltîplioiu  -  les  respectnrement  par  dx  j  djr  f  pois  aJMK 
IjMis}  nous  «nràfis  ,  à  cause  de  jrd!r -f*7;il^=niry 

Comme  l'intensitë  de  la  fi>rce  P  varie  ^  par  hypothèse^, 
4*ane  manière  connue  j  avec  la  dislance  au  centre  ^  P  ^t 
supposé  une  fonction  connue  de  r^  ^ainsi  Pintégrale/P^ 
^t  Ëudle  à  trouver  :  faisons 

%  iVànX  la  constante  arbitraire  ;  il  vient 

/ 

Jfp"^  =  -  2  (4r + -)  =  f  •  •  ..•  •  •  ..•.(5>. 

Cette  équation  est  celle  des  forces  viyes  (16$  :.  e|.les  fi)rc 


Forci»  csntrai««8^  ^j 

mules  (2)  et  (5)  sont  les  denx  inlëgrafes  du  premier  ordre 
des  éqaations  (i) ,  qu Viles  doivent  remplacer*  Les  cobs^ 
tantes  «  et  e  sont  engagées  dans  ces  formules  aTéc  dés 
quantités  qui  déterminent  la  vitesse  du  corps  ^  elles  dé- 
pendent donc  de  la  force  de  projection ,  eu  ,  si  on  vtut^ 
de  la  vitesse  en  un  point  déterminé  de  l^orbite^ 

Si  on  conçoit  sur  une  ligne  quelconque  Ax  un  antre 
moHle,  attiré  vers  ^e  point  A  par  h  même  force  P^  Téqua- 
tion  ^de  =  i^dy  {iSzj  e)  détcrnùoera,  les  lois  de  son  mou* 
T^^ment  rectiligne  }  et  comme  de^s^'^dry  vdy  =  — •  Pdr, 
d'où  V*  ==-^  a  (^|/  -ft  «'  )«  Ainsi  la  ^tesse  d^  ce  second  mor 
bile  sera  la  même  que  celle  du  premier  ,  à  même  distance 
du  centre  ^  pourvu  qu'une  fois  ib  aient  eu  tons^^  deus  la 
même  vitesse  pour  des  distances  égales  ;  car  ^ors  m  =s  m*"^ 
C'est  la  40'  proposition,  section  YIII^  du  livte  des  Prin«^ 
cipes  de  Newton. 

Transformons  le»  coordonnées  dans  l^&<]^ti6n  (5)9  il 
vient  les  deux  intégrales  du  premier  ordre 

iA  éliminant  dt^  on  a  pour  Péquation  de^la  trajectoire 
,  cdr   ^ 

ft  comme  les  variables  11  et  r  sont  séparées  ^  on  pourm 
intégrer  et  construire  ^  il  faut  en  dire  autant  de  l'équation 

éi  =  ••- — f^y  puisque  du  est  connu  en  fonction  de  r^  on 

a  done  le  lieu  du.  mobile  à  cbaqae  instapf../Le  radical 
donne  ici  le  Mgnc  iti^et  on.  devra  préférer  le  signe. -{" 
lorsque  u  et.  r  croîtront  ensemble  j  et  le  signe  — -  dans 
lu  cas  contraire ,  ce  qui  ne  dépend  que.  de  l'impulsion. 
teoét  au  eorpsi^ 


«fr»s^ 


%  idMl»  «S^ibiK  <k  rtfpM  .«r  ttùT  •  =:  ^  (l^, 


r-z  ':■  T 


qn  «1 


FV  r='«»= 


^c«  ^IL 
«i^ 


kl 


1» 


JP'^^^-f-^,  A= 


— «r^fr 


fV{- .rH^:  #^,^;-^  fi J- 


Ok  a  wàs  ici  le  Bg«c  — -  ^arce  <|ae  «  décrok  tui&  ^be  r 
croît.  Or  il  est  Sicile  de  dëccmposer  le  radical  ea  deux 
facte«r*,  ^r»— #^  ^  a* — r»  : 


•  '  » 


^=r 


—  aViir 


ry{mr*—  A'%  v'.<*'— ^ 


i\ik  r^;^  ■  .;■.  :  subslUx^ni  pour   r  ^t  ér  kup 

v^iurs^  OB  a 


i   X 


du  = 


y  (^a*  —  y*  —  A'*jBi'' , 


•L'i^tégrdfti^sl  u+  .tojwt  =i^  arc Qfi»  =    ,-    çf^f^\)i 

;et  comspe  r^çV^Fsxa  flonn^,  iiir  ej 71  =  0,  la  cgii%- 
tante  est  nv!^^,  tktT^\^  ff^v  p  «a  vfil^r  ^n  r,  paja 
^a  (a»  —  r")  =  f*(/ea'—  f^*)  sin*  i/j  puis  repassant  aux 
coordonnées  rectangles  -à  ï'ai^  4iei$ 'jbrmuks  (5),  on 
obtient 

^qus^tion  d'une  «llipsç  4Çi^J^  cer^tpçestà  TpciginQ  .^^^t 

V   .  •..        .    .  / 

dont'lesdemi-àxessonta  et  -^ —  :  le  somniet  est  en\P. 

Dans  une  «IHpse  dont  aei  b  sont  les  demi-axès  j  on  a 
pour    la    perpendicnlaire   AI   abaissée   sur  4à  iaogentSy 

^  ~  ■  ^  .  ■  ■  V  ■  "  ■  ■  .-A'-'?  1?  P*«^  pe^to  valeur  Ae>^ 
répond  à  x  =  o^  la  plus  grande  à  a:  =  a  )  Tune  est  b  j 
l'autre  «st  a  :  or  ^=  — ^5  ainsi  \\  plus' «rrajade  Vîtifese 
est  a\/fA  à  rextrénaité  Z>  du  jj^tijt.^xe}  la  plo^petijbp  <^^  ^, 
^lle  a  Ue^i  à  Pext^é witç  F  d^w  gr^uod  ax;e.  Coipnie^  i=  -757:;  ^ 
on  «  pour  la  yi4^ssç|  en  ;;in  point  M  qv^ejcopqu^ 

■  -r    ■  ^\- 

Au   reste    ces   diverses    circonstances  Hbnt    données  ^par 
i'équation  f  '  =  ^'  +  /«#  (  a»  —  r=»  ). 

Soit  I  l'aire  dr^Af  j  les  aires  sont  propô'rtibûtitfHeS  anx 

tems   employés   à  les  décrire  j    et  pui$qv<t  ^Si^.:Y^^ 

t  I 

décrite  pendant^ .  Vvifrité  de  _te«|s ,  _<m  a  -j-.  =  J^  ' 


t  =  ^-j=  i  éqnotîoii  ifù  éiLwat  le  Hea  du  laebile  i 

flaque imtant  :  Paire  total»  rsswobiCaL  ôt/.  Lacraiz  337) 
li  fâuia  Sr  de  I4  rsToiotâm  eatiâra  ot  donc 


1/^ 

€!e  feras  est  le  ménie  (|44)  <pi'enq»iojreroit  un  iBoMe  à 
décrire  on  cercle  de  rajcm  b  «veeUi.  vitesse  unifonae  #^  :  et 
comw^  il  est  indépendant  de  â,  6  «I  F ^  qxl  voit  «fw 
fiusmMtrs  corps  décr'ytmi  leurs  eUipses  cuioufr-  4u  nfém» 
tantrs  duttracùon  y    auranl  la  menu:  iems. 

i8t«  Traitons,  pour  ûeroier  exemple,  le  cas  de  la.  natnrCy 
c'est  cefaii  où  la  force  P  estea.  raison  inverse  des  cacrjs 

d«  dtaoïees y  cç ^ suppgsf  JP s  -^  ,  4^= —^ 

J*  r 

foa 

Ponr  intégrer  «ette  dernière  écjnation ,  supposons  •.. . 
r  =:  ■  «  et  substituons  pour  r  et  dr  leurs  valeurs  : 
en  faisant ,  pour  abrégeu ,  /»*  —  a  «e*^  ^=  4*  >  îi  vie«t 
161  =  — 7-]| •  dont  rintés'rale  est 

u  =7  I  -f  arc  ^os  =  ~  J  ,    on  p  =  A  cos  (a  —  é). 

Remettant  pour  />  sa  valeur  — ^ ,  on  a  enfin  poar 

^qoation  de  l'orbite 


-^ 


FoiKfflt  aUTTlULES.  iSj^ 

t 

.  Cela  pose  X  vojei  jippL  (tAlg.  è  la  Géom.  y  par.  Lacroix  j^  vig.  ^ 
B^-  1 12  }  et  Géom.  analjr,  de  Biot,  n*.  i54  )  ^  on  sait  que 
^  lopgueur  du  ri^yoo  vecteur  r  y  mené  du  fojer  A  à  Tui!^ 

ces  points  d'une  ellipse  est  r:=:         »'         j^  ip  étant  le 

demi-grand  axe^  /  désignant  V Excentricité  ou  la  distance 
OA  du  centre  au  foyer  5  enfin  l'origine  des  âr'  étant  an 
centre  O.  Soit  i  Pangie  MA  H  formé  parle  grand  axe  ^/C 
ft  le  rayon  vecteur  AMj  on  a  OÇ=a/==  rco^i+Z;^ 
i'oii 

i^=s  - — _-^ .  ou  rss'     .  ■ — X 

a^^-^cosr  '    x  +  dcosi 

l 

tn  supposant^  pour  abréger^  ezs  -r-v.  =^Ie  rapport  de 

a 

Vexcentricité  au,  d^mi-grând  axe.  ^renon^  une  autre  droite 

^elconquc  Ax  passant  en  A  (t  faisant  avec  le  grand 

axe  AH  un  angle  ^  ^  nous  aurons  y  eq.  nommant  u,  Vangle 

^MAx  y  I  =  1/  — •  I  :  donc  Péquation  de  l'ellipse^  rapporté% 

\  ijuoif  droite  quelconque  menée  par  le  foyer  y  est 

ï     i  +  eços(ii— •) 

r  a(i  — eî»)  v// 

]Çn  comparant  cette  équation  à  celle  de  notre  trajectc»re^ 
K>n'  i:ççonnoit  qu'ellea  devi^ennent  id<9itiques^  lorsq^Vn^ 
pose 

c»  ,  ,       *  e 

Ces  équations,  sont  propres  à.  déterminer  dans  tous  les  caji 
les  constantes  a  et  e  de  l'ellipse ,  et  on  a 


4Vma  mil  ^1^  nolM  OMcb^  «t  wie  fAçm  4a«l(  Ifjogf^^ 
•■t aa  caalTf  4'«ltMuxtîp» , letqnVm .pent Mtei^t^tejhi 

cpoaoit  alors  là  apiMon  et  la  lon^aenr  -^91  tS^^^  ^bbb^ 
ainsi  qae  l%scentncitë.  Ces  constantes  êépenSeiàt  de^là 
Ibnit  de  |>vo)ectîoay  on,  si  on  Tant,.  jb^ia;>ytlH|iiLiii. 
torps 'à  un.  instant  tït  dians  nae  positkm  iMiniminéi    Oj 
4Mt.remarqner  ici  q^e  l'éfuadon  (7)  appàrlîdBtl  .b  Pmm? 
tàh fenqoe  #=1 ,  bp ossod ,  ceqûainn forsçi^âit^ 
et  par  conséquent  «sso;  et  qu'elle  est  celle  d'ikne  HjTt0i^ 
io&f  lorsque  ^est>'/^^^  au^el  cas  a  et  •  sont  négalifi  : 
slors  la  trajectQÙre-nîesV'pliis  une  .oUqisf^lpiuiV&RX  A>itf 
&^  cas  elle  est  une  section  jconique» 
'^rfiMUvei  ^c  est  l'aire ^d^criie  dans  Vfupii:.4m,.pmi  j^ 
pp  a^  |M^  la  prpportioiinalité  des   sires  an:^  .-.^^^V  t  ^ 


on  a  ^ 


4«^ 


4»^ 


Pour  un  corps  décriva^it  une  autre  ellipse  ■ ■.  seroit 

le  même  coefficietït  :  ainsi  les  carrés  des  iems-  des  hf- 
volutions  sont  comme  les  cnhes  des  grands  axes  des 
orbites* 

La  vitesse  à  chaque  instant  est  donnée  par  k  formule 

f>»s=:  af -^—  —  «  j  y  de  sorte  qu'elle  est  la  plus  grande 

ou  la  plus  petite ,  suivant  que  r  est  lui-même  plus  petit 
ou  plus  grand,  ce  qui  jpinrive  aux  deux  sommets  j  donc 
la  vitesse  est  Ja  plus  petite  ^n  F  et  l'a  plus  grande  en  Jïj 


Foneks  ctT^RÂtiEs.  a55 

ces  deux  pDÎnts  se  ikomment  les  j^psides}  H  est  lé  P^- 

c 
r£hélie.{*}fjpestVj4phéiie.LaL£qrmu\ef'==  donne 

la  mén^e  .conséquence.' 

.  L'éqnation  (4) ,  r^du  =  cdt  va  nous  donner  le  lieu  du 
corps  k  chaque  instant  ^  en  effet ,  substituons  y  la- valeur 
de,  dw  er^rt^idrj  et  mettons  pour  c*   et  «  leurs  valeurs 

u 

«  yee  (  I  —  e")  et  -^--v,  nous  aurons 

,  rdr 


qui ,  intégrée,  donne  /  en  fonction  de  r.  Pour  y  parvenir, 
faisons  rz=a{  i  — e  cos  A  ) ,  et  mettons  pour  r  et  dr  leurs 

3 

valeurs  -,  il  viendra  •  \/fi,6kzs:  a*  (  i  *—  ^  cos  x)  dh  :  'ou 

intègre  et  faisant  a  *y/^=7i,  on  obtient  /ii+5=A-esîn  A  ; 
B  est  la  constante  arbitraire  :  niais  si  on  veut  compter  les 
tems  à  partir  de  celui  où  le  corps  a  passé  au  périhélie  /f^ 

È  est  nul,  parce  que  u=z0  donne  r=i yilîz=:a  (ï— e), 

(  ce    qui    est    d'ailleurs    visible  )    valeur    qui    répond    à 

ces  A  =  I  •  On  a  donc 

ntz=x  —  esinA,    rzsza  {i  —  e  cos  A  ) (8). 

Il  faudroit  éliminer  A  :  mais  la  difficulté  des  calculs  fait 

/  •  ■ 

préférer  de  laissé^  cet  angle  et  de  s'en  servir  comme  d'une 
auxiliaire  :  on  ie  nomme  Anomalie  (**)  Excenùrique.  Op, 

(♦)  Aphélie  de  â«: ,    ab,  longé,  «a/oç  sol,'  loi  h  du  soIe\I. 
Périhélie  de  <ar«p/^  cîrca,yxu^  sol,'  autour  du  soleil. 

(**j  ApfOMALif  Je  ce.  \fnfSLÛf  oi/.ct^o^'  £e{jùall^;  replier;  ce  mot 
signifie  irrégularité,  parce  que  ranomalie  est  en  effet  la  loi  des 
ftrëgûliarités-wpfafcntes  àes  movivéttkvs  planétaires^  câricHo  esl 
Vutkffe  formé  paTla.lisne  des  ai»éi^  «i-  U  ra^'oi^  :¥çc^cur  ^i^^é^ 
au  lieu  réel  ou  moyen  de  la  pîanète. 


lâtt»  1!UleiIIMM1s  'cëHé  *rariiK  j 'laÉiSu^ ^itHHJ  i}uéViM^pMiM>-> . 

pçif^ièulcDjieiit, propres  à  Jîâre  .connbkre  le  mouTiçment. 
produit  par.  des  forces  données  ]  -rnSê  isncore  à  iéUstH 
msfét  Ut  nîtfttu^  %9  «fàHïëiy  k>r^   1^^ 
da  mouvement  sont  eonnu^  :  ce  qui  suit  pèM- M*siirYft^ 
d'exemple  ^  et  faire  concevoir  la  manière  de  procéder  en 

Nous  regarderons  ici  les  lois  de  Kepler  comme 'demoii- 
tMésficMbséiif9iM'r)«rd^taib:dia8  les^|àda<nMrâriDa» 
iÂSIIjfiàlf^tfé^  jfOûfMtp&BtM  >oottottnt  ék  mfm  Mrn  mn^ 
iWlt>  ^1  labê,  tnwÉi  i^eàirteroÂsAl^lirar  d«ulMii  ^e  Mue 
noué  proposons' f-  )i^sl«pau»fioîrnoii9Teinri^^MKfilfiSâ^^ 
sition  du  Système  da  Monde  de  Laplace,  et  à  VAstt:pÊùmm 
de  Bailly.  C<ib  detii^<)iivr^ges  tont  destnodètes  d'<Ofi^bence 
et  de  profonAeirt" ,  qu^)n  ne.  peut  négKger  de  life  ni  d'ad- 
mirer :  mais  CQmme  ils  sont  abstraits  ^  on  pourra  d'abord 
consulter" l'!^^//r>72om/e  de"  Bîot  ,  '  et  pafticuîiérèiûèliîî  le 
chap.  5,  livre  il,  cl  les  chap^  ft47  livra  ÎYj.  f^es: phé- 
nomènes qui  servent  de  base  à  la  théorie  que  iîois  voulons 
exposer,^' sont  connus  sous  la  dénomination  de  lois  de 
Kepler,  Su  hom  du  satvànt célebifcl^  lès  a  découvertes  : 
voici  leur  énoncé. 

I**.  Les  aires  dècfîks  autour  du  cefttrt  aie  'sohilj  par 
les  rayons  vecteurs   des  planètes  y  sont  proportionnelles 

ai}ittirkiy^pl6jéin^^^^  '■—  -  -   'î 

iK  Les  àtb'ès  planétaires  ^oHt  des  ellipsèidàHt  lé  ëàhtre 
âà  èôfeît  ùcè)ttpè  uh  deij^ê^s/^  .     •    '  ' 

5*.  tés  x:âftés  des  iéfni  dei  riA>lutioftsW}r*pldftëiêr  ^ 


Ga  avït  atioiv*.  ,  aSf 

^ont  entre  eux  comme  les  cubes  des  grands  axes  de  leurs 
orbites.  -  . 

Nous  regarderons  donc  ici  ces  lois  comme  des  vérités 
ducs  à  l'expérience  :  Kepler  les  a  obtenues  pïir  une  longue 
suite  d'observations  5  on  les  a  depuis  confirmées ,  et  il  est 
impossible  d'élever  le  plus  léger  doute  à  cet  égard.  Il  s'agit 
maintenant  de  remonter  du  mouvement  de  chaque  planète 
à  la  force  qui  le  produit  y  eh  partant  de  ces  lois  :  si  on 
compare  tout  ce  qu'on  vient  d'exposer  à  ce  qu'on  a  dé- 
montré dans  le  chapitre  précédent ,  on,  remarque  que  ce 
problème  est  l'inverse  de  celui  qui  y  a  été  résolu  5  et  on 
voit  les  résultats  que  nous  y  avons  obtenus  s'accorder  par- 
faitement avec  les  lois  qui  nous  servent  ici  de  base.  Nous 
ne  considérerons  ici  que  le  soleil  et  •une  planète  ,  telle 
que  la  terre,  par  exemple. 

184»  Soient  xeij"  les  coordonnées  rectangles  jiP  et  fi-,  98. 
PMàvL  lieu  d'une  planète  ilf  dans  son  orbite  FDM  y  l'ori- 
gine A  étant  au  centre  du  soleil  :  nommons  de  plus  X  et  . 
Y  les  forces  dont  cette  planète  est  animée  dans  son  mou- 
vement  autour  du  soleil  y  parallèlement  aux  axes  des  x  et 
des j^  :  les  équations  (c')  ,  sont  d^x  =  Xdf^  y  d\y  =  Kcfe*  5 
dt  csl  ici  constant.  Si  on  retranche  les  produits  respectifs  de 

Ces  deux  équations,  parj^  et  par  :r,  on  a •  , 

X . d")'  —  y . d^x  •=.[xY —  yX)  de.  Le  premier  membre 
est  la  différentielle  ^e  x^dy^-^j^dx  i  or  on  a  vu  (170). 
i\uef{  xdj  — jdx  )  est  le  double  de  l'aire  '  que  décrit  le 
rayon  vecteur  A  M  de  la  planète,  pendant  le  iBms  /,  au- 
tour du  soleil  :  d'après  la  première  loi  de  Kepler ,  cette,aire 
étant  proportionnelle  au  tems ,  on  ^^fi^xdj  — j-dx):==-  et} 
d'où  on  tire 

xdy  — j^dx  =  cdt  y  et  Yx  —  Xjr  =  o. 

Il  suit  de  là  (170)  que    les    forces  X  et    Y  ont  leur 

17 


a58  Dtnamiquk. 

césul tante  dirigée  vers  le  centre  du  soleil ,  qui  est  à  l'origiiM 
des  coordonnées.  D'ailleurs  la  CQurbe  décrite  par  la  pla- 
nète étant  concave  vers  le  soleil,  il  est  visible  (pie  la  ibrce 
qui  fait  décrire  cette  courbe  tend  vers  ce  point.  La  loi 
des  aires  proportionnelles  aux  teuis  employés  à  les  décrire , 
nous  conduit  donc  à  ce  premier  résultat  remarquable  y  la 
force  qui  sollicite  chaque  planète  est  dirigée  vers  le  centn 
du  soleil* 

iS5.  Déterminons  la  loi  suivant  laquelle  cette  force  agit 
à  diiïerentes  distances  de  cet  astre  :  il  est  clair  que  les 
planètes ,  s'approchant  et  s'éloignant  alternativement  du 
soleil  à  chaque  révolution  y  la  nature  du  mouvement  ellip- 
tique doit  nous  conduire  à  cette  loi.  Reprenons  dans  cette 
vue  les  équations  d*a:  -j-  Xdl*  =  o  ,  d*y'  -J-  VilP  =  o  j  les 
signes  des  forces  A^  et   F  sont    changés,  parce   qu'elles 
tendent  à  diminuer  les  coordonnées ,  en  ajoutant  les  pro- 
duits respectifs  de   ces    équations   par  <£r  et  <^y  on  a 
dx,iPx  +  dy',d^j  -|-  ;  Xdx  -f-  Ydy    Jr»  =  o  ;  el  comme  la 
première    partie   est  la  différentielle    de   î    dx^  +  djr^  ) , 

.     ,  .  ,         xdy  —  rdx 

en  intégrant ,  et  mettant  pour  dt  sa  valeur  — == = , 

c 

donnée  par  la  loi  de  la  proportionnalité  des  aires  décrites 

aux  tcms ,  on  a 


(  X  'y —  ydx  "■ 


+  2  Ai;  Xdx  +  Ydr)  =  o. 


La  constante  arbitraire  est  comprise  dans  le  signe yi  Trans- 
iormons  ,  pour  plus  de  facilité  ,  les  variables  x  et  ^  ,  en 
coordonnées  polaires  :  et  pour  cela  avons  recours  aux 
formules  '5  du  n°.  178  dans  lesquelles  r  est  le  rayon  vec- 
i!^.  ys.  teur  A  M  mené  par  les  centres  du  soleil  et  de  la  planète, 
u  Tan^le  MAx  qu*il  forme  avec  Taxe  des  x.  On  trouve 
dx^-\'dj'^=:.r*du^^dr*^  et  xdj — ydx  =  /*Ja.   Soit  9  la 


GnAviTATioir.*  â59 

force  qui  agit  sur  la  planète  ^  u^  et  K  en  sont  les  compo- 
saiiW^  donc  X=^  cos  u ,  F=^sin  w,  et  Xdx-^-^  Ydj"=:^dr^ 
Notre  équation  est  donc  changée  eii 


r^du* 


-f-  2  /  ^  £&•  ==  o. 


Si  la  force  p  étoit  connue  en  fotiction  de  r,  cette  équation 
feroit  counoître  la  relation  en  r  et  ze  qui  appartient  à  la 
trajectoire  ;  mais  comme  ici  cette  courbe  est  donnée  ^ 
tandis  qu'au  contraire  ^  ne  Test  point ,  il  faut  introduire 
la  relation  en  r  et  u  qui  appartient  à  l'ellipse  ^  et  em- 
ployer cette  équation  à  déterminer  ç»  Elle  se  met  sous  la 
forme 


O. 


£n  dilTéren  liant  on  obtient 

c"  c 


:'         /  dr  Y 
dr       \T^duJ  * 


On  a  vu  (i8i)  que  1  équation  polaire  de  l'ellipse  est  (7) 


1  I  +  e  cos  (  w  —  é  ) 

1 


r  -  a{i —  e' ) 

e  désigne  le  rapport  de  l'excentricité  au  demi  gran^  axe  a , 
ê  est  l'angle  que  celui-ci  fait  avec  l'axe  des  x.  Pour  in- 
troduire cette  valeur  dans  celle  de  ^  ,  on  différentie  et 

dr             èsin(i/  — 0  -    ,         a\ 

on  a  — T —  rr= 1 ;  et  on  en  chasse  sm  (u* —  e) 

r^du  a(i — e»j 

à  l'aide  de  la  précédente  qui  donne  e  cos  (m—  é) ,  dont  le 
carré  retranché  de  c'  produit 

«•»itt*(u~l)= — ^- i— i  -i—-.-^— (i  — «»), 

^  r  r* 


/ 


L 


9Ëot  ^       DnrAHiQn* 


a'ei 


(dr  Y ^a         ^  1  ^    I        I 


La  diffïrentielle  dn  second  membre  est 


-i-  ■  ^  ■  ;  la  Taleiir  de  f  devient  donc 


a(i — ^)i*  r* 

a(i  — e*)        I*  ïï^ 

En  faisant  la  constante  — — r-  =  «  :   donc  de  ce 

tf  (1— e^) 


^m  les  çriùes  des  planètes  sont  dtipdqmes,  en  canelui 

§Uê  ta  force  qui  les  anime  esi  réciproipM  au  carré  de  tm 

dîsuxnce  du  centre  de  ces  astres  à  ceiui  du  soleiL 

186.  L'intensité  de  la  force  f ,  relativement  à  chaqae 

planctt^  dépend  da  coefficient  A^  les  Icns  de  Kepler  donnât 

encore  le  moyen    de  le  déterminer.    En  effet ,  si  on 

nomme  f  le  tems  de  la  révolution  d'ane\ planète,  ràire 

que  son  rayon   vectear  décrit  pendant  ce  tems  sera  la 

surface  même  de   l'ellipse  planétaire;    celte    surface   est 

jFab-=  ira^  \/{  i  —  e'  )  ;  mais  on  a,  d'après  la  première 

-et  t 

loi  de  Kepler  -^ ==  -=-  ,  et  d'après  la 

troisième ,  T'*  =  m*à^ ,  m  étant  un  coefficient  constant 
pour  toutes  les  planètes  ;  on  a  donc  c*m*=4«'*^(^  — "C*) , 
d'oii 

a(i  —  e»)  m»   ^ 

et  par  conséquent 

m^  r^  ^ 

t 

Le  cœffident  — ^  étant  le  même  pour  toutes  les  planètes^ 


Gravitation.  a6i 

il  en  résulte  que  pour  chacun  de  ces  corps  la  force  ^  est 
réciproque  au  carré  des  distances  au  centre  du  soleil  ^ 
€t  qu'elle  ne  varie  d'un  qorps  à  l'autre  qu'à  raison  de  ces 
distances  ;  d'où  il  suit  qu'elle  €St  la  même  pour  tous  ces 
corps  supposés  à  égale  distance  du  soleil  :  ainsi  les  pla- 
nètes abandonnées  à  leur  gravité  vers  cet  astre  ,  tom- 
beroient  dans  ce  cas  en  tenis  égal  d'une  égale  hau- 
teur  y  en  sorte  que  leur  poids  seroil  proportionnel  à 
leur  masse* 

187.  Nous  voilà  donc  ct)nduits  par  les  belles  lois  de 
ICépler,  à  regarder  le  centre  du  soleil  comme  le  foyer 
d'une  force  attractive  qui  s'étend  à  l'infini  dans  tous  les 
sens,  en  décroissant  en  raison  du  carré  des  distances. 
La  loi  de  la  proportionnalité  des  aires  décrite  par  les 
rayons  /Vecteurs  ,  aux  tcms 'employés  à  les  décrire,  nous 
montre  que  la  force  principale  qui  sollicite  les  planètes  est 
constamment  dirigée  vers  le  centre  du  soleil.  L'elliptiçité 
des  orbes  planétaires  prouve  que  pour  chaque  planète  cette 
force  est  réciproque  au  carré  de  sa  distance  au  soleil  > 
enfin  de  la  proportionnalité  des  carrés  des  tems  des  ré- 
volutions aux  cubes  des  grands  axes  des  orbites,  il  résulte 
que  cette  force^est  la  même  pour  toutes  les  planètes  placées 
à  égales  distances  du  soleil  :  en  sorte  que  dans  ce  cas 
ces  corps  se  précipiteroient  vers  lui  avec  la  même  vitesse  ; 
d'oii  on  conclut  que  la  gravitation  est  proportionnelle^  à 
la  masse. 

Puisque  la  loi  de  l'attraction  est  connue,  on  peut  ob- 
tenir une  première  approximation  du  mouvement  des 
corps  célestes,  en  supposant  que  les  masses  des  planètes 
sont  trop  petites  et  trop  éloignées  les  unes  des  autres 
pour  s'influencer  ,  ce  qui  n'est  vrai  que  dans  de  certaines 
limites.  Cette  hypothèse  permet  de  considérer  les  phé- 
nomènes pour  chaque  planète ,  comme  si  elle  exisloit  îîculç 


î 


arec  Le  soU  ;  et  k  à«Qrâ  expcwée  ^sdb  le  ckapcftre  pii' 

oiiltfat ,  5*appbqiie  viirei:t>Biemt.  S^oLanent  diai|Di*  planète 
■*JL  nae  «rbifie  coiLaae  «^e  k?m^^3a  a 

Le  Les  coBstuiCes.. 


Aiaà  3Qcft  Ji  La  masse  en  saLci^  bk  ceOle  de  !a  p&iBêCe. 
-^ —  •  ions  I<;iz!:s  .i£tracti«:iis  ;  ehiiCKXi*  tesd  à  attirer 

Fm  «ai»  astn»  T?f5  L~:i;iunï  r  s  âcm:  ok  Test  rez^rier  ie 

-V 

soLetl  ctzmme  nxe  .  :!  Lait  CQUcerroÂ:  'jl  tnri^  ^PP^ 

(pm  à  la  plaïKfie  es  sens  om&nzBe  :  abisi  Te  zno 
nfîatic   est  eu.  à.  La  icmTTTft  t£e  ces  fcnr^s  oa 


«ie  sorte  ^le  |a  =i  Jlf  -4-  us  «  à  racins  «ça'«a  ve  ■esiûe 
ggiafc.Temi.T  à  Jlf .  ce  «^  sufit  peur  une  premâêze 


II  <ist  «K  cnsre  aècesBaÎFe  <ie  oTYmoiîrv .  pour  c^arpe 
pîoa^jiCi:  .  «pt    |iiïi3îl-:d»  y,    '^oe  Toa  ucmsm:  les  Klnmens 


Grivititiow.  265 

dans  le  sysiéme  câeste  ,  cependant  comme  les  comètes 
décrivent  des  orl>es  à  très-peu-près  paraboliques  y  on  voit 
que  la  loi  d'attraction  est  encore  vraie  pour  ces  astres } 
et  leur  mouvement  est  alors  déterminé  par  les  formules 
du  n^.  182.  Les  lois  de  Kepler  s'appliquent  également 
aux  Satellites  des  planètes  j  qui  ont  autour  d'elles  un  mou-* 
vement  relatif  à-peu-près  comme  si  elles  étoient  iounobiles; 
ces  satellites  gravitent  donc  suivant  les  mêmes  lois.  Le 
soleil  et  les  planètes  qui  ont  des  satellites ^^  sont  par  con- 
séquent doués  d'une  force  attractive  qui ,  en  décroissant 
à  l'infini  réciproquement  au  carré  des  distances  ,  embrasse 
dans  sa  sphère  d'activité  tous  les  corps.  L'analogie  nous 
porte  à  penser  qu'une  pareille  force  réside  généralement 
dans  toutes  les  planètes  et  dans  les  comètes  :  mais  on 
peut  s'en  assurer  directement  de  celle  manière.  C'est  une 
loi  constante  de  la  nature  y  qu'un  corps  ne  peut  agir  sur 
un  autre  sans  en  éprouver  une  réaction  égale  et  contraire  j 
ainsi  les  planètes  et  les  comètes  étant  attirées  vers  le.  soleil  j, 
elles  doivent  attirer  cet  astre  suivant  la  même  loi.  Les 
satellites  attirent  par  la  même  raison  leurs  planètes  ^  cette 
propriété  attractive  est  donc  commune  aux  planètes  y  aux 
comètes  et  aux  satellites  y  et  par  conséquent  on  peut  re- 
garder la  gravitation  des  corps  célestes  les  uns  vers  les 
autres  comme  une  propriété  générale  de  cet  univers. 

Nous  venons  de  voir  qu'elle  suit  la  raison  inverse  du 
carré  des  distances:  à  la  vérité  .  cette  raison  est  donnée 
par  les  Fois  du  mouvement  elliptique  y  auxquelles  les  mou-* 
Temens  célestes  ne  sont  pas  rigoureusement  assujettis;  mais 
les  perturbations  résultent  de  l'action  même  des  forces 
attractives  des  planètes  et  des  comètes  les  unes  sur  les 
autres.  Consultez,  à  cet  égard  le  chap  !•'.  du  livre  II  de 
la  Mécanique  céleste  y  et  V Exposition  du  système  du 
tUonde  y  ouvrages  de  M.  Laplace^  dont  nous  ne  saurions 


ttnJMÛivr.. 
I    Bmander  la  lecture  ,  et  dont  nous  avons  «xtritl 
,       te  nous  avons  dit  dans  cet  article. 

ne  loi  s'obstrve  sur  la  lerre  :  on  s'est  assuré, 
^ériences  trii- précis  es  faites  au  moyen  du  pen- 
),  que  snns  la  résistance  de  l'air,  tous  les  corps  se 
"  précipiter  oient  vers  son  centre  avec  une  égale  vitesse  :  les 
corps  terrestre»  ptsonl  lionc  sur  la  terre  en  raison  de  !eun  | 
niasses  ,  ainsi  que  les  planèles  pèsent  vers  le  soleil ,  et  lei 
saUllites  vers  leurs  planî-tes.  Celte  conformité  delà  ualure 
avec  cUe^u^me  sur  la  terre  et  dans  rimnicnsité  des  cieax , 
'  nous  montre  ,  de  la  manière  la  plus  frappante  ,  que  b  pe- 
santeur observée  ici  bas  n'est  qu'un  cas  particulier  d'une 
loi  générale  rép:\ndue  dans  l'univers.  Les  phénomènes  cé- 
lestes, compares  auï  lois  du  mouvement,  nous  con- 
duisent donc  k  ue  grand  principe  de  la  nature,  <^ue /es 
ntolécules  de  la  Jiiatiére  s'aliireiit  mutuellenient  en 
raison  des  masses  j  et  réciprot/uement  au  carré  des  dis- 

.Y-     Mouvement  tTun  corps  pesant  dans-  un  ctuiai. 

iS8>Nousavonssupposé  jusqu'ici  que  le  nuÀîleiekëîweit 
librement  à  l'action  des  puissances  qui  le  scJIÎGÎloieat  j  sup- 
posons mainteciant  qu'il  se  trouve  assujetti  à  parcourir 
une  ligne  donnée  (comme  il  arriveroît  s'il  ^toittrelenu 
dans  un  canal  ) ,  et  animé  par  des  forces  connue  AI «is 
pour  rendre  tout  ce  que  nous  avons  à  dire  p||H  &eite  4 
saisir,  nous  allons  d'abord  trailer  le  cas  oii  lo  ipoiiile  n'est 
soumis  qu'à  la  gravité;  ce  cas,  le  plus  comnHf%d9ns.  la 
jialure,  mérite  un  eramen  particulier  à  cause  4e  SOB  ù%r 
porlance  et  de  sa  simplicité. 
,.  189.  Supposons  d'abord  qu'un  corps  pesant  est  placé 
êwVMPlan  incliné jiBi  soit  Jf  lelieudamobile'aubout 


Mouvement  daws  un  canal.  '       265 

du  icms  /j  et  BM^=^  l'espace  qu'il  a  parcouru  :  enfin 
£oit  y  sa  vitesse  en  '  M»  La  gravité  g  imprime  pendant-  Le 
tenisdly  dans  k  direction  verticale  MD ,  la  vitesse  élé- 
m  en  taire  ^t//^  décomposons  cette  impulsion  en  deux  autres^ 
l'une  perpendiculaire  au  plan  et  détruite  par  sa  réaction  , 
l'autre  ^c^/.cos  BMP  dirigée  dans  le  sens  du  plan  :  il  est 
clair  que  cette  dernière  aura  pour  direction  la  ligne  AB 
de  plus  grande  pente  sur  le  plan  ,  et  même  que. si  l'impul- 
sion primitive  est  dirigée  suivant  cette  ligne,  ce  sera 
celle  que  décrira  le  corps  et  suivant  laquelle  la  vitesse  v 
aura  lieu.  Nommons  g  l'angle  BAC  que  forme  le  plan  in- 
cliné avec  l'horison  :  la  composante  de  l'impulsion  gài 
dans  le  sens  BM  est  gdi.sin  f,  et  on  a  pour  l'accroissement 
de  vitesse  le  long  du  plan  c/y  =  ^sin  $ .  cti*  En  intégrant  on 
obtient 

v=  F+gsint.t,     e=  €-+  Ft  +  ^gsint.P (n'). 

Ainsi  le  point  mobile  est  sollicité  par  la  force  accéléra- 
trice constante  g  sin  t  dans  le  sens  du  plan  ^  on  peut  regarder 
ce  plan  comme  vertical ,  pourvu  que  cette  force  remplace 
la  gravité  j  le  mouyement  est  uniformément  varié*  f^  est 
la  vitesse  initiale  du  corps ,  et  C  est  sa  distance  à  l'ori- 
gine des  e  lorsque  /  =.o.  Si  on  prend  le  point  B  de  départ 
pour  origine  des  e ,  et  si  on  n'imprimé  aucune  impulsion 
initiale  ,  l'équation  du  mouvement  est  donc 

yz:=  gsint.t^  e:=zlgsint.t^y 

la  pression  du  corps  sur  le  plan  est  g  cos  t, 

190.  Comparons  maintenant  le  mouvement  sur  le  plan 
incliné ,  à  celui  qui  a  lieu  quand  le  corps  est  libre.  Comme 
il  descend  le  long  de  la  verticale  BCy  on  a  (i56;  h) y 
e'  =:^^/'%  y'^gt'j  et  f'»=2^e'. 

i°.  Pour  trouver  en  quel  point  de  BC\e  mobile  doit 
être  parvenu ,  lorsque   le   corps  J^  a  décrit  sur  le  plan 


%  1 


ladin^  Pespsce  BMf  û  ftnt  ùàn  fsl' ,  cl  ânuiicr  # 
cfltrekséquatioiiseszl^siBf.  i",  €^=1^.  On  a  donc* 
esze'  BU  f  ,  ce  qui  îodiqiie  qoe e'  est  rhjpcythéiRise  cl*taa 
triangle  rectangle-  dont  e  est  le  c6té  of^osé  k  Pangle  f  ; 
flins  C3i  menant  en  jtf  la  perpendicnlaire  ME  snr  jÉB  ^ 
on  a  B£s:z^  ,  et  le  point  E  répond  à  la  question* 
'   Cette  constmction  fidt  toir  que  si  on  mime  dans  nn 
corde  ACDB  des  cordes  ACj  ADj, . .  par  l'eitmnité\^ 
dn  diamètre  yertical  AB^j  adnsi  qne  BC y  BDy  ...  a  cansa 
-     des  angles  droits  en  O,  D ,. .  •  loutes  ces  cardes  seront 
décrUes  dans  le  même  tems  f  ne  le  dkanétre  i  celte  pra«> 
priété  s'appelle  Jsockrmiisme  {*)• 

• 

f%.9i.        a*.  Comme  on  a  f^*:=:a^,  et  f^  =  2^ai]a  t.^,  pour 
trouver  en  qoels  points  de  AB  et  de  i^ Clés  deoz  mobiles 
ont  la  même  vitesse ,  il  ÙluI  faire  v=  i^,  ce  qui  dottne 
^  se  sin  $.  '  Donc  e  est  llijpothéiiuse  d'un  triangle  reçr. 
tanj^e  dont  e'  est  le  cAté  o[^o8é  à  l'angle  t'}  ainsi  en  me- 
nant l'horisontale  MF,  on  voit  que  BF:=e'f  et  que  par 
conséquent  lorsque  les  mobiles  sont  parvenus  en  ilf  et    ' 
en   F  y  ce  qui  arrive  à  des  instans  difTérens  j   ils  ont  k 
même  vitesse  ;  ou ,  si  on  veut^  que  la  vitesse  du  corps  en 
«      M  est  dirigée  dans  le  sens  MA  y  et  due  k  la  hauteur  BF. 
On  conclut  de  là  que  plusieurs  corps  qui  parcourent  des 
plans  dijféremment  inclinés  ,  et  qui ,  sans  impulsion  pri- 
mitive^   partent  d'un  même  plan    horisontal  y   ont  des 
vitesses  égales  ,  après  avoir  décrit  sur  leurs  plans  resi- 
pectifs  des  parties  de  même  hauteur»  Nous  allons  voir 
dans  un   instant  que   ce   théorème  n^'st  point  particulier 
au  plan  incliné. 

5^*  Comparons  les  tems  emploies  à  descendre  les  lon-^ 
gueurs  BC  et    BA    terminés   à   rhorisontalc  AC -^  soit 

(*)  Tci\  égal,  XjorP«  tems. 


MorTEKEKT  DÂ7ÏB  n?   CAKAU.  S&f 

BC^r^e  d  BA^=zt:,  comme  c'^rigf'^et  «=^^sixif,r-, 
en   a  =   ■  — •  Mais  le  trianx^le  ABC  douce 

e\  ^         e        BA         '       ..    .  « 

«m  f  =  —  j  donc  —^  =  - -y^  =  — .   Aina  ,  qneUe  que 

soit  l'inclinaison  du  jilan  \  les  tems  sont  proportionnels  au 
longueurs  ^^  j  BCz  d^oà  il  suit  que  Zes  tems  empîoj'és  à 
descendre  le  long  de  differens  plans  inclinés  y  sont  entre 
eux  comme  les  longueurs  de  ces  plans,  ' 

191.  Nous  avons  fait  abstraction  jusqu^ci  du  frotte- 
ment que  le  corps  ^roaye  en  glissant  sur  le  plan  ;  nous 
allons  maintenant  y  avoir  égard.  Coulomb  ^  dëmonk^  qu'à 
moius  que  la  vitesse  ne  soit  très-grande  ou  très-petite , 
le  frottement  est  environ  le  10*»  de  la  pression  et  ne  dépend 
point  de  la  vitesse:  d'après  cela,  cellç  que  le  corps  exerce 
sur  le  plan  étant  g  cos  c ,  le  frottement  est  diri^  en  sens 
opposé  au  mouvement  et  ^fg cos ty  f  étant  -^  environ 
(i55).  Ainsi  l'accroissement  de  vitesse  quia  lieu  en  AT quan<iL 
le  corps  descend  de  ^  vers  Af  est  £^'=^(sini — -f  cos  tjdtj^ 
d'où  on  tire  y=g  (sin  1 — /cpsf)/-[-  f''.  ,La  cpnstante  f 
est  la  valeur  de  y  lorsque  /  =  o  ,^  c'est-à-dirç  est  l'im- 
"pulsion  qu'on  suppose  avoir  été  communiquée  au  corp$ 
dans  le  sens  B.My  au  commencement  du  tçms  /. 

Si  le  corps  étoit  au  contraire  lancé  de  A  vers  B  ^  alors 
la  gravité  et  ie  frottement  tendroient  à  diminuer  la  vites^.e 
imprimée  F  y  et  on  auroit  c/fr*  =  —  ^  (sin  i  -[-ycos  i  )  dt  ^ 
d'où  y  =  ^— g  (  sin  t  -{-fcos  1  )  /•  De  softe  qu'en  çuuiu-r 
lant  ces  deux  circonstances  ^  on  a 

y  =  ^ —  g  Cfcos  I  ip  sin  1)  / •  •  (o'). 

On  en  tire  aisément  pour  l'espace  parcouru 

^=  f^^— 5^(/cosf  :çsini)r....f.  (p')\ 


pour  la  valeur  de  e  correspondante,  en  faisant  f*:^3gk 

(i56),  e^  —. ^ .  11  est  clair  (pi'alors  le  corps 

ne  monttra  ie  Jong  du  plan  que  jusqu'à  un  certain  point , 
dont  nous  venoas  de  déterraioer  ta  position  ;  d'où  il  re-     ! 
descendra  en&uitc  en  partant  du  repos- 
ai <=:o  ,  le  plaaesllionsontal  ,  et  on  a  pour  la  solutioD 
du  proLli-iiie  des  Tratnaux,  les  équations  suivanlesqui  n'ont 
lieu  que  jusqu'à  ce  que  la  vitesse  d'iinpulsion  soit  cpuisêe. 

!■=  r-fgi,  t^rt-ief- 

iq?.  Cherchons  mainten:int  les  circonstances  du  moa- 
vement  d'un  corps  pesant  qui  se  meut  ^ss  un  canal 
curviligne,  sans  frotlement.  Supposons  qu'an  poûtt  ma- 
tériel pesant  parle  de  it,  parcourre  l'arc  de  courbe  BM, 
et  parvienne'  en  M  au  bout  du  tenis  (.  Prenoiu  pour 
axes  t'horisontate  Ax  et  la  verlicale  Jly,  de  «orte  que  , 
j4P  =  x,  PM:=.y,  tt  BM  ^  s  :  ioit  S€  7=^  k.  L» 
vitesse  V  que  le  mobile  a  en  M  dans  le  sebs  <le  d'élément 

de  la  courbe  est  v  =  — -  ,  et  la  gravité  l'ai^oienle  de  df 

dans  l'instant  dl  :  mais  cette  force  tend  à  eonunuiuc|uér 
la  vitesse  gdi  dans  le  sens  de  A/ G.  Imitons  dqnc  ici  ce 
qui  a  été  fail  (i8y)  ,  et  décomposons  celle  impulsion  en 
deus  autres,  dirigées,  l'une  suivant  la  normale  JtfJV  et 
détruite  par  la  résistance  de  la  conrbe;  l'autre  suivant  I» 

tangente  MH  et  =  gdl.  -^  ,  puisque  -^  e*lle  cosinus 


Mouvement  dan«  vn  canal.  269 

de  Tangîe   que  forme  la  tangente  TM  avec  l'axe  des  y  . 

dy 
ainsi  raccroissement  de  vitesse  est  dv  =  Qdt  •  —7-  y  d'où 

as 

ydy  -=.  gdjr.  En  intégrant  on  a  v'  =2  ^(^  -J-  C*)  :  or^  îs  A* 

correspond  au  point  B  auquel  la  vitesse  du  mobile  étoit 

nulle  'ou  due  à  la  hauteur  h  (  1 56)  ;  suivant  qu'il  n'a  pas 

reçu    ou    a   reçu   une    impulsion    initiale  ,    ainsi    *»  =  o 

ou  y^  =  ag/i  y  lorsque y^^k}  d'oii  C  =  —  Ai  ou  =  /«  —  A-; 

donc 

y^  =  2g{r—k)yOnv^  =  2g{y+h  —  k)...  (g'). 

Dans  le  premier  cas  f •  =  2^  x  MI ^  ainsi  le  mobile  a 
la  même  vitesse  en  M j  suivant  la  tangente  ^  que  s'il  étoit 
tombé  de  la  hauteur  MI.  Donc .  lorsiju'un  corps  pesant 
descend  le  long  d'une  courbe  y  il  a  en  chaque  point  la 
même  vitesse  que  s* il  étoit  tombé  librement  de  pareille 
hauteur  y  quelle  que  soit  la  courbe  décrite»  Ce  résultat 
nous  apprend  que  la  deuxième  conséquence  du  n*.  190 
n'est  qu'un  cas  particulier  de  ce  dernier  principe.  Voy.  2o4« 
Dans  le  second  cas^  si  l'impulsion  a  été  dirigée  de  manière  à 
faire  monter  le  corps ,  f  =  o  lorsque  ^  =  A:  —  /t  ;  ainsi  il 
doit  atteindre  un  point  K  tel  que  BL  =  /<• 

ig5.  Le  théorème  précèdent  servira  à  faire  connoitre 
le  mouvement  du  mobile  j  en  effet ,  on  tire  de  l'équa- 
tion (q')    V  =  V/  /  2  ^  (j*  — i  A)  \  j    donc 

-1-= V^{^(^-A)} ,  et  ^=  p^^^:^3^ . ...  (O. 

On  tirera  de  Inéquation  donnée  de  la  courbe  ds  en  fonction 
dejr  et  c{^^  et  la  substituant  ici,  on  aura ,  en  intégrant 
depuis  yzzih  ,  le  tems  employé  à  descendre  de  B  en  M* 
Lorsqu'il  y  a  une  impulsion ,  il  faut  mettre  A— A  pour  A. 


r 


I    • 


VL    Ptndvie  simple.  * 

^\n.  194*  AppBqoons  ce  qui  Vient  d*éfrc  dit  an  ctrchs 
mit  mi  point  matérid  pesant  Q  Hé  à  un  .fil  QO  > 
inextensible  et  sans  pesantenr,  dont  l'extrémitj  O  wt 
fixe  y  on  donne  à  ce  système  le  nom  de  Pshdui.k  sixmu 
Prenons  le  point  le  pins  bas  A  poor  origine,  et  la 
Verticale  ^Ô  pour  axe  desx;  ainsi  ÀGzz^iXj  GMcsf 
et  AM  z:;:=s,  M  étant  le  lieu  du  mobile  aq  bout  du 
teùiB-i,  et  Q  le  point  de  départ;  ADssb,  et  le  rsjon 
i  AO'=  r.   La  vitesse  que  le  mobile   a  en  Jlf  dans  lo 

sens  de  la  tangente   étant  due  à  la  hauteur  DG  ,  o»  ' 
a  Vz=sy/  (agxDG)',  mais.  1>G  =  6— X  |  donc  on  a 

t:^  =  t/(a^(i_*)},  d'où  A=-,_^^*-^; 

comme  Parc  s  décroît  lorsque  le  tems  i  augmente ,  Immh 
mettons  ici  le  signe  — •  Cela  posé  on  détermine  ds  en 

fonction  de  j:  et  £^;  car  Téquation  du  cercle  donne 

-  rdx  rdx  a 

^»  :=  2  ra:  ^—  x^,   as  =: 


\ 


£a  substituant  ^  on  a  donc  .     . 

dt  =  • . f  0. 

C'est  de  l'intégration  de  cette  équation  que  dépend  la  con- 
noissance  du  mouvement  du  pendule.  On  doit  remarquer 
avant  tout  que  lorsque  le  mobile  sera  arrivé  en  A  y  il  aura 
dans  le  sens  horisontal  une  vitesse  due  à  la  hauteur  AD  , 
de  sorte  qu'il  sera  dans  le  même  état  que  si  ;  placé  en  A  , 
on  le  tiroit  du  repois  en  lui  coxiununiquaut  dans  le  sens  ho^ 


PsifBULK   SIMPLE.  37! 

risontal  la  yitesse  ^<^S  yc^D\.  Or  on  a  vu  (iga)  que 

cette  impulsion  le  fera  remonter  au  point  Q'  y  situé  sur 
rhorisontal  QD.  Ainsi  le  corps  perd  peu  à  peu  la  vitesse 
qu'il  a  acquise  y  et  il  est  en  Q'  dans  le  même  état  ou 
il  étoit  en  Q  ;  il  doit  donc  redescendre  ^  et  remonter 
ensuite.  On  a  nommé  Oscillation  cette  sorte  de  mouve- 
ment j  qui  se  perpétueroit  à  riofini  ^  sans  la  résistance 
de  Pair  et'  le  frottement  sur  Taxe  dont  nous  faisons  ici 
abstraction. 

igS.  Avant  d'intégrer  l'équation  (i)  dans  le  cas  général , 
il  est  bon  d'examiner  le  cas  oii  les  oscillations  sont  très- 
petites  :  alors  x  doit  être  négligé  devant  r  ^  ce  qui  donne 

. —  rdx  ^\Xf^\  — ^ 

Mais  (160)  on  ^f^^J^±—^  =arc  (cos=  ?^^)  =. 
lorsqu'on  intègre  depuis  xrnzh  jusqu'à  j:=oj  on  obtient 
donc  ~  V  y/  {  —  j  pour  le  tems  de  la  demi-oscillation  ^ 
et  pour  le  tems  T  de  ^oscillation  entière 

£^     — ■  dx 

On  observera  que  l'intégrale  /  — est  aussi  bieû 

J   y{ox — a:*; 

5»  ,  5ir,. . .  que  w)  puisque  tous  ces  arcs  ont  également 

—  i  pour  cosinus  :  ce  qui  fait  voir  que  le  mobile  arrive 

en  ^  ^  dans  une  infinité  de  tems  successifs  y  tous  séparés 

entre  eux  par  le  tems  vr .  1/    (  —  )  qui  est  celui  de  l'oscilla'- 

ti^n  entière.   Cela  répond  aux  oscillatioiU  successive», 


t 


la  Ta  if^tUt.  Oaûndt  l'èq 

K««  rmianinablci. 

mne  le  Icmt  T  «t  iixJ-^pfliâaiil  ée  h,  m  rat 

.le  mir  loit  l'amj^lîlaile  de  rncurtkni  Q'jiQ,  ^ 
If—  (Mcillation  «Il  le  nt'nie  ,  poonn  i^D'erllr  ttàx bù- 

nii  da  niokilei  pbci-i  en  àrim  poiats  de  l'are 

.jrlant  du  repo*,  «rriverotii  tuus  en  mêmF  laat 

m  A.  On  dit  alors  que  Im  oscUlalion»  Miii7M£Araaef  [190) , 

Nom»  rerienUrons  bienlAl  sur  celte  propriélé  :  198,  a".  J. 

a*.  Scitnnt  r  el  r'  l£S  longueurs  de  deux  pendais,  les 

Aicui  /^i  durées  des  osciUaùons  nom  entre  «/fcï  comme 
/ei  racinei  caffées  des  longueurs  des  penduies. 

5*.  Si  prniUiul  le  tems  t  un  pendule  fait  iVoscïllaliou, 

In  (liiréo  de  Tiitie  d'elles  est  =:  - 


A"  ■ 


ptjndufe  de  iongaeur  r'  feroit  iV'  oscillatytu  Aaâ»  le 
même  tems  ( ,  donc  r^N'^  =1  rN'.  Ainsi  les  longueurs  de 
deux  pendules  sont  entre  elles  en  raison  ùnwrte»  des 
carrés  des  nombres  ^oscillations,  faites  dans  le  même 
fems>  li'é(pMi<m  précédente  donnera  l'une  des  quatre 
cjuanlitds  r,  N,  r*  et  N'  lorsqu'on  connoilra  les  trois 
«utrei< 

Ainsi  ponr  dé terminerla  longueur  r  du  pendule  qmbat les 
lécondei ,  on  en  fera  osciller  un  de  longueur  ar^traire  r' , 
et  on  comptera  le' nombre  ÏV  d'oscillations  qu'il  ÉA  dans 
nn  tems  déterminé  ,  tel  qu'une  minute,  ce  qui  donnera  r. 
C'est  ainsi  que,  par  eiemple,  on  verra  qn'dn  peidnle 
de  5  pieds  de  long  fait  48,6  oscillations  par  minute.  On  a 
donc  don  r'^Spîedi,    ./V';±:48,5  et  iV=:6o  j  on  en 


conclut  que  la  longueur  du  peiidoto  a  seconde  esf  de 
0,742  mètres  ou  de  3"' 8*^,57  =  9,94  décimètres,  sui^rant 
qu'on  divise  le  jour  eu  joo  090  ou  en  df^é^oo  parties,  c'jest* 
à-dire  suivant  qu'il  s'agit  de  la  nouvelle  ou  de  l'ancienne  ' 
mesure  du  iems.  :  mai&  on  ne  doit  point  oublier  que  c^tte 
longueur  varie  dans  les  différens  lieux  de  la  terre ,  tant  à 
cause  du  défaut  de  sphéricité  j  que  par  l'effet  de  la  forcé 
centrifuge  (210). 

4®-  Puisqu'on  a  g*  = j— *-  y  os  peut  donc  déter- 
miner avec  la  plus  grande  exactitude  la  valeur  numérique 
de.  la  gravité  g^  »  l'aide  d'une  expérience  qui  feroit  cou- 
noitre  les  grandeurs  IV  eti  pour  un  pendule  de  longueur 
connue  r.  Nons  avons  donné  eetfe  valenr  (i56,  §)• 

196*  Ilepnenons  maintenant  l'éqùàtion  (f  ) ,  .et  examinons 
ce  qui  arrive  lorsque  )çs  excursions  du  pendule  sont  de 
grandeurs  quelconques.  Four  intégrer  nous  diviserons  et 
multiplierons  respectivement  par  arxlteftcteun  sous  l^e 
radical  ^  ce  (pî  donne  "  —     '>    .      , 

développant  f  i  -r-'  rr^.\     ,  s&a  d^obtenur  iH^^iti  een|-*^    . 
vergente ,  on  a  . , 

On  tfbcervi:  ^  leis  «ër^é-  à  intégreî^  isbht  tdits  de  la  fytme 


•t..  î'. . 


—'- > ^  «et  ave  de .  plus  pour  obtenir;  le  tams  d^  1^ 

'dteriifH0*5îllatîoi^ ,  Wrfféf^  d<5it  être  pHse  enti-e  léS  lifftîttfl 
^  =x  *»>  et  dtiXi'(^'Ot'*ié^  formtM  iàlàn^tM  (  Ccd.  inti 

18 


..  v.i  •"! 


-"•^l/f 


bf  soit  quit:::. 


>^-ai'jit   soit  que  "X 
/>   —x-dx     ^  ^^^^^  on  aura 


V    f-r— ^% 


=  i^- 


2  ?71 


•    ^'-.-O^ 


7/1 


V  •     •-' 


-      'U Z 


i  b  . L  .^-,> ,  etc..- 


.'•n 


— =  arc  l  cos  = -, )  —  ■' 


■JUS 


'•:•... Ik^^Iiaut  ces  équations  enire  elles,  et   réduisant,  on*  l^^ 


— .r""<i.r 


m 


•  «". 


1.5. -•...'2 m— 5'  (2m— 1, 
1 .2.5.  •  .m 


F 


*  ;\  .ahnlMunt  sncccssivrmcnt  à  m  les  valeurs  o.  i,  2.5... 
.  i  >.,lvNUtnAnl  les  nsuitats  ,   on  obtient 

\       .             1  N-    /î             /J.^...'2n7  — 1  \'   b"^  ) 

V    V      -  W  \  i-*-»       -  y  . —  ...-^(  ) hctc; 

\  .,  l  \   .^    /      ?.  r  \      2.^. ..2  772        /   2"T  > 

i  »*:v.ra»^  ,'■  (Si  V  sir.L-j:  ->  r'">:'  ...  r.'.niîe  QOj^,  lcir>JUv  cet 
..V»  •!.•  »-Nt   t; «s-  pot::  ,  ;.;.  L/iulIc  prècéientc  se  réduit  d  u 

lo".  \  c  u\o:  .0  p:.s>:  C'j  Q  en  ^^  pir  diiTerens  decrés  ce 
\  î;,^vv»'  ^  r.*'.'  rst  im-^OT'.-:^-!  -.^t-  connoitre.  Pour  cela  Jesi- 
.«:^u>r.s  pnv  N  ];i  :  irr^^r  ^^^,\::^^- .  •:''esU::'Circ  la  vitesse  dt 
jsiini  r.c  ;.;  1^:..:"*:  \IO  cwi  c>:  distant  Cf  O  et  l'unile  :  lei 
K«i  *vï\;,^;\  '.'.Cv.N  «.Uiiî  cn;^c  eies  cvizr.r.ie  leurs  ravons  ,   le* 


Tautochrone.  275 

ints  qui  les  décrivent  sont  clans  le  même  rap- 

i)  la  vitesse  du  point  Af  est  rar^  et  on  a  (192) 

:DG):orDG=z  OG---  ODy  et  les  triangles 

)  donnent  OG  =z  r.côs  Ô,   OD  z=z  r.QOsfy 


^  {—  (cos  d  —  cos/)  \  • . 


C)- 


Propriétés  mécaniques  dé  la  Cjrcloïde. 

is-noiïs  de  la  formule  (r')  pour  trouver  le  i'»g.  34, 

oicroio  un  corps  pesant,    placé  en.  4/ ^  sans     " 

iale  y  pour  descendre  au  poir^t  u;^  le  plus  bas  ^: 

rloide  i>/-^ ,  dont  l'axe  .CO  e^t  hpnsontal. 

nttre  BA  du  cerclo  générateur,  nous  avons 

équation  de  U  cjcloïde  est  f *  r=  4^  ^  cdl 

3our  axe  des  / ,  et  le  point  ^  ppfir  Qrjlgiiiesg 

dr 
=  l/a  .  —  •^—  ;   et  comme ,   en'  subposant 

n    a    pour    la   vitesse    du    mobile  €fn    O , 

—  ds 

)=i'\/[ig[k — J^))= — ^ —  p   ou  en  tire 

t 

t  Piiitégralc  depuis  j^=' A,  jusqu'à  ^  =  oy 

\  g  / 

là  deux  conséquences  remarquables* 
deur  e§t  la.niéme  que  nou&AVons  déjà  trouvé© 
de  la  denii'oscillation  (196)  dans  un  arc  de 


I 


'  '     ■/'.■         '^    ■■ 

c^rda  Iréï-pelit ,  en  supposant  toutefois  3«^3=ri  c'tst- 
ladîrt  ipie  le  cercle  «loît  avoir  a  x  >if /f  pour  ra^oa.  Cela 
4^«St  de  ce  <}ue  le  cerclç  otcuiateur  de  la  cjcioïde  aa 
pAat  A ,  a  pour  ra^oD  ai ,  el  se  confond  avec  cctre 
fourbe  pendant  nu  petit  ari.;  :  on  peut  donc  supposer  qm 

.  c«  carcle  est,  dans  cif  eipac^^  la  eoori^  que  ie  coqu 
pMtnt  âécnU  -      v  ■  .  .  * 

a*t  La  quantité  /i  n'entrant  -point  dans  la  Taleur  du 
Mm»  If  il  s'enmiit  <jae  le  tems  employé  à  arriver  au  point 
A  HToit  le  nt^e  ,  qneF  que  fût  le  point  de  départ  M~ 

■  Cette  propriété  de  la  cjcioïdc  n'appartient  au  cercle  dani 
1<M  «ru  Irtfr-petJI»  ,  que  parce  que  ces  courbes  sont  «ca- 
bilricM.  On  a  donne  à  cette  propriété  doat  jouit  la  cjrctoîik 
IttBOBt  de  Tautochronisme  {*). 

■  Aprci  «ro^  reconnu  que  la  cjcioïde  étoit  Tautochrone, 
-HM^mrttin',  -  à  qui  on  doit  l'application  du  pendule  aui 
lUirlagcS ,  ïroâgina  de  leur  donner  ponr  régulateur  ua  peB' 
dnle  à  oscillations  cycloïdales  :  voici  comment  il  en  conçut 
l'exécution.  On  sait  que  ta  c^clo'ide  a  pitui-  développée  UJW 
autre  cycloïde  égale ,  mais  disposée  en  sens  différent 
(  Cal.  àljfér.,  Lacroix,    io5  ).    Supposons  donc  qu'on  a 

1.  çoQrbé  deutc  Unies  AC  et  AI) ,  sou«  lu  forme  de  deui 
arcs  de  cvcloïde  égaux ,  qui  auroient  pour  sonunet  cou[- 
mun  le  point  ^^  de  suspension  d'un,  pendule.  II. est  cUr 
^Uftcf^  *^'^  ^e  courbant  sucocsslvcment  sur  chacune  dci 
deux  lames  ,  feroil  décrire  au  mobile  un  arc  de  c^yclcïde  ^j 
qufllc  qiie  fôt  l'excursion  qu'il  scroit  conlraipt  à  faira- 
Mais  cette  théorie  est  plus  ingénieuse  qu'utile  ;  car  com- 
^icnt  dunner  e(  conserver  aux  lames  la  forme  cyclot^lel 
On  se  sert  avec  plus  d'avantage  des  peodtilts  à  petitet 
oscillations;  leur  mouveruent  est  é^iiicment  isochrone, 
et  n'a  pa>  1m  iqÀne»  incoavùiiens. 


199*  Après  tvoir  reconnu  ^e  la  tycloïde  est  tautochrone 
dans  le  vide  ^  il  convient  de  s'asrarer  si  elle  jopit  seule  de 
cette  pfôprîëték  PréAons  Tôrigilie  dea  coordonnëes  au  poin^ 
le  plus  bas  où' la  tangente  eàt  horisôiitale ,  comptons  les  j- 
Yerlicalemenl^  noMmôttft  s  l'atc  fjcàt^tt  à  d^rire  ^  et  «f 
l'arc  entier.  La  cotnposAnte  da  là  gravité  suiraAt  l'arc  iP  de  la 

courbe  est  —  ^  -— -  :  si  l'éqoation  de  cette  courbe  étoît 

or- 
donnée ~-^  seroit  nne  fonctiob  connue  de  si  on  peut  ddne 

as  * 

supposer  — -  =  Ms  *  +  Ns  +  etc. ,  « ,  ?• . . .  ^tant  de» 

exposans  croissans  et  positifs,  puisqqe  é'-T"  doit  être  nul 

lorsque  ^  =  05  M,  iV. .«/sont  des  coefRciens  indëpen*  • 

dans  de  S.  Concevons  maintenant  la  coUrbe  rectifiée ,  car 

la  vitesse  n'est  point  changée  par  la  courbe  (  vojez.  204  ;!**•)  Fig.  js. 

B  l'origine,  D\é  point  ded^t;  BD=Sj  BNr=iSy  et  \t 

^'  ^  dy 

mobile  soumis  en  iV  à  la  force  —  g  -—-  •  on  a  donc 

as 

=  —  gMs  —  çNs  —  etc. 


n    s'agit   d'intégrer   cette  équation   depuis  s  =  S  jusqu'à 
5  =  0,  et  on  devra  obtenir  une  valeur  de  /  indépendante 
''    de  $>  On  multiplie  par   lù  ,  oh  intègre  y   et.  comme  Im 
vitesse  est  nulle  en  D  ou  5=4$.  on  trouve 

Pour  dégager  les   divers  termes  de  S ,  faisans  ^  =  (9«  ^ 
ils  seront  tous  de  la  forme  — ^ —  5^'~*(i  *— â»**""^),  le 


^7^  ..Dynamique. 

premier  membre  étant  — — .  Or  lès  limites  de  Tintégration 

qui  reste  à  effectuer  étant  #=i  cit#==:o^  qui  ne  con- 
tiennent pas  S  y  elle -ne  peut  faire  disparoitre  «S,  à  mohis 
que  l'un  des'termes  nVn  soit  indépendant  et  les  autres  nuls^ 
ainsi  «  :=:  i  et  iV^=:o....Ce  résultat  n'est  vrai  qu'autant  que 
la  force  accélératrice  est  indépendante  de  la  vitesse,  car 
M  y  N seroient  des  fonctions  de  «S*. 

On  a  donc  -r-  =  Ms  ou  -r—  =  —  gMs  :    ce    qui 

ds  dt^  &        ?  ^ 

I 

montre  que  pour  que  I^  courbe  soit  tautochrone,  il  est 
nécessaire  et  il  suffit  que ,  pour  chaque  instant ,  la  com- 
posante de  la  gravité  dans  le  sens  de  la  tangente  ,  soit 
proportionnelle  à  Parc  qui  reste  à  décrire  pour  arriver  au 
point  le  plus  bas.  Pour  trouver  Péquation  de  la  courbe  y 

îl  faut  intégrer  -—-  =  Ms  ,  ce  qui  donne  j^  =  -i  Ms^  y  et 

éliminer  s  entre  ces  deux  équations  :  comme  en  général 
cette  courbe  est  à  double  courbure,  on  obtient,  en  faisant 


2 


M 


dy^  dy^ 

A  -^^—'  =  ds-^y  ou-  A  -  —  =  dx'^  +  t/r*  -|«  dz^. 

j  y 

En  sorte  que  si  une  relation  entre  les  trois  variables  x  , 
y  çX  z  satisfait  k  celle  équation,  la  courbe  à  laquelle  elle 
appartiendra  sera  taulochrone,  et  réciproquement.  Or  une 
seule  relation  entre  trois  coordonnées  ne  suffit  pas  pour 
déterminer  une  courbe  :  si  elle  éloil  intégrable  (  et  par 
conséquent  déconiposable  en  deux  facteurs  du  premier 
degré  ) ,  elle  donneroit  une  surface  courbe  qui  seroit  le 
lieu  de  toutes  les  tautochrones ,  c'est-à-dire  que  toutes 
les  courbes  qu'on  pourroit  tracer  sur  cette  surface  jouiroient 
de  la  propriété  du  tautocfaronisme.  Mais  comme  cette  équa- 


Tàutochronk.  279 

tien  n'appartient  pas  à  une  sur&cé  courbe  ^  elle  est  du 
nombre  de  celles  qu'on  regardoit  autrefois  comme  ab- 
surdes y  et  que  Moivge  a  <lëniontr^es  appartenir  à  une 
infinité  de  courbes  à  double  courbure  y  jouissant  d'une 
propriété  commune  (  Cal.  inu  y  Lacroix  y  5o8  )•. 

S'il  faut  que  la  courbe  soit  dans  un  plan  y  on  pourra 
toujours  le  supposer  passer  pai;  l'axe  des  x.  Alors  y  pour 
rapporter  la  courbe  à  des  coordonnées  x*  et  y'  prises  dans  te 
plan  y  on  fera  x:=:  x'  ,z  ==/'  cos  é  et  j^=  y'  sin  tf  ^  é  étant 
l'angle  que  le  plan  fait  avec  celui  dés  xz  y  ce  qui  donne 

^sind. -:—- =^a:"+rf^'*=  <fc*,  d'où  on  tire  (198), 

s^z=z  ^  Ajr'  sin  t-  qui  est  l'équation  de  la  cycloide  :  si  le 
.plan  est  vertical  sin  é  =  i. 

U  résulte  de  là  qu'//  y  a  une  infinité  de  Tauiochrones 
à  double  courbure  y  et  une  seule  Tautochrone  plane  y  qui 
est  la  cjycloïde ,  verticale  ou  inclinée* 

âoo.  Si  on  veut  que  la  tautochrone  soit  tracée  sur-  un 
cylindre  vertical  à  basé  quelconque  y  ou  ^  ce  qui  revient 
au  même  y  si  on  se  donne  l'équatiou  sur  le  plan  horisontal 
de  c'ette  base  qui  est  la  projection  de  la  tautochrone  )  Télé^ 
ment  de  l'arc  de  la  base  sera  €/^»  ==  dir*  -+•  dz"^ ,  ce  qui 

change  notre  équation  différentielle  en  A  •^•-T'-=:dy^^dfi\ 

Or  il  suit  de  ce  qu'on  vient  de  dipci  que  cette  équation 
est  celle  d'une  cycloi4e  qui  a  llirc  fé  pour  abscisse  y 
comptée  sur  la  base  cylindrique  ^  donc  si  on  trace  sur  un 
plan  une  cycloide ,  et  qu'on  la  courbe  sur  un  cylindre 
vertical  à  base  quelconque ,  en  mettant  roriginè  au 
point  le  plus  baa^  on  aura  une  tautochrone  à  double 
courbure. 

201.  Le  tems  qu'un  mobile  emploie  à  parcourir  la  corde  7jg.99«<v< 
GB  d'un  cercle  ACB^  est  le  même  (  190;  i^)  que  celui 


inrr      i   ~      i      i 


k-^^  >  ^|^_«riita 


t<j« 


,  *>  Vx-  * 


n 


Brachyitochrone.  281 

f-  :  le  tems  nécessaire  pour  4e6oendre  de  M  ea 


m'j  devant  être  on  minimum  ^  on  aura  donc 
.  C        ds  d$'       > 

Nous  employons  le  signe  t'y  pour  distinguer  la  variation 
qui  a  lieu  ici  y  et  qui  se  rapporte  au  passage  d*un  point 
de  la  courï>e  à  un  point  d'une  autre  cottrI>e  ^  de  celle 
qu'on  désigne  communément  par  la  lettre  ^f^  «t  qui  pro- 
vient de  la  considération  de  deux  points  pris  jsur  la  même 
courbe.  Or  il  y  a  ici  des  grftndeurs  constante^  qu'il  est 
facile  de  reconnoitre^  telles  sont  gp  x^^  x'  ^  puisqu'elles 
ne  dépendent  pas  de  la  considération  qui  vient  d'être 
exposée  pour  établir  les  variations.  On  a  donc •  •  •  • 

.^1 —  j^  ■  '  . ■  =o.  Cela  posë^  à  cause  de  ^.<ia:==o, 
^  X  -^  X 

dr  dr' 

on  a  è.ds-rri—  ^•dx}  et  aussi  f^^ds*^:^  -—  f-djr^}  <lonc 

«1 — ^  ^  ^  ■  •< —  =0.  Or,  soit  qu  il  s'agisse  de  l'arc 
dsyjx  ds'x/x' 

Mmm' ,  ou  de  l'arc  Mnm'  y  l'ordonnée  pm  ou  pn 
devient  toujours  p'm'  ^  donc  dy  +  d/'  est  une  gran- 
deur constante)  d'oii  on  tire  i" {dj' +  djr' )  =::  o  y  ou 
f.djz=z'^t'.(fy' i  tX 

'^  ''^      -=o. 


ds^  X  d^\/x' 

Il  est  aisé  de  voir  qoa  le  deuxième  terme  de  cette  équa- 
tion n'est  autre  que  le  premier  ,  dans  lequel  on  a  aug-- 
mente  chaque  variaMe  de  son  accroissement)  cette  ^nation 

•^vaut  donc  i  ^(-^)  =  o,  ou  3^=-^.  Or 


\ 


f  ■  - 


-y 


•1^^ 


■  tSn  .      •  ^      DiwlHiçiri.  ^ 

•^-'Ctt'Ie.iiniisidtf  Fangle  ^e  k  tanjgfÀte'  a  la  courbe 

fait  avec  l'axe  des  abscisséi  ^  'au  point  oii  cette  tangente 

dr 
4^t  horisôntalc  ^  cet  aii^e  est  droit ,  et  on:  a  —»  =  i  : 

soit  a  Tabscisse  inconnue  de  ce  point  ^  on  a  ^=  -^^ —  y 

''4^r^^^r\''  .'•     "  );i  i^fflation  qui  appartient  à  one 

-  cycloïde  (67)  dont  l'axe  dfcs  i  est  vertical ,  et  qui  a  le  dia-. 
mètr;?  de<  s6n  cercle  gëiiiêratènr  =  a  \  ainisi  ils  «x^îbrfie  <ib 
ylus  vtte  deiic$ntc'est  uHë  cycloiâR.  '  ' 

,  Pdurcdiistrnité  ceUe  courbé;  il  suffit  detroureplé  dja- 
mètrea idâ'Êércle  gënéraienr;  comme  on  conpôlt lUisdsse 
Yig.  10^  et  Pordopnée  du  p<|int  A  pif  le.  mobile  doit  pérvennr  ,  on 
mettra  ces  valeurs  dans  Péquation  précédente  après  l'avoir 
.intégrée-,  et  oh  en  déduira  la  valeur  de  à*  Oapeat  ansii 
employer  une  construction  fort  simple  \  A  txK  étant  les 
deux  points ,  donnés ,  on  mènera  la  droite  AU  ,  on  tracera 
sur  la  base  horisontalc  -^/^  une  cycloïde  quelconque -^^ATZ, 
et  par  le  point  K  de  rencontre  de  cette  courbe  avec  AR , 
on  mènera  à  rextréniité  L  de  son  axe  la  droite  XZ:  la 
parallèle  RFk  KL  déterminera  le  point  jPqui  donnera  AF 
pour  l'axe  de  la  cjcloïde  cherchée,  c'est-à-dîçe  que  AF 
sera  égal  à  la  cirGonférence  du  cercle  générateur  ;  ou 
AF  =  2  5r  a.  Cette  construction  est  fondée  sur  ce  que 
toutes  les  cycloïdes  sont  des  courbes  semblables ,  puis- 
qu'il n'entre  dans  leur  équation  qu'une  seule  constante*, 
qui  est  le  diamètre  du  cercle  générateur.  On  voit  aussi  que 
pour  deux  points  donnés  A  tl  Ry  il  n'y  a  qu'une  seok 
cycloïde  qui  puisse  remplir  les  conditions  du  problén^e  de 
U  brachystocbrone.  Y»  le  Ca/,  des  Fan  à  la  fin  de  ce  Traité, 


MocTEMXsrr  «cm  cum  c(n'R.£E  pi  ^xï. 


Vin.     Du  momrmfni  ^UH  poîni  assujcnl  «z  parcourir 

une  ctmrhe  plane» 

202.  Jusqu*ici  nous  n'arons  considéré  d*autre  moure- 
méat  sur  une  courbe  que  celui  qui  csl  produit  par  la  ^rr&- 
vite  :    il  est  important  maintenant  de  gênciatiser  notre 
théorie  et  de  Tétendre  à  des  forces  quelconques.  Pour  cela  , 
obscfrvons  qu'un  mobile  ne  peut  être  ainsi  contraint  dans 
son  mouvement ,  sans  qu^  exerce  continudlement  «ne 
pression   sur  la  courbe    qn'il  décrit  :  cette  pression  est 
d'ailleurs  normale  à  cette  courbe^  car  autrement  elle  poor- 
roit  se  décomposer  en  deux  (48  et  95}^  Tune  nonnale  et 
détruite  y  l'autre  tangente  et  en  rertu  de  laquelle  le  point 
n'auroit  pas  d'action*  sur  la  courbe  ^  ce  qui  est  contre  rhv<- 
pothèse.    Employons  les  procédés  qui  nous  ont  déjà  été 
utiles  (  1 56  ) ,  pour  ramener  le  mobile  à  l'état  d^  liberté  où 
il  doit  être  pour  que  les  équations  (6%  c')  soient  appli- 
cables: concevons,  au  lieu  de  la  réaction  de  la  courbe, 
une  force  normale  iV  ;  (  et  par  conséquent  variable  d'un 
point  à  râatre  de  grandeur  et  de  direction  )  et  qui  soîl 
sans  cesse  égale  et  opposée  à  la  pression  ;  et  supposons 
que  celte  force  agisse  d'une  manière  active  ,  avec  celles  du 
système  réduites  à   deux  X  et  K,  (166).  Jl  est  clair  que 
détruisant  sans  cesse  la  pression'  du  mobile  y  elle  le  met 
dans  le  même  état  que' s'il  éloit  libre  :  et  la  courbe  qu'il 
décrit ,  peut  être  considérée  conime  une  trajectoire  ordi- 
naire. 

2o5.  Soit  BMZ  la  courbe  plane  que  le  mobile  est  assu-  Fij.  us. 
jetti  à  décrire  i  XelY  sont  les  forces  parallèle^  aux  axes 
Ax  et  Ajr  )  le  corps  est  supposé  en  M  au  bout  du  tems  /  ) 
BAf=.  s  y  AP  =  X  y  PM=zj  )  enfin  N  est  la  force  nor- 

dy       dx 
|3iale  dont  nous  venons  de  paflen  On  sait  que  --7--  et  — - 


•pot  les  cosinus  des  «ngks  que  fiE>nne  k  amrmale  avec  les 

axts  désuet  àujr,  ainsi  le»  comyoeanles  de  JVdans  le 

dv  dx 

sens  de  ces  axes  sont  «*«iV-^  9  et  iV --7- (*);k  première     ' 
,  as  as   ^ 

est  ici  négatirey  parce  qu'dle  tend  à  dimiiraer  ks  xs  ainsi 

(*)  Le  fi^rct  JV  agit  toiraiit  la  normale ,  mais  on  ae  conaolt 
pat  d'aYODce  daaa  quel  aent  ;  nous  iOppûtoD»  ici  qu'elle  leml  à 
éloigner  fe  mobile  'du  eenirm  de  eourhuré.  Or ,  cela  étt  ia- 


dilTéreat  povr  raaaljte  dont  l'te  det  pin»  pr^ciéaz  âviMages 
est  de  donner  aon-tenlemeflt  les  foreea  ioeoBanet»  mais  eaeeie 
le  seas  saîvaat  lequel  elles  agiiseot*  Si  donc^  pear  aa  iattiar» 
et  an  lien  déterminé  du  Goq>s»  la  formule  (¥')  doatioit  pear  Jf 
une  valeur  numérique  négatif  e  9  on  reœnnottroit  que  la  force 
agit  dans  un  sens  opposé  à  celui  qu'on  lai  attribue  iti»  ç^eiMi-; 
dire  tend  ters  le  ceutrè  dé  courbure. 

Ce  qu'il'  importé  sur-tout  de  re'marquer ,  c'est  que  Us  deux 
composantes  de  Jf  sont  essentietlèment  de  signes  contraires  t 
ea  elfcty  on  doit  supposer  que  la  courbe  est  do&aée  par  soa 

équation  y  et  que  -y-  et  -3—  doivent  être  employés  dans  le  calcol 

avec  \eê  signes  qui  leur  oppartiennent  et  qui  dépendent  de  Is 
forme  de  celte  courbe.  OaiUeurs  la  force  JV  ne  peut  avoir  que 
quatre  dispositions  possibles»  suivant  que  l'angle  que  la  nor- 
male fait  avec  l'axe  des  x  est  aigu  ou  obtus  et  suivant  que  la 
eourbe  présente  &  cet  axe  sa  concavité  ou  sa  convexité.  Ainsi  » 
•u  l'une  des  deux  composantes  de  2V  tendra  h  augmenter  et 
l'autre  à  diminuer  les  a:  et  j^*,  ou  le  contraire  aura  lieu  :  or , 

dy 
dans  le  premier  cas ,  x,  ^  et  5  croissent  ensemble ,  doilc  -j- 

dx 
et  27  Mront  positifs;  taUdis  que  ,  dans  le  second   caâ ,  ces 

.  rapports  différentiels  ont  des  signes  contraires  :  il  suffirai ,  pour 
e*ta  cenTaîncre,  d'examiner  tour-Mour  les  quatre  dispositions 
que  peut  avdir  la  force  iV,  et  de  supposeï^  qu'elle  tend  h  •*-'.  -  :: 
du  centre  de  courbure* 


f  ■■ 


/ 


p 


■  r 


Mouvement  ,iw»  vn»  çqurbe  plane.  aSS 

le  mobile  peut  être  considère  con^ne  lilnre  €t  anime  par  les 

forces  A"—  A^ -^  €t  K+  N^  i  et  les  équations  (i',  c') 

deviennent  ^  suivant  qu'on  a  dt  constant  ou  variable  , 

do  ds^  dP  ds 


•  •  • 


Telles  soirt  les  équations  du  mouvement  :  et  on  vo^t  que  si 
on  leur  joint  l'éqnation  ivL  canal  que  le  mobile  est  assujetti 
à  décrire ,  on  aura  trois  relations  entre  les  quatre  variables 
^  •>  y  t  /  et  iVj  de  sorte  qu'à  Taide  de  l'intégration  et  de 
rélimmatkm  j  on  obtiendra  des  équations  entre  deux  d'entre 
eUes.  C'est  ce-qne  nous  allons  développeret  appliquer  à  des 
exemples. 

•  !feo4.^  Pour  trouver  la  valtetnr-  de  la  vitesse ,  employons  le 
procédé  du  n**.  - 168.  Multiplions  ht  première  de  nos  équa- 
tions par  £&,  la  seconde  par  €fy'  j  et  ajoutons  :  ce  calcul 
fidt  disparoitre  )es  termes  qni 'renferment  TV,  et  on  a  encore 
ici,  eofAme  précédemment ,  !'•'=:  A+  if{ Xdx  +  ydj')y 
ou  y* —  ÂJ^o.^j  ce  qui. donne-la-  rn^ma  va^ur  de  v^  et 
nou$.  tournit  plusieurs  conséquences  importantes. 

!,<>..  La.  vaUur  de  la  con^tai^te  ^dépend  éo  ceUies  de  ir  et  ;^ 
à  us  isolant  déterminé^.;.inai^q«9W  d'Un  trait  les  variaUes 
pour  dést^tier  leurs  vateur^  a  cet  instant  y  en  fansani  y=zv^ 

et  ;g  =  >j^  on  trouve  A^=  >»'•;—  2>/')  ainjsi  la  vitesse    y 

-       «I  '  <  ■  ■ 

en  un  second^point  est  dponee  par  f*  «=:  ^^^  -h  2,  (;^  -^;g'  )  : 
or  ^  et  )^'  ne  dépendent  q,uje.4,es  coordonnées  des  poinU 
pxXrim^fiy  ainsi  la  vUesse  au.  second  instant  est  donnée  par 
la  vitosafr  au  premier  et  '  pav  \m  position  de  ces  points  ^ 
d'oii  on  conclut  qu'en  général  la  iffiesse  ne  dépend  nulle-^ 
ment  de  la  forme  de  ^la  courbe  décrite ,  mais  seulement 


de  aorts  «{ne  n.  le  coipi  éb»r««iijftti  «jAfpnfB^fne  i 
conrbe  quelconqoe ,  peaMBt  par  cea  detàCtnémea  pointi. 
il  (uiroit  encore  h  intMe- Vltene":  <Jda  ivriotfe  )i  dit«qiié 

'  ia  pnSsiçn  tji^.axerce  le  mobile  sur  la  courbe    qu'il  est   ■ 
emUraint  dedécân ,  H«  diminue  rien  de  ia  vitesse  (*)■ 

'      a'- Si  le  mobile  n'eit  iQqmis  à  l'acUon  d'aucuae  force     *: 
continne,  àoir  momveineiil  ne  pent  provenir  que  d'oiii^ 
impulsûnfprimitire;  et  n'vUesse,  d'aprri  ce' qu'on  vie^F 
de  Tpir,  doit  -reitcr  toujours,  la  ménie.  On  voit  en  efïiit 
que  ^'^o,  et  }'=:o,  donnent  v'^^ui, 

5*.,  Le  cas  de.  la  pavité  est  renfermé   dans  ce  qi/on   . 

>■  Tientdedireîsieelt«forçieBgitseu!e,onaX=:o,  elK^^g, 
^n  comptant  lea^  pontift-  veiticalc^ment  de  haut  «i  imj 
oiqu  'f^=;=;4  -}-  agff  .Soi^ J^  k-  point  de  départ , .  «d,  Oe  s9ti 
posant  anciuie  vitesse  uitïalc,  et  faisaiitj-^=:£C=^^y  gn- 

ce  qni  donne  de  nouveau  le  théorème  (rga).    ..         ,;-_  ^  , 

ao5.  La  pression  qne  le  mobile  exerce  sur  la  coorbc  est 
égale  et  opposée  à  la  force  iV^  pour  la  détemùiKii^'pr^ 
nous  dt  variable  et  dx  conslant  ^  en  exécutant  li^ffifiEËi^ 


t.  <*}  C«lle  conséquence  peat  itn  démontrée  tmnijdïateinènt. 
En  (^«1 ,  lor>qa*BB  mobile 4)^ aaé  dé  loul  rtsior*,  laMé' (tans 
la  direction  ffoiec  h  t1|iim>^  représentée  par  fE ,  tiiaatntr* 
un  plan.Jf,  celte  ilteue  eil  décomposée  en  dmt  t^Ut»'B£ 
cl  £^1  celle-ci  est  détruite  par  le  flan  i  la  fKtailzf  a  foa  entier 
effrt,  de  sçTleque  lecorpgliMc  le  long  de  Sif  oTcc.b  ytiesw 
£E,  il  à- donc  perdn'la  »Iteïse  FE -  BE  =  P'~^.coi'i,'ea 
Bonimiiat  i  l*nn^le  FEB.  Cela  posé ,  on  voit  que  la  vlteMe'per- 
due  étant /^.lÎD.ver.l,  lorsque  le  corps  dé<-rir3  une  eoarfc*-,  il 
perdra,  ea  pasunt  d'un  tiéœnt  4  l'autre,  une  «Iteife'  pnipor- 
'  tioanelk  à  an  sinni  verK,  cl  par  conséquent  i  on  infiniment 
pelit'iln  Mcond  ordre;  de  aorte  que  la  ^i:esje  perdue-  ne  sera 
fiaie  qne  lonqnc  IVe -décrit  sera  infini. 


%y. 


Mouvement  suk  uns  courbe  plànb.  ^tj 

tialiou8;les  foromles  (u')  deviennent 

dt.d'jr  —  ^.dM         .„      '  dx  , 

.  ■ ..  ■  ■:=  J;-+-iV.  — r-. 

dt*  .  ds 

Eliminons  d^t  entre  ces  équations  j  pour  cela  multiplions  la 
première  par//;^,  la  seconde  par  dxy  et  retranchons  j  nous 
Fuirons  y  à  ça.usé  de  &*---VJLr*^  d)"*  ,  '       ; 


dai'.d'^Y 
~dF 


= rax— W/+ivr  — ^^^=  Ydx^:^d)^+Nds. 


On  pourroit  aisément  tirer  de  là  la  valeur  de  iVen  fonction 
des  quantités  connues  A^  et  Y^  et:des  différenti€llés  qui  dé~ 
pendent  de  la  courbe  donnée  que  décrit  le  mobile  :  niais 
cette  formule  est  plus  simple^  lorsqu»'on  y  introduit  le  rayon 

de  courbure  Ry  car  on  sait  que  R;=i'^ — r^—;  mettant 

OX  •  CL  JT  .    ■       •   ■  ■  1 1  •  ■ 

dans  Péquation  précédente  pour  dx.tPr  sa  valeur  ■  , 
oa^n  déduit  aisément  ;   -  -,  -  j:.    •  :.' 

(.'•    .     Xdf—Ydx"    '■  ''•■"'  "•■'     ■ 


■  *  f  •         •»  VJI  *> 


r;^.'».    ■- 


2o^. ,  Aiçsi  |[p|:£^'un .  point  .matériel  sçra  assujetti  à  pistr- 
courir.une  courbe  ^  dont  on jçonnoîtra  réqua|tioi>^=ï=:/r , 
on  sul);stituera  dans  réqualionX^fr-^^)  pow  Xy/Y^.^etdjr 
leurs  valeurs  en  fonction  de  or ,  et  on  en  déduira  la  valeur 
de  f  ;  li'*rîude  de  laquélléy  et pV une v semblable  substitu- 
tion d^cis  la  ^rmu]e  précédente  y  on -obtiendra- iV-treve?- 
nant  ensuite  aux  équations  (u^^)  on  ajura,  après  Im  intégrai- 
tions  convenables  y  la  vites&e  dans  Ije  sens  de  chaque  ase  , 
et  le  lieu  du  mobile  au  bout  du  tems  A. 


Oa  fcnt  remarquer  l'acrord  qui  ente  estre  timt  ce  qai 
vient  d'être  dit  ^  et  ce  q»  «n  a  tu  (  189 )• 

307.  L^eqnalMm  '  ii^  ;  firit  'wârgne  bi  pi  igf nii  y  y'un. 
point  inat«riei  ex^ce  sur  aue  coarbe  qu'il  est  asMijeCti  k 
4éente^  feoMipQsetieckBX  parCfeesqni  smutécea^  Fnaeàla 
vlCiHfc  actuelle  4e  ce  eorpi  ^  Fantre  ans  forces  ALJÉiafckiA 
qp  ir  soCicitevt  r  celle-ci  est  t»  somme  ées  compomites 


—  JT.  —2-      y,  — _-   de  ces   forces  dans  le 


de  kl 


lie.  B  jpeiiuît  arrirer  q?ie  le  corps  ne  fSt 

•  k'aetSiMi  ^WÊKpaiat  fiorce  accéïérafnce^  son  luuuvcment 

ii4t  iemc  akr»  liè  qu^  nse  inpalsioti  primxthre ,  et  seroit 

juiiforme  (  ao4  ^    ^-  )  r    '^   piessiuu    se    re Ariroit   à    la 


Mouvement  sua  uirs  courbe  plane*  289 

première  partie,  et  h  ëUnt  la  hauteur  due  à  la  vitesse  k. 


on  auroit 


A^=-J     ouiV=-j^ (*') 

N  est  ici  Ce  qu'on  nomme  la  Force  Centrifuge  :  cette  force 
est  donc  la  partie  de  la  pression  qui  dépend  uniquement 
de  la  vitesse;  et  lorsqu'il  n'y  a  pas  de  forces  accélératrices, 
elle  est  la  pression  même.  En  général  elle  varie  à  chaque 
instant;  cependant  elle  devient  constante  lorsque  dans 
ce  dernier  cas  le  corps  doit  décrire  la  circonférence  d'un 
cercle  ;  car  vélR  sont  constans.  Le  nom  de  force  centrifuge 
vient  de  ce  que  le  mobile  tendant  par  son  inertie  à  se 
mouvoir  en  ligne  droite  ,  il  ne  peut  être  contraint  à 
décrire  une  courbe  sans  faire  un  effort  continuel  pour 
s'échapper  par  la  tangente ,  et  s'éloigner  du  centre  de 
Son  mouvement  {^). 


{*)  On  p«ut  démontrer  la  formule  (w')  tn  parvenant  direc-  j;».  i,^, 
tement  à  la  yaleur  de  la  force  centrifuge.  Soit  AdE  la  circon- 
férence qu'un  point  matériel  décrit  en  vertu  d'une  impulsion; 
sa  vitesse  v  sera  constante  :  soit  A  le  lieu  du  mobile  k  un  instant 
quelconque;  s'il  devenoit  tout-à-coup  libre  y  il  parcourroit  la 
tangente  AT  uniformément  ;  et  pendant  l'instant  dt ,  il  décriroit 
l'espace  Afzzvdt,  Mais  la  force  centrale  J^  qui  ramène  le  poin( 
dans  le  cercle ,  faisant  parcourir  pendant  le  tems  dt  l'espace  Ab  , 
2e  mobile  devra  dé<:rire  la  diagonale  Ad  du  parallélogrammey)^  , 
et  le  point  d  devra  être  sur  la  circonférence.  Or,  'on  a... 
{hdYsuAhx  bE  ou  v*dt^  ^^Rx  Ab ,  parce  que  bE  équivaut 
à  i^xAB-sz^R,  Mai^  la  force  accélératrice  N^  supposée  cons^ 
tante  pendant  le  tems  dt^  feroit  parcourir  (i54)  l'espace  .  •  • 

1  Ndf^Ab  5  on  a  donc  V^RxN  %  <l'où  i^T  =3  -^,      ; 

S'il  s'agissoit  d'une   courbe  quelconque  parcourue  tn  vert^ 
d'ux^  impuliioSy  cette  formule  auroit  encore  liem, /{ j  dési|oa»t 

19 


4rice  de  k  petuteur ,  Mil  DZ  k  courbe  pûn^ip^il  «I 
asiajctti  à  décrire;  MP^yffS^éeaX  et  =^'7  JlP=^X'j  osa 
alors  JCi=^  èl  r£±:/,  h  nfedf  de  k  yreflllMly  qoi  est 

oniMe  à  k ioKe  JV^,  defkat  i^  ^.^f. -^^ ^E^ 

là^^^lcéèè»  A  diie  a  Whiirfèiir  A,  où  aura  (1^) 

I^ivù;  trouTer  k  courfie.  tor^kip^ 

pour iôas  les  pranls,  il  X|iit  donc  ^^ider  a  ahe  cùvUtâSMf 

a  m^rer.  On  a  aÇA^J^ )  <^*+  4r  4r=  *?4r  À^  <*r  fe 
nnrbn'de  coorlmre  pfrit  dîbu  l^tn^ 

oaamit  ds  est  ooiftikaiy  on  a  (eir  mt^gnnt  -par  pu8éi') 


t   •  m, -A*,  y 


C(Mnkn« éAi-géfiërtl  -^  «rt leuiiiis  de  l'cagle  ^ la  cottribe 

fui  en  un  point  quelconque  avec  la  verticale  ^  et  qu'on 
ce'imoit  «n  n^  )pmiit  £>  on  i^  k  valeur  de  ce  skiiis  \  cek  sert 


le  rajon  du  cercle  oscillateur;  car  à  ckafiie  instant  le  corps  peat 
èxih  supposé  paVcomrtr  ce  cercle. 

■    £fl£n  y  si  te  corps  est  soumis  à  raclion  ^e  ibrces  accéléra- 
Irices^  sa  vitesse -étant  l>  an  bout  dn  tems  t ,  si  C€s  forces  ces^ient 

tout-à-coup  leur  action  ,  la  pression  sur  la  cour)>e  sercôt.  =  '-^> 

cetre  -pretfsiOQ  èott  d'aîlfeurs  être  au^enfée  de  la  somtoe  des 

Xdy      Ydx 
composantes"^^  "37"'^  "  ds'  *^'  forces  accciémtrlces  JT  et   F 

dates  Icyenï'dë  k  iii6rftiale,  et  oa  fetrduyc  réqBalî6n  (r')  parce 
nve  la  forcé  .y  ^  ^le  et  oppostJt  à  ^a  pressioa. 


Mouvement  sua  vive  courbe  ;^lane»         391 

à  déterminer  U  constante  A  ^e  nous  regarderons  comme 
connue.  £n  carrant  et  mettant  pour  ^5*  sa  valeur  dx*-+djr9^, 
on  trouve  une  équation  très-facile  à  séparer  ,  de  sdrte  que 
Tintégration  n'oCfre  plus  de  difficultés. 

Si  la  vitesse  initiale  étoit  nulle  y  on  auroit  A  =  o ,  d'où. 

on  tireroit  Cds-^zdx  ;  donc  (  i  —  C*]  dx*:=z  ^*dj'^  \  d'où 

Cy 
jc  =  "y     '^^!'  J  les  constantes  sont  nulles ^  parcç  qu« 

X  z=.  ô  donne  j'  i=o.  Ainsi  la  courbe  dégale  pression  est 
ici  une  droite  qui  fait  avec  la  verticale  un  angle  dont  le 
sinus  est  =  Cj  il  faut  que  Ton  ait  C<  i. 

209.  Si  dans  (x')  on  &it  h::^^Rf  ^a  a  A^=^;  et  U 
fonce  centrifuge  devient  4galc  a  la  pesanteur  g  :  ainsi  un 
coips  pesant  attacha  à  Tune  des  extrénutés  d'un  fil  fixé  par 
son  Mitre  extrémité;  tendroit  ce  fil  avec  U  même  force,  s'il 
étoit  suspendu  verticaiem^nt ,  qne  si  on  le  fiiisoit  mouvoir 
«ur  un  plan  horisoMtal  avec  la  vitesse,  qu'il  acquerroit^ 
en  tombant  d'une  hauteur  égale  à  JU  moitié  d^  la  longueur 
iluâK 

L'équation  (x*)  donne  ia  théorie  des  finmdeê ,  y  étant  In 
▼Itesse  d'impulsion  j  R  la  longueur  constante  du  fil  ^  et  W 
sa  tension. 

210.  Comme  la  terre  a  un  mouvement  de  rotation  autotA" 
de  son  axe  j  toutes  st%  parties  sont  animées  d'un  certain 
degré  de  force  centrifuge  ,  lequel  est  plus  on  moins  grand , 
selon  qu'elles  sont  plus  ou  moins  éloignées  de  l'axe.  Sotis 
l'équateuTy  les  points  i^ont  à  la  plue  graade  distance  de 
i'axe  j  cette  force  ;  directeaae«t  opposée  à.  celle  de  la  p^^ 
'senteur  ^  doit  donc  la  dinainuer  davantage  qu'en  .touleulre 
iieu  *j  et  quant  auiE  parties  intermédiaires  entre  les  péiee  et 
féquateur  ^  la  diminutiom  de  la  pesanteur  doit  être  moine 
sensible;  à  mesure  qu'dUs  sont  plus  près  des  p6k«*  An  pdle^ 


r'i    I     I    GéWi>kâHH75,  Mée.  ceL  h».  □,  f.  i^S- 

A  réqHtfOK',  1h  carp  JCuiiml  dm  eèaçse  Ksawb 
êésmeàKwm  srcdc  ^'.logS^h  cîitaa&eacc de rê^M- 
mr,  d««Iei«7aa  art  de  à  5>7S  79^  Bêba  ;  pends*  t  ne 
wemJb,  W  cnrpa  lambeml^ama  I'fjbIlii  dc5^,&i^; 
^■B  k  farce  «■teifuge  m  ■  h  [ii  iimiiim  fcat  le  nppvt 
dsiiaiS^  La  lirewiîiL  de  1 1 1  ilmi  fiwii  1  iliBijim  h 
Kcoade  ,  et  les  corps  ne  tombent  ({B*t9a  Tcvtn  de  bw  dï- 
lercnce.  NoauMOiu  doDc  grarùê  b  pcnatair  entîëre,  ^ 
Ibrce  ccntri&ge  est  À  fê^aat^ur  enTinu  le  sSgC  de  ti 
gf3Tité  m  ofio5&.  Si  la  roUIioB  de  la  terre  éhnt  dis-Mpi 
fixs  plus  rapide,  l'arc  décrit  dnu  une  secoadc  sum  l'éqna- 
tenr,  seroît  dix-sept  (bis  ^os  ^rand  ;  la  force  cvnlrifuge 
Mroîl  alors  égale  à  la  graTitê  ,  «  t  les  corps  cesseraient  ^ 
peter  tar  la  terre  à  l'èquateor- 

aii.  Lionqa'aii  corps  lolide  toame  autour  d'un  axe  fiie, 
tes  divers  points  sont  animés  de  vitesses  dînerenles  ;  U 
connoissance  de  la  vitesse  de  l'un  d'entre  eus  saf£l  viû- 
blemenl  ponr  délermiDer  celles  des  autres,  ptuojue  les 
circonférences  ,  et  par coii3éi|uent  les  vitesses  des  poin^ 
^ui  les  parcourent ,  sont  «otre  elles  conuoe  leurs  rajroni  ; 


MOUTSMXNT   SUR   UNS   SVKTXCE»  2K^ 

ainsi  pour  faire  connoitre  le  mouvement  de  rotation  d'un 
corps  ;  il  suffit  de  donner  sa  vùesse  angulaire  j  c'est-à-dir« 
(197)  la  vitesse  du  point  qui  est  situé  à  V unité  de  disiancm 
de  l'axe  de  rotation.  Soit  donc  tt  la  vitesse  angulafre  , 
r  =  RH  sera  sa  vitesse  du  point  qui  est  situé  à  la  distance  R 
de  l'axe.  £n  rapprochant  cette  équation  de  (x')  on  a  pour 
la  force  centrifuge 

^  =  «"^-=i    et.  =  j/(4.) 0") 

Lorsqu'un  corps  tourne  autour  d'un  a^  fixe  ses  divers 
points  sont  animés  de  vitesses  de  rotation^  et  les  forces 
centrifuges  qui  en  résultent  sont  utiles  à  comparer  entre 
elles.  Soient  R  et  R^  les  distances  de  deux  points  à  l'axe  ; 
y  et  y*  leurs  vitesses  jf^Xf  leurs  forces  centrifuges  ^  on  a 

Rf=^  H«,  «/'=•«;  maU  ^  =  A;  donc  ^  =  4- 

Ainsi  les  forces  centrifuges  des  divers  points  et  un  corps 
tournant  autour  éP un  axe  àont  proportionnelles  à  leurs  dis- 
tances à  cet  axe  y  et  à  leurs  vitesses  respections.  Cette 
conséquence  résulte  également  de  l'équation  Nz^Ru^  y 
puisqu'elle  donne  y=/l»*  et  f  =  R'h*. 

Soient  f  tXf  les  forces  centrifuges  de  deux  points  de 

la  surface  terrestre  supposée  sphérique^  le  premier^  piîs 

.  à  l'équateur  y  le  second  y  ajant  a  pour  latitude  )  comme 

R*  =r  A  cos  A;  R  étant  le  rajon  de  la  terre  y  on  voit  que^ 

y^s/cos  A  :  on  a  obtenu  ci-dessus /=o,0255« 

IX.  Du  mouvement  dun  point  assujetti  à  parcourir  une 

surface  courbe. 

212.  Concevons  maintenant  un  point  matériel  assujetti 
à  se  mouvoir  sur  une  surface  courbe  donnée  par  son  équa- 
Hou  dififérentiell*  dz  =  pdx  -^  qdj-  y  p  ^X  q  étant  les 


'    il 


4«k 


•I 

I 


nfpiH  à  jr  «i  àjr.  Nmb  itroM  poar  afaHpr 

^  ■*•  i>  ^pe  k  aonaak  à  vae  toi&ce  conrbe  fiA 
sidctjr^jr  et  M^ém  wm^fm  doat  kt 


lorçr  JV  dk^ée  nmot  k  nonnak,  cgak  et  opiiosée 
àkffftimi^MieiMipflUtos  dms  kieos  dct  «set  acnml 

— -fjp*  "^     j#*'  ^  "17  *  ^^""'^  aKctm  ces  deui 

de  ttgaes  ncgtfifii ,  p««  q^'cBoi  tendeat  ■ 
kt  eoerdovaéei  jr  Hjr^  cm  «ipfoMaft  ^  k 
Mvfce  Iroacw  m  coareiilé  ms  ki  pkat  jtx 
et  jf».  Ob   ftM  wÉiiiti— Et  regarder  k  pokA  noUe 
-  cbflHBe  one  ^  et  eollirit^  par  ks  troB  fbrcci  aooâciatricci 

«ian  (  A*,  c'  ) ,  oa  aim  donc  en  wipiMiMl  dl  cowlMt 
'dF~      '^  lé 

"^r  _Y—^\ (^')- 

W~  M 

2i5.  Les  équations  (x')  et  [u')  ont  le  même  usage  ^  elle» 
serrent  à  donner  toutes  les  circonstances  du  mouvempi^ 
da  mobile.  En  effet  ^  si  on  multiplie  la  première  par  ^x  y 
k  seconde  par  <fr  ^  et  la  troisiwiic  par  dz  y  en  ajoutant  i 
jnrdisparottra  à  cause  de  dz  =pdx  +  qdjr ,  et  on  obtiendra 
i'éqoalioo  {d')y  en  suivant  le  même  calcul  qu'au  n*.  i&% 


MOUVSMBHT  9V^  trV£  SURFACE.  ^95 

d'où  il  résulte  que  toutes  les  conséquimces  énoncées  n*^.  204 
ont  également  lieu  ici. 

Pe  plus  f  §i  pn.  multiplie  les  équations  (z')  respective- 
ment par  *-*;>,  -—7  eij,  en  a^oDtant  il  viendra 


Mais  dz  =  pdx  +  ifày ,   donne  ^  en  dîfféreatiaat#  * 
thz=:p»d^x  -H  y.£/»y  -f-  é/jp.^x  +  dq.dy  :  ainsi 

d'où  on  tire,  à  cause  àeds^s:  vàt 


•  *•, 


^^r-PïT 


Ih  seroit  aisé  de  déduire  de  ces  fommlus  celles  qne  noot 
avons  trouvées  lorsque  l'orbite  est  plane.  Dans  chaque  cas 
pairticuUer  y  ii  est  plus  conveiiable  da  trouver  la  valçur  de 
Ny  en  faisant  le  calcul  précédent  sur  les  équations  méracs 
du  mouvement  qui  sont  (  z'  )  ^  que  d'employer  la  formule 
ci-dessos.  L'équation  (d' ^  168)  donj^e  la  vitesse  P;  à 
l'aide  de  laquelle  et  de  celle  de  la  surface  (  qui  donne 

obtient  A^:  enfin  les  foiTUMles  (x')  serviront,  concurremr 
ment  avec  Téquation  de  la  surface  ^  à  déterminer  le  lieu 
du  mobile  et  la  courbe  qu'il  décrit. 

2i4«  Pour  appliquer  ces  principes  à  1»  eieaiple ,  con-^ 
cevons  une  parabole  BAC  qui  tourne  autour  de  son  axe  rig.  t«3. 
vertical  AD  j  ie  paramètre  étant  2  a  ^  la  surface  engendrée     , 
aura  pour  équation  ,  en-  prenant  le  point  A  pour  origine , 


-    \^ 


1%.  .  •    : 

î*.  '■*■ 

Suppotons  donc  qu'on  poiiit  aobilf  pénal  regoil  «m 
kupdmm  qnckonque,  et  est  aanjéttî  à  ae  WÊtmwm  nr 
le pimhtioîJe,  on  anniX^O|  K=o  etZ==— y,  c^lei 
AfhttJoJBf  (jtO  eeront  id 


UétpaSiatk  (df)  donne  ifsr^(  A—* j;  ) ,  à  cmte  de^s:— i«fs; 
%  est  Ici  une  constante  qni  di^pend  de  fat  Ttlesse  inilUe. 
Cette  ciprcision  s'obtient  d'aîlleiirs  dvectcment  en  pnli- 
qnant  le  cdcid  dn  n*.  168  :  il  consiste  à  mnltiplBrr  reapco* 
tirementles  équations  (a)par^€£r^  dy  et  dk,  poil  à  ajouter 
et  intégrer  ^  ce  qui  donne 

•     ^  =  ;^=^=:^--2^=a^(A-z). .  .(3). 

> 

Eliminons  N  entre  les  deux  premières  équations  (2)  ,  nous 
aurons  xd^y  —  yd^xz=zo,  d'où  jt^T  — J"^  =  d£f.  Ainsi 
les  aires  (170)  sont  proportionnelles  aux  tems  dans  le  sens 
horisontaly  ce  qui  étoit  facile  à  prévoir.  Le  carré  de 
l'équation  (i)  ajouté  à  C*  dl^  =  {xdj^ -^jrdx)*  donne 
a*^+  C*dr*=(a:*-ftr*)  (dx^^dy*)  j  or  j:*-f-j*=2£iz  ;  de 

plus,  l'équation (3)  donne =2^(A— z)— ; 

en  substituant ,  on  trouve 


^=V{ 


.y»- 


MotrVXMBlfT   SUR  UNE   SURFACE.  397 

Par  l'intégratioii  on  déduira  z  en  fonction  de  f  ^  et  par 
•uitc  toutes  les  autres  circonstances  du  mouvement. 

C'est  ainsi ,  par  exemple ,  que  pour  obtenir  la  valeur 
de  la  pression  iV  y  il  faudroit  multiplier  respectivement  les 
équations  (2)  par  —  Xj  — jr  ctfl  ,  puis  ajouter^  il  viendroit, 
à  cause  de  la  différentielle  de  l'équation  (i) , 


Mettant  ici  pour  le  premier  membre  sa  valcrur  tirée  de  la 
formule  (5) ,  ainsi  que  celle  de  — —  ;  oh  a  enfin  N  en 

fonction  de  z.  9 

dz 
Si  on  fait  —-7-  =  o,  on  obtient  pour  les  points  où  z 
dt 

est  un  maximum  Ou  un  minimum,  les   deux  valeurs 

inégales 

2       r     14        4^i 

l'une  se  rapporte  au  maximum,  et  l'autre  au  minimum 
de  l'orbite  :  elles  dépendent  des  constantes  C  et  ^  ^  qui  sont 
relatives  aux  circonstances  initiales  du  mouvement. 

On  peut  détermine^*  ces  constantes  de  mamière  à  satisfaire 
a  certaines  conditions  :  si  ^  par  exemple ,  on  veut  rendre 
les  deux  valeurs  de  z  égales ,  ce  qui  exige  que  h*agz=z  C* , 
alors  z  =  ^  ^  :  or  il  est  clair  que  l'orbite  est  un  plan  hori- 
sontal  ;  car  si  dans  (A)  on  met  /i*^^  pour  C^^  on  trouve 


sontal  ;  car  si  dans  (A)  on  met 


valeur  imaginaire  (puisque 

z  est  toujours  positif  ) ,  si  ce  n'est  lorsque  5  =  ^  /*  :  la 
vitesse  dans  le  sei^  des  z  est  donc  nulle,  et  l'orbite  a 
unt  élévation  constante  jiD  au-dessus  du  plan  xj^.  Le  rî<.  loa. 


\. 


'    , 


\ 


MourxMxirr  iur  tins  siniFÀcx.  agg 

Maltiplions  ces  équations  respectives  par  dx  ,  djr  tldz  ^ 
ajoQtOBS  et  intégrons  y  il  vient  pour  la  force  vive 

— 21^_X^  =  aff(z-/0  =  «^....(5). 

Pour  obtenir  la  valeur  de  iV,  on  multiplie  respectivement 
les  équations  (2)  par  Xyjr  et  Zy  ajoutant,  et  ayant  égard  à  la 
différentielle  de  Téquation  (i)  et  à  l'équation  (5),  on  trouve 

iV"=  -^—  (2  ^  -^5-2)«  Sans  chercher  à  introduire  celte 

valeur  dans  les  équations  (2) ,  pour  éliminer  ensuite,  afin 
d'obtenir  les  relations  entre  deux  des  quatre  variables 
a: j  jr  j  z  et  /,  on  peut  éliminer  N  entre  les  deux  pre- 
mières. En  effet  y  comme  la  gravité  n'est  pas  dirigée  sans 
cesse  vers  l'origine  des  coordonnées  ;  il  est  vrai  que  (170)  le 
principe  des  aires  proportionnelles  aux  tems  n'a  point  lieu  : 
mais  on  doit  trouver  qu'il  existe  dans  le  sens  horisontal  j 
puisqu'aucune  force  n'agit  parallèlement  au  plan  xjr.  Multi- 
plions donc  respectivement  par  y  et  par  x  les  deux  pre- 
mières équations  (2)  )  soustrayons  xt  intégrons  y  il  viendra 

xdy  —  Y^x  ==  Adt (4) 

A  étant  une  constante  arbitraire.  Les  trois  équations  (2) 
sont  donc  remplacées  par  les  expressions  (i),  (5)  et  (4)  qui 
sont  du  premier  ordre  y  et  doivent  servir  à  déterminer  les 
valeurs  an  x  yX  et  z  en  fonction  de  /  :  c'est  ce  que  jjipas 
allons  voir.  Elevons  au   carré  xdx  +  J'4X  =  "^  ^^  > 

et  la  formule  (4)  y  puis  ajoutons  y  nous  aurons 

( x^  H- J-' )  (dlr»  +  dj'')  =  A^dP  +  z^'dz*  5  on  tire  de 
(i)  et  (5)  la  valeur  des  facteurs  du  premier  membre ,  et  on 


^ 


■    .      y'  ■ 

Ironre  (enfin 

•     -  —  nfe  ^ 

^{a^(i--^){*-*)-^} 


Nont  mettons  ici  le  signe  -^.^  parce  qae  noos  inppdione 
que  lei^tems  sont  comptéi  à  partir  de  l'instant  on  le  nu>- 
Inie  est  au  pomt  le  plus  bas  de  son  orbite  ,  ce  qoi  cnge 
qoes  croisse,  lorsque  tdécroiL 
■  CherchommaintenantlesmoxôiiaetmmiifiaderorbîtK 

JK>ur  ceh  il  faut  fidré  "^  ==0  ,  ou  dK  ss  o'poisque  f^s j«^ 

«ainsi  en  ces  points  la  vitesse  est  anssi  un  maxinaim  on  nn 
minimum  i  d[s==:o  donne  en  déreloppant 

■ 
Cette  ëquation  a  an  moiiis  denx  racines  rédlet^  car  Pop» 

bite  a  nécessairement  un  maximum  et  un  minimian  ^  puis- 
que le  mobile  ne  sort  pas  de  la  surface  de  la  sphère.  Or  les 

imaginaires  étant  toujours  en  nombre  pair  (  CompL  dalg* 
de  Lacroix^  4^)9  notre  équation  doit  avoir  ses  trois  racines 
réelles  :  de  plus  une  seule  est  négative  ;  d'après  Tordre  des 
signes  (  CompL  y  4^).  On  peut  donc  en  désignant  par  a,  b 
et  — -  c  ces  trois  racines^  écrire  notre  équation  sous  la  forme 
(z— -a)  (z-— ^)  (z-f-c)  =:o^  a^  6  et  c  étant  des  nombres  positifs. 
Si  on  exécute  les  multiplications  et  si  on  compare  ,  on  aura 

j^ 

a-i-  b  —  c=:A,  bc-^-ac — ab  =  r*.  abc  =  f*A  H • 

LanKonde  donne 

r*  A'  ab 

Substituant  dans  les  deux  autres  ;  on  trouve 


MoUVEMmNT  SUR   UNB   SURFACE.  '5oi 

Voilà  par  conséquent  les  constantes  A  tX  h  ^  déterminées 
en  fonction  de  r,  a  et  6  :  c  est  nne  fonction  connue  de  ces 
mêmes  quantités  :  b  est  le  z  du  point  le  plus  élevé  et  a  . 
celui  du  point  le  plus  bas  de  l'orbite.  Introduisons  donc  a  j 
6  et  c  au  lieu  des  arbitraires  A  ti  h,  dans  Péquation  (5)) 
elle  devient  " 

•*"  vdz 
dt  =  •-— (7). 

La  résolution  du  problème  dépend  de  l'intégration  de  cette 
formule.  En  effet  supposons  que  z  soit  connu  en  fonction 
de  /  :  soit  A  le  centre  et  FDM  lai  projection  de  Torbile  sur  riu.  js. 
le  plan  xjr  )  M  sera  celle  du  mobile  au  bout  du  tems  /. 
Faisons  l'angle  MAP=z  u  et  AM-=i  g)  comme  AP  =  x 
et  PM  7=zj-  j  lé  triangle  MAP  donne       ^ 

a:  =  ^  cos  M ,  j^  ==/  sin  M,  /•=  a:*  +J-;  =  i* —  z». 

Ces  valeurs  étant  introduites  dans  l'équation  (4)  donnent 

Adt 
g* du  =  Adt,  d'oîi  du  = :  en  intégrant  on  aura 

donc  u  ^  et  par  suite  x  et  j*  en  fonction  de  /. 

Pour  avoir  le  tems  de  la  demi-oscillation  ^  c'est-à-dire  de 

celui  que  le  mobile  emploie  à  parvenir  du  point  le  plus 

bas  au  point  le  plus  élevé  de  son  orbite^  il  faut  intégrer 

l'équation  (7)  entre  les  limites  is  =  a ,  et  z  =  ^.  Pour  cela 

supposons 

a-^  z 

gm*  I  = 7— 

«  — (» 

Cette  transformatioti  est  destinée  à  fkciliter  l'intégration  ^ 


i 


l 


-    •  -  ■         ,  * 


-  -'-yn 


9oft  DnrAmQtrs» 

die  eft  d'aillecurs  l^tune  ;  car  connue  le  molnle  ne  doit 
jjUDJDi  sortir  des  liiJiiittt  jb=3«  et  ^=&>  1*  ■■!!»•  de  h 
qnestîoii  énge  qu'on  ne  poisse  jamais  avmr  z^  b  €L, 
s<a;  a^^x.'el  a  —  AsQ9l.dpnC'positi&*  Depbt'fasse 

/  par  tontes  les  giMÉdears  entre  a  et  >,  comme        ■,  passe 

/de  oà  i^  sans  sortir  deœsliBÛtes  quî  sont  «bikI  cdOes.de 
sîn  I.  Leif  limites  «ont  remplacées  par  sîn  ^^o,  <C 
sinl  =  ±i* 

n  est  aisé  de  voir  qu'on  a«Js=:a  cos*  I  -f-i  sin*  #•  Or  en 

sopposant,  ppor  abr^,  ^'=  (od^rJ^+t^^A*'  ^*  * 

a— jf3=:<a— i)sîiiN,  jp~A=(a  — *)co«Pé 

z4-c=(i-i»)f>^*|}x^^^^  ,  iflb=3«înlce«l(^-r-a}«((U 

»      ■  "*  .         " 

En  "substituant  dans  l'éqnation  (7)  on  trouve 


dt  = 


» 
le  développement  de  (  i  —  y'  sin*  ê  )•"»  est 

I     •  1.5  1.5.5 

I  -1 y^sin^é  -{ — I^y4sin4^+    '■■  '.j;  .y*  sin^^-f-etc. 

2  :2.4  2.4*0 

Ainsi  ^  on  n'a  à  intégrer  que  des  termes  de  la  forme 
^^•sin'"  êyin  étant  un  nombre  pair  :  or  ^  les  formules 
connues  (  Cal.  int.  élém.  de  Lacroix ,  2o5  )  donnent 

^^.sm'»^=:— —  cos  é.sin'"'"'  4  A /tfd.sin'^*"*  ^» 

m  m  J 

INous  n'aurons  point  égard  ici  au  premier  terme  de  cette 
intégrale  j  parce  qu'il  est  nul  aux  deux  limites  désignées.  Uu 
calcul  semblable  à  celui  du  n*.  jg6  donne  enfin 


.^. 


/ 


MotryEMxifT  svk  uift  surface.  5o5 

1.5.5. ..(m — 0        V 

</d.SUi'"«=  7-2 X  ê. 

2.4*o.  •  'Tn 


Or  maiûteftattt  les  limites  sin  0  =  o  ^  sin  I  ::=:  dii  i  ,  ne 
donnent  pour  *  tpie  les  valeurs  indéterminées  ^  =  A» , 
0  =t|  (2«4-i)7r,  A  et  n  étant  des  nombres  entiers  quel- 
conques }  cela  fait  voir  que  le  mobile  devra  passer  une 
infinité  de  fois  du  maximum  au  minimum  de  z  :  cela  s'ac7 
corde  avec  la  théorie  des  oscillations  (194)-  Pour  obtenir 
les  tems  qui  s'écoulent  entre  ces  divers  passages ,  il  fau- 
droit  prendre  tour-à-tour  é^=z^  9ry  ::=:|5r,  =1»,..., 
quantités  qui  diffèrent  entre  elles  de  «  ;  et  comme  ê  n'entre 
dans  notre  intégrale  qu'à  la  première  puissance  ;  il  est  clair 
que  les  tenu  des  osciiUtioas  sont  égaux  eqtre  eux. 

Pour  avoir  le  tems  de  Voscillaiion  entière  ^  il  faut  prendre 
pour  limites  ê  =  o  et  <=:sr,  ce  qui  donne 

On  p«ut  dédtiire  de  cette  formule  les  oscillations  dans 
Mi  cerck  vertical  j  car  comme  la  projection  de  l'orbite 
«or  le  plan  xf  «st  alors  une  dr<Mte^  on  a  j^=:0:  en  re- 
Éoontant  aux  Yaïeurs  ptiécéd««tes  dt  jiy  h  et  c  ^  on  voit 
qu'on  ^  a:=.ry  hz=iby  et  c:=.ri  telles  sont  les  valeurs 
de  z  <{ui  répondent  au  maOHmuni  e^  ou  méninuim  ^  on  a 

aussi  y*  = -.  En  substituant,  la  valeur  de  /  ci-dessus 

cottâaSfl  k  celle  du  n**.  196.  Dans  le  cas  des  petites  oscilla- 

tions  y      '        est  une  fraction  très-petite ,  et  qu'on  peut 

négliger  :  ce  qui  donne  de  nouveau  la  formule  (s' y  X95)* 

âi6.  Nous  ne  dirons  rien  ici  dn  nïonvement  d'nn  corps 

assujetti  à  parcourir  une  courbe  à  double  courbure  }  car 


Choc  bes  cdkps  durs.  5o5 

«s  t  évident  que  pour  donner  la  vitesse  F  à  la  masse  M=z  nm , 

Mf 
il  faut  une  force  Fz:znfr=:z  — ^.  En  raisonnant  de  m^me  ' 

•^  m 

pour  un  autre  corps  M'j  on  trouve,  pour  la  force  propre  à  lui 

M'f 
imprimer  la  vitesse  V'^  F*  =  — ^  ^p  désignant  la  force  Ca- 

pable  de  donner  la  vitesse  V'  à  la  portion  m  du  corps*  ifcT'. 

^         F  Mf         F    ,      MF        .         ,     , 

Donc  -^  =  -jpj^  ^»^  -pr  =^  J^frjrr  P^^^que  les  forces/ 

ety  agissent  sur  la  même  masse  m,  et  sont  proportionnelles 

aux  vitesses   Fj    F*. 

Cette  démonstration  s'applique  toutes  les   fois  que  les 

masses  sont  comiuerisurables^pour  l'étendre  à  tous  les  cas, 

supposons  que  M  et  Jl^'  étant  incommensurables ,  on  ait 

F                  MF         ^  '         ■       ■ 

,-^  =    -pjçr^ j — rrp-  Partageons..Af .  en  k  masses  m 

égales  et  plus  petites  que  ^  ,  de'  'sorte  que  M-==ikrn} 
soit  une  autre  masse  k'm  comprise  entre  M'  et  M'±hi 
la  force  f  propre  à  lui  imprimer   la  vitesse  .  F'  dé  Vint 

F  MF 

satisfaire  à  la  condition    —^r-  =•  ■  ',.j  t  ■ '•  ,  pn. a ...••./ 

.  /  k^mF 

f  k'm 

-ér-   =     ,'   ■■  ■  ■■ ,"  ;  ce    qui    est  absurde ,  puisqu'il  faut 
F'  M'  ±Lh   ^       .^  '/"    ^ 

visiblement  une  force  plus  grande,  pour  communiquer  la 

même  vitesse  a  une  masse  plus  grande  :  donc   //  =  b. 

r.  Ainsi  les  fi^rc^s, sont  proportionneill/ss  fmx^  produifj{  dts 
zaassespqr  le^  vitesses  i  comme  ce  produit  es^.  une  fo/ic^ 
tion  dont  l'usage  est  fré.guent,  on  lui  a  doijné  le  ijoni.  fip 
QuatUité  de  mouyemtiriiy  donc  l^s,.  f^rçc^s  sont  propoi^ 
tionnelles  aux.  quantités  de.  mouvement.  On  peut  suppçser 
.ci-dessus  les  forces  F  et  F'  égales ,  ce  qui  donne 

ao 


.  ■  :..v  -.'.:..'    "T   :  *      ■■*■;,  ..K'¥t*^=îC"v'Ç^ 


€fm  roà  oone  ^nie  la  iS^afifJSurcef  eâfMà  de  cduan*  : 
■MMT  Ift  i;llaMr '^'iii  »Mie  MyàHàamiU^U  mâ^  > 
JIT  k  TitMMS  ^.  f  pourvu  cpè  Icf  rti^f^ef  ^own^ien  nùan  ] 
fliMm  oBrtwtaiMr  ;  ceHfc  force  uniximeitiif  ime  irltetse  * 

TqyéMnfct^ptfiji^  ^^^**  Fà«^^^  p«a  iMMe 
fHreikdre  «si;  â  siifit  pour  cda  de  tt^gaim  cJDiniiie    ^ 
^v.    iulili  de  &yte  Vri^  qnf  iîiiprimroil  iL^ùMÀté  àt  VllèÉie  à  J 
l'onité  de  masse;  ce  qui  retient  à  faire  F^=  i*.  T^z=i\j 
3lf  =1.  Nous  mesw/^erons  dmc  ta  farce  ^m  corps  en    j 
hîouiWMMjfark  pmàuU  de  la  fnasse^^ 
ta  vUein  êckt'tt'^éiï  animé.  Lorsque  là  jcdfpa  s6at  ïé^ 
térqgiMi,  hqt «JfclfcîKMiift -rtipplîquepi  eaeofe ^  pcnrvji 
que, sons  J  désinioiu  par  m  des  masses  ^f/At^f  «/esl- 


masse  (5o ,  248  ).:  eo  général  y  dans  tout  ce  qui  Vient  d'être 
dit;  on  peut  substituer  les  poids  aux  masses. 

218.  La  N}éçaikiqtte  ne  remonte  pas  a^HE  causes  de  nv>u< 
vementj  elle  ne  voit  que  le  fait  qui  en  resuTfe ,  et  son 
objet  est  de  rechercher  comment  ce  mouvemêut  se 
conserve  on  se  modifie  :  ainsi  les  calculs  dépendent^  non 
*6  Ta  fèlftè^  fâcùhatîve  du  moteur ,  maïs  WèAile  îs^  force 
cfffectiVé  quM  déployé.'  On  peut  évaluer  l'qJÈftl'iwièpn»- 
sànce  de  deui  manières  5  par  exemple  ,  s*il  s^tlgit  de  eelle 
d'un  homme ,  bri^éxaÂî'ne ,  ou  quel  fardeau  îl  piSnt  sup- 
porter, ou  quel  ouvrage  il  peut  faire  dâffs  Un  teins  donné  : 
dans  \t  premier  dâs  ,  les  puissances  sont  comparées  à  tine 
force  morte ,  c'est-à-dire  à  la  force  qui  peut  leur  faire 
équilibre,  et  nous  avons  montré  qu'alors  les  puissances  sont 


Choc  des  coups  surs.  507 

«ntre  elles  comme  Us  plrodaits  des  masses  par  les  vitesses  : 
dans  le  second  ,  oh  les  compare  à  tine  force  vive  ,  c'^st- 
à-dire  à  celle  qui  pourroit  élever  un  poids  à  la  même 
hauteur  ^  dans  le  même  tems  ;  et  il  est  évident  que  dans 
celle  manière  d'envisager  Veffei  de  la  force,  cet  effet  est 
en  raison  composée  du  poids  et  de  la  hauteur  :  soit  donc 
Mt  la  masse ,  ^  la  force ,  db  la  hauteur  correspondante  au 
tems  di  f  M^dé  ovL  {eyi52)  y  Mvdy  sera  l'effet  produit 
durant  ce  tems  di ,  et  fMvdv  =  \  Mv"^  l'effet  durant  le 
tems  /.  Ainsi  les  forces  vives  sont  en&e  elles  comme  lei 
produits  des  masses  par  les  carrés  des  vitesses  ;  c'est  ce' 
qui  a  fait  d'oiiner  le  nom  de  force  vive  à  la  valeur  9*  trouvée 
ci-dessus  {d' y  168  et  204  )  y  car  la  masse  y  est  =  1. 

n  y  eut  autrefois  dé  grandes  discutoioiis  eiltre  les  géo- 
mètres pour  nlesiirer  Ik  fbf ce  des  corps  en  mouvement  y  et 
savoir  si  elles  étoient  proportionnelles  au  produit  de  la  masse 
par  la  vitesse  ou  pài'  lé  carré  dé  la  vitesse.  Quoiqu'il  ne  soît 
pas  de  la  nature  de  cet  ouvrage  de  noua'  arrêter  à  ces  dis- 
putes^ cependant  nous  avons  cru  devoir  né  point  passer  sou^ 
silence  une  dbctrîiole  qui  a  eu  pour  défetiséurs  Leibnitz  et  les 
BernouUi.  Il  résulte  de  ce  qu'on  vient  de  dire  que  les  choses 
mesurées  étant  différentes ,  leurs  m^isures  dévoient  l'être 
aussi,  et  qu'on  devoit  arriver  au  mênie  résultat  dans  les  deui: 
cas ,  puisque  les  raisonnemens  étoient  exacts  :  la  discussion 
ne  provenoit  que  de  ce  qu'on  n'avoitpas  attaché  au  mot 
effet  la  même  idée  :  la  théorie  des  forces  vi'^et  montre  a'ùssi 
qu'il  est  faux  d'avancer  que  les  effets  sont  proportionnels  à 
leurs  causes.  Il  est  clair  qu'il  est  indiftei'ent  dé  mesurer  les 
forces  de  l'une  ou  de  l'autre  manière ,  pourvu  qu'on  raisonne 
conséquemment  à  l'hypothèse  )  et  qne  lés  résultats  de  la 
Mécaniqne  n'y  sont  nullement  intéressés.  Nous  préférerons 
l'emploi  desT  forces  mortes  comme  propre  à  tous  les  cas 
d'équilibre  ou  db  mouvement. 


zsBDrxatt  y.  -çtisw  a.  f  minant  jjomnat  asott 

ÏJt.  amnEer?   ïmic  :iiiiis  p^'iiik  usminir^  is  Hiïtirèiie  zlJL 
"»rnr  xjie  J^oniinr^  a:~i.  Iu*.u:  me  isais  11  as.  -fs  ouï-  jiHr 


•4'r_ 


u     UL     I^S      TU. 

p»  cjpiir»^  «lins  ji  aasse  X  3e  ai£  auis  «pazùrf 
naanrJir  ^  jk» connue  jit  x  iic  oi'in.  ?<;m.Httitr 
à  jTjwMfff  ia-  '^v:  lies  iis*x:&  mit»  -rjtiiintf   * 
xtp«aA-4t  9S"??«aac  'laoscTC  -e-'u^  .its  Tnamsuza»  ^qn. 

i»  jntsiàiie  css  cunnioir  ie  îa  susse  .V  -r-  ^  «^s  r 


A  U 


s 

Choc  des  coaps  durs.  509 

dans  le  même  sens  ,  on  auroit  la  force  MF-\-  M' V  9 
enfin  si  il/'  est  en  repos  ^  on  a  la  force  AI  F,  Soit  y  la 
vitesse  inconnue  commune  aux  deux  corps  après  le  choc, 
la  force  ^capable  de  communiquer  à  la  niasse  M-^  M^  cette 
vitesse  f,  est  évidemment  (A/+  M')  v)  donc  on  a 
(  M^M'  )  y  =  MF+  M*  T*,  en  regardant  F  conune 
négatif  ou^  comme  noT^  suivant  que  M'  marchôit  en  sens 
contraire  de  M  ou  étoit  en  repos  avant  le  choc}  d'où    * 

'=      M,+  M'      ^^')^ 

3i  M'  étoit  en  repos ,  ^'  =  o ,  et  on  a 

MF 


M+  M' 


(c*). 


Ainsi  la  formule  (b^)  renferme  tous  les  cas  possibles  du 
choc  de  deux  corps ,  soit  qu'ils  aillent  dans  le  même  sens^ 
soit  qu'ils  marchent  en  sens  contraire  y  soit  enfin  que  l'un 
d'eux  soit  en  repos. 

220.  La  formule  (b^)  fournit  quelques  conséquences  im- 
portantes. 

I*».  Prenons  d'abord  le  cas  où  J^'sio,  qui  est  ren-. 
fermé  dans  l'équation  (c^).  On  voit  qu'on  a  •'<  ^et  quo 
plus  M'  croît  ^  et  plus  y  décroît  j  de  sorte  que  si  M'  est 
infini  par  rapport  à  Af,  on  sl  y=zo»  C'est  ce  qui  arrive 
lorsqu'on  frappe  un  édifice  ;  ou  c|uelqu'autre  corps  dont  la 
masse  est  considérable  :  le  mouvement  du  corpS  choquant 
est  détruit  sans  qu'il  en  passe  aucune  partie  dans  le  corps 
choqué. 

2".  Observons  que  dans  le  cas  ci-dessus  ,  où  le  corps  M' 
est  en  repos,  M  y  quia  la  force  M  F  on  (  M  +  Af  )  v, 
perd  y  par  le  choc,  la  quantité  de  mouvement  M'y  y 
fvûscjtxe  cdlq  qui  lui  reste  est  iMV.  Or  M'  acquiert  par  le 
I 


Choc  Bsi  corps  bvks^  Shi 

de        d^ 
difTërentiant  rt  mettant  pour  -^  ,   -t-  les  vitesses  des 

mobiles^   on  a  la  vitesi^e  du  cientre  de  gravité  de  leur 

syaiéme*  Or  avant  le  choc  ces  vitesses  sont  Vt\  Vj  ainsi 

.  ,       dX  MF+M'F' 

la  vitesse  du  centre  de  eravite  et  —7—   = ,,,    «  ; 

^  di  M+M' 

celte    valeur  se'  rédi^ift,  À  y ,  qui   est  la  vitesse  des  deux 

corps  après  le  choc  ,  ainsi  la  vitesse  du  centre  de  gravité 

est    la  même   avant    et   après  le   choc»  Nous  verrons 

(2267  ^^'j  ^^  ^60 y  i^i)  que  ce  théorème  n'est  qu'un  cas 

particulier  d'un  autre  qui  est  relatif  au  ipouvemens  d'un 

système  quelconque  de  corps  libres* 

5**.  La  somme  des  forces  vives  est  MV*  +  ^'  ^* 
avant  le  choc,  et  (M-^M')  f'  après  le  choc  :  ainsi 
MF^+M*  F'*—{M+M')i^  est  la  force  vjve  perdue  5  or 
en  remplaçant  F  et  F'  par  F^^y  et  P— f',  puis  rétablis- 
sant l'égalité,  on  trouve  M(  F—9Y+M*{  F^—vY  après  ^ 
avoir  mis  pour  MF^M*  F^  sa  valeur  y{M^  M^)  :  donc 
dans  le  changement  brusque  qui  s'opère  par  le  choc 
des*  corps  durs ,  la  partie  de  la  force  vive  qui  est  détruite  j 
est  précisément  celle  qui  rèsulteroit  de  la  vitesse  perdue 
par  chaque  corps.  Ce  théorème  est  dik  à  Carnot  qui  l'a 
étendu  à  un  nombre  quelconque  de  corps.  Dans  le  cas  ' 
d'équilibre ,  la  force  vive  est  entièrement  détruite. 

6*.  Nous  avons  supposé ,  dans  tout  ce  qui  vien^  d'être 
dit^  que  les  corps  choquans  étoient  animés  de  vitesses 
constantes  :  or  s'il  n'en  étoit  pas  ainsi,  on  chercheroit  , 
d'après  les  principes  exposés  précédemn^ent  (i55) ,  le  tems 
■et  le  lieu  de  leur  rencontre ,  ainsi  que  les  vitesses  dont  ils 
sont  animés  à  cet  instant  :  il  suffit  pour  cela  dé  connoifre 
les  positions  çt  les  vitesses  initiales  des  corps  ,  ainsi  que 
les  forces  accélératrices  qui  les   sollicitent.   Par  là ,   ou 


4t  tm*  «>.:«Wmnic«  .  -ursUL  ja  siamiic  ■■  tan  ^Mftit*  ^ 

?iM«t  v«*w&  tt»  fiirv  Trô  -fiL'iia  a  mm^  gamr  TAè- 

^  Wrt  <j«  n^Mir»  «  b  ItfftTQ  d'an  «rorpa  ^  s'a  cacw 
^NfM  v&MM  iMÎïMai».  Aima.  Iuta^l'^b  «>pK  m   fosé 

«■^  «a   iïk  valeur  <1»  I*  pnfsÙM   tjit'tl  •^■ccr  ;  par«Il«- 


Choc  bes  corps  duks.  5i5 

On  voit  que  les  pressions  ne  peuvent  être  comparées  aux 
chocs  ,  et  qu'elles  sont  infiniment  petites  pai:  rapport  à 
eux  :  de  sorte  qu'on  ne  peut  mesurer  par  des  poids  la 
force  des  corps  en  mouvement.  C'est  pourquoi  un  clou 
entre  assez  avant  dans  le  corps  lorsqu'on  le  frappe, 
tandis  qu'un  poids  assez  considérabU  ne  produit  rien  (254)* 
Comme  on  ne  doit  comparer  que  des  pressions  entre 
elles ,  il  est  alors  inutile  de  prendre  pour  leur  mesure  la 
quantité  mçdt ,  et  on  peut  employer  m^,  puisque  dtâis^ 

paroît  dans  le  rapport  —         .  Ainsi  lorsqu'on  cherche 

le  poids  p  d'un  corps  y  il  est  visible  qu'on  n'a  pour  but 
que  de  trouver  parmi  les  corps  connus  celui  qui  exerce 
la  même  pression  verticale  que  celui-là  :  prenons,  par 
exemple ,  des  corps  dont  m'  soit  la  masse ,  et  supposons 
qu'il  faille  un  nombre  k  de  ces  corps  pour  mettre  en 
équilibre  le  poids  p  à  l'aide  d'une  balance  :  il  est  clair 
qu'alors  les  pressions  mgdt  et  km'gdt  que  ces  corps 
exercent  sur  les  deux  plateaux  de  la  balance  sont  égales , 
iCt  que  mg:=zk.m'g.  Soit  pris  m' g  pour  unité  (ce  qui 
arrive  lorsque  le  corps  m'  est  un  gramme  ou  un  kilo- 
gramme ,  etc.  ),  alors  mg'=k  ,  et  A  est  ce  qu'on  appelle 
le  Poids  absolu  du  corps^  c'est-à-dire  le  nombre  de 
grammes  qui  exercent  la  même  pression  verticale.,  quan- 
tilè  proportionnelle  à  la  masse  m.  Les  forces  que  nous 
avons  considérées  en  Statique,  sont  donc  ou  des  pressions, 
ou  des  chocs  comparés  entre  eux ,  puisque  ces  forces  s'entre- 
dctruisent. 

II.     De  la  Résistance  des  Milieux» 

222.  Lorsqu'un  corps  est  en  mouvement  dans  un  flnjde 
en  repos  7  il  choque  à  chaque  instant  les  molécules  qui 
le  composent  pour  les  déplacer  et  se  faire  un  passage  : 


L 


5i4  Dktamiqub. 

la  vitesse  lie  ce  Corps  doit  donc  diminuer  (a30,  1°.)) 
car  on  a  f  <C  /'  •  cl  le  moiivraatnt  se  ralentit  peu-à-pen 
par  la  rt^sislanCF  du  milieu,  tpti  etl  d'autant  plus  grande 
que  le  nûlien  a  ptos  de  deuat^. 

^'ouc  avons  dit  ;5o]  (fue  dans  le  vide  l'or  et  la  plume  U 
plus  légw  metteol  le  uècue  tems  à  descendre  de  hau- 
teurs égales  en  vertu  de  b  gravité;  et  que  la  résistance 
de  fair  est  la  cause  qui  empêche  les  choses  de  se  passer 
ain^i,  de  sorte  que  les  corps  qui  OBt  plus  de  masse  louibent 
avec  plus  de  rapidité  que  les  autres.  Supposons,  par  exemple, 
di^tiK  balles  de  même  diamOlre,  l'une  de  plomb,  l'aulre  de 
liège ,  qui  commencent  à  toiuber  en  même  tems  avec  U 
même  vitesse  l^;  ces  deux  balles  présentant  des  surfais 
r^'iiles  il  la  résistance  de  l'air,  on  aura  ainsi  deux  résis- 
tances égales  ,  que  je  représenterai  par  s.  M  et  M'  étant 
les  masses  respectives  de  ces  balles  ,  JUf'el  M' f  seiaiA 
leurs  quantités  de  mouvement  ;  et  comme  la  résistance  de 
l'air  diminue  ces  forces  de  la  i(uactité  «  ,  elles  4avieiidront 
M  y —  m  et  M'V—^  Eu  divisant  (ai  7]  ces  ^luitités  de 
mouvement  par  les  nusses  sur  les^ucUe*  ellea  agiueat, 

on  a  1*  ^ ^ —  ^  V ^  pour  la  vitesse  de  la  balle 

de  plomb ,  et  v'  ^^  V  —  wg^  poor  celle  de  la  balle  de 
lii^e;  d'ail  »■'<»■,  puisque  M" <,M.  L«  pbéffoiaèDe 
de  la  résistance  4e  l'air  se  répétant  a  cha<{uc  insmt^  à 
chaque  instant  aussi  la  vitesse  du  coi^  dont  lu  «Mae  est 
la  plus  grande  se  trouvera  moins  diminuée. 

Soit  A  une  surtâce  plane  exposée  au  choc  perpeodicn- 
laire  d'un  Suide ,  ou  mue  elle--méme  dans  an  fluide  en 
repos  avec  la  vitesse  v.  Elle  parcourra  l'espace  fddans 
l'instant  lA,  et  par  conséquent  aura  déplacé  ud  vfdume 
Avât  de  Suide.  Soit  donc  appelée  D  la  densité  de  ce  floide. 


RsSISTANCl  DES   MHilBVX.  5l& 

nous  aurons  AlMtt  pour  la  massç  qui  aura  été  mise  en 
mouvement  dans  l'instant  dty  et  qui  aura  par  conséquent 
reçu  la  quantité  de  mouYemenJt  ADi^cU  :  le  fluide  se 
rejette  sur  les  côtés  du  corps  et  n'est  point  ainsi  poussé  en 
ayant  et  sans  cesse  pressé}  notre  explication  n'est  pas  exacte, 
il^  est  vrai  j  mais  elle  conduit  à  une  approximation  à  la- 
quelle on  est  obligé  de  s'arrêter  dans  une  théorie  aussi 
difficile.  Soit  donc  M  la  masse  du  corps  qui  présente  la 
surface  A  au  choc  direct  du  fluide ,  fiv  la  diminution  ins- 
tantanée de  vitesse  causée  par  la  résistance  de  ce  fluid^  )  et 
comme  l'impulsion  fait  perdre  au  corps  choquant  une  quan- 
tité de  mouvement  (220,  2^);  égale  à  celle  qu'il  com- 
munique} on  a  Mdv=rzADv^dt  y  d'où  l'on  voit  que  la  force 

ti  que  cette  résistance  oppose  est  —7-  =      _-    x  (^  =•"  y 

dt  M 

elle  est  propor^ionnfM^  au  carré  dfi  la  vilf^sa. 

Lorsque  la  surface  A  se  présente  obliquement  au  choc 
du  fluide  ;  la  résistance  y  qui  est  toujours  perpendiculaire 
à  cette  surface  j  n'est  plus  mesurée  par  cette  valeur  :  soit 
9  la  vitesse ,  «  l'angle  qu'elle  fait  avec  la  surface ,  ou 
Vangle  dincidence  :  on  décompose  la  vitesse  oblique  v 
en  deux  autres  ;  Tune  normale  à  la  surface  y  et  l'autre 
dirigée  dans  le  seps  de  cette  surface.  I^a  dernière  ne  pro-* 
duit  aucune  résistance }  l'autre  91  pour  valeur  f  sin  #•  On 
remplace  donc  v  par»^  sin  «  dans  la  valeur  précédente  ^ 
ce  qui  donne  ppur  la  résjstanqe  Z>u^F*  sin»  ^  =  Afiî. 

lorsqu'on  considère  {e  mouvement  dans  un  0uixie  élas- 
tique ^  il  faut  doubler  ces  vale^r$  de  la  résistance}  car 
(«',  n«.  225,11)  est  double  de  y  {c'' y  219). 

225.  RjDiienons  la  première  de  cies  valeurs  à  d^  mesures 

connues.  Soit  h  la  hauteur  due  à  la  vitesse  k  ,  oq  a  y^z:z^gh  , 

2  ADeh 
ou  11=  — îjA-,  Or  2-<^A  est  le  volume  d'un  prisme  qui  a 


\ 


Si6  DrifiMiQVE.       ^ 

A  pour  base  et  2A  pour  hauteur^  ^DAh  est  donc  la  masse 
d'un  prisme  de  fluide  qui  a  là  surface  pressée  pour  base  et 
pour  hauteur  le  double  de  celle  cpii  est  due  à  la  vitesse  9  : 

« 

p 
ViDAgh  est  le  poids  P  de  ce  prisme  j  de  sorte  que  il=  — • 

Les  auteurs  qui  ont  tr^të  de  la  résistance  des  fluides 
ne.  s'accordent  entre  eux  que  sur  la  proportionnah'të  au 
carré  des  vitesses  :  mais  ils  diffèreut  sur  la  valeur  absolue 
de  cette  résistance.  La  formule  relative  au  choc  obh'que 
ne  s'accorde  même  nullement  avec  l'expérience  lorsque 
l'angle  est  moindre  de  4o* ,  et  sur-tout  lorsque  cet  angle 
est  fort  petit.  Newton  a  inconnu  que  la  résistance  ne 
devoit  être  que  la  moitié  de  ce  que  donne  l'expression 
précédente^  il  a  trouvé  (Principes  de  math. ,  livre  11  ^ 
sect  VII  )  que  la  résistance  d'un  cylindre  est  double  de 
celle  d'une  sphère ,  et  que  cette  dernière  est 

D      f* 

D'  étant  la  densité  d'un  globe  qui  est  mu  dans  le  fluide  , 
k  le  diamètre  de  ce  globe.  Cette  valeur  est  assez  d'accord 
avec  celle  que  l'expérience  donne  ,  dans  le  cas  où  les 
vitesses  ne  sont  pas  très-considérables:  mais  lorsqu'il  s'agit 
des  globes  métalliques  lancés  par  les  bouches  à  feu ,  il 
faut  substituer  0,4^  ^  i  i\^ns  la  formule  précédente  :  c'est 
du  moins  ce  que  l'expérience  paroîl  confirmer.  La  théorie 
précédente  n'est  pas  d'accord  avec  l'expérience  j  cela  tient 
à  la  nature  même  des  fluides  cjui  ne  nous  est  pas  connue; 
ce  qui  rend  les  circonstances  du  choc  différentes  de  ce 
que  nous  les  avons  supposées.  Il  suit  de  cela  que  si  le 
corps  que  nous  avons  considéré  en  mouvement  (  162  et 
175  )  est   une   sphère  ;   dont   k  est   le  diamètre  il  faut 


RisisTÀZfCE  i>Ks  MiLiiinc,  Siy 

5         D 

remplacer  les  coefficîens  tn  et  jA ,  par  -g-  .   '/',,"  y 

ou  par  (0;45)x    .-.w  ;  suivant  que   le  mouvement  est 

lent  ou  très-rapide  :  -j—  est  le  rapport  entre  les  pesan- 
teurs spécifiques  du  mobile  et  du  fluide  (ayG)^ 

224.  Pour  completter  la  théorie  (162)  de  la  chàte  des  corps 
graves  y  tirons  de  la  relation  entre  e  et  f  donnée  page  220  y 
pour  la  vitesse  d'un  corps  qui  tombe  verticalement  dans 

un  milieu  résistant  v  =  V'  (  ï  *■  c-*'"*) ,  c  étant  la 

a  -. 

base  des  logarithmes  népériens  :  en  mettant  cette  valeur 

dans  celle  de  /^  on  trouve  ^  tout  calcul  fait^  ^ 

I      ,        f  c«s*+  c"-«^'  ^  I   ,  ,        . 

^  =  —  •  log  ^ ^ s ,  oue3t=  —  (  agi—  loga), 

en  négligeant  c~«^  qui  est  une  très-petite  quantité.  Plus  e 
croît,  plus  le  radical  de  la  valeur  de  y  approche  de  l'unité, 
et  plus  le  mouvement  est  près  d'être  uniforme  5  la  vitesse 

approche  de  =:  1/  -^ ,   sans  qu'à  la  rigueur  elle 

a         V       m 

puisse  atteindre  cette  valeur ,  même  dans  un  milieu  infini. 

Dans  ces  formulés  ^ n'est  plus  9,81°*,  car  le  poids  des  corps 

doit  être  diminué  de  celui  du  fluide  qu'ils  déplacent  (285) , 

et  on  doit  remplacer  g  par  ^'=1^1—  — -  J  g.    Si    le 

corps  tombe  dans  le  vide,  il  a  acquis  (h y  i56)  la  vitesse 

g' 


V 


m 


,.  après  être  tombé   de  la  hauteur. 


p' -           4      (D'—D)k  ,   11      , 

^  ::3::  —2 —  =    _Z-  .  i L^  ;  pour   une   balle    de 

agm  3  D  ^ 

plomb  qui  tombe  dans  l'eau  Z>'=  îi,4>  X/  =  ï  j  ^^^^ 


5x8  Dt^taxique. 

ce  corps    ne  pest    lamaia  acquérir    une    tUcsm  égib  à 
x5  fois  soa  diaznècre,  plus  huit  dixièmes. 

m.     Choc  des  Corps  élastiques. 

225.  Passons  muntensutt  au.  choc  direct  des  Corps  éiaS' 
tiques.  Avant  tout,  examinons  les  circonstances  phjsi- 
ifoes  qui  accompagnent  le  choc  de  ces  corps  à  ressort 
Lorsqu'un  CM^  élastkpie  va  choquer  un  plan  dur  et  iné- 
branlable y  TetTet  du  choc  force  ce  corps  à  'chan^  de 
figure  ;  il  s^aplatît  en  se  comprimant  jusqu'à  ce  que  la 
réaction  du  plan  choqué  ait  éteint  soa  mouvement.  C'est 
alors  que  commence  le  phénomène  de  Télasticité.  On  doit 
le  regarder  comme  produit  par  une  force  qui,  agissant 
de  l'intérieur  du  corps  vers  Te^ttheur  ,  repousse  les  mo- 
lécules que  la  compression  a  déplacées ,  pour  les  remettre 
dans  leur  état  primitif.  Il  arrive  donc  que  le  corps  se 
rétablit  ;  et  si  son  ressort  est  parfait ,  la  force  «ivec  laquelle 
ce  rétablissement  s'opère  est  éfxale  et  opposée  à  ceUe  de 
la  compression.  Le  plan  sert  alors  d'apj:ui;  a  luosure  «jue 
l^î  corps  r -prend  sa  figure  ,  toutos  ses  parties  re';uiv»?nt 
i.ne  impulsion  tn  sens  contraire  de  celui  du  choc  ;  il 
repousse  «ionc  le  plan  ,  ou  ^  ce  qiii  revient  au  nicnie  ,  il 
on  o^t  repoussé  ;   et  par  conséquent  il  retourne  eu  arrière. 

Appli^jucms  ce-j  considérations  au  choc  de  ileu\  corps 
«'•!a',lii'jL:e.s  AI  et  M'  j  qui  sont  animés  des  vitesses  /  et 
y^  d'in'^é*:S  dans  le  niènie  sen:>.  A/ poursuit  j V  ,  et  Iiu'sque 
c  'S  deux  mobiles  s»:  renLOUtrcut  '  ce  qui  cx'j^c  qu'on  ait 
^^  /'' , ,  ils  se  pressent  mutuellement  jus<ju'à  ce  qu'ils 
.'lient  acfjuis  une  vitesse  commune  y  :  alors  JT/  a  perdu 
ia  vitesse  /'' — y  y  tandis  qu'au  contraire  jh'  a  ga«:né  la 
Viitts^e  i'  —  f .  Dans  cet  état ,  les  corps  ne  se  pressent 
phiS,  ils  sont  simplement  juxtà-posés  ^  et  ils  ont  atteint 


^    .( 
Choc  dss  corps  klastiques.  3 19 

leur  maxifnùm  de  compression.  Jusqu'ici  la  force  de  res- 
titution n'a  point  été  mise  en  jeu  ^  et  il  est  clair  que  tout 
s'est  passé  comme  si  les  corps  avoient  ^té  durs  :  de  sorte 
que  la  vitesse  v  y  qui  est  commune  aux  deux  corps  y  n'est 
autre  que  celle  dont  nous  coùnoissons  déjà  la  valeur  (6^), 

Mais  tout-à-coup  la  restitution  s'opère }  les  corps  ne 
restent  même  qu'un  instant  infiniment  court  ^  dans  cet 
état  stalionnaîre  qui  sépare  l'instant  de  la  compression 
de  celui  du  rétablissement.  Nous  avons  dit  que  l'élasticité 
devoit  être  considérée  comme  une  force  agissant  de  l'in- 
térieur des  corps  vers  l'estérieur  :  dans  Fétat  ou  sont  nos 
deux  corps  juxtà-posés  et  sans  pression  mutuelle  ,  cette 
force  exerce  ÉOti  action  sur  chacun  d'eax  ^  et  son  inten- 
sité est  la  même  que  celle  arvec  laquelle  ils  se  sont  com-« 
primés  y  à  cause  du  ressort  supposé  parftfit.  On  voit  donc 
que  le  corps  M'  sera  poussé  par  l'élasticité  de  M  dans  le 
sens  de  la  tendance  comnm^  ,  et  par  conséquent  devrai 
gagner  de  nouveau  la  vitesse  j'  —  f  :  tandis  qu'dil  con- 
traire le  corps  M  sera  repoussé  en  arrière  par  l'élasticité 
d^  M! ,  et  «Jevra  perdre  encore  la  vitesse  f^—  f^.  .Ainsi  jfef 
aura  perdu  là  vitesse  2  (  F-^v) ,'.  et  M*  aufâ  gagné  celle 
2(f— ^')  ^  donc  en  désignant  par  u  et  u'  les. vitesses 
de  M  et  Af',  après  le  choc^,  qn  a  u  =  F~r  2  {F — y  )  ^ 
ttu'=z  r -^2  {i^ — ^')jou. 

# 

'w  =  2f'— V;        tt'=2P— >" (^0- 

La  valeur  de  t' est  d'ailleurs  connue  par  l'équation  (b'f).  On 

peut  la^  substituer  ici  ^  et  ii  vient 

-  ■      -  .  "      -     . 

|i.    '    *  I  I     ni«l  II     •     I  iii     I  I  j  I      H  rx    tjfrfTf  i II.       nii,  ,,   m      .m    '       *        >i>i  ■■  »     '    a 

W+M'         ^>«'^  M+M' 

Ces  formules  font  voir  qtie  si  Kh^ -Masses  sont  égales ,  les 


B  ehangoneiu  brusque  qui  t'est  opéra  dans  cfliti 

force  vive  n'est  point  la  mtme  (sao  ,  5"0  wvt 

le  choc  des  corps  durs  ;  s'ils  sont  ëlaslî<]ues,  die 

,  pari  Af  f''+  W  ^'  ^  et  de  l'aolre  JUu'+-_M'u''  : 

ilibunt  les  valeurs  {d")  ^  cette    derrière   quanbilé 

it 

Les  deux  premiers  ternies  ce  détruiseDi  visiblemeot  {b") , 
el  comme  il  ne  reste  que  M  y^-yl^t'  P'"  ,  on  Toil  que  , 
malgré  le  'hangenient  brusque  de  mouvement,  dans  h 
choc  des  eorps  élastiques  la  force  vive  esl  la  même  avant 
et  après  le  choc. 

3"-  Le»  valeurs  {à")  deviennent  a  -=  2  k  —  f  ^ 
u'=:i,v2z  y  ca  cumulant  ep  semble  tous  les  cas.  Ainsi, 
après  le  choc  la  vitesse  reluiife,  ou  u  —  u' ,  est..... 
=  —  (  y±.  P  );  or  V±.  P  esl  la  vitesse  lelative  avant 
le  choc;  donc  les^  vitesses  relatives,  avant  et  après  le 
chàCf  sont  égales  et  dirigées  en  sens  contraires t  on,  ce 
qui  revient  au  même,  à  des  instans  égaux  pris  avant  et 
aprét  le  choc,  hs  mobiles  sont  à  la  même  distance  tun 
de  l'autre. 
,$,  337.  Soit  CD  un  plan  fixe  ,  et  ^  un  mobile  à  ressort 
jtarfait,  lancé  avec  la  vitesse  AF  :  décon>posons  rette 
vitesse  en  deux  autres,  dont  l'une  PI  soit' perpendicu- 
laire au  plan  ,  et  dout  l'autre  CF  soit  dirigée  dms  le  sens 
du  plan.  Cetla-ci  n'ëprpuve  aucun  obstacle  à  son  «lïat 
entier;  quant  à  l'autre,  si  ellc' existoit  seule,  l'élaxticilé 
devroit  conimuniquer  au  mobile  la  vitesse  FI  de  Fy«c%  /; 
ainsi  lorsijue  le  mobile  est  parvenu  en  F,  il  est  sonmisà 
l'action  de  deux  forces  qui  lui  communiquent  les  vttMsci 
FI  «t  FJ>:^FC;^uQ  il  aura  dana  la dinction,  FA  h 


Choc  dks  corps  élastiques.  SiS 

vitesse  FK.  On  nomme  AFI  l'angle  d'incidence ,  et  KFt 
l'angle  de  réflexion  j  comme  les  deux  rectangles  CJ  et  ID 
'  sont  égaux  y  il  est  visible  que  ces  angles  le  sont  aussi.  Donc 
lorsqu'un  corps  à  ressort  parfait  vient  choquer  un  obs^ 
Jacle  ,  il  se  réfléchit  en  faisant  l'angle  de  réflexion  égal 
à  l'angle  d'incidence* 

Si  le  mobile  alloit  choquer  une  surface  courbe  ou  une 
courbe  ^  il  faudroit  concevoir  au  point  de  contact  un  plan 
tangent^  ou  une  taugente ,  et  y  appliquer  ce  qui  vient 
d'être  dit.  Alors  les  angles  d'incidence  et  de  réflexion  sont 
ceux  que  forment  avec  la  normale  les  directions  du  mobile 
avant  et  après  le  choc  :  rien  n'est  donc  plus  aisé  que  de  dé« 
terminer  l'un  de  ces  angles  par  l'autre.        • 

228.  Voici  les  solutions  graphiques  de  divers  problèmes 
întéressans  j  relatifs  au  choc  oblique  des  corps  à  ressort. 

I.  Trouver  en  quel  point  F    ctun  plan  CD ,  on  doit  ^h-  'o»- 
faire  choquer  un  mobile  placé  en  A  pour  qu'il  aille  reh" 

contrer  un  corps  placé  e/i  B. 

Menons  ^/f  perpendiculaire  sur  CD\  prenons^C=  CH\ 
■    menons  HB ,  le  point  F  de  rencontre  de  cette  droite  avec 

CD  sera  le  point  cherché.  En  effet ,  les  triangles  ACF  et 

HCF  étant  égaux  ^  on  en  conclut  qu'il  y  a  égalité  entre 
.     les  angles  AFC  y  CFH  et  DFK  :  donc ,  etc.  Au  jeu  de 

billard  on  appelle  Bricoller  toucher  une  bille  placée  en  5  , 

âpres  avoir  frappé  la  bande  CD. 

II.  Résoudre  le  même  problème  par  une  double  bri^ 
colle. 

A  est  le  corps  choquant^  B  le  corps  qu'on  veut  toucherj  ï^s-  "a» 
menons  AH  perpendiculaire  sur  IL  j  prenons  Al  =  IH  5 
menons  FH  parallèle  à  LI  j  et  rencontrant  KL  en  G  ; 
prenons  GH:z=:  FG  5  enfin  menons  FB  ,  et  par  les  points 
C  tXHla.  droite  CH  :  les  points  D  et  C  seront  ceux  ou 
le  corps  A  doit  choquer  IL  et  LK.  £n  effet  les  angles 


AfJl  'rt  </}£  ^ont  égaux  i  IVuisie  LDi£\  de  màne  Lai 
^ns^ies  FCf,  ^  f*CH  ftX  BCK  sont  .^f^aiix. 

^oiK  ^lippf^.snns  iCi  les  billes  reomtes  ^  lesr  centre; 
ainsi  dan.^  ':;:s  ieux  probièmes  on  lait  reznpiacsr  chaône 
hanrle  «l'un  Ijiîî&rd  par  une  lûme  -larailêle  m' an  -wiag^w^ 
^!ii  drrians  f:t  1  iiiie  «xistance  le  îa  bande  esaie  in.  ra^aft 
rie  la  biilfr. 

£IL  Etant  données  Us  deiu:  ■:puL'n;s  2u  biUes  isoles  A 
fit  f- ,  faire  en  r»orie  fjue  ceile-ci  ^uini  j.'ie]</uee  par  U 
premif:re ,  aiUc  en  C  ;  trouver  la  tiireczzon  au  mauvaneni 
fie  lu  hUle  A  fipr*:s  U  'ihoc, 

Vfcnons  CL  .>ar  !e  point  C  et-  ie  centre  ie  la  iiiile  L  ; 
faisons  lùut.her  .a  ïnWft  A  jiu  point  /  ou  la  sur^e  ^ 
nrncontrée  par  LL.  ïoit  II  :e  ravon  de  la  biile  :  ii  -at  dair 
r{ue  si  on  prolonj^e  CL  en  ^ .  el  i{ae  si  on  abaise  azr 
£f/  la  perpendiculaire  /i? ,  la  force  ^z  équivaudra  aux  ibrces 
Bi'  et  z7>  qu'on  trouve  en  formant  le  rectan^.e  BD.  La. 
première  e&t  entièrement  employée  j.  taire  mouvoir  la  bille 
£,,  et  à  lui  donner  la  vitesse  Bi .  220  ,  II .  i  '.  ,  et  elle  est 
«ierruite  iaiia  .11  ji11«î  A-  Lu  i-toxicine  ne  i-jawiliùr:  lià 
au  choc  :  -'aUi  1  luac  2«'.a  on:irr  eri-jf: .  -c  ci  .  icru.  .à  i::".-:- 
t*oû   le  :a  Liiie  A  apr-rs  .«r  .:i!,i:. 

IV.      Frincipti  te  a' Alembcrt. 

220.  On  doit  a  d'ALE.MJt.ir  une  méthode  vlJ'l^c te  et 
^énériie  pour  r  ?sou(ir'i  .  -.a  -iu  moins  pour  mettre  eu 
équation  tout  probnime  :e  dvTiami«;ue,  par  ia«rueile  toutes 
les  lois  du  Riouv'iment  'ies  ccr^îïj  -îont  i-'.'duit:s  a  celi-is  de 
leur  équilibre.  Avant  lui  ,  Jaci;ues  Berne  ulîi  a  voit  dL-ja 
traité  d'une  manière  j-peu-prt:s  semblable  queii^ues  pro- 
blèmes de  Dvnami«:ue  ;  toutciuis  i'Aiendjert  e:»t  resardé 
comme  l'inventeur  du  principe  dont  il  iJ^it ,  car  celji- 


Principe  de  d'Alembert.  325 

là  doit  avoir  la  gloire  de  la  découverte  qui  sait  en  tirer 
parti  et  l'appliquer  à  nos  besoins.  Voici  en  quoi  consiste 
le  thëorémc  connu  sous  le  nom  à^  Principe 'de  dAlemheru 

Concevons  un  système  de  corps  sollicités  par  des  forces 
quelconques  ;  la  liaison  de  ces  corps  contraindra  chacun 
d'eux  à  prendre  un  mouvement  différent  de  celui  qu'il 
auroit  pris  s'il  eût  été  libre  :  or  si  on  introduit  de  nou- 
velles forces  j  qui  ^  en  agissant  sur  chaque  corps  en  sens 
contraire  de  son  mouvement  effectif  j  soient  capables  de 
le  détruire  ^  il  y  aura  équilibre  \  d'où  il  suit  que  dans  tout 
système  les  quantités  de  mouvement  imprimées  y  et  celles 
qui  ont  lieu  prises  en  sens  opposé ,  doivent  se  faire  mu" 
tuellemtnt  équilibre^  en  ajrant  égard  à  la  nature  du 
sjfsiéme. 

Ce  principe  porte  avec  soi  un  caractère  d'évidence  et 
de  simplicité  qui  lui  est  propre  ^  il  est  d'ailleurs  précieux 
par  sa  très-grande  généralité  :  car  en  exprimant  par  des 
équations  la  liaison  des  parties  du  système  ^  ainsi  que  l'équi- 
libre entre  les  forces  imprimées  ^  et  celles  qui  ont  lieu 
prises  en  sens  opposé^  on  obtient  des  expressions  analy- 
tiques propres  à  faire  connoitre  celles-ci^  et  par  conséquent 
t  le  mouvement  de'  chaque  corps.  C'est  ce  qui  sera  rendu 
plus  clair  par  les  applications  que  nous  allons  en  faire. 
Commençons  d'abord  par  des  cas  fort  simples. 

25o.  Choc  des  corps.  Soient  deux  mobiles  AI  et  M' 
animés  des  vitesses  f^et  F'  ^  quelles  seront  leurs  vitesses 
u  et  u'  après  le  choc  ?  On  suppose  que  les  vitesses  ont 
le  signe  positif^  c'est-à-dire  que  les  deux  corps  se  meuvent 
dans  le  même  sens.  On  a  done 

masses.       vitesses  imprimées.       vitesses  effectives. 

M F u 

M' F u'. 


I.] 


5a6  .  I>HH.41Big|ji.  . 

*        ■  •  .  ■ 

Jlf  r.  MF*,  —  Afo  et—  Jlf  M'. 

Ôr  pour  P^qiiilîfareoii  a  to  (tf^^  317)  ^e  la  aoimteie» 

^       qnutîtéf  de  moaTemeiiti  prises  arec  lebrs  sîgneày  doit 

élf^  nnUe^  donc  osa  MF'^^M'F'—Mu^M^è^Ao. 

Cette  éqpikfioof  tadqoe  ne  peut  j^  ftife  ^nrânokre'^if  et  t/;3 

l  ■■■■I  fa*  « 

faut  donc  reoonrir  i  là  nàtài^  da  tystéme  pour  en  ohkaàit 
une  seconde.'  ffons^  fWtHn  jNnoiâxjteer  ^e  lé  principe  dt 
d^Alembert  ne  snfSt-pas  poor  dëtcMninér  le  moawéaimAi 
on  a  des  occasions  nombrcfoses  dVip^^i^tier  cette  oIiscr> 
Tatîon.         . 

Si'lès-cérpi  t^mï  dnrs^  après  te  chdc  i&  restieittjaxtl- 
poses',  etae  meAvent  aTCC  kl  teéme  tltesse  k;  donë  par 
la  nàtnrè  dii  Àrfatiêine  w^zz-uthrivî  om  en  dMml  Péqoâ- 
lion  (&*).  Si  les  corps,  jouissent  dNine  âastîdté  pÉkAite, 
comme  la  force  de  leur  choè' dépend  de  leurs  yftesses 
relatives^  et  que  la  force  de  restitution  est  égale  à  celle 
de  leur  compression^  on  peut  voir  à  priori f  que  les 
vitesses  relatives  sont  égaler  et  opposées  avant  et  après 
le  choc  :  ainsi  on  a  w  —  w'  =  ^'«—  f^.  En  éliminant  entre 
ces  deux  écpiations  ^  on  obtient  pour  u  et  u'  les  valeurs 
déjà  trouvées  (225). 

U  seroit  facile  d'appliquer  le  même  raisonnement  au 
cas  où  les  mobiles  vont  en  sens  contraire  y  et  au  cas  où 
l'un  d'eux  est  en  repos  :  il  est  inutile  de  nous  y  arrêter  • 
on  fera  simplement  F'  négatif  ou  nul  dans  nos  équations. 
Tig.  lia.  25 1.  Mouvement  sur  la  poulie.  Soient  m  et  rn'  \ts 
masses  de  deux  poids  P  et  Q  unis  par  un  cordon  non 
pesant  passé  datas  la  gorge  d'une  poulie  BFC^  èherchons 
les  circonstances   de  leur  mouvement.  Soit  y  la  vitesse 


Pmircipft  ©K  d'Ai/embert.  Say 

laquelle  lè's  eorp^  se  meuvent^  nî^  eii  montant  «et /n 
en  descendant;  cette  vitesse  est  prise  j>ositivement  pour 
les  deux  corps  ^  parce  que  connue  la  |>ôttlie  lie  sert  ici 
qu'à  changer  les  directions  des  forces  ^  on  peut  regarder 
comme  positives  les  directions  qui  sont  dans  le  sen$ 
m'CFBifi  y  comme  s^il  ne  s'agissoit  que  d'une  droite.  La 
gravite  g  qui  soUïôité  lés  deux  corps  leur  a  déjà,  an 
bout  du  tems  ty  communiqué  la  vitesse  p^  et  dans  l'instant 
suivant ,  elle  imprime  à  chacun  d'eux  la  vitesse  gdt^  mais 
l'une  de  ces  impulsions  est  dirigée  dans  le  sens  du  mouve- 
ment de  m  y  tandis  que  l'autre  à  lieu  pour  77»'  dans  on 
sens  opposé.  Si  donc  le  fil  Krenoit  à  se  rompre  au  bout 
du  tems  /,  les  vitesses  de  m  et  m'  setoicnt  f  +  ^c&j  et 
y  —  gdt  dans  l'instant  suivant.  Or  par  la  liaison  du  sys- 
tème," la  vitesse  devient  pour  tous  d«ux  V'^dff)  et  on  a 
}e  tableau  suivant  x 

masses.  ••«•••  vitèsfies  imprim.,  • . .  vllesséè  efTecttvèi^ 

m V  ^  gdt ^.c.  f'-f^  dv. 

m' é . . .  P  —  gdt ♦  • .  f  +  rff. 

iS'ail heurs,  pour  l'équilibre  entre  les  forces  imprimîéeô  él 
celles  qui  ont  lieu' prises  en  seii's  contraire,  il  faut  (2)'^)' 
que  la  somme  des  quantités  de  mouvement  (  prises  avec 
letirs  signes)  çoit  nulle ^  ce  qiii  donne 

m  {y  +gdt)  +  7n'{v  — gdt)  "-rmiy  -^-dv) — m' {y + dv) = o  , 

•ff  ett  réduisant  (m— m')g^rf/-^-(ite -f^m')  i/K=:  05  d'oîi 

m  -fi  m' 

I 

Ce'  qtti  ptôure  quiè  le  mouveDifent'  est  uiûformëment  varîél 


528  Dynamique. 

Comme  les-  poids  sont  proportionnels  aux  masses  (5o}f 
on  peut  remplacer  ici  m  et  m'  par  P  et  Q ,  ainsi  que 
dans  les  problèmes  suivans. 

Il  se  présente  ici  deux  cas  y  suivant  qu'on  a  originai- 
rement laissé  partir  les  mobiles  du  repos  en  les  aban- 
donnant à  la  seule  gravité  y  ou  qu'on  leur  a  fait  prendre 
une  vitesse  initiale^  en  donnant  une  impulsion  à  l'un 
d'eux. 

25a.  Dans  le  prenuer  cas  on  a  visiblement  C  =  o  ^ 
et  si  on  compte  les  e  à  partir  du  point  de  départ  de 
chaque  corps  y  on  a  aussi  i?  =:  o  ^  ce  qui  dobne 


m  "-'m'  m  —  m' 


ïë^y  »^=  ^   .   ^/  'ë^ («'')• 


wî  +  m'     »  c?    7  m  -^  m' 

255.  Atlvoody  physicien  anglais  y  a  employé  ces  formules 
à  la  vérification  de  tout  ce  qui  a  été  exposé  précédem- 
ment sur  la  nature  et  les  effets  de  la  gravité ,  sur  le  choc 
des  corps  durs  y  etc.  Il  s'est  servi  pour  cela  d'une  machine 
rig.  112    qui  consiste  en  une  poulie  BFC ,  et  deux  poids  P  ti  Q  y 
unis  par  un  cordon  mDFCni'  j  il  a  de  plus  rendu  celle 
machine  susceptible  d'une   très-grande  précision,    i**.   en 
faisant  porter  Taxe  de  la  poulie  sur  des  rouleaux  mobiles, 
a(in  d'en  diminuer  le  froltement  (i5i);   2°.    en  suspen- 
dant les  poids  P  et  Ç  à  des    soies  très-fines  ,  afin   que 
celui  des  deux  corps  qui  a  de  son  côlé  une  plus  grande 
longueur  de  celte  soie    n'ait  pas  son  poids  sensiblement 
augmente  j  5°.  en  ajoutant  au  sjstéiue  une  horloge  son- 
nant les    secondes  j  4°-  ^^  faisant  porter  cet   appareil  par 
nn  pied  marqué  de  divisions  égales. 

Lia  machine  d'Athood  sert  à  plusieurs  expériences  inté- 
ressantes :  1**.  si  on  suspend  deux  poids  égaux,  mais  qu'on 
charge  V\xn  d'eux  d'un  poids  additionnel  ,.puis  qu'à  l'aide 
d'un  arrêt  attache  au  support,  on  enlève  ce  i>oids  à  un 


PrXNCIVB  BE  B'AlilMBERT.  Sig 

instant  déterminé  de  la  chute  ^  le  mouvement  devra  con- 
tinuer uniformément  avec  la  vitesse  acquise.  On  pourra 
donc  créer  un  ftouvement  physique  propre  à  donner  uoe 
idée  exacte  de  ce  que  nous  avons  nommé  la  vitesse  des 
corps  (149)7   et  modifier  cette  vitesse  à  son  gréj  2**.'  si 
on  prend  des  poids  m  et  m'  dont  la  différence  soit  petite 
et  déterminée ,  les  valeurs   {e^)  de  la  hauteur  e  et  de  lia 
vitesse  v  de  la  chute  seront  d'autant  moindres    que   ces 
poids   seront  eux-mêmes  plus  grands  :  la  chute  sera  aussi 
lente  qu'on  voudra ,  et  on  pourra^  en  évaluer  avec  préci- 
sion la  quantité  à  chaque  instant^  5^.  puisque  Texpérience 
fera  connoitre  les  valeurs  de  e  et  /  correspondantes  y  tout 
sera  connu  dans  les  équations  (e^);  excepté  g)  en  négligeant^ 
par    approximatiom  >   la  résistance  de  Pair  ;  parce  que  le 
mouvement  a  peu  de  rapidité  )   on  peut  donc  y  à  l'aide 
de  cette  machine^  vérifier  la  mesure  de  la  gravité  g  dont  - 
nous  avons  précédemment  trouvé  la  valeur  (igS',  4**0- 

254.  Dans  le  second  cas^  si  aulieu  d'abandonner  sim- 
plement les  corps  à  la  gravité^  on  a  .imprimé  de  haut  en 
bas  à  P  l'impulsion  F)  cette  vitesse  a  dû  être  répartie 
entre  les  dei^x  masses  m'  et  nij  suivant  la  même  loi  que 
si  m  choquoit  avec  la  vitesse    V  le  corps"  ntf  en  repos  : 

*  ainsi  la  vitesse  commune  aux  deux  poids  est (c^ty 

/      .  tn  -\^  m* 

Telle  sera  la  valeur  de  la  vitesse  lorsqu'on  compte  /=:o  , 

ou  plutôt  celle  de  la  constante  C)  donc 

* 

On  déduira  aisément  de  là  e  en  fonction  de  /.  Si  on  a 
m'  <  m  ,  (m'  —  m)^/  et  f  sont  poâtifs.  Ce  qui  fait  v^ir 
que  lé  poids  P  l'emportera  dès  le  premier  instant. 


•>- 


r».  I  .îtM«.  lii  n.  AI.  honï  du  tenu/:  rcimm»  !«  zr- 
^«^>*tri*fiinr*^^  ^i\n  nronoTiniimelt»  aux  rEvc»n5 .  et  c^s  1-îs 
>:>cw-*   ,i    »  f»    .1:   w    ^in:  dan?  ir  rappcir:    a«  cm^s- 

...    >,       -.     fi*..    rlA:      4T«:     --—       «     aUTL    lîcliî     à*     TR  p    5l  ]»!S 

-     .  :        .'.. -...'.^•«.T.îfrr.î    ;    riianui.   l"  e.iiz.  .'"iTLi:c-- 

i  ».-»      '  .:•.    ■•."■M   ".  îjr  «an.-  i*    rr.j:- s:-»!» 

T  /       .  •    'I?.-  i.    iiii^oi    ai    --t;,_.iii.-  i 


./ 


pRiifciPs  OS  d'Alsmbirt.  555 

^57.  Jusqu'ici  nous  avons  fait  abstraction  dvt  poids  des 
cordons;  il  ne  seroit  guère  plus  difficile  d'y*  avoir  égard» 
£n  effet;  prenons  d'abord  le  cas  de  la  poulie 3  représentons 
par  p  la  masse  de'  l'unité  de  longueur  du  cordon  j  et  par  a 
sa  longueur  entière  dûninuée  de  la  partie  BFC}  soit  z  la  'îg-  xi>* 
longueur  Bm  de  la  partie  de  ce  cordon  qui  est  du  côté  du 
poids  P'y  a — z  sera  Cm',  c'est-à-dire  celle  qui  est  de» 
l'autre  côté  au^bout  du  tems  t  :  les  poids  respectifs  de  ces 
cordons  sont  donc  pz  tXp  {a — z).  £n  raisonnant  comme 
ci-dessus  (aSa) ,  on  verra  qu'on  a 

niasses.                  v.  imprimées*  v.  effectives. 

m  -\^pz ^'hg^ ..»'-j-rff 

y 

m'  +  /?  (a  — z),.. .  p — gdt ....••  f  +  ift'. 

L'équilibre  entre  les  forces  imprimées  et  les  forces  effec- 
tives^ prises  en  sens  opposé ,  donne 

wi  —  7ii'  +  p(2^  —  a) 

dv  = ,       ,  \_ -^grf^. 

m  '^  m  -^  pa  .  - 

On  intègre  cette  équation  en  la  multipliant  par  f£^/ =  c/z , 

et  on  trouve ,  tout  calcul  fait ,  ^ 

•"  =  2ê'  X  -^ /  ;  .  — 

Lorsque  la  vitesse  est  nulle  en  même  tems  que  ;; ,  on  a 

C=:o:on  détermineroit  aisément  dans  tout  autre  cas 

la  valeur  de  la  constante  C,  Pour  obtenir  une  relation 

dz 
ent^e  z  tXtj  on  met  --3—  pour  >» ,  et  il  ne  s'agit  plus  que 

dz 
d'inté'îrer  une  fonction  de  la  forme -^âft= 


ce  qui  n'offre  aucune  difliculté^ 


Le  .uuuf'jusBt  mr  le  treszl .  -^a  ^anc  fSiii'I  sis  ynm 

ées  cnrrtons .  se  TUte  afawumeait  ie^  ménie  -   ^xnasrtnm 

Ks.   ::.  Ic9  iiotacioTu    Ta  T*.   2%:   -if   7.as  inmiiHJig  I  -x  t'jb 

ioiKSiciirs  iea   'u>niaB§  lonmie  :::=<)  .  *t  ^  .a.  rïimrmr 

«  ^  ^b 

de  corfion  'Tm  ie  'iéraèoppe  le  dcjiiu  j.  mue   îiiniiC  £ 
tems  u  L'antr*:  cûmoii  i^^g^'gtouuft-A  ?a  orème  .ena  sir 


le  c^tinare   -i'ine  lonsnenr  — =- ^   Ai  nu  !xs   rjricas  ar 
rtmt  pour  ^onsnean  ui  jont  in  resns.  r.  Fm  =  J  ^  j  •  fC 

Dm*  =,T— — =— j:  -airs  noassea  sctqiu    7     J  — -   •  « 

il 

»    /i  —  — =-  ^    ;  -:€  m  anra 

'^  R 

masses.                      ^^  jnnr.          -j*.  e£Ecltv«& 
m -f-p    Z-T-s   /  —  jrft i^-t-ii» 

m   -r-p     ri ^-     ..-^ :ja^ -^     «^ — ■fl' - 

îl  raiHra   iauc  de  r^npiacer,    iu.iis  .es  .oicAÎs  iu  n'.  1:6* 

71    ;t    71'      loT    71-^^        J   —    J         ::71     —    7        Z—    -i^-  I     ' 

■>ii  jLr:en*:ra  me  ir:::r'iS5i(3a  ;•:  j.  ri.nnf  ^^^  =: x  -:.'. 

*  —  ■»  j 

TU -jn  :ntcirr':ri   i^ninie    n-iesius  .   lur -s  /i"-':ir  .:ij   :.:i: -; 
par  v^fJt  =  Jz.   ^■^.»::\,  i»i  :';i:i:i<ir'.  n.-    ? -.i   :.ris  .1:1:1  :.::  ::: i 

de   ."iniîrtiR    ;«:  ..»  p^ii.i-î  .     .r  .    :..ij     .^     :.•..:-*  '^i-'îr   ^^   -^ 
nous  V'în(,ns  ■:.:  r:arvr  .    a   ^^'-r  :  ^  .    .':.•»;'-■;,-» 

une  ç/fiC^Âe.  'i.'   ii,  1  ji;..i.i   j  ..-  ...-^i    ::i  .  :,.    71:.:/   -.       i  _::..-   -, 
€eîT.«    nfiîi'/:inft    -.n    r.ioav-c;  -  .  -     ^    .     i-  -n       '.  »  ^ 
Ptéparons  cette  onnsiioa  v^:.^:iUu.'.:f 


t'RINCIPX  SE  o'AtEMBER'T.  Sf35 

To32t  ce  que  nous  avons  dit  dam  le  n^  précédent  de 
Taction  de  la  pesanteur  sur  les  niasses  m  et  m*  et  sur  les  Eig.  nS. 
cordons ,  a  également  lieu  ici  ^  et  il  ^'j  a  rien  à  changer* 
Mais  en  outre  remarquons  que  toutes  les  particules  de  la 
poulie  ont  un  mouvement  commun  de  rotation  y  et  que  là 
vitesse  des  points  de  la  circonférence  est  celle  des  poids 
P  et  Q  ^  de  sorte  qu'elle  est  =  v  ^  au  bout  du  tems  u 
Mais  les  particules  qui  sont  plus  voisines  de  Taxe  ont  une 
vitesse  moindre^  et  la  diminution  se    fait  dans  le  rap- 
port des  circonférences  qu'elles  décrivent,  ou  plutôt  ^e 
leurs  distances  à  Vaxe  \  de  sorte  que  si  nous  considéro*  ^ 
des  molécules  dont  les  masses  soient  ^' ^  ^''; .  •«  distantt^o 
de  l'axe  de  /' ,  ^  ^^  • . .  en  nonunant  r  le  rayon  de  la^poulie, 

leurs  vitesses  (211)  seront  ^-—  y   -^ —  ,  . .  • .    La  pesanteur 

n'exerce  d'ailleurs  aucune  action  sur  elles  ;  et  au  bout  du 
tems  t-^-dlpOn  a  le  tableau  suivant  : 

masses.         •       v.  imprimées,    v.efïect.       dist.àPaxer 

m  +  pz y  -^ gdt y  -j-  ^^•*  ••••••  r 

m' -{-p  {a'^z).*.y'^gdt y  +  i/i'.  .......  r 

ic' ....•  ^y ^{y+dy)....f' 

^  r  T 

Jf i-K L.(y  +  dy)....g'f 

etc •  .etc.  •••,•••••••  etc i*«etc. 

Pour  l'équilibre  entre  les  forces  imprimées  et  les  forces 
effectives  prises  en  sens  -contraire ,  il  faut  que  la  somme 
des  momens  de  ces  quantités  de  -mouvement  par  rapport 
à  Taxe  (45)  soit  nulle;  et  on  a 

\mm^  m'  -f  ;?  (  2  *—  a)]gïft  =  «ft'/  m  -f  m'  +;>a  •+:  — p^  J 


356  DTNAMiçcfi. 

en  désignant  par  5(^f')  la  somme  des  lermes.-..» 
,^'f"  +  ^"f"'  +  etc.,  c'est-à-dire  la  somme  des  produit» 
des  molécules  par  les  cannés  de  leurs  dtslances  à  l'.ixe , 
de  sorle  qu'en  multiplianl  cette  équation  par  dz  :^=  vdt ,  et 
intégrant,  on  obtient 

_         (TO  — m'  — pa)a-rpz' 


f-{n 


«J+'S(W*) 


agr. 


Le  reste  n'a  plus  de  difficulté.  Quant  à  la  valeur  de  la 
quantité  S{  ftf') ,  nous  allons  nous  occuper  des  nioj'ens  tic 
la  trouver,  non-seulement  pour  une  poulie  de  dimensioni 
connues,  mais  encore  pour  un  corps  et  un  axe  quelconques, 
parce  que  par  la  «uitc  nous  en  aurons  fréquenuneuC 
besoin. 

V*     Moment  dinertie. 


a3g.  Soient  m', 
d'un  corps  de  figure 
à  un  axe  quelconqui 
la  quantité 

m't"  +  m  V  +  n 


. .  les  niasses  des  molécules 

'',  f",  {'",  . . .  letirs  dislances 
a  nommé  Moment  d'iwertie, 

''  +  etc.'=5(m;'). 


C'est  la  somme  des  produits  des  Tnasses  des  molécules 
du  corps ,  par  les  carrés  de  leurs  dislances  à  taxe. 
Comme  nous  supposerons  que  ce  corps  est  bomogêDe , 
il  faut  remplacer ,  dans  tout  ce  qui  va  ètrt  dit ,  les 
masses  des  molécules  par  leurs  volumes  qui  leur  sont 
proportionnels. 

La  quantité  S(_mi*)  ne  dépend  que  de  la  forme  du 
corps  et  de  la  position  de  l'axe;  de  sorte  que  comme 
elle  est  indépendante  du  tems  ,  elle  l'est  aussi  de  toute 
idée  de  mouvement }  en  un  mot  celle  fonction  est  pu- 
remeni  géométri^w  et  essentiellement  posiiiye .-  cependant 


sellerons  y  pour  abréger,  axe  de  rotaUonj  l'aie 

'  auquel  on  cherche  le  mouvement  d'inertie.  Soienf 

v^'^...  les  coordonnées  des  molécules  m'^  m^,... 

f  3  en  regardant  l'axe  donné  comme  étant  celiJ(i 

Jn  a  /'*  =  ar"  «+'j<''*  y  etc.  j  ^et 

^hrm'(a:'*+j-'»)4-w'i^(:î:'^'+7'^»)+ctc.=«S.m(x»4;7-*)..(^'') 

Ainsi,  pour  trouver  le  momclit  d'inertie  T  d'un  corps 
par  rapport  à  Paxe  des  z ,  on  évaluera  le  volume  m  d'une 
molécule  en  fonction  des  différentielles  de  ses  coordon- 
nées Xyjr  et  Zy  et  on  intégrera  dans  toute  l'étendue  du 
corps  la  quantité  ni{x^'^jr^)y  en  suivant  les  mêmes 
procédés  que  pour  les  quadratures  et  les  centres  de  gra- 
vité (  p>  74  )•  Mais  il  arrive  très-souvent  que  l'équation 
qni  détermine  la  forme  du  corps  n'a  pas  pour  axe  des 
jç  cdiii  par  ra{^ort  auquel  on  cherche  le  moment  d'inertie. 
L'emploi  de  l'équation  précédente  exige  donc  dans  ce  cas 
la  rësôliition  de  ce  problème  qui  ne  dépend  que  d'nne 
lnuiiformatio&  de  coordonnées  ;  Trouver  le  moment 
^mtrtie  par  rapport  à  une  droite  quelconque^ 

240.  Supposons  d'abord  que  l'axe  de  rotation  soit  pa- 
rallèle à  celui  des  z  :  il  est  visible  que  la  transformation 
qu'il  faut  employer  consiste  à  transporter  l'ori^ne  des 
coordonnées  au  point  où  t'axe  de  rotation  rencontre  le 
plan  xy*  Soient  h  et  l  les  coordonnées  de  ce  point ,  et 
r  sa  distance  à  l'origine ,  ou  la  distance  entre  les  deux 
axes  parallèles ,  de  sorte  que  h*-^  l'^zzzr^  :  on  changcr;a 
donc  simplement  a:'  et j^'  en  a: — A  et j^ — / ,  dans  x'^-+jf'^  ) 
de  sorte  qu'en  multipliant  par  m  et  intégrant ,  on  aura 

S.m(x^'+'j*)'+f'M'^ahMX'^alMr....  (i). 

^ d^igfie  ici  la nutfse  entière  du  corps ,Qnm'+  m^M^ttc. 

22 


r 


53S  Dtnamiqije. 

JfeiJ'  «oui  1m  eoordomicei  dn  centre  de  graTÎté;  de 'Il 
«Mie  t|ae(^',54)  on  a  AfX=rn'x' -i-m'x" -{- etc. , 
A/ï';=  m'j-' 4- m*/* -+- etc.  La  fonction  (i)  résoDl 
completlcment  le  probténie  proposé,  car  le  premier  lerme 
est  le  moment  d'inerlie  relativement  à  l'aïe  des  z  connue 
s'il  étoit  celui  de  rolaiîon;  le  second  terme  est  constant 
«t  connu-,  enfin  on  obtient  les  deux  autres  par  des  in- 
tégrations (  yçyez  p.  74)' 

Si  l'axe  des  2  passait  par  le  centre  de  gravité,  alors 
lavalear(i)  se  siniplificroit  beaucoup,  car  X  et  Kseroienl 
nuls  ;  le  moment  d'inertie  »e  réduiroit  dans  ce  cas  à 


S.m(:t:'+^')  +  »-7l/.. 


.{h"). 


Or  dans  cette  formule,  r'M  est  le  produit  de  la  masse 
entière  du  corps  par  la  distance  du  centre  de  gravité  >it 
nouvel  axe  ;  le  premier  terme  est  le  moment  d'inertie  pris 
par  rapport  à  l'axe  passant  par  ce  centre:  donc,  pour 
uvoir  le  moment  d'inertie  tfun  corps  par  rapport  à  une 
tiroiic ,  '/uuiui  on  connoit  la  valeur  de  ce  moment  par 
rapport  à  une  autre  droite  parallèle  passant  par  le  centre 
de  gravité,  il  faut  à  cette  valeur  ajouter  Je  produit  de 
ta  masse  du  corps  par  le  carré  de  la  distance  ensrt 
les  deux  axes. 

Od  écrit  souvent  la  formuk  (h")  sous  une  autre  fonni 
plus  coniniodc.  On  suppose  ,  ce  qui  est  vi^blçment  permis , 
*jue  Mk'^S.m{x' +  }■•);  de  sorte  (pie  k'  est  le 
«quotient  du  moment  d'inertie  du  corps,  par  rapport  i 
i'aïo  qui  passe  par  le  centre  de  gravité ,  divisé  par  U 
tuasse  du  corps.  Alors  le  moment  d'inertie  est 


Af(f  +  ft«}.. 


.('■"). 


a4t-  U  n<^"S  ■'<:s'i^  '^  trouver  le  moment  d'inertie  rdt- 
..  tiT<ment  à  un  axe  quelconque  ^x  passant  par  l'origine^: 


♦  n 


Moment  û'inkr^txk.  55$ 

pont  ceisLy  nous'  allons  chercher  à  transformer  toute  for^^ 
tnule  en  X  y  jr  et  Zy  en  une  autre  qui  soit  fonction  de 
trois  nouvelles  coordonnées  rectangles  x^^  jr'y  z'.  Pro- 
jettons  Taxe  jiz  des  z  en  jiB  sur  le  plan  des  x'z'  y  et 
soit  I  Tangle  zAB  que  cet  axe  fait  avec  cette  projection 
soit  aussi  9  l'angle  z'AB  qu*elle  forme  avec  l'axe  des  z^^ 
•  et,iy  déterminent  la  position  de  l'axe  de  rotation  Az» 
Peur  effectuer  la  transformation  dont  il  s^agit ,  soit  d'abord 
pris  AB  pour  axe  des  z  y  sans  changer  celui  Ax  des  Xm 
lues  formules  connues  (  Traité  de  Biot ,  n".  77  )  qui 
Servent  aux  changemens  dezetjren  z,  et  jTf  y  relatives 
aux  coordonnées  rectangles  dans  le  plan  j'Z;  donnent 

Z'=zZf  cos  é  +J*/  sin  ô  >  jrzni'-^Zf  sin  6  -j-J  /  ^^^  éy  x=zx^ 

de  même  pour  changer  l'axe  AB  des  '^/^en  Az'y  sans 
changer  l'axe  Aj'^  des  j*, ,  on  emploie  le  même  procédé  j 

z,=zz^coS9i  +  x'sinijy  x^zzz  —  z' sin 9  +  a:' cos jy ,  j*/==// 

de  sorte  qu'en  combinant  ces  résultats 

z'=z'  cos  9  cos  é-^-  x'  sin  9  cos  6  +  j*'  sin  4  \ 

^=— z' cos 9 sin ô— a:' sin  9  sin  d  ^-j*' cosé  > '(0- 

xzizx'  cos  9  —  z'  sin  9  ) 

Pour  appliquer  ceci  au  cas  présent  y  il  faut  transformer 
^n  X  yj'  et  z  l'équation  en  x'  jr'  et  z'  du  corps  5  Az,  où 
Taxe  de  rotation  devient  celui  des  z  j  on  forme  ensuite 
4S.m(a:'+j"'  ) ,  ou ,  ce  qui  équivaut  y  on  peut  mettre  dans 
S^m  {x^^y^)  pour  x  etj-  leurs  valeurs  en  x'  y'  et  z'. 
Ainsi  formons  x^'-^-j^y  multiplions  par  m  ,  et  intégrons  ;  le 
moment  d'inertie  T  y  relatif  à  un  axe  quelconque,  sera  donc 

T=  A  cos'"  9  -H  C  sin»  9  +  ^  —  2  ^  sin  9  cos  9  cos"  ^ 
+(^sin»9+Ccos*9— ^)sin'»d— 2(Z>sin9+^cos9)sinécos^5 


34a  UvNAHiQus- 

aous  disons  ici  pour  abréger 

A  =  S.mx'^,  B  =  S.my",  C  =  S.mz'' 
D  =  S.mx'j',  E=S.tnx'z'  ,F=S.myx 

A  f  B j  ...  sont  des  constantes  ,  puisqu'elles  exprïmenl 
des  intégrales  prises  dans  toute  l'étendue  du.  corps,  rc- 
iatives  aux  trois  axes  coordonnés.  La  valeur  de  T  résonl 
complettement  le  problème  proposé  (*). 

Puisijue  le  nioiuent  d'inertie  est  toujours  une  grandeur 
finie  et  positive,  il  est  évident  que  panni  tous  les  aies 
qui  passent  *par  ^'origine  ji ,  H  en  est  pour  lequel  ce 
niomeot  est  le  plus  grand  et  le  plus  petit  possible.  Pour 
les  déterminer,  il  faut  (  CU/.  dijf. ,  Lacron  ,  1 34)  égaler 
séparcment  à  zéro ,  les  différentielles  de  T,  relatives  à  (  et 
à  vj  A j  B  ,...  étant  conslans,  puisqu'ils  ne  dépendent  que 
des  axes  coordonnés  x'jf'  ,z'.  Désignons  par  J,  s'  les 
■inus,  c  et  c'  les  rosinvs  respectifs  de  q  et  I,  nous  au- 
rons 

(  C—^) sec-  —EC  (c^—s' )  +  (  JV—ZJc) I'  =  o>  ,^, 
(As^+Cc^-^B-{-2Èscyc'—(ps+Fc)  (c'»— j-)s=o) 


(*)  L'aïï  de  rotation,  au  lieu  d'^ire  d^iermioé  par  1  e( .,  peut 
l'én^  par  Ici  angles»,  C  etr  qu'il  fait  svec  les  axes  des  V,^  et  s* 
leapectiTcmcDi  :  il  est  ait^  d'exprimer  I  et  •  ea  foàclion  de  a,  t 
ït>,  eaTemOBlsut  à  la  uot*  page  ai  ;  elle  donne  cMs  ^stOaCoil, 


:siDC,siD<=  - 


Orcoi".+  «»s»î4-cûB'ï  =  i;  la  valeur  de  rdeviciit  donc  en 
■ubsiituint  et  réduisant 


AXXS  PRINCIPAUX.  541 

AT  AT 

Ces  équations  proviennent  de  -^ —  et  — —  ^  '  divisées 

respectivement  par  2  cos  é  et  par  2  :  or  si  Ton  forme 
S.mxz  et  S.mjrz  à  Taide  des  valeurs  (i),  on  trouvera 
précis^ent  les  mêmes  résultats  j  donc  S.mxz  =  o  ^ 
S.mjrz  z^LO.  Pour  déterminer  les  axes  qui  satisfont  à  la 
condition  de  minimum  et  minimum  dont  il  s'agit  y  il  faut 
tirer  ^des  équations  (2)  les  valeurs  de  9  et  I.  Pour  cela ,  la 


s' 


première  donne  —7-  ou  tang  ^ ,  et  la  seconde  fait  con- 

2  c^s^  sm  2  ê 

noitre 7-  = =  tanff  2 1.  Ainsi  on  a 

c"  —  ^*  CpS2l  *     ^ 

d'ailleurs  tang  2  I  =  ■• 2^ —  •  en  substituant ,  é  est 

^  1  — tang»l'  ' 

élirtiiné ,  et  on  a  une  équation  entre  c  et  5  qui  doit  servir 

à  trouver  tang  9  :  or   cette   équation  est   du   5'.  degré 

(Voy.  pag.  5o5;  6*  Jour.  Eco.  polj-.  Mém.  de  Prony); 

et  comme  l'une   des  racines   est  relative  au  maximum, 

et  l'autre  au  minimum ,  dont  l'existence  est  certaine,  il 

faut  en  conclure  que  les  trois  valeurs  de  tanff  I  sont  réelles. 

Ainsi  par  chacun  des  points  de  tous  les  corps  f  on  peut 

faire  passer  trois   axss  •  principaux  3   c'est   ainsi  qu'on 

»  nomme  les  axes  dont  la  recherche  nous  occupe.  Le  5*^.  ' 

ne   répond  y  il   est  vrai  ^   ni  à  un  maximum  ni  à  un 

minimum  y  à  moins  que  le  moment  d'inertie  qui  lui  est 

relatif  ne  soit  égal  à  l'un  des  deux  autres^  mais  il  jouit 

de  la  propriété  de  satisfaire  aux  équations  (2).  JJÊ^ 

Supposons  qu'il  arrive  que  l'un  de  ces  axes  soit  celtB^^ 

des  y  'y  la  transformation  de  coordonnées  que  nous  venons 

de  faire  aura  pareillement  lieu ,  ainsi  que  les  calculs  qui 


en  sont  la  «uitp  )  seiilemenl  on  devra  supposer  que  1« 

int^rales  y/,  B sont    prises   relativemcnl  à 

OMS,  donl  celui  des  a'  est  l'axe  principal  dont  il  s'agit,  «1 
par conséijuenl faire  S.mx'x'  =  E^o,S.mx'^ 
Lea  formules  (a^  deviennent  alors 
c((C-^j^-/Jtangi}=o,  (^î'+C<:>-J)taiig2l-ar»j:=o. 

La  première  donne,  ou  c  =  o,  outangj^:  y- 

.    j  ^(C  —  A)Ds 

mais   celle  -  ci   donne  tang  2  » 


valeur  qui ,  introduite  Jans  la  seconde  (  dont  le  premier 
facteur  éipiivaut  h  {A — C)s^-\-C  —  B),  conduit  à 
ai?j{(C— ^J(C— 5)  — i>'};=0,  d'où  s=o  et  *=o,  1 
ce  qui  seroil  absurde.  La  première  équation  esige  donc  J 
que  c=;o,  ou  n^j»;  ce  qui  indique  que  les  projec- 1 
dons  jiB  des  deus  autres  axes  sir  le  plan  des  x'z' ,  se  % 
confundcnt  nvtc  jix' ,  ou  «pe  icur  plan  est  perpendiculaire    1 

à  Az'.  De  plus  tang  2  i  :=  — ^  donne  daux  valeurs 

de  t  qui  diffirent  entre  elles  de  ^«;  donc  les  deux  axes 
cherchés  sont  à  angle  droit.  Il  résulte  de  là,  i".  qu'en 
général  les  trois  axes  principaux  sont  à  angle  droit;  i'.  que 
le  moment  d'inertie  relatif  aux  x'  owj'  est 

T^  C-f  B  cos- i  + -4  sin' «  —  Z>sin2*i 

5».  qu'il  sera  facile  de  trouver  deux  axes  principaux  lors- 
qu'on l'oiinoitra  le  5*<  ;  4°-  q"^  si  on  prend  les  trois 
axes  principaux  pour  axes  coordonnés  x'  ,y'  et  z' ,  les 
londitions  E  ^^o  ,  f  =0,  relatives  à  l'axe  des  z' ,  ne  suf- 
isent  plus;  il  est  facile  de  voir  qu'il  faut  en  outre  que 
*^o  et^=;»,  ou  D  =  o.  Le  moment  d'inertie  relalifà 
un  «se  quelconque  As  est  donc  alors 


Ajss  pimcciFÂux.  S45 

7^=  ^  5m««  +  J?  sîn*  f  +  C  nV  y, 

en  traduisant  les  angles  9  et  I  en  fonction  de  «,  Cet  y. 
On  peut  encore  mettre  ce  moment  sons  d'antres  formes 
très-commodes  ^  car  Soient  A: ,  /et  m  les  momens  d'inertie 
relativement  aux  x'  yjr'  j  z'  j  qui  sont  les  axes  principaux  : 
on  a  visiblement  i  =  ^-f-C,/  =  -/f  +  C,  m :=^A+Bi 
d'oîi  tirant  les  valeurs  de  ji  ,  B  %t  C  ,  qui  sont  les  moitiés 
respectives  de  l  +  m  —  Ai^nt  —  /^Aret/— m-^^^y 
puis  substituant  on  trouve 

T=  {k sin*  «  +  m  cos*  »)  cos»  é  -t-  /sin* I 
Tzznk  cos*  «  -f-  /  cos*  C  4^  m  cos'  y. 

Ainsi  lorsqu'on  Çonnoit  les  momens  d'inertie  d'un  corps 
par  rapport  aux  trois  axes  principaux,  pour  obtenir  ce 
moment  par  rapport  à  un  axe  <pielconque  Az  y  il  suffit  de 
multiplier  ceux-là  par  les  carrés  des  cosinus  des  angles 
respectifs  formés  par  cet  axe  avec  les  axes  principaux. 

Rapprochons  les  principes  qui  ont  été  démontrés  daUs 
ce  paragraphe  de  ceux  qui  l'ont  été  dans  le  précédent^ 
puisque  de  deux  axes  parallèles  y  celui  qui  passe  par  le 
centre  de  gravité  a  un  moment  Mk^  plus  petit  que  l'autre  de 
la  quantité  Mr^  y  on  conclut  que  de  tous  les  axes  qui 
passent  par  le  centre  de  gravité^  celui  par  leqnel  le 
moment  iLmertie  est  un  minimum  y  jouit  de  la  même 
proprié IJ|||^H||Mment  à  tous  les  axes  menés  dans  l'espace. 

242.  Y^^^^^l  exemples  de  la  recherche  du  moment 
k*  d'inertie.  ' 

I.  Trouver  le  moment  d'inertie  d'une  droite  ABz=:  a  y  »jg.  nï. 
par  rapport  à  un  axe  quelconque.  Par  le  centre  de  gravité 
G  y  OU  le  milieu  de  AB  y  concevons  un  axe  parallèle  à 
C<elui  dont.il   s'agit  rPC  =j;   est   la  distance  d'uoe 


moUmle  quelconque  P  an  point  G;  J\jr^djr)  ^\j^  ^ 
àatkc  [«  moinenl  d'iaerti«  «l'une  portion   de  AB;  A  à 
OB   prend    l'intégrale   depub  jr=  AG^  —  \a  jusque 

r  ^  GB  =  i  «  ,  on  aura  Mk*  r= ponr  le  ntomenl 

dln^rtic  par  npport  à  Taxe  qui  paj!«  en  C.  ^lais  pour 
avoir  ce  moment  par  npport  à  l'axe  qni  passe  en  D,\\ 
faut  (340)  j  ajouter  aa',  «  défilant  la  distance  Z>G 
entre   les    deiis  axei  ;  00   aura  enfin ,   pour  le  moment 

cherché,  »(.-+i^). 

U.  Cherchons  le  moment  d'inertie  d'un  parallélipipéde 
rectangle  dont  les  aréles  sont  a,  b  cl  h  ,  par  rapport  à 
l'axe  dea  ;  pasuni  par  It  centre  de  gravité  cl  parallèle 
à  l'arâlc  a.  Une  molécule  de  ce  corps  a  pour  volume 
dxdjdz;  le  carré  de  sa  dislance  à  l'aie  est^-'-^iJ:'.  Il 
iant  donc  intégrer  ta  quantité  dxti)-dz  {  y'' -^  x' )  dans 
toute  l'étendue  du  corps.  Opérons  d'abord  par  rapport 
à  X  dont  li's   limites   sont  .t  =:  —  ;  /i ,   et  x  ^  ^h i  nous 

anrans  h  L?-*-t-  T~P\  ^^T  ■  en  intégrant  de  m^me,   de 

jr=.^\bf  ày  =  |fi,  on  obtient  hbl — ^ J  dz. 

Enfin  en  intégrant  par  rapport  à  x,  entre  les  limites 
—  Jffl  «t  +  Ja,  00  a  pour  le  moment  d'inertie  cherche 


JIA* 


=-(^)= 


.  III.  Soit  demandé  le  moment  d'inett^B^un  cercle  par 
rapport  à  un  axe  peq>eDdiculaire  à  son  plat 
le  cen^e  C  ou  en  A.  Concevons  an  point  n  de  l'aire 
qui  ACp^=.x  et  ^=f  pour  coordonnées,  Bit  élément 
recUngulsire  rfrt/y}  le  produit  de  cet  élément  par  le  carré 


MosiBNT  d'inertib.  545 

de  sa  distance  nC  au  centre  C,  sera  dxdq  (9"  +  x»)  ;  en 
intégmnt  par  rapport  à  q  seul,  on  a  ^ 9^ cte  +  çx^é/r  : 
.  pour  obtenir  le  moment  dUnertie  des  ëlëmens  disposés  le 
long  de  la  double  ordonnée  mm',  il  faut  prendre  cette 
intégrale  depuis  q  =z'^jry  jusqu'à  q-znfjy  étant  l'or- 
flonnée  pm,  et  par  conséquent  =  yjij*'^  ^^^j  ^  étant 
le  rajon  :  on  trouve  §  ^(r»— a:") (r*+ ax*]  dr.  En, 
intégrant  cette  expression  depuis  â:=^-r^  jusqu'à  x=ry 
on  aura  le  moment  d'inertie  de  Paire  entière  du  cercle 
par  rapport  au  centre  C  Pour  exécuter  cette  intégration 
observons  qu'en  intégrant  par  parties  on  a 

Or  le  dernier  terme  équivaut  à  |y*(r"  — x')v/(r»— x*)rfr, 
on  f  y*/V/(r\— x*)  Jar  —  f /2r«Y/(r»^x*)  dx  j  substituant, 
transportant  et  réduisant,  on 'a 

Nous  ne  tiendroi)s  pas  compte  ici  du  premier  terme  qui 
est  «ni  aux  Kmites  —  r  et  +  ^^  y  «t  qui  paiL  conséquent 
dîsparoit  de  Vintégrale  cbmplette  :  ainsi ,  en  substituant 
■dans  là  formule  ci-dessus  ,   on  trouve  pour  le  moment 
d^inertie ,  par  rapport  à  C ,  fr^  \/{j*  —  x^)  dx  :  or»... 
yV/arv/^r*— -x*)  est  un  segment  de  demi-cercle,  dont  x 
est  l'abscisse)  cette  int^r^le,  prise  entre  les  limites  x^^^^r 
et  5:  =  r,  exprime  donc  le  demi-cerde ,  c'est-à-dtre  est 
=  i  w  r»,  et  le  moment  d'inertie  cherché  est  |  w  r*=:  Mk\ 
On  peut  aussi  raisonner  comme  il  suit  1  concevons  dans 
notre    cercle ,    une    circonférence    décrite    d'un    rayon 
r=:  CV2='9)  et  une  autre  circonférence  infiniment  voi- 
sine 5  la  première  aura  2*9  pour  longueur ,  et  elles  forme- 
ront dans  le  cerde  une  couronne  infiniment^mince,  dont 


#. 


-I- 


U[i|i4jU  p 


t  3»^; 


iTY^Jy   ] 


1  par  (!«■=■/• 
•l'ûicrlii!  <fr  i:e(1«  vitumMiC.  En  intep-aju:  un  a  ^vO*  IMV 
fa)  BOonHinl  d'iDWb*  d'uiM  cnuranne  ctiiii:miru^  d'épa» 
MUT  fiu»  ,  kX  cb  pfimaDt  l'ÎDl«<£r3l«  Jt^ttis  f  =<)  jiuiiuV 
f  =:r,  il  Ti«at  MAr'=:^«>f«  p<Mir  W  -in.im^^  d'ineriis 
,  dk  t'aire  du  code. 

Soiti  Jonc  r  te  rajon  d'one  poolie, 
;«^A  ul  ma  nuuneot  d'tnerliie  par  rapport  4.  Tiie  it 
rouiion  ;  il  Tnat  dooc  r-nqJaorr  A  ^^ *  j  par  «etb!  nleur 
daiu  U  rintutic  àa  if.  sSS;  oa  pialAt  par  Îxfn4,  ^ 
la  densité  (5i;  ,  parce  <{ue  ta  poulie  n'est  pns  bnniL'gatf 
RVec  les  cofdoiu  et  tes   masses   m   et  no*. 

S'il  falloit  IrouTcr  le  moment  d'inertie  gar  npjMirl 
l'au  payant  ea  j^,  3  ne  bodroit  qu'ajoater  à  jwr*,  ' 
pradidl  de  l'gâre  ai"  da  cercle  par  ^C*  =f ,  ce  i|ai  4os* 
ueroit  *r*(îi*-|-i"). 

rV.  Trouver  le  tnoment  d'inertie  d'ane  sphère  «h  d'ut 
segment  sphêrii^ue,  par  rapport  à  son  diamètre 
axe  quelcoQ<|u«.  En  un  poiot  arbitraire  du  diamètre^  à 
on  conçoit  nn  plan  perpendiculaire ,  il  coupera  la  sphère 
suivant  un  Cercle  ,  d'uo  r^j^on  :=  ^  :  ce  t]ue  nous  avcMtf 
dît  ci-dessus  fait  voir  que  le  ntonieni  d'inertie  de  low 
Ici  élémens  de  ce  cercle  par  rapport  à  son  centre ,  est 
"î  17-'.  Ce  layua  j-  est  une  onJonaée  d'un  grand  cercle 
de  la  sphère  ;  en  mettant  l'origine  à  l'cxtrémilé  du  dia- 
mètre ,  et  tiésignant  le  rayon  de  la  sphère  par-  a  ,  «n 
&  y*=iax  —  x^-f  ainsi  le  moment  d'inertie  d'une  tranche 
infiniment  mince ,  est  \  aj*dx  ■=  \  w  (  1  ax  —  x')'  dx 
dont  l'intégrale  est  «-x^  (|  a'  — ^  a:r  +  ^  a:')r=  A/K 
*  Elle  désigne  le  moment  d'inertie  d'ua  segment  sphérique. 
Cette  intégrale ,  prise  entre  les  Umites  x=o.,  et  jc=2«» 


yi 


MoMEIfT   D*IlfERTIE.     .  547 

donne  Mh  =3 —  pour  le  moment  d'inertie  de  la 

i5       '^ 

sphère  entière  par  rapport  à  son  diamètre. 

D'après  ce  qu'on  a  vu  (24^)  y  pour  obtenir  le  moment 
d'inertie  par  rapport  à  un  axe  quelconque  y  il  suffit 
d'ajouter  à  ce  qu'on  vient  de  trouver  le  produit  de  la  masse 
entière  du  corps  ^  par  le  carré  de  la  distance  n  de  ce  centre 
à  l'axe  ;  on  a  donc: 

I®.  Pour  le  cas  du  segment  sphérique  dont  le  volume  est 
=  «■  X*  (a— 33:)}  X  désignant  la  flèche 

i  (  2  a*  —  n*)  X  ax*  x^  1 

»x»  l  ^ 5 i 1 h  û«"  }• 

t  3  2  10  j 


!i°«  Pour  la  sphère  dont  le  volume  est  f  ara', 

3 


«•  (-  +  ^)- 


245.  Faisons  maintenant    quelques    applications  de  la 
théorie  des  axes  principaux  et  ôtons  les  accens  de  x'  jr'  Zt'» 

I.  Comptons  les  z  perpendiculairement  au  plan  d'une 
figure  j  z  sera  =  o  ,  d'où  jE  =  o ,  i^=  o  :  donc  toute 
figure  plane  a  Vun  de  ses  axes  principaux  perpendi- 
culaire à  son  plan  .*  les  deux  autres  sont  situés  dans  ce 
plan.  S'il  s'agit  d'une  droite  jiB ,  elle  est  elle-même  un  fî|ç. 
de  ses .  a^es  principaux  ^  puisque  le  moment  d'inertie  par 
rapport  à  jiB  étant  nul ,  il  est  un  minimum  ^  et  il  y 
a  une  infinité  de  droites  perpendiculaires  entre  elles ,  et 
à  jiB  qui  sont  les  deux  autres  axes  principaux  :  soit 
l'origine  en  G.  Pour  obtenir  le  moment  relativement  à 
un  axe  OG,  qui  fait  un  angle  ^G0=^  avec  ABy  il  faut 
dans    7^=  A  ços*«-f.  etc.  ,    faire    A  =  o,    y=ioo<», 

ffzzr^îT  — <^,  et /  =  m  = :    il  vient  T= --. 

12  12 

71.  En  général;  pour  déterminer  les  deux  autres  axea 


denx  val«nri  d«  J  :  U  ntoléaile  m  est  ici  ^  dxdf  ; 
donc  D:r^S.xjdxà]r ,  <fuainè  <^  m^=.\x'S.ydrjQv 
=  îyS^dx  ,  tt  qui  cti  nuLIe  pu  c«>i»c<|uenl  louMï 
Im  fois  que  les  deux  limilcs  àe  x  on  dej-  sont  egalc^ 
et  de  signa  coalnîr«*  ,  c'esl-»<iire  toutes  les  fois  que 
Ift  {«urlte  est   coap««  en  deux   partie*    sjrmétriques  par 

J'na  dci  ase*  cootdoaoe*.  S'tl  s'agit   d'uie  ellipse 

b 
jrs=:^ ^(  a'  —  x*  1  ;  aitni  A  ^S.  x*dx^ ,  spres 

□ne  pretnicre  intégntion  ealie  les  Umiles  dej* ,  devient*. 

S.x'dx  i/;a'  —  x'i ,  qui  est  [  i^a  ,  III)  ^^wa^b, 

depuis  x^ — a  jusqu'à  x=z-\-a;  telle  est  la  valeur 
de  A.  \Ja  calcul  semblable  donne  £  =:  ^  wh^a  ;  ainsi 
tang  3 1  =  o  ,  d'où  tz^o  j  et  # ^=  ioo°  ;  donc  les  axes 
mémei  àe  Vellipse  sont  les  axes  principaux.  S'il  s'agissoit 
cependant  d'un  cercle,  a=li  donaeroit  tanga*  ^r^  |;  ce 
qui  annonce  «[h'îI  j  a  une  inrinité  d'aïes  principaux ,  qui 
sont  tontes  les  lignes  tracées  à  angle  droit  par  le  centre  j 
résidtat  d'aiUeurs  évident. 

Le  taoment  d'nne  dlipse  par  rapport  à  na  axe  mené 
par  le  centre  et  formant  un  angle  ^  avec  le  grand  axe, 
se  trouve  en  faisant  k  =  Bma^^b^a,  t^A^jwa^b  , 
C^o,y=ï  loo",  •:=J",  dans  r^Acos»«  +  eU.  :  dooc 
Tz=  i  iT  f  a*  sin"  ^+  b'  cos"  i-)  ab. 

III.  L'équation  générale  des  surfaces  de  révolution 
a&tour  de  l'axe  des  z  est  x'~\-j'=:fs  (Voyez.  Anal, 
géom.  Monge,IV,5. )  î  or  xzdxdjdz  intégré  d'abord 
|)ar  rapport  à  x  entre  les  limites  ±  V'C/"^— j"  )  est  nul  ; 
d'oii  E^o.  Il  est  clair  que  la  mfnie  chose  auroit  lic4 
pour  toute  surface  symétrique  de  part  et  d'autre  du  plan 


Axes  priiccipaux.  549 

yz*  On  a  aussi  F=o,  ([ui  offre  la  mémt  conséquence 
pour  le  plan  xz.  L'axe  des  z  et  deux  droites  rectan- 
gulaires tracées  dans  lè  plan  xy  sont  donc  les  trois  axes 
principaux  :  pour  les  déterminer.,  cherchons  A\  B  ^\,D^ 
Une  première  intégration  de  y^dxâfdz  relative  à  x  entre 
les  limites  ±-\/{,fz—J^)  àonnenjr'' \/{fz'-^jr'')drdzi 
pour  un  z  déterminé  on  a  un  cercle  dont  le  rayon  est 
l/(x*-f-j"*)  ou  ±  V/(/2  )  J  ainsi  l'intégrale  relative  à 
y  entre  ces  deux  limites  (  a4^ ,  III  )  est  =  ^w  {fz  Y  dzi  en 
intégrant  enfin  depuis  la  plus  petite  juscpi'à  la  plus  grande 
valeur  de  z ,  on  aura  B  ;  mais  ce  calcul  ne  peut  être 
pousisé  plus  loin  salis  counoître  fz*  Comme  on  trouvera  de 
même  Azzz^^^S  {fz  Ydz  entre  les  mêmes  limites ,  et  jque 
Z>  =  o  I  on  a  tang  a  1  =^  §  ^  on  a  donc  la  même  consé- 
quencii  que  pour  le  cercle  )  ce  qui  résulte  évidemment  de 
ce  que  toutes  les  sections  parallèles  aux  xy  sont  cireur 
laires  :  on  trouve  de  même  Cts:mS*fz.:t^dz*  . 

S'il  s'agit  d'un  cylindre  dont  2 A  est  la  hauteur^  r  le 
rayon  de  la  base  ,  et  dont  l'origiide  est  au  milieu  .de 
l'axe,  yz=r«;  d'oii  ^=:i5=i#H/i  et  Ce^^^r^hK 
ji-jr  C=z  le  moment  par  rapport  k  l'axe  des  x  ou  des 
jr=:j^f*A(if*-j-^A*)}  Cest  celui  relatif  aux  z.  Il  sera 
donc  aisé  d'avoir  celui  relatif  à  une  drdite  quelconque* 
£n  égalant  A  à  C,  on  trouve  que  les  momens  par  rap- 
port à  tous  les  axes  qui  passent  par  le  centre  de  gVavité 
sont  égaux  pour  le  cylindre  qui  est  tel  que  5r*=4/i», 

S'il  est  question  d'un  segment  de  parabploïde  dont 
l'origine  est  au  sommet ,  et  la  hauteur  h  jjzz=  2pz ,  et 
on  trouve  A  =  ^  vp^'h^  i=B  y  C  =  |^  Tfph^. 

Pour  le  cône  dont  la  hauteur  est  h  et  Torigine  au 
sommet , /2  ss  m*2*  ,  m  étant  la  tangente  du  demi-angle 

au  sommet ,  on  a  ^=fics  —=■ .  nM^'j  C=:-^ .  m^/iK 

4.5  5 


VI,  AlouvemerU  tfun  corps  choqué  relcnti  par  un  axejîxet 

y  a44-  Concevons  un  carps  dont  la  niasse  flf  el  la  form* 
Eoient  connus  ,  <]ui  soil  retenu  par  un  axe  fixe  perpen- 
diculaire eu  jrf  au  pian  de  Ja  fic^re  ;  supposons  ijue  ce 
corps  reçoit  une  impulsion  produite  par  le  choc  d'un  corps 
dont  la  masse  est  /*  et  la  vitesse  u  ;  celte  impulsion  ayant 
d'ailleurs  sa  direction  BC  perpendiculaire  à  un  plan  j4B 
mené  par  l'axe  fixe  :  s'il  n'«n  ^toit  pas  ainsi,  il  faudroit 
décomposer  l'impulsion  /lU  en  deux  autres,  l'une  pa- 
rallèle à  l'aie,  l'autre  perpendiculaire  a  celle-ci;  la 
première  serait  détruite  ,  puisqu'on  suppose  le  corps  re- 
tenu en  deux  de  ses  points.  Clierchons  les  circonstances 
du  mouvement  de  rotation  ijui  s'établira. 

Par  l'effet  de  l'impulsion  ,  la  molécule  m'  décrira  ua 
cercle  dont  le  rayou  est  j4m'  =  g'  ,  el  par  consé^oenl , 
sa  vitesse  sera  f'  a,  en  désignant  par  t  la  vitesse  angulaire f 
le  mouvement  de  m'  aura  pour  direction  la  droite  m'D 
perpendiculaire  à  j4m'  ;  j"  a  sera  de  même  la  vitesse  de 
m"  :  ef  ainsi  de  suite.  Supposons  que  le  corps  cho(]uant 
soit  anéanti  aussitôt  après  le  choc  ;  et  (]ue  la  perpendicu- 
lair*  AB  =  ■■  Nous  ferons  ici  usage  du  principe  de 
d'Àlenibert,  et  nous  aurons 
masses.  V.  imprim.         v-  eFTectives.        dist.  à  l'axe. 


et  celles  qui 

lieu   prises    en  sens  opposé ,   devant    s'établir   autour 

fise ,  on  sait  (42)  qu'il  faut  que  la  somme  des 


de 


1 

mens. 


ixe  ,  on  saii  tit:i)  qu  11   laui  que   lu.  souuiie  ues  wtt- 
par  rapport  à  cet  axe ,  des  quantités  de  moure- 


MormEirr  Arftyvm  d'ch  axe  fizi.         35t 

tuent ,  soit  nulle.  Ainâ  on  a 

Mf  n 
^uc  —  m'^^*9  —  «•^•Vr  — etc.  =  o,  d'où»  =  -;^- • 

Soit  G  le  centre  de  graiTitê  da  corps  ,  Êôsons  ^G  =  A  ), 
noos  avons  va  240  ,  «•)  qu'on  avoit  ,S  (f 'm)  =Jlf  (-Y"-4-  A**)  y 
Hl}^  étant  le  moment  d*inertie  du  corps  par  rapport  k 
l'axe  qui  passeroit  par  le  centre  de  gravité ,  et  seroit  pa- 
rallèle à  l'axe  fixe  :  donc  on  a 

(*^), 


ii/(-x:*  +  A*) 


expression  qui  équivaut  à  la  précédente ,  et  qui  résout  le 
problème  proposé. 

245.  Les  efforts  qu'éprouve  l'axe  fixe  sont  essentiels  \ 
déterminer  :  soit  donc  pris  cet  axe  pour  celui  des  z  et 
l'axe  des  jr  parallèle  à  l'impulsion  ftu  ^  de  sorte  qu'elle 
exerce  son  effet  perpendiculairement  au  plan  xz  en  on 
point  dont  c  et  Ç  soient  les  coordonnées.  Au  lieu  de  re- 
garder l'axe  des  z  conune  fixe  y  introduisons  des  forces 
propres  à  le  retenir;  on  peut  les  concevoir  réduites  (p*  67  ) 
à  deux  P  et  Q  parallèles  l'une  aux  x  et  dont  le  z  soit 
=  a  ,  l'autre  aux  j  et  dont  le  z  =  ô  :  P  et  Q  sont  les 
pressions  cherchées. 

La  molécule  m'  décrit  un  cercle  de  rayon  ^'  et  parallèle 
au  plan  xy  j  sa  vitesse  ^'k  est  tangente  à  ce  cercle ,  de 
sorte  que  le  sinus  et  le  cosinus  de  l'angle  que  sa  direc- 

x'  y' 

tion  fait    avec    les    x  sont   et  ^ —  :  il  en  est  de 

même  des  autres  molécules.  L'équilibre  devant  avoir  lieu 
entre  les  forces  effectives  et  les  forces  imprimées  prises 
en  sens  contraire  j  il  faut  recourir  aux  équations  (  -Y et  Y ^ 
pag.  52  ) ,  on  formera  le  tableau  suivant  dans  lequel  les 
signes  sont  déterminés  d'après  le  sens  ou  les  forces  agissent* 


35i 

Dr^AMiçuR. 

Foreeî. 

Comp.  dirigée*  sahaot     CaorH.d'appl.surr. 

lesx.             les_;'.      lesx.     lesx.  lesj-.  les*. 

/AU    . 

•        «         •■■     -"«     ■■■0...    .    ...  o  ...Ç 

—  P    . 

.     -P      ...      o       ...0...  0    ...  o  ...a 

-Q  ■ 

.       o         ...-Q    ...0...O   ...o...fr 

m't'u  . 

.  —  m'^'ir   ...m'j'»    .  ..o  ..  .ar'  ■  -'j'  .••-' 

m",».. 

.-mV«--'n*^''»---o...;r«...j^...ï' 

etc.. 

Soient  donc  M  la  masse  du  corps  ;  X,  Y,  Z  'les  coor- 

donnces  de  son  centre  de  gravité ,  nous  aurons  en  verlu 
des  équations  (  -M' ,  54  ) 

M.}^r+P=:o,  w.MX  =  ^u  +  Ç,  t.Smf^  =  fi,u, 

La  troisième  donne  poar  la  vlttMe  angulaire  «  la  relation 
(k")  :  les  quatre  autres  font  conooîlre  les  elTorU  P  et  (^ 
et  leurs  points  d'application  ;  ce  qui  résouE  le  problème 
d'une  manière  complctte. 

,  Si  on  voaloit  que  l'impulsion  fut  («Ue  <{u'il  o'em  rësuitât 
pas  de  pression  sur  l'axe  suivant  les  x  ou  les  7' ,  il  faudrait 
supposer  P=o,  ou  Q  =  o  :  et  pour  que  ces  deux  cor- 
ditioni  aient  lieu  à-la-fois  ,  il  faut  que 

r=o,    „.MXz=fcu,    ,.S.mi^:^it,v.' 

S.niyzT=:Oy  S,mxz:=MX^.  ' 

La  première  indique  que  le  centre  de  gravité  est  situé  dans 
le  plan  xz  aucpicl  l'impulsion  fiu  est  perpeudiculaire  ;  la 
seconde  doime  «;  la  troisitAne  prend  la  forme 


■('•), 


i^ 


•  \ 


Mouvement  AtrTot/R  i>*vn  axe  fixe.  554 

En  èiàî^psBLïit  le  \notneiïl  d'inertie  par  Jlf(A*  +  **)> 
(a4o):  h  dernière  détermine  Z,  de  aorte  qn-on  cennoit  les 
coordonnées  e  et  Ç  é»  Ip<Hiit  du  plan  xz  oit  l'impulsion  ^u 
éoîl  être*  comnuzniquëe }  c'est  ce  ^'oq  nomme  le  cenlnr 
A  percussion  y  qu'on  doil  définir  iepoinê  auquel  il  faut 
^ue  le  choc  seit  imprimé  perpendieulairentent  au  pltat 
qui  passe  par  faxe  et  par  le  centre  de  gravité,  pouf 
que  cet  axe  n'éprouve  aucun  effort*  Quént  à  l'équafidtt 
S»myzz=,Oy  elle  exprime  une  relation  qai  dépend  de  la 
Âguire  èuL  corps  et  àé  la  lifiison  a  l'ase  }  et  comme  elle 
n'aura  lieu  ^œ  àeaa  des  cas  particuliers  (pag.  34^  )y  ou 
voit  que  dans  tout  corps  fixé  à  un  ase^  il  n'jr  a  pas  aéccfr- 
aairement  un  centre  de  percnssion.  Supposons  que  l'axe  de 
rotation  soit  parallèle  à  un  axe  principal  passant  par  le  cei^ 
tre  de  gravité  ^  conmae  pour  transporter  l'origine  et  faire 
en  sorte  que  Taxé  des  z  passe  par  ce  Centre  y  il  £uit  iîirè 
simplement  j:  =  A*  ^  âr%  et  (pi'alors  on  a  (241)  ;  •  •  •  • 
«S  •  mjT^x}  =  o/on  voit  que:  5  •  iNjrj  =:  J^  «  t$  .TNLSy  d'où  Ç=:  ^  ^ 
l'impulsion  ^u  «seroit  alors  donnée  à  la  ligne  menée  du 
centre  de  gravité  pei^ndiculairemeAit  à  l'axe  ûxe.  Si  oa 
veut  simplement  expcimev  que  les  efforts  exercés  sur  les 
axes  ftcmt  égaux  et  dirigés  en  sens  contraires  y  il  faut  poser 
que  (38)  les  coordonnées  a  et  ^  sont  infinies;  ce  qui  exige 
qu'on  n'ait  plus  S^rnjz  ==  o ,  S»mxz  =  AfX^.  Alors  le 
problème  sera  toujours  possible^  et  même  d'une  infinité 
de  manières  y  puisque  Ç  reste  indéterminé  3  tous  les  points 
de  la  parallèle  à  l'axe  y  menée  dans  le  plan  xzy  à  la  dis- 
tance I  de  cet  axe  satisfont  à  la  condition  exigée. 

Soit  F  la  vitesse  du  centre  de  gravité  du  corps,  on  a 
itX=:^  F'y  supposons  en  outre  que  les  masses  Met  /u  soient 
égales,  ainsi  q^e  les  vitesses  F  etUyhi  form»U(A:")  donnera 
pour  I  la  valeur  (/'')  ;  c^  qui  indique  que  si  on  applique  au 
centre  de  percussion  et  un  corps  une  fkcmtifé  de  mouvement 


3S4  SinAHiQUE. 

iga^  et  Opposée  à  ceîh  de  son.  cattn  de  p-aviié,  k 
mouvement  sera  détruit.  Quand  le  corps  est  fîsé  à  un  a», 
oa  voil  que  c'est  au  ceutre  de  percdssion  qu'il  faut  appli- 
(juer  la  force  Mf^^oai  le  réduire  au  repos;  ainsi  c'hI 
[>sr  ce  point  que  passe  la  résultante  des  forces  dont 
chaque  particule  du  corps  est  animée.  Ou  peut  doue 
concentrer  par  la  pensée  le  corps  au  centre  de  percnt- 
tioti  ;  et  ce  point  remplace  ici  le  centre  de  gravité  doDl 
il  olTre  une  des  propriétés  de  statit|ue. 
7.  ^^Q.  La  force  fiu  agissoil  précédeinment  sur  le  corps 
M  supposé  en  repos  j  généralisons  notre  théorie  et  sup- 
posons que  ce  corps  soit  déjà  animé  d'une  vitesse  angu- 
laire ■'  et  que  la  force  fM  soit  dirigée  dans  le  sens  de  celle 
vitesse  :  laissons  d'ailleurs  les  choses  dans  le  ni^e  éiat 
qu'au  n".  244-  Au  moment  du  choc ,  on  peut  regarder 
la  masse  M  comme  entraînée  par  celle  ft  qui  la  choque, 
et  forniint  avpc  elle  un  seul  et  même  corps  :  cela  n'aura 
lieu  ,  il  est  vrai,  que  pendant  un  instant,  durant  lequel  le 
corps  ft  aura  pour  vitesse  absolue  i> ,  qui  est  celle  que 
pri'ud  le  point  B  du  corps  ciioqué  M,  £d  raisonnant 
comme  précédemment  on  voil  qu'on  a 

musses.  v.  imprim.         v.  effectives,      dist.  î  l'aie. 


tt  ou  trouve  pour  la  vitesse  ang 
C»Ultd«^(/'m)  =jtf  (a»-(-A' 


après  le  choc,  i 


$ioiirtita'  =  o*OB*  le  eu  où  le  corps  M  feroit  <■ 


p£lfDVLB   COMPOSÉ.  -     553 

repos  avant  le  choc.  Celui  où  \t  cotps  ^  se  maavroit  en 
sens  opposé  de  Af  s'obtient  en  rendant  v'  négatif.  Enfin 
si  on  fait  u  =o  et  h'  négatif ,  on  a  le  cas  où  le  corps  Af 
viendroit  choquer  la  masse  ^  supposée  en  repos  :  alors  , 
en  prenant  les  vitesses  positives  dans  le  "^sens  de  b'  y  et  sup- 
posant qu'aussitôt  après  le  choc  un  obstacle  arrête  subi* 
tement  le  corps  choquant  M ^  on  a  pour  la  vitesse  absolue 
V  de  ^^ 


^i»  + JI/(X»  +  Âr*)' 


Cette  expression  devient  nulle  lorsque  f  =  o  et  lorsque 
t  =  00  :  entre  ces  deux  valeurs  de  i  ^  i)  j  en  a  une  pour 
laquelle  la  vitesse  9  est  un  maximum  ^  on  l'obtient  en 

faisant  -7—  =  o  ,  ce  qui  donne 

La  vitesse  y  du   corps  choqué  est  alors  y=:titr=z^tH'» 
On  Voit  par  là  que  ce  n'est  que  dans  le  cas  particulier  où 

M        JC*  rf-  A:* 

i= — - —  que  le  centre  de  percussion  est  le  point 

fc  A* 

qui  jouit  de  la  pivopriété  de  conmiuniquer  le  maximum 

de  vitesse. 

VII.  Mouvement  angulaire  variée  Pendule  composé. 

247*  Jusqu'à  présent  le  corps  retenu  par  un  axe  fixe, 
n'étoit  soumis  qu'à  l'action  d'une  ou  plusieurs  forces  impul- 
sives :  voyons  ce  qui  arriveroit ,  si  chaque  molécule  de  ce 
corps  étoit  sollicitée  par  une  force  accélératrice  particulière. 
Considérons  le  corps  jl/dont  les  molécules  mf^mf^y 


ISl»  Dtîiamiçui. 

atmt  MlUcileM  par  les  forc«s  f',  p' ,  ...  connaei  cfl 
jrtndeuret  en  dircctioas,  el  snppM'é^^  A»a%  des  plans  per- 
prnJk'uUirFS  à  l'dxe ,  dunt  elles  sont  distantes  d«  p'^p". .. 
«MCM  f',  /" ,  ...  l«s  distance»  de  c«  i)iol«cules  à  i'aïe. 
Soit  sbëb  a  la  vitesse  angulaire  du  eorps  au  bout  ia 
tvma  /,  vftasse  ^i  devra  s'aceroilre  de  dg  dans  l'iuslant  A 
■uivant, 
I  Cela  posé,  on  ïoil  que  la  molécule  m' ,  par  esemple, 
re^-oit  dans  les  directions  m'D  et  m'H ,  deui  impulsiow 
»f'  et  ^'dl  j  mai»  ^ae  par  la  liaison  du  sTstéme  ces  im- 
pulsions ne  produisent  pas  tout  leur  efTet  ,  et  ijue  la 
"rllesse  que  \a  molécule  m'  prendra  réellement  suivant 
m'û  sera  /'  (  ■  +  d^J  :  on  aura  d'aitlenrs  jiin'  :=  f' ,  ci 
AH-=:p'.  On  en  dira  autant  des  antres  molécules;  cl 
on  aura 

masses,  y.  împr.  dial.  àl'axe.       t.  eHectives.     disLàTaif. 
"»'•■■•{''    **"*'   \ ;'(•  +  ''«) /' 

i p'di ....  p'  s 

"'■•'■  ■!'?/"■''•! <'(.+^.) /' 

%  p*àt p«  S 


L'équilibre  entre  les  forces  qui  ont  lieu  prises  en  sei» 
contraire  el  les  forces  imprimées  devant  être  établi  à  l'aide 
de  l'axe  fixe  ,  on  doit  exprimer  (45)  que  la  somme  <l«s 
niomens  de  tçutes  ces  forces ,.  par  rapport  à  cet  axe ,  est 
nulle ,  ce  qui  donne 

(i»'f';»'-f-ïï»*f*^«''-f-etc.)A=(»i'/*-l-m*;*»-j-etc.)A; 

donc  _--___iï£__i  m*). 

B  r^nlce  db  Kt  que  Ut  Jbne  accélératrice  anguiairt 


PfiWDtJLB   GOMPOSÉ.  557 

est  le  quptiem  de  la  somme  des  momens  des  forces 
motrices  divisée  par  le  moment  <f  inertie*  S  désigne  <ks 
intégrations  faitet  dans  toute  Tétendae  Au  celles  «t  in- 
dépendantes du  tems  y  aussi  bien  que  de  toute  notion  de 
monvenient  ;  elles  n«  se  n'apportent  qu'aux  propriétés  géo- 
métriques du  coVps  \  cle  sorle  que  qciôiqiue  f  puisse  être 
dans  quelques  cas  àne  fô<tt€tîon  de  ^  y  J'y  ^  ^^*7  Relati- 
vement au  signe  iS,  le  tems  t  doit  étrefegardé  <x)nime  cowb* 
tant  :  du  reste^  Toici  f  usage  de  ceitte  équation.  Après  voir 
trouvé  les  râleurs  de  S  ij^  m)zisM  (tf* + Je*)  et  de  S{ifpm)  eti 
fonction  de  /  y  on  intégrera  par  mj^oit  aux  variables  t  cft #  ^ 
on  obtiendra  ainsi  la  vitesse  «bsolue  y  d'an  point  situé  à 
la  distance  i  de  Taxé  fixe  ^  et  par  conséquent  celle  de  tous 
les  autres  points  du  corps  (21 1).  Ce  premier  point  décrit 
un  arc  que  nous  désignerons  par  u ,  a.  partir  d'un  ins- 
tant déterminé^  (^par  exemple  depuis  le  moment  où  on 

dtt 
avoit  /  =  o  )  j  on  a  »  =  -^7— •  En  intégrant  de  nouveau  ^  on 

obtiendra  «  en  fonction  de  Z ,  et  par  conséquent  on  aura 
tout  ce  qui  peut  intéresser  dans  le  mouvement  gyraloirQ 
du  corps.  Les  constantes-  introduites  dans  ces  intégrations 
dépendent  des  valeurs  initiales  de  la  vitesse  tt  et  de  l'arc  u } 
'elles  se  détermineront  comme  précédemment  (i55  ,  167). 

248.  Appliquons  ces -principes  au  Pendide  domposé  x  fig.  119. 
concevons  un  corps  M  j  de  figure  déterminée ,  retenu 
par  un  axe  fixe  ^^  et  dont  toutes  les  molécules  soient 
sollicitées  par  la  gravité  \  soit  Mq  la  coupe  de  ce  corps 
par  un  plan  vertical  passant  par  le  centre  de  gravité  /  j  ' 
et  perpendiculaire  à  Taxe  de  rotation  projette  en  ^  :  le 
corps  est  retenu  à  cet  axe  par  une  verge  inflexible  lA  , 
tléiiuée  d'inei  tie  ,  et  dirigée  au  centre  de  gravité  5  An  est 
la  pocilion  initiale  de  cette  verge,  qui  est  supposée  par- 
venue en  AM  au  bout  du  tems  /.  Menons  la  verticale 


■ift:^  .-v  Cnmw  la  gravite  ^  «si  U  fera*  acccinairâe  «■ 
4,4lk-ia  HHina  les  tB«Jpcu^  ^  en  pe^l  aacârf  ibi  sigiui, 

^  l^fuBuk  ar'  drncnt  -^  ^  -^ .  Or  «m  pal 

(ii»7    mRpboer     le     Bameat     d'iacitx    ^     /■  /»  )    pa 
Jfl'  *>-|.  h    ,  .V  rtiaà  U  RMMe  <b  cofpa  aacîQBat  :  pK 


W  faBBolc  fi»'*  Sérient  erfn  -^  ^= -j-. 

Paar  tM^rr  cette  éipatiafa ,  Mfcii.ii— a  ^e  adt  :=Jk 

parlaprosicK,  ob  awdm=^^ t^xsb 


i=;/iloil  donner  «=»,  on  3  C^ — «»_/';  donc  enfin 

«l-c«/)} (!.•> 

z49-L«t()iv«r«  poniUmatériebipiicoinposeBtlepeadolc  I 
onl  de*  v)t«iM  dirfcrcnies  Je  celles  qu'ils  auroient  s'ils  1 
étoient  tibr'-»,  ainsi  qu'on  peut  s'en  convaincre  en  con»- 
parant  h  vîleite  de  l'un  d'eux  à  celle  qu'il  aiiroit  dam 
ceit^  hjrpolhèse  ,  à  l'aide  de  la  formule  précédente  et  de 
celle  (/',  197  ),  qu'on  déduit  anui  de  (R'^)'eny  disant 
A^o.  Ainsi  la  liaison  de  ces  points  entre  eux  le*  lôrce 
d'exercer  une  action  mutuelle  qui  altère  leors  vitesKi 
propres  :  celle  des  uns  est  plus  grande  ,  celle  des  autres 
est  moindre  que  s'ib  étoient  seub.  D  est  donc  ai»  de 


-V^{ 


.  Penimjle  composi!.  559 

>'  prévoir  qu'il  y  a  quelque  part  sur  la  ligne  Aï  un  point  €) 
dont  la  vitesse  n'est  point  altéra  ^  et  qui  se  meut  comme 
s'il  étoit  seul.  On  a  donné  à  ce  point  le  nom  de  Centra 
d  Oscîïlaiion.  Voici  comment  on  peut  se  convaincre  de 
l'existence  de  ce  point.  Soit  Aq  =  t  ^  au  bout  du  tems  /  ^ 
'  la  formule  (  t'  ou  n*)  fait  voir  que  si  ce  point  étoit  seul  y 
il  auroit  pour  vitesse  absolue  ^ 

i^  =  v/[a^i(cos  é  — cos/)]. 

Mais  comme  ce  point  fait  d'ailleurs  partie  du  corps ,  on 
peut  aisément  trouver  sa  vitesse  ly  à  Taide  de  l'équa- 
tion (/i^)  :  en  égalant  ces  deux  valeurs  ,  on  trouve 

<  =  ■  =rH (o^). 

r  r 

Cette  équation  sert  à  déterminer  la  longueur  f  d'un  pen- 
dule simple  qui  feroit  ses  oscillations  dans  le  même  tems 
^uc  le  pendule  composé  dont  il  s'agit  i  car  si  on  conçoit 
toute  la  masse  de  celui-ci  réunie  au  centre  d'oscillation  ^ 
on  n'aura  plus  à  considérer  qu'un  pendule  simple  dont 
les  oscillations  seront  synchrones  (*)  avec  les  premières  g 
c'est-à-dire  d'égale  durée  :  on  peut  donc  appliquer  ici  tout 
ce  qui  a  été  dit  chap.  II ,  art.  VI ,  p.  270. 

Nous  avons  prouvé  (i$6)  que  dans  le  vide  la  chute  des 
corps  graves  se  faisoit  d'un  mouvement  uniformément 
varié  ^  maintenant  il  est  faéile  de  s'assurer  que  la  gravité  ne 
varie  pas  pour  les  divers  corps  j  à  la  manière  des  attrac- 
tions, chimiques,  .H  suffit  pour  cela  de  £dre  osciller  des 
corps  de  nature  différente^  dç  les  réduire  par  le  calcul 
à  des   pendules  simples ,  et  de  voir  si   leurs   longueurs 


i*)  Zvir,  «nsembUi  X^m^  tems. 


.-.  1^  -. 


360  DrsiAsaçn. 

toof  eatrtr  elles  en  ndsom  îirrcne  des  cwrés  des  nomlircf 
4'flSciUatioM  £ulcs  dans  k  BKme  lenM  (igS  9  3*.)  :  cv 
la  irim  légère  différence  entre  les  actions  de  la  pesantcv 
MTOit  residoe  considérable  dans  ces  espcriciioes.  ficwlon 
les  a  faites  avec  le  pins  grand  soin  ;  on  les  a  rcpélées 
soavent  depuis^  et  tont  a  prouré  que  la  force  ^ni  pnnsic 
les  corps  vers  la  terre  a  la  wymc  înlensilé  poor  loiiS| 
qu'elle  que  soit  leur  masse  et  leur  nature,  et  que  par  consér 
quent  le  poids  est  proportionnel  à  la  masse  (5o,  221  )• 

dSo.  De  réi|uatioji  (o^;  on  conclut  que  : 

I*.  Le  centre  d'oscillation  est  le  même  que  le  centre 

«le  percussion^  c'est  celui  où  on  peut  réunir  toute  la  masse 

du  corps  eo  mouvement  autour  de  l'axe  (24^)  :  ce  point 

<;&t  sur  la  ligne  qui  joint  Taxe  au  centre  de  grarilé,  et 

il  C6t   plus   éloigné  de  Taxe  que  celui-ci  de  la  quantité 

A» 
ql  z=z  — —  •  Cette  valeur  devient  infinie  lorscpie  Taxe  de 

rotation  pas.se  par  le  centre  de  gravité  :  ce  qui  signifie , 
que  le  terris  d'une  oscillation  est  infini  dans  ce  casj  et  en 
effet ,  comme  alors  la  gra\'it€*  est  détraite  ,  l'impulsion 
communiquant  au  corps  un  mouvement  gyratoire  sans  fin  , 
il  n'y  a  point  d'oscillations. 

?.".  l)<?signons  par  s  la  distance  ql  entre  les  centres  de 

içraviU-  il  croscillalion ,  s  = donne  r= :  or  si 

r  s 

l*axe  de  rotation    ctoit   situé  au  point  q^  la  m<3me   for- 

jnulc  (o^;  donne pour  la  dislance    qui  sépareroit  le 

centre  de  gravité  /  du  nouveau  centre  d'oscillation  :  cette 
distance  étant  =  r ,  on  voit  que  celui-ci  serpit  situé  en  J; 
donc  le  centre  d* oscillation  et  le  point  de  suspension 
sont  réciproques  l'un  de  l'autre. 

^"^    Puisque  (o'O   ne   dépend  que  âe  r^   il   est   visible 


Pendvi-b  comvqsé.  56x. 

^e  les  valeurs  deii;  et  par  conséquent  ks  tems^  des 
oscillations  dun  corps  déterminé ,  sont  les .  mêmes  pour 
des  centres  de  suspension  y  pris  à  égale  distance  du  centre 
de  grayté.  Il  est  aisé  de  conclure  de  là  que  si  dans  le 
{dan  mené  par  le  centre  4e  fmvîlé  peqpeaiionlaireneat 
à  l'axe  de  rotation  y  on  trace  de  ce  centre  .et  avec  les 
rajotnu  r  et  ir  deux  œreles^  le  penûr  sera  la  base  d'un 
cjlîndre  drosi  dont  knitee  les  .f^éaératrieea  8oiit  des  axes 
de  .suspension  sjmchronet  s  ia  seconde  circenférexice  est  le 
lieu  de  tous  les  centres  d'^soîMation  «onrespondw^is^  c'est 
le  théorème  d'Hujghens.  Mais  de  plus^  si  on  a  égard  à  la 
réciprocitç  des.  centres  d'oscillation  et  de  suspension  ^  la 
seconde  circonférence  sera  de  même  la  base  d'un  cylindre 
ànÀt.  dant  les  géttiâralricis  8er(9laMu9si  des  axes  synchrones. 
Si  maiifttBaant  on  changeoU  la  direction  de  l'axe  de 
rolalioA  f  on  ^imvescçÀlk  un  autre  système  d'axes  qui 
îouiroieiabt  de  k  mèxntb  |^pri^  :  de  sorte  qufi  ces  diffé- 
rons a(fstémes  sont  ^laagens  à  deW  S|AhèF«s  concentriques 
jMitour  du  centre  de  gravibéw  Oli  ceitcliiil  d«  là  qu'Â^  esçiste 
dans  Umi.  corps  solide  une  infinité  âtaxes  autour  desquels 
tes  oscillations  sont  synchrones  ,  c'est-à-dire  d'égale  durée, 
^ous  n'ajouterons  rien  de  plus  sur  cette  inatière*  Consulte^ 
à  cet  égard  un  mémoire  de  Biot,,  pag.  242  du  i5*.  cahier 
àuJour.de.l'Ecpefyu-;. 

25 1.  Appliquons  maintenant  la  formule  (o")  à  la  re- 
cherche d^é  la  position  dti^c*tttre  d'osfellhitîoii  ou  de' per- 
cussion d'un  corps  de  figure  "éonntw.  ' 

1*.  Commençons  par  la  sphère  dont  a  ««t  le  rayon  et 

M:=i^^tL^  \t  Tolumc  5  î6tt- moment  d'inertie  (24®?  IV) 

%wa^ 

par  rapport  au  diamètre  est  Mk'^z  — -r—  y   donc 

i5      • 

_  2  "2         fl' 

«*  = -g- a»  5  la  formule  (o^)-devi«nt  donc  «  5=M 


[•=-=-. .  Si  Taxe  de  ■ 


k 


ètoil  tinge 


af.  S'il  l'sgil  d'an  segmeni  de  iffaô*,  en  bnal  I) 
Abebe^z,  un  s»!  qac  itf:=:v{«  —  ^ g  »°  t  JTiillwm 
on  a  (14^'  IV)  pour  le  wowwnl  d'inerte... ....... i 


(;»■- 


■■+TS^)X 


r  r(a-i 

Lm  petidules  de  nos  horloges  «ont 
poses  de  dem  legmens  accolés  par  les 
bases  !  Ui  formule  pn^cédenie  est  TÎiibleiiwBt  h 
■m  i^Rnientque  poar  deux-,  mais  l'emploies  serait  plnt 
commode ,  si  ao  lieu  d'être  en  fonction  àa  raron  a  de 
la  sphère ,  elle  renfermoit  le  rayon  b  du  cerde  dr  la  hue. 

Qr  on  a  visiblement  i'=:3ax  — j',  d'où  a^^  , 

«n  fiibttîtivnt  on  tronve 


r(5fr'4-je) 


d» 


En  ajinitant  r  à  cette  valeur ,  on  anroit  la  diitancc 
l'axe  de  suspension  au  centre  d'oscillation. 

3'., De  ni£me  pour  un  parallëlipipède  rectangle  dont 
le«.ciïlés  sont  a,  b  et  h,  qui  oscille  autour  d'une  ligne 
parallèle  à  l'aréte  a  ,  menée  par  le  point  de  son  axe  qai 
est  distant  de  r  de  son  centre  de  gravité,  on  a  Ca4â',  H) 


k-=i 


;   d'où  f  = 


3.4  r 


.  Si  l'an  de 


Psucussioif.  565 

'Otatîon  ëtoit  place  à  la  base  supérieure  .du  pârallélîpîpède;  on 


^'                                           4  A»  4.  ^«        - 
auroit  r=J-A,  d'où  1=         ,,  , . 

a52.  Quelquefois  plusieurs  corps  liés  ensemble  oscillent 
autour  d'un  même  axe }  Voyons  comment  on  peut  déter- 
miner la  position  du  centre  d'oscillation  de  leur  système» 
Soient  r',  r" .,..«',  1^. . .  Jes  distances  de  l'axe  de  ^ta- 
lion aux  centres  de  gravité  et  d^oscillation  de  ces  corps} 
Jkt'y  IW  • . .  leurs  masses  :  la  distance  f  de  l'axe  de  rota- 
tion au  centre  d'oscillation  du  systéoie  est  le  quotient  du 
moment  d'inertie  divisé  par  le  produit  (il/'+  -W?+  etc.)  r 
de  la  masse  par  la  distance  r  du  centre  de  gravité 
du  système  à  ce  même  axe.  Or  supposons  que  tous  les 
corps  ont  leurs  centres  de  gravité  dans  le  même  plan 
vertical  mené  par  l'axe  ^  ce  produit  est  donné  par  les 
formules  (-/^' ,  64  )  >  il  est  =  A/V  +  Afr*'  +  etc.  De  plus 
pour  le   centre    d'oscillation  du  corps  M^  ^  on  a  cette 

même  formule  t*  == :  donc  son  moment  d'inertie 

r* 

est  M'r^t' }  le  moment  d'inertie  du  système  ^  ou  la  somme 

des  momens  d'inertie  de  tous  les  corps  qui  le  composent , 

est  M'r't'  +  M^i^t^  +  etc. }  donc  enfin  on  a 

_  M'r'i'  +  M^r^^i^t  +  etc.  , 

^"^     MV  +  M^'rff  +  etc.     ^^  ^* 

VIII.     TTiéofie  de  la  Percussion ,  en  ayant  égard  à  la 

figure  des  corps. 

255.  Dans  l'article  I,  nous  n'avons  examiné  les  phé^ 
nomènes  de  la  percussion  qu'en  supposant  l'un  des  corps 
retenu  par  un  axe  fixej  il  convient  de  généraliser  notre 
théorie,  et  de  supposer   les    corps   parfaitement  librcsji 


Soit  il'iibotd  un  tytiémt  de  poinli  nulÀîcU  m',  m*., 
libres ,  et  point  liés  entre  eoi ,  animés  àe  Tti«nes  parallèles    < 
f,    yi .. . .  clicrchons  i^uel  sera  le  mouvemenl  du  ctolre 
de  gravilê  de  ce  système.  i 

Faisont  paner  par  ce  centre  un  plan  parallèle  aux  di-  ' 
rections  des  impulsiotifi^  coinine  dans  t'origino  du  mou- 
vement ,  la  somme  des  momens  de  m',  m' . . .  par  rapport 
S  ce  plan  (55)  est  nulle  ;  il  est  clair  qu'elle  sera  encore 
nulle  ^ns  ta  uiit« ,  puisque  ces  corps  conservent  lesrs 
dblances  respectives  à  ce  plan  ;  ainsi  le  centre  de  ^avilé 
est  consiamment  dans  ce  pian  :  et  comme  on  peut  en  dire 
autant  de  tout  autre  plan  parallèle  aux  imputûoDs  et  pas- 
sant par  ce  ccnlre,  il  s'ensuit  que  le  centre  de  gravité 
décrit  iiiie  droite  parallèle  aux  vitesses  imprimées. 

Concevons  nu  plan  perpendiculaire  aux  directions  des 

vitesses,  et  désignons  par  11',  E" les  distances   de 

m',  m" . .  • .  à  ce  plan  au  commencement  du  mouvement; 
ai.  !>oiil  -lu  Icins  /  leurs  ci.slances  seront  £"' +  f't  , 
E"  +  ft-  •• .  {a ,  i44)  ;  prenons  les  momens  par  rap- 
port  à  ce  plan)  X,  ;c  étant  les  ^slanccs  du  centre  de 
gtvnXik  oe  plan, à  l'orig?iie  du  monvcment  etanbout 
du   temi  /,  on  «ura  (S^J  Jes  équaliEuM 

(m'-f-TM"-)-  etc.)A"=»«'  £'+  m» EU  +  etc.  . 
(m'-H  m*-|-etc.)  ;c=n»'(£'+  f '()  -(-«"(^'H-  ^"0 +etc. 
On  qbtient,  en  soustrayant  la  première  de  la  seconde^ 
(m'+mW-f-elc.)  (x— Jf  )  ==  {m'  f'-hm"  fii+et£.)t; 

ce  qui  fait  voir  que  l'espace  x  —  X  parcouru  par  le 
centre  de  graVîFé  est  proportionnel  au  tems  :  ainsi  son 
mouvement  est  unt/brme.  On  ne  doit  point  oublier  dt 
]>rendrë"tiégativcnieiit  les  rîtesses  qui  sont  dirigées  en  sens 
contraire  de  celles  qu'on  regarde  comme  positives. 


f   .P£Rcusaioir,  365 

Concevons  au  centre  de  graTÎté  nue  nasse  égale  à  la 
sonome  des  niasses  du  &jrstéme;  notre  équation  pronye 
que  sa  quantité  de  mouvemenl  est  mf  V'-^m^  ^^4'  ^^^  y 
donc  la  quaniùé  de  mouvemeni  qu'aurait  le  centre  de 
grayùé  y  si  on  concevoii  toutes  les  masses  concentrées 
en  ce  point  y  seroit  égale  à  la  somme  de  celles  des  corps* 

Ainsi  le  centre  de  gra¥ité  se  meui  avec  la  même  vitesse 
que  si  toutes  les  impulsions  lui  eussent  été  immédiaie^ 
ment  imprimées  y.  ou^  si  o»  veut,  le  centre  de  granité 
se  meut  comme  si  toutes  les  masses  du  système  j  étaient 
concentrées  y  et  que  toutes  les  forces  lui  fussent  appli» 
quéesy  en  les  tfansportans  paraUÀiemsni  à  leurs  tH» 
rections* 

Si  ce&  vitesse»  imprimées  aroîent  lies  directiens  dif- 
férentes ;  kl  même  ekose  ann^oit  encore  lieu.  Car  décom- 
posons chacune  d'riles  en  trois  autres  parallèles  à  trois 
axes  rectangnkHres  :  em  verSa  de  ckaeu»  de  ces  groupes. 
Je  centre  de  gravité  sera  mu  paraHèlement  à  chaque 
.axe,  coBUD*  sa  ces  fcrcea  lui  étoient  immédiafement 
appliquées  y  puisc^'on  peut  Ëûrt  pour  chacum  d'eux  le  Vai- 
sonnement  précédent;  dt  à  cause  de  Tindépendance  des 
effets  des  forces  de  directions  rectangulaires  (146^  ^^*)> 
l'action  simultanée  de  ces  trois  groupes  de  forces  n'altérera 
en  rien  ce  mouvement  dans  le  sens  de  chacun  dea  axes. 

254*  Faisons,  voir  mainteiMmt  que  lorsque  le»  corps  sont 
liés  entre  eus  df'niie  manière  qaelconqoe  ^  la  propositiou 
ci-dessus  esS  également  vraie.  ï^our  cela  soi«*n{  F' y  P^ , .  • 
les  forces  quâ  agissent  sur  ces  corps  :  décomposons  chacune 
d'elles  en  dm»  autres^  Pune  qui  ait  lieu  y  et  l'autre  qui 
soit  détruila  »  de  sorte  qœ  F'y  F^ . . .  soient  les  forces  qui 
dcâvent  produive  tout  leur  efifet^  d'après  la  nature  du  sys- 
tème; et  que  Z'^/^....  soient  celles  qui  se  trouvent 
détruites  par  l'action  mutoeile  de  ses  parties  :  F'  et/'  sont 


<«■  'Jtmfvtmâ.  i*  fiw»Tr  5  rt  Is  mmâû  ^  ii  fane  P, 
«•  'Atîtst  ■•«  £nxe  T^=.  P  ^  âét:«it  Çï  1  ac  icslcn 


pBKCU38I01!r4  567 

fliu&  que  les  forces  fiei^P  égales  ^  et  une  nouvelle  force  Q 
égale  et  opposée }  et  comme  le  centre  de  gravité  est  fixe| 
on  peut  assimiler  le  corps  à  une  poulie  et  transporter  la 
force  R  en  AP  ^  c'est-à-dire  rétablir  en  entier  la  puissance 
P.  Ainsi  l'effet  de  la  force  Q  est  uniquement  d'arrêter 
le  mouvement  de  translation  du  centre  de  gravité. 

Il  suit  de  là  que  lorsqu'un  corps  est  mu  par  des  forces 
dont  la  résultante  ne  passe  pas  par  le  centre  de  gravité  y 
ce  corps  a  un  double  mouvement  ^  i\  il  tourne  autour 
de  ce  centre  comme  s'il  étoit  absolument  Jixe  ;  2®.  ce 
centre  se  meut  comme  si  les  forces  lui  étoient  immé"» 
diatement  appliquées» 

25&  Rien  ne  sera  donc  plus  facile  que  de  troiivelr  le 
mouvement  d'un  corps  symétrique  par  rapport  à  un  plan  ^ 
ou  d'une  surface  plane  mue  par  une  impulsion  dirigée 
dans  ce  plan^  car  la  translation  du  centre  de  gravité 
rentrera  dans  la  théorie  connue  ;  puisqu'il  ne  s'agira  que 
du  mouvement  d'un  point  ^  et  *  la  rotation  étant  la 
même  que  s'il  y  avoit  un  axe  fixe^  on  n'aura  plus  qu'à 
appliquer  ce  qui  a  été  dit  à  ce  sujet  (244)*  Soit  P  la  quan-  Yi^  xn. 
tité  de  mouvement  imprimée  y  c  sa  distance  OG  au  centre 
de  gravité  du  corps  M)  on  aura   (255)  pour  la  vitesse 

P 

de  translation  du  centre  de  gravité  y=:  -tt"-  La  vitesse 

angulaire  sera  donnée  par  la  formule  (k^^)}  mais  conmie 
l'axe  fixe  passe  ici  par  le  centre  de  gravité  du  corps ,  le 
moment  d'inertie  se  réduit  à  Mk"^  ^  et  on  a 

Pt         fl 

'=inF  =  ■¥•'"•' •(**)• 

La  vitesse  absolue  de  chaque  point  du  corps  se  com« 
pose  d'ailleurs  de   ces   deux  vitesses  j  ainsi  le  point  O,  pig.  „,. 
où  la  perpendiculaire  abaissée  du  centre   de  gravité   G 


■^  U  ilinclioa  ie  la  fbrcc  P  mmutre  c?9ls  foror,  i"wl 
4é«l  rilcflMS  ;  Voik  Oi  far  àrm  leceraM  te  -ooMb*  ^ 
gnTil^  G  ,  H  Tnilrc  lA  ^  nt  dne  à  la  iiMiaiwi  Ta« 
antre  pamt  de  OC  offre  U  même  qifwiiftjL  :  ^  «■!§ 
qu'en  |>r«iaMl  feh?i  fù  mi  diuiirt  As  pnat  G  ^  Il 
<|BSBtil«  A ,  il  a  (KMir  rlICMe  alvoloe  r+4>a;  W  â^K4- 
a  1û^  pour  Wau  In  peiiti  mtaes  it  G  ven  O,  la  âgae— 
a  liât  peor  Kms  con  qw  smiI  plaça  de  G  «os  C 

Coimrom  l'efîrl  de  ce  double 
nilaBl  ;  !a  Sgoe  OiJE  poorra  ttrr  ami 
et  décrite  par  le  paint  O,  dani  le  tenat  oà  k  <^B«e4e 
pwiië  G  pasae  en  g  :  l*  tlroîte  OG  picwlia  la  fmiSam 
ftgC,  de  sorte --[w  le  potDt  C  n'aora  pai  thwijii"  de  ^iw ; 
»  eflet^  il  aorad  <!â  paMer  de  C  e*  C  a  vnta  ^  k 
liawbltoi ,  ri  revenr  de  C  ert  C  pv  r«ftt  de  h 
Tuntàmm  Ce  point  C  a  été  mommè  Caitn  ^aaaaar  «b 
raUfâiw.  B  e«  ËKÎte  d'en  «Mmoifcv  h  pniriiaï  «■■  i 
cal  dêtFraûaé  |«r  la  cooditkoa  ^ne  ia  rilBHeabiÉ^r>^fra 

viit  nulle,  ce  ijui  donac  &^  — ^  ouplnlûl  A^  — y  ac>«W 
de  ta  forante  (f*).  0«,  OC  ^  OC  4-  CC=,  +  «; 
dont;  on  a   OC^  t-\~       •    Celte  espremon  cn^iarëe  à 

(o*  et/*),  fait  voir  que  le  centre  spontame  Jk  rotaùon 
scw  ie  itÊ^ne  que  le  ceiun  if\  jn  11  iim'ii  if  iTmi  Jlawîw, 
fi  wt  sapposoii  ipie  le  corps  uantât  aMar  ^«t  «av 
ptusaM  en  O.  Ce  point  C  est  d*a3leura  indrja^idaal  des 
Ibrces,  car  ta  vaiear  OC  ne  renTenae  h  .1/  â  P;  de 
plus ,  si  oa  place  en  C  on  axe  de  roCitioB  ,  3  a'êpoa- 
Tcra  aocmie  leconuc^  ce  qui  csl  d'acconl  arec  ce  qn'on 
a  d^  TU  (x^> 

sS^.  Peur  etfiiffaer  le  double  iDoaTenteni  de  rotation 
•I  tle  IniBlatioa  d»  planètes,  il  soESt  île  supposer  que 


Percussion.  $69 

e\ia6une  a  reca  primitiveiiieiit  une  impnlsioii  dont  la 
^direction  ne  passe  pas  par  son  centre  de  grarité.  La  terre 
fait  chaque  jour  un  tour  sur  son  axe  ^  et  la  Titesse  de 
rotation  d'un  des  points  de  l'équateor  est  ^=4oï'%699î 
indépendamment  de  son  mouvement  de  translation  qui 
lui  fait  parcourir  son  orbite  dans  une  année  avec  la  vilesse 
vzrz^S  Sgo'^^g  ;  l'unité  de  tems  étant  le  cent  millième  du 
jour.  Soit  r  le  rayon  de  la  terre,  on  a  (2S1 ,  !•.;  A*=f /•} 
et  V-=zr^  (211)  :  cette  planète  auroit  donc  reçu  une  im- 
pulsion dont  la  direction  auroit  passé  à   une  distance  t 

rV 

de  son  centre  que  (9^)  donne  ==^. ^  en  la  supposant 

homos'ène.  Le  calcul  donne  à-peu-près  %  =  --r-. 
^  160 

258.  Lorsque  nous  avons  traité  du  choc  des  corps  durs , 
pag.  5o4y  nous  les  avons  réduits  par  la  pensée  à  n'être  que 
simples  points  matériels  s  nous  allons  Inaintenant  analyser  la 
même  théorie  en  conservant  aux  c^rps  leurs  formes  particu- 
lières y  et  les  supposant  symétriques  par  rapport  à  un  pian. 

Soieot  M'  et  M^  les  masses  de  deux  corps  durs  ;  sup-  '*&  "*• 
posons  que  M^  soit  en  repos ,  et  choqué  par  M*  animé 
de  la  vitesse  V ,  dans  la  direction  ZriV  normale  à  la 
surface  choquée,  et  qui  ne  passe  pas  par  le  centre  de 
gravité  G.  Menons  GN  perpendiculaire  sur  LN ^  tX  fâi- 
aons  GN=za,  Désignons  par  f^-  et  H^'les  vitesses  des 
centres  de  gravité  des  masses  M' j  M"  après  le  choc  ;  on 
aura  V  —  v'  pour  la  vitesse  perdue  par  celui  de  M'  dans 
le  choc,  de  sorte  que  M'  (  V >^^ j  fera  la  quanlslé  de 
mouvement  employée  à  mouvoir  M' ^  valeor  égale  par 
conséquent  à  M^,^  (218)1  ce  qui  donne,  avec  l'équa- 
tion {q'^)y 


-^(f^'^P'),eta=^^ 

a4 


Qoûitja*  CM  dflDX  itjpMioai  loieai  l«s  SBolet  qac  d 
1«  dcMiMc  nauvcRUst  tiv  corpi  M't  dlcs  lu  lafSsenl  p 
poar  rCModrc  1«  proUàn«  ,  d  U  CuU  s'm  procarcr  ■ 
IfioinâiM,  paït'|ii'ciles  cMBprFnnent  trois  ïdcobbdcs.  C 
Mt  ibAbc  TÙibtc  par  b  aatnre  da  rrattew  qai  nout  offit  ^ 
^WCOBdîtûm  «loBt  Boiu  a'iTOm»  pmnt  fut  encorv  iua>e. 
«(Fret ,  le  corpt  JU'  n'a  anjois  tonte  la  Tileaae  ^« 
'ft  cboo  doit  lai  impriater ,  que  lofstp^  n'est  plus  presse 
jftr  1«  corpi  choquaot  ;2i7.',  ce  qni  «rrire  loracpie  Ici 
faiatj  Z.  d<  coBiKt  <ic  cei  oirps  oat  U  méoie  viiesae 
dan*  le  sent  de  LK%  Il  suit  tle  là  que  cette  tÎIciw  <la 
Aomt  £,  considéré  comme  faisant  partie  des  deux  corps, 
doit  être  la  méuie  et  =:  v'.  En  taitl  qu'il  ajjpartient  i 
JW ,  il  aura  pour  vitesse  (21 1; ,  ■  x  liG  et  i-*  ;  U  première 
partie  *  x  ^^  est  due  à  la  rolalion  et  dirigée  suivant  Lu  i 
on  pourra  la  concevoir  décomposée  en  deux  autres  d»< 
rigées,  l'une  suiranl  Z.7V,  et  l'autre  «uiTaatUtatt^ateTSi 

•t  comme  cos  NLn  =  -j-^  ,   la  première  e*t  aK=a  ^-J 

on  a  donc  v'  =v''  -\ 7^. 

Cet  troft  équations  serviront  à  détennineir  t*',  v*  et  «  en 
éliminant  :  elles  résolvent  donc  le  problème  propoié. 
.  Si  La  vlUase  dn  corps  M'  avant  la  dhoc  étoit  obliqM 
à  la  tangents  TS ,  on  la  décomposcroit  «n  deax  anlrei, 
l'âne  F'  perpendiculaire  à  cette  tangents;  l'autre  f*  dans 
1«  leM  de  cette  droite.  La  preB»ère  est  cdk  que  nonï 
VMoni  de  considérer  ci-iiessus  ;  la  dean^e  a  son  effet 
entiar  f  puisqu'eH*  est  k  angle  droit  «vec  l'aaln  :  on 
devra  donc  la  composer  avec  la  vhesse  y'  qai  restera 
de  In  vitesse  f  après  le  choc.  La  vitesse  que  le  corps 
choquant  il/'  aura  après  le  chgc  sera  donc  =  ^(f  "-+-  f'^ 


Mouvement  li9Hb  d^vn  ststême.  571 

iti  fin  directkm  fera  arec  la  toitehrate  TS  un  angle  mad  a 

pour  tangente  -v^»  ,  ' 

IX.  Mouyefnent  d'un  système  de  cërps  dont  umtes  tes 
parties  soht  sollieiêées  par  des  forces  aocélératr^es 
guetcçnques» 

ûSq>  Etaminoils  les  circonstances  in  ftiourement  d'an 
système  soumis  à  Faction  de  forces  accëlëratrices  qùel^ 
eonqnes  qui  agissent  suf  toutes  'Ses  parties  m' j  m",  • . . 
Réduisons  pour  chaque  molécule  les  forces  qui  la  sollb» 
citent  à  trois  parallèles  à  trois  axes  immobiles^  savoir^ 
X'j  r,  Z'  pour  m'  j  Xf,  Y^,  Z^  pour  ink^f  j  et  ainsi 
des  autres.  Soient  x  y  jr  el  z  les  coordonnées  variables 
du  centre  de  gravité  de  ce  système  par  rapport  à  ces 
trois  axes.  G>nceV'ons  de  plus  qu'on  a  fait  passer  par.  ce 
centre  trois  autres  axes  parallèles  aux  premiers  ^  et  tels 
que  lorsque  le  systéizte  est  en  monvement  il  les  emporte 
avec  lui  ;  sans  qulls  cessent  d'être  parallèles  aux  premiers  y 
ni  de  passer  par  le  centre  de  gravité  :  bien  entendu  que 
leurs  points  de  rencontre  avec  le 'corps  seront  variables. 
Nommons  *';  j"'  et  z'  les  coordonnées  de  la  molécule  rh^ 
rapporiée  à  ces  trois  dAitVj  de  même  :t^y  y^  et  z^  potif 
m^  j . . .  les  variables  x  ^j  t\  z  détermineront  la  position 
du  centre  de  gravité  du  corps  au  bout  du  tems  t\  fX 
x'y  /'  i' }  st^y  jt^y  Z*' *y  ...  douttcront  les  positions  res- 
pectives des  moléctrlès  dans  leur  mouvement  particulier  : 
c'est  ce  qui  sera  bientôt  éclairci.  Les  coordonnées  dé 
m'  par  rapport  aux  trois  premiers  axes  immobiles  sont 
x-^-'X* yj  +  y' y  z-^'Z'  iAa  même  a:-f-a:'';j*+j*'',  z-+-^'' 
pour  m^  )  etc 

Noiis  ne  feroBf  iet  noi»  raisonnemens  que  dans  le  sens  de 


,  parce  que  les  deux  a 


s  ol^ent  les  m&ntil 


considérations.  La  vitesse  de  la  motécole  m'  dans  le  u 


[  d 

f  d 


;  vitesse  qui ,  par  l'cfTet  des  puissa 

mutuelle  des  parties  du  syslêmt,  âgîl 

dx  -4-  dx'  \         d-jr+d'x' 

— j j  = ,  ™pr™» 


it  d'après  la  liaisun 

^'accroître de  d f  - 

dt  constant.  La  vitesse  imprimée  a  m'  ,  suivant  les  x, 
pendant  l'instant  dt,  est  Ji'dl-  Dam  le  tableau  suivant, 
nous  n'avons  eu  égai-d  qu'aui'accrpisiemeits  de  force» 
motrices  ,  car  ces  forces  elles-ciènies  disparoi iroient  Ju 
c:tdcul.  Ainsi  on  a 


forces  i 

iiprim.  suivant 

vitesses  efiectives  si 

Livanl 

les  X. 

Iesj-.     les  z. 

lesx.              les,-. 

l«;. 

m'X' . 

.m- y  ...m' Z' . 

d'x+tf'x'     dy-i-d^' 
"        de        '          dP 

d'Z+d'i' 

de 

m'A". 
etc 

.m''yi...m''Z''. 

d'x+d-x"     d'r-^r* 
iîi-       "      Jr 

d-:-\-d-J 
df- 

Il  s'agît  maintenant  d'esprimer  qu'il  y  a  équilibre  eotn 
les  farces  imprimées  et  celles  qui  ont  lieu  prises  en 
sens  opposé  :  ce  qui  nécessite  l'usage  des  six  équationt 
(Aeir,45). 

1".  tes  trois  équations  {X)  indiquent  que  la  somme  des 
composantes  dans  le  sens  de  chaque  axe  est  nulle  j  on  a 
donc  pour  l'aie  des  x 

o  =  (  X'm'  +  XXml  ^  ...)tU'  —  d'x{m'  +m»  + . . .  ) 
—  {m'.d'x'  -j-m'-d-j'H >. 

Mais  par  h  propriété  du  centre  de  gravité  (C,  55), 


MoVTEMElfT  LIBRE  D'CIC   SYSTâ>TE.  5'j5 

t^*m' + a:^m''+ etc.=o ,  m[;^'+m  V^+ etc.  =  o  • . .  (i). 

£n  différentiant  par  rapport  à  x  etjr ,  on  a  donc 

m'i^;r'4-/n''df»a:^4-etc.==:o,m'J'7'+m''^^/-''^+etc.==o.(2). 

Désignons  comme  précédemment  m'  +  m*'  +  etc. ,  ou  la 
masse  entière  du  corps  ^  par  M^  et  X'm'  -j-  -X"m^  +  etc. 
par  «S.m'x'j'nous  aurons  donc 

dp 

De  même  ,  pour  les  axes  des  j'  et  des  z  ;  on  trouve 
donc  pour  les  trois  premières  équations  de  mouvement 

dr 

:  M.^f-=S.Y'm'  )..^ (r'O. 

dt^  ' 

dt^ 

Nous  nous  servons  ici  de  deux  signes  dont  il  est  impor- 
tant de  bien  distinguer  le  sens.  La  caractéristique  d  est 
employée  à  désigner  les  variations  successives  des  coor- 
données lorsque  le  corps  change  de  position  :  le  signe  S 
est  destiné  à  représenter  des  sommes  de  termes  de  même 
forme  et  dont  les  accens  sont  seuls  différens  :  lorsque  le 
nombre  de  ces  termes  est  infini  ^  S  désigne  une  véritable 
intégrale  j  prise  dans  toute  l'étendue  du  système  y  mais 
qui  est  indépendante  de  ses  changcniens  de  position* 
L'intégrale  relative  k  cette  dernière  circonstance  sera 
désignée  par  la  lettre  y^j  de  sorte  que  f  cl  d  se  rap- 
portent ,au  tems ,  et  S  aux  dimensions  du  système. 


a*,  n  faut  apriaut  <ja£  lec  Maom/t»s  de*  compaimla 
sathfont  aax  équalioiu  (  F,  43  )-  Pr«aoiu  doac  li  à&- 
rcoce  Jes  BUmKiis  p«r  npporl  aux  pUiu  des  xm  el  ^ 
^;  retpcctiTemeat ,  des  composani^  pai^illëtcs  ao.  x  et  si 
j' ,  et  cgslntu  cette  difFéraice  k  téro.  Or ,  abserrou  ^w, 
po«v  le  poiol  m' ,  lei  crompountes  A''  ,  F*  sont  '^s''"»" 
de  I'axc  des  2^  MTOir ,  k  première  de  T+r",  et  U  tecoadt 
dex-^f';  on  atmdonc,  pour  UdiSereoce  4a  mamaa. 


£■  eucatant  la  midriplicytkm»  et  obac 
chaqae  molécnle  «loit  dimacr  bac  «Tpnifciow  swalUle,  ] 
tootes  lei  lellns  mar^iêa  d'am  tnit  dotTcat  se  ruwa^iw 
daaiJc*  tcnae*  s^ofalsbleï  aTcc  3,  5,  ...  acnas,  d^^t 
en  rcprésenUnt  la  somme  des  lermec  de  même  lotne  pv 
le  tiïoe  5,  et  annl  êeanî  aux  ëijuatioBS  (l)  et  fa;  doBikks 
par  la  pn^HÎêlê  da  ceatre  de  «nvilé ,  •■  «btient 


~xS.m-i--.Vi. 


C^le  êqmtioB  peut  être  niûe  looi  nsc  fanae  plas 
iônpie  ^  en  effet ,  ca  Tertn  do  produit  de  h  Mcoode  dci 
é^abob*  y)  par  x,  et  dcccini  de  la  pccMÔcic  par  jr, 
le»  droi  premiers  termes  et  lewrï  convspvNidaBS  di^n- 
'(■•ueM  et  on  a  nmplnDcnt 

J  J(  Wy  —  4.  Pm-x*— S.  ^  fl*',!' +5.  ^  ■«'jC  =  » 


MoUVEMBlfT  IiIBRB   d'uK   STSTÉMB.  SyS 

oix      s. m*   ^^^  T  ^^^'    =  s. m'  (  Pa/  —  Xy  ). 

Ll'intëgrale   du  premier  membre  p  prise  par  rapport  au 

tems^  est  S. m'  ^  '^^ .   En  op^nt  de  même 

pour  les  deux  autres  axes^  et  faisant  ^  pour  abréger  ^ 

S  {  m'.f{Z'x''^X'z')dt}=N'   ^ (*^)» 

S  {  m'.f{  Z'j'  —  Y'z'  )di}—N^ 

on  aura  pour  les  trois  autres  ëqnations  du  mouvement 

ac'àr' —jr'dx' 
S. m'  ■  =iY 

_      ,     a:'d!s'  —  z'dx'           -.,    . 
*^-'"   di =^     > ^'^• 

S. m'     ^         ,     ^      =  iV* 

di 

260.  Il  résulte  de  là  plusieurs  conséquence»  importantes. 

i<^.  Les  trois    équations  (r^)  ne  renferment  pas   m'  j 

x^, ;  elles  se  rapportent  donc  uniquement  au  centre 

de  gravité.  Elles  servent  à  en  déterminer  le  mouremenf  ^ 
quel  que  soit  celui  des  molécules  du  système  :  de  sorte 
que  ce  mouvement  ne  dépend  que  des  forces  accéltf'r»- 
trices  qui  les  sollicitent  et  nullement  de  Tactton  mutuelle 
qu'elles  exercent  les  nnes  sur  les  antres;  c'est  en  qooî 
con.ST?tc  le  principe  de  la  conservation  du  mouvemeni  du 
centre  de  gravité. 

Au  reste  y  si  on  conçoit  toute  la  mas^e  réunie  *n  i»n 
point  unique  sur  lequel  agiraient  les  forces  X'^  y'j  ^S  ^*'  *  t 


hriruiiQUB* 

il  ut  visible  que  toutes  ces  forces  seraient  réduiles  à  trou 
([ui  solliciteroient  un  point  dont  la  niasse  seTOÏt  jUt  mû 
atonies  «[oations  fr^iiquî  sont  destinées  à  dêlennîner  le 
iDOuremenl  du  centre  de  gravité  du  corps,  dcviendroient 
celles  qu'où  a.  trouvée»  n°.  i66  (c') ,  d'où  résulte  te 
thcorëme  général ,  <]ue  le  moufemenl  du  centre  de  gra- 
vité ifun  tjrUéme  libre  quelconque,  est  toujours  le  m(me 
ijue  si  tous  les  corps  qui  le  composent  êtoieiu  réunis  en 
un  seul  point  sollicité  par  les  mêmes  forces  accéléra- 
trices dont  les  parties  du  Sjrstdne  étaient  animées  dans 
leur  état  naturel.  Ceci  s'accorde  avec  ce  qu'«D  a  dit  (255}- 

2°.  IjCS  équations  (/")  ne  renferment  pas  les  coor- 
dotméc!  X ,  J" ,  ^,  <lu  ceutre  de  gravite  ,  et  sont  par 
conséquent  destinées  a  faire  connoître  les  diverses  positions 
des  parties  du  sjsléme,  par  rapport  aux  trois  ases  mobile; 
qui  passent  par  ce  centre  :  ces  équalions  ne  seront  en  nea 
altérées  si  on  ap^ilique  au  centre  de  gravité  des  forces  qui 
le  relicntient  en  r"pos,  puisque  Ir.î  valeurs  de  A',  A"  ri 
N"  ne  peuvent  renfermer  les  puissances  qui  passent  par 
ce  centre  (39,  40=  donc  le  mouvement  de  rotation  que 
les  équations  ('")  déterminent,  est  le  même  que  si  ce  centre 
étoit  fiie. 

Ainsi  lorsqu'un  système  sera  soumis  à  faction  de 
diverses /orces  accélératrices,  il  ^ura  un  double  mou- 
vement; le  premier  sera  une  translation  du  centre  de 
gravité,  comme  si,  à  chaque  instant ,  toutes  ces  forces 
agissoient  parallèlement  à  leurs  directions  sur  ce  point , 
auquel  on  imagineroii  la  masse  concentrée  :  le  second 
sera  un  mouvement  de  rotation  autour  au  centre  de  gravité 
comme  si  ce  point  étoit  fixe. 

5°-  Si  le  corps  n'est  niu  que  par  une  impulsion  pri- 
mitive, on  a  X'=i:o,  ¥'=0,  etc.  Les  équations  (r"),  qui 
déterminent  le  mouvement  du  centre  de  gravité ,  se  réduisent 


Mouvement  libre  d'un  système.  577 

donc  },  M  ^  =A,M  ^  =>,  M'  ^=  ^^ 

comme  ce  qu'on  a  fait  n**.  169  s'applique  ici  y  on  en 
conclut  aisément  que  le  mouvement  du  centre  de  gra- 
vité est  rectiligne  et  uniforme  ^  et  que  sa  vitesse  est  la 
même  que  si  la  force  impulsive  agissoit  immédiatement 
snr  lui  ^  ce  qui  est  conforme  à  ce  que,  nous  avons  déjà 
démontré  (255). 

4^  Faisons  sur  les  valeurs  (5*^)  les  mêmes  raisonne- 
mens  qu'au  n°«  170  :  la  quantité  S  •m' {Y' x'  "■- X'jr' ) 
est  nulle  dans  trois  cas  :  i^.  lorsque  le  système  n'est 
soumis  à  l'action  d'aucune  force  accélératrice  ^  et  n'est  mu 
que  par  une  impulsion  ;  2**.  lorsque  toutes  les  forces  passent 
par  l'origine  5  5°.  lorsque  les  forces  sont  les  attractions 
mutuelles  des  parties  \  car  soit  ^  la  distance  de  m'  à  /n" 
et  y  leurs  attractions  réciproques  égales  et  opposées ,  on 

auram'^'=:  — m''.ï:"=^  (a:'  — a:"),    car  ^'"^f' 

est  le  cosinus  de  l'angle  formé  par  /  avec  les  :r  )  de  même 

f 

m' Y'zzz'^m''  F"i=  ^^j'-r'^  )•  Or  les  termes  de\ZVque  pro- 

à 

duisentces  quatre  forces  sonti?i'F'(a:'-a:") — fn'X'(jr'-j-*f)^ 
quantité  visiblement  nulle  j  donc  les  termes  qui  pro- 
viennent des  attractions  se  détruisent  deux  à  deux.  Dans 
ces  trois  cas ,  iV,  N'  et  iV"  sont  donc  des  constantes. 

Cela  posé ,  si  on  projette  la  masse  /»'  sur  le  plan  des  x 
et  des  y,  la  différentielle  x'dy' --^j^'àx'  sera  (170)  là 
moitié  de  l'aire  que  trace  dans  l'instant  dt  le  rayon  vec- 
teur mené  de  l'origine  des  coordonnées  à  la  projection 
de  772 '.  La  somme  de  ces  aires  élémentaires  multipliées 
respectivement  par  les  masses  est  donc  =  Ndtj  et  pro- 
portionnelle à  l'élément  du  tems  :  d'où  il  suit  que  dans 
un  tems  fini  elle  est  =  iV^,  et  proportionnelle  au  tenis: 


DntjkHiqus. 
tl   tn  ni  d«   niéme   do   deux   antres   plans  coordc 
Ocsl  en  rrta  ipH  comiile  le  principe  de  la 
At  miret  pnporiionneiîa  aux  lems. 

On  pourrotl ,  par  uDp  tranifonnation  de  coordonnées, 
^iMmlner  do  uea  ub  (juc  Ici  d«m  consumes  JV'  et 
A*  MWMl  RuBe*,  el  >]ce  le  plan  xy,  conserve  senl  la 
CMtttnle  A';  ce  plan  •  été  noniiné  Pltm  invariable  on 
da  MMJÙMbiN  dbf  uim ,  *  cause  des  propriétés  doQl 
U  JMMl.  C'eM  L«fl*re^xu,  le  prenuer,  les  a  reconnues, 
et  4«Mu  rearojoas  i  crt  égard  à  la  Mécanitjtie  céleste, 
f»f.  SS ,  »&m  de  ne  fatal  nous  écarter  de  notre  objet 
Il  V  Ml  pnxavé  ,  >'.  qu'il  'n'exûle  ^n'an  seul  plan  qui 
vttBjiUse  à  U  eondilton  eng^ ,  du  bkkos  lorsqnc  l'ori- 
gme  »*  cluBt^  pu  ;  3*.  que  la  somme  des  aires  lracé«s 
fdr  Im  projecoo*!  des  rayons  recteurs  des  corps  et  niul- 
t^li»*a  par  letvi  mmaei  v  est  la  plos  grande  possible; 
V.  ^wc  cMtf  sonuae  poMr  tout  plas  popendiculaire  est 
■uUet  4*  tJiM  si  le  ceatnr  de  gra-rûé  est  pris  pour  origine, 
de  so«H  i|ue  te  plan  je  Brave  aree'  le  «^rps .  il  doneurera 
toujours  paralîvte  à  tui-mèfue. 

5".  Aluttiftivus  tes  é'^uations  r*)  p^r  dr ,  dr  et  dz 
respecttveiuenl  ,  ajoutoas  tt  intégroas  ,  ainsi  que  nous 
avo«s  déjà  fait  r°.   iti!^.  il  viendra,  à   caose  de 

■    dr  ~  <ù*  * 

IwwyVw  u'^ra  à  coa&idétw  que  des  forces  attracCÏTes; 
Wr  Uatàl  de  ce  qu'on  a  dit  (4".]  que 

JMk'^-Çcx'— ^''jtir',  etc. 3...  »  donc  oa  réunit  les 


"^ 


MofJYSBimifT  LiBUs  d'uk  ststAmb.  S79 

termes  qui  proviennent  des  attractions  de  m' et  m^  on  trouve 

f 

quantité  visiblement  =  ^(èJ.J«)==/2/^:  or /est  fonction 

de  ^,  donc  fài"  est  intégrable  :  et  ainsi  des  autres.  £n  dési* 
g«ant  Tintëgrale  du  second  membre  par  4^9  ^^  ^^^^^ 

[Mi^  =  >^  +  2  4^ (m^). 

On  dëtertnine  la  constante  ji  d'après  des  valeurs  simul- 
tanées de  V  et  4^)  soient  v'  t%  ^  ées  valeurs,  on  a 
At(i^ — v'*)=a(4^-^4'')  •  ^^  ^  différence  desjbrces 
vives  à  deux  insians  quelconques ,  ne  dépend  pas  des 
courbes  décrites  par  chaque  point  ^  mais  seulement  de 
leurs  positions  respectives  à  ces  deux  instans  :  C'est  en 
cela  que  consiste  (204)  le  principe  connu  sous  le  nom 
de  Conservation  des  forces  vives.  hsL  somme  des  forces 
vives  (236) ,  ou  la  force  vive  totale  du  sjrstéme  est  cons- 
tante si  Je  système  n'est  sollicité  par  aucune  force.      » 

6^.  Si  lé  système  consiste  en  un  corps  solide ,  nos 
équations  r^f  s^  et  l^  ont  lieu^  mais  il  faut  y  regarder 
m'  conune  la  différentielle  dM  de  la  masse  M  ^  el  S 
comme  le  signe  d'une  intégration  à  prendre  dans  toute 
rétendue  du  corps.  Les  seconds  membres  des  équations  (r'O 
sont  donc  S^XdM,  S.YdM  eX  S.ZdM)  elles- sont 
simplement  relatives  au  mouvement  du  centre  de  gravité , 
et  ne  présentent  pas  d'autres  difficultés  que  lorsqu'il  s'agit 
du  mouvement  d'un  point.  Il  n'en  est  pas  de  même  des 
équations  {t^)  qui  servent  à  déterminer  le  mouvement  de 
rotation  du  corps  autour  du  centre  de  gravit^  comme  s'il 
étoit  fixe  :  mais  nous  renvoyons  à  cet  égard  à  la  Mécanique 
céleste ,  pag.  72  :  nous  ferons  seulement  remarquer  que  si 
le  corps  eût  eu  un  de  ses  points  fixes  ;  les  équations  (F) 


eussent  suffi,  cl  on  n'auroit  obtenu  que  celles  (i*J,  pourvu 
iju'au  lieu  de  placer  l'origine  des  x'fj-',  s'.. .  au  centre 
de  grnvilé ,  on  l'cùl  supposée  au  point  iiie. 


Des  Cordes  vibrantes. 


261 .  Le  problème  des  coHes  vibrantes  a  fait  le  suje' 
des  rcdierches  des  plus  profonds  analystes  j  Eulcr ,  La 
Qrange  ,  d'Alembert  al  I).  Bcrnoulli  :  voici  en  quoi 
consista  oe  problème.  ,  1 

Vne  corde  AB  étant  tendue  .et  Jîxée  en  ses  deux  ex- 
trémités ,  si  on  la  contraint  de  prendre  une  forme  quel- 
conque ASB  ,  et  si  on  la  lâche,  ensuite,  trouver  à  chaque 
instant  la  figure  et  le  niouvement  de  celte  corde. 

Soit  PS  rordomiée  initiale,  c'est-à-dire  l'ordonnée  d'un 
Çoint  pris  sur  la  courbe  ASB  dans  sa  position  primitive 
et  répondant  à  l'abscisse  AP  =  x.  Au  bout  du  tems  (, 
par  l'efTet  de  la  tension  de  la  corde,  le  point  S  sera 
cn*M,  et  la  courbe  prendra  la  figure  AMB.  Soit 
PM=:j;  il  est  clair  que /*5  n'est  fonction  que  de  a:  j 
tandis  quej*  l'est  de  x  et  de  t  :  cherchons  celle-ci  d'après 
la  connoissance  de  l'autre,  et  en  supposant  que, 

1".  La  corde  est  de  grosseur  uniforme,  a  est  sa  Ion-  . 
gueur  ,  P  son  poids ,  F\ii  poids  employé  à  la  tendre. 

2°.  On  n'imprime  à  ta  corde  aucune  vitesse  initiale. 

5°.  li  ne  s'agit  que  de  mouvemcus  très-petits,  en  sorte 
qu'à  chaque  instant  on  pourra  regarder  les  ordonnées  jr 
comme  très-petites  j  et  de  plus  un  arc  quelconque  AS 
pourra  être  considéré  comme  sensiblement  égal  à  son 
abscisse  ^Pj  ainsi  AM  =  AS —....  =  AP  :  d'où  il  suit 
que  chaque  point  S  se  meut  dans  son  ordonnée  PS ,  et 
que  la  tangente  TM  à  la  courbe,  à  un  instant  cl  à  un  point 


COHBES  TIBKàlTTKS.  S8l 

quelconques  ^  £dsant  avec   Taxe  un  angle  m   très-petit , 
on  a  sin  «»  =  «  et  cot  «  =  i. 

Prenons  deux  élémens  voisins  JUm  et  Âftn'j  prolongés 
suivant  les  tangentes  tJH  et  TMD  :  la  tension  F  de  la 
corde  au  point  M  est  exercée  suivant  ces  deux  lignes  (85)  : 
celle  qui  a  lieu  suivant  Mm  de  3?!/  vers  D,  se  décompose 
en  deux  autres ,  agissant  Tune  suivant  Aio  et  z=Fcos0=^f*y 
* 'autre  suivant  Mi  et  =  /^  sin  #  =i  F^  ;  la  première  sera  par 
hypotlièsc  détruite  par  la  composante  dirigée  de  Af  vers  n, 
de  la  tension  /Af.  Enfin  comme  Tangle  3ItP=z^^  dm^ 
la  tension  Jkfi  a  pour  composante  dans  le  sens  de 
MPy  F{0"\^d0),  Ainsi  la  tension  an  point  M  se  réduit 
à  une  force  unique  =  Fdm  agissant  de  AI  vers  P» 

La  corde   étant  de  grosseur  uniforme,    les  longueurs 

des  arcs  sont  proportionnelles  à  leurs  poids ,  et  le  poids 

gdm  de  l'élément  dm  placé  en  3f  se  trouve  par  la  propor- 

a  dx  Pdx 

tion  ~p  =  —S"  f  donc  dm  = •  Or,  comme  Fdm 

^         go^  og 

est  une  force  motrice  parce  que  F  est  un  poids ,  on  aura 

la  force  accélératrice  (221)  en  divisant  Fdm  par  la  masse 

^772  de  l'élément  sur  lequel  elle  agit  5  cette  dernière  force 

,  €igF         déÊ 

est  donc  =  — ^ —  X  —, — . 

P  dx 

On  observera  que  m  est  un  an^e  qui  a  lieu  an  bout 

du  tems  /  déterminé  ;  et  que  dm  n'est  que  Taccroiscemect 

de  m  pris  par  rapport  à  la  seule  variable  x  :  mais  Tare  mj 

son  sinus  et  sa  tangente  se  confondent ,  donc  m  =  •—-  , 

et  comme  ici  jr  ne  doit  pas  être  difTérentîé  par  rapport 
à  /  ;  'que  de  plus  »  croSt  quand  x  tt  jr  diminuent  >  on  a 

(-j^^  =  —  ("TT^  ,  en  ne  différentiant  toujours  r  que 
par  rapport  à  a:.  Ainsi  la  force  accélératrice  qui  agit  sur 


VéUmcxH  en  M  est 


Dyi»AMiçirE.~ 


générale  de  la  force  accélératrice  (i5»)  est 


■fr 


on  plulAt 


—  (  —  —  J  I  par  la  même  raison  que  ci-dessus }  donc  e 

faisant,  pour  simplifier,  la  contlante — ^ — =^'t   *' 
obtieot 


--m -m- 


(.). 


aCa.  Telle  est  l'équation  au*  différences  partielles  du 
mouvement  d'un  point  quelconque  de  la  corde  :  pour  I'îd- 
te^er,  reniarquons  que  le  coeflicient  diFFércniial  du  second 
ordre  retalii'  a  x,  multiplié  par  b' ,  devant  êlrc  égal  à  celui 
relatif  à  / ,  il  est  visible  que  3:-\-bt  satisfait  à  cette  con- 
dition, aussi  bien  que  toute  fonction  9  de  x -i- lit.  Et 
tomme  on  peut  en  dire  autant  de  toute  autre  fonction 
F<itx—bt, 

jr^i{ip{x-^bl)-^F(±^bt)} 

r\t  l'intégrale  de  l'équation  (1)  puisqu'elle  contient  deux 
func  lions  arbitrùres. 

Appliquons  ce  résultat  à  la  ccmla  v^antc.  La  vîtetse 

4r  • 

-~-  a  un  instant  quelconque  esi -....' 

—  f^'  {x  +  bt) — F'  (X — ir)J  ;  supposons  que  la  corde 

soit  orj^aireineiit  en  repos  dans  la  ahiation  jiSS,.il  faut 
A- 

ipe  ï  =  o  répond*  à  -~-  =  o  :  ainsi  p'  x  —  Px  =  o  , 

quel  qu«  soitjr;  douc^x=i^^}  puis  metlaot  x  —  frf 


ComDBS    TIBRAHTES.  38S 

pour  X ,  ^  (  jr  —  i/)=:F(ar  —  ht) ,  ce  qui  prouve  que  les 
deux  fonctions  p  et  iPsont  les  mêmes  Tune  que  l'autre, 
^otre  analyse  ne  renferme  plus  qu'une  fonction  arbitraire  f , 
la  condition  de  la  vitesse  initiale  nuUe  en  ajrant  éliminé  une. 
L'équation  finie  et  intégrale  de  la  courbe  et  la  vitesse  à  um 
instant  quelconque  sont  donc 

J-  =  i   {♦  (X  +  6/)  +  <f(^  —  */)} (2). 

!265.  Si  on  fait  t-zrzo  j  on  9Ljr:=i  ^x}  la  fonction  ^  est 
donc  déterminée  par  la  condition  que  y"=i^x  soit  Téqua- 
tion  de  la  courbe  initiale  ASB  ^  et  comme  cette  courbe  ''S-  '>3. 
est  connue^  la  fonction  ^  doit  être  regardée  comme 
donnée  \  il  suffira  d'j  changer,  x  en  x+  6/  et  x  «-  6/7  . 
et  de  prendre  «la  moitié  des  résultats  j  et  on  aura  la  valeur 
de  7*  à  un  instant  quelconque;  oA  pourra 'donc  cons- 
truire la  courbe  qui  a  lien  pour,  un  tenu  /  «Ucerminé. 
Remarquons  toutefois  qu^il  suit  de  la  théorie  des  équa- 
tions aux  différences  partielles  j  que  la  courbe  initiale 
ASB  peut  être  discontinue ,  c'est-à-dire  formée  de  plusieurs 
portions  de  lignes  différentes  et  quelconques  )  de  sorte 
qu'alors  la  fonction  ^  peut  ne  point  être  assujettie  à 
la  loi  de  continuité  :  alors  dans  l'équation  (2)  de  la 
courbe  au  bout  du  tems  /,  il  Êiudroit  changer  la  forme 
de  la  fonction  ^,  lorsqu'on  voudroit  déterminer  le  lieu 
d'un  point  dont  l'abscisse  x  appartient  à  une  autre  courbe 
initiale.  Or  cela  n'empêche  point  de  construire  la  courbe 
et  de  trouver  toutes  las  particularités  de  son  mouvement  ; 
il  ne  faut  que  laisser  ^  arbitraire. 

D'abord   pour  construire    la    courbe ,    on    tracera  sa 
figure    initiale   ASB,  dont  4)(x-f-^0   et  çi^-^bt, 


:      '11";. 


L   • 


•{'«:-. 


:.!*• 


•  •  ••■•  .''Il  •         ••!  • 

■ .».      ....      nii"      ■  ■,      i;r"j»      - 

.  -  -       .   •••       .1   '.       .  .  l      ll,l      ■    ■    .   .' 


*  '    ■     ». 


'      ■  #   ■ 


CoADKS  VIBRAytTKS.  58$ 

sté  et  B  demeurent  fixes  ;  cherchons  s'il  existe  une  courbe 
qui  satisfasse  à  cette  condition.  Les  points  fixes  sont 
donnes  par  Téquation  ^(j:-4-^/)  +  ^(à:—  ^/)  =  o, 
quel  que  soit  /  :  or  il  résulte  de  (5)  qu'elle  ne  sera  aulie- 
ment  changée^  si  on  remplace  x  par  ma  -^  X}  de  plus, 
on  sait  que  x=^o  et  ir=:a  doivent  satisfaire  à  notre 
équation  ;  donc  ma  et  ma  +  a  y  satisferont  aussi }  et 
comme  on  a  d^une  part  tous  les  multiples  pairs,  et  de 
l'autre  tous  les  impairs  de  a,  on  voit  que  si  on  prend 

AB  z=z  BC:=  CD=zà\ei   points  A,  B,  Cj  D Fig  «4. 

resteront  fixes  durant  tout  le  mouvement ,  pourvu  qu'on 
donne  à  la  courbe  AMM'M^D  une  figure  convenableé 
Ainsi  le  prolongement  dé  la  corde  est  non  •»  seulement 
permis  y  mais  même  l'anaJj^se  fait  voir  qu'il  est  inhérent 
à  la  théorie. 

Quant  à  la  figure  de  la  corde  prolongée  ^  elle  offre 
det  particularités  remarquables  i  pour  trouver  les  ordon^ 
nées  P'M'  et  P^M^  qui  répondent  aux  points  P' j  P^, 
\  une  distance  d'un  nœud  C  =  AP  =  a:  ;  il  faut  mettre 
dans  (5)  ^  a  a  -—  x  et  2  a  4~  ^  pour  a:  ;  et  en  général 
mazç.x.  Les  deux  fonctions^  deviennent  ^  {maZf.x '^' bt) 
et  ^  (  ma  zp  x  — -  6/  )  :  occupons-nous  d'abord  des  signes 
supérieurs^  c'est-à-dire  de  P';  en  changeant  dans  (6) 
u  en  x^bt,  et  ensuite  en  x^-bt,  oa  voit  que  les 
deux  fonctions f  de  l'équation  (2)  restent  les  mêmes,  mais 
avec  un  signe  contraire  ;  ainsi  soit  AMB  la  courbe  au 
bout  du  tems  /,  les  coordonnées  PM  et  P^M'  sont  égales 
et  opposées.  En  prenant  les  Signes  inférieurs  ;  et  changeant 
de  iiiémîe  u  enx-f-é»/  et  a:  — ^rdans  (5),  on  voit  que 
PM^PffM".  U  résulte  de  là  que  U  courbe  AMBM'Mi.... 
forme  à  tous  les  instans,  et  par  conséquent  originairement, 
des  ventres  alternativement  placés  de  part  et  d'autre  de 
Taxe  XZ }  que  leur  nombre  est  infini ,  et  enfin  que  ceux  de 

25 


i 


SS6 


DrjriNtQTJE. 


,  tl  tpiK  ceux    de 


rang 
pet»  aa    ,, 


rang  par  KWt  eganx  entre 
impair  MKit  atiuî  ê^ux    mi 
double  rcortnexoenl ,  «l'abord  de  faaat  en  Ims,  et  enswfe 
de  droite  â  gaucbc. 
^4-  Pans  cuDBObtrc  la  figue  de  la  coarfae  au  bwl   | 

dû  tons  {■=  —7—  1  it  Taul   faire   bt^=  a  dani  fa! ,  ce    inj 

*  1 

dodoe  J'  =  4  :  X-f-i) ,  en  v«rta  des  é<)uatioB3  4Ï  =  donc 
rcrd«Dnéei''Me»(égale«celle^m'  qai  ié]>ood  à  l'abscîSM 
x-;-a ,  lorsque  t^=  o;  ordoonê«  d'ailleurs  aégtûr^ 
Ainii  le*  courbes  AmB ,  BIkl'C  ion\  idegt«]tts.  Afaii 
ntiualcDaiit  on  peut  regarder  AmB  cooiine  une  couriw 
utilJale  ,  de  jorte  que  U  corde  devra  reprendre  sa  pf«- 
BÛrre  iigiife  i>d  bout  d'un  (cnis  égal  au  premier.....  TouIM 
ces  circonstances,  qu'on  auroit  pu  déduire  de  la  coa^ 
tntctîoD  que  BOUS  avons  doaoëe,  sonl  ceadiies  é^-it^eiriet 


par  la  supposition  générale  de 

CDiicr  quelconque  :  ciar  l'équation  (5)  devient 


k    étant  na 


VI  < 


.r- 


H*ca= 


-Lj)H 


^{x  —  ka)) 


Or  en  changeant  dans  ;5;,  u  en  t  -\-ka  et  :r  —  Aa,  on 
voit  que  les  deux  fonctions  ne  cliaugent  pas  en  prenanl 
les  formes  (^  '  nia-^  x  +  Aaj  et  <p<  mu-J-  x  —  ka]}  ft 
comme  m  tst  un  nombre  pair  quelconque,  ou  peut  le 
prendre  diftcrent  danï  les  deux  cas,  de  sorte  que  les 
roaultals  soient  cquivalcns  à  ^\x-\-la)  et  ^{x- — lai, 
t  éta,al  le  même  cL  pair  au  impair  avec  h.  Les  valeurs 
de  j'  redeiiemieot  donc  les  mêmes  dans  toute  l'élendin 
de  la  courbe,  ])oui'  tous  les  iostans  qui  répondent  à  des 

valeurs  de  /=  — —  et  (=  — —  ;  d'où  il  suit  que  h  courbe 


CoKt)isS   VIBRAWTKS.  387      . 

reprend  8a  figtire  initiale  ppur  toutes  les  valeuri  de  A 
paires,  et  la  figure  opposée  égale  et  renversée  pour  k 
impair.  Ces  tems  sont  séparés  ehtfe  eux  par  l'intervalle 

— ; —  :  c'est  le  tems  de  l'oscillation. 
b 

Quoiqu'il  soit  certain  que  la  corde  réviétit  toujours  au 

même  état^  dpjrès  le  temâi  t  ==  — j — ,  il  ne  s'ensuit  pas 

que  la  corde  n'achève  dans  ce  tems  que  2  vibrations , 
et  il  sèroit  inéme  {)ossiblé  qu'elle  fû  fit  4>  ^9  ou  un 
ifotilbfé  pair  quelconque  j  cela  dépend  d'uiie  certaine 
di^pôàifion  de  l'éfàt  iiliiial  de  la'  corde  ^  lorsqu'elle  n'a 
qu^tin   seul   ventre  ;   comme   dans    ta  fig.    i25,  le  iéms 

•  Ci 

d'ahè  vibration  est  sans  doute  t  =  -j — .  Mais  si  la  figure 

b 

initiale  avoit  déiîx   veiitres    égaux,  comme  si  la  corde 

ajant  jiC  pour  lon^uçur^  on  lui  avoit  donné  une  foimie     fîj.  124. 

composée  de  deux  ventres  égaux  AMB  et  BM'Gj^é^ 

parés  au  milieu  B  par  un  point  conirnun  avec  Taxe  AB  ^ 

alors '^  ce  point  iT^çnieurerpit  en  repos ,  et  le  mouvement 

de  la  corde  AC  seroil  le  même  que  celui  d'une  corde  de 

longueur  moitié   mqindre  et  d'une  tension  égale.  Or  il 

faut^  pour  produire  ces  vibrations  dçux  fois  plus  rapides^ 

que    le  nœud  de   la  figure   initiale    soit  précisément  au 

niilieu  de  là  longueur,    et  que  les  deux  ventres  soient 

égaux  et  semblables  entre  eux. 

Sans    cette   disposition   ou    toute    autre  analogue ,   la 

corde    n'achèvera    une    vibration    qu'au   bout    du  teuis 

t  =  -J-  =  J/ |-^}.  Ainsi  j/(-^~)  exprime  le 

nombre  de  secondes  nécessaire  pour  achever  une  vibra- 
tion. Comme  la  tension  F  est  représentée  par  un  poids, 
on  peut  lui  substituer  le    poids  F  d'une  loni^^ucur  q  de 


-f=F'(^)=^- 


mtàEÊM, 


9l£.  Si  m  bit  Ju=rf  «  AdM  "-j—*^—  C3L^  m  « 

Or  4  tt=: — •       i<  numiTr  ^nc  nste  *jtiiii  «^ànoBUl. 

a-dm  tj  L.  ËEUTT  JSP .  doniMe  au  rnnTin^i»n"iti°ff'  ïtii 
t .  £  oes  Driiaiiiiee<  éçsiw  ixRTe^màaBOi  aa 
a-t-j  «yti  —  x;  reoa^  Kirivr  ia»aiK  Iw- 
ûuniKr  éievce  ui  milieu  ik  jî£  eO  sm  ''■"■'iriii  âe  sdK 
caurix.,  r'rm  a  ntrr  in  partiry  et  ans  jMtti^ aBdidAs- 
IkniKi ,  aras  ce  cae.  B  umilM:  bï  toiâ  «Bli|(Be  ^MdKV 


i~/R  jè  in  .ÇT^nu^. 


r. 

B 


JJVRE    m. 


HYDROSTATIQUE. 


chaphrë  premier. 


De  i.'iQni.iBKK  dss  wunoKt  mx  eùtÙAt. 


I.    Profwriiewii  Jhndamtmlate. 


Q. 


>iQUB  la  figure  des  moUcnles  d'uae  oMsse  fluide 
qndcon^e  nous  soit  mconnne ,  nous  ne  pouroiis  douter 
^'ellcs  ne  soient  nutériellet ,  et  que  par  conilîqQaBt  les 
lois  générales  de  l'équilibre  ne  leur  couTiennent  comme 
aux  corps  solides.  La  pn^priété  distînctire  des  fluides  con-> 
-siste  dans  la  petitesse  et  la  mobilité  excessire  de  leurs 
molécales  (O*  Si  cette  propriété  étoit  traduite  en  c^cul, 
.  les  lois  de  l'équilibre  des  fluides  n'exigeroient  pas  une 
théorie  particulière}  elles  fbrmeroient  un  cas  particulier 
des  propositions  générales  de  la  Statique  :  mais  comme 
elle  n'est  point  susceptible  de  se  prêter  aux  symboles  analy- 
tiques j  d'Alembert  a  pris  pour  base  de  l'itydrostatique  le 
principe  de  Végalilé  de  pression.  Voici  en  quoi  consiste 
ce  principe  :  Lorsqu^uH  fluide  est  renfermé  dans  un  vase 
AMB ,  si  on  lui  applique  une  pression  ,  dh  se  distri"  »  î».  i  »>• 
buera  également  et  en  tout  sens  dans  toute  la  masse ,  de 
sorte  que  les  parois  du  vase  seront  é^akrncnt  pressées* 


i 
■I 


i  «■teaJu  <{■&  naut  dp  supposons   î^î  aactnic   biat- 
iT  tel  divcrsçiBioIrâilei^  cette  KilMiaBce,  el^ 
ftt  iMttSWfnent  nous  \a  r^atiktiu  c^hihc  mtm  pesante. 

a£-r.  luapDnfH  donc  qu'oar  fonv  ^  ^il  sor  ce  fluidt, 
aip^W  «■  «qoililirc  et  dans  l^poyMrtr"  de  s'êcfaappR 
pv  •■evn  0rific«  :  on  cooçmI  |M>ar  <^>  m  Pislan  !*i 
PO  ninfUi  à  l'une  da  pirtia  ^  t^sc  Sait  en  E  aof 
mAiet^  plcnr  =-^.  et  %>W 
|MtD«;  cQc  cm  proscc 
|âMt  PD  hn  éloil  àMBr^aumeot  ^f^Mpac  De  là  II  mil 
^^W  ftmt ,  •■  umiujti  CM  £  on  nomaa  puton  pm» 
|«r  «■«  fc«M  Q  ^^  fmtK  ^woàmr*  réqoiiihre .  on  kônv 
MB^kwieat  le  tsk  faaw  en  D .  -pi^trx  <fae  U  nsâtanrr  ife 
b  pwN  lyw'  ■!<  •  ce  piaon.  D'aiSen»  l'ûv  M  pnurroii 
éln  WH**èc  diat  rîBiKrKnr  du  fluiJc  ;  or  m  pml  ife  I? 
f\w^»iin  «a  JE  w  cnod  ,  «(  «of^to;»'  ^s  l'eicqibaa  ii^ 

3  cet  rbitt  4{nr  TâM  f  ^lââm  &ssk  eiK»i«  anbùaiK^ 
rar ,  m  ««rra! ,  Ti^i^nuSiiR  â'au  entànc  âc  corps  n'est 
ptanl  iTiÉoiii»  ,  PB  «upjicsani  que  |itc3>cuTS  d'entre  eni 
%'Ksamii)  â  t'imc  ou  «  &'aTiac'.;er  a   des  poBiH  &sœ. 

On  d(Ki  i.-iiiM:)urT  de  la  que  si  on  dispose  tani  dr  pistom 
^(.'«10  -randni  ,  de  Iwses  cgale»  et  soUicUc«  fat  QCà  forces 
epalr<,  5  JF  au»  '■ijuilihrc,  Oi  [une  dr  ers  fomcs  peiil 
Ctrr  rr^ç-irdft-  «mmie  iojsaiil  pguilitirr  ^  iimisî  i?^  euC-»  ". 
flr  plus  ,  la  diilancc  entre  les  bases  est  ws  «rintmre,  et  on 
pp«l  la  su])po3er  nulle  :  donc  la  force  P 
piston  dont  la  base  est  ji ,  &il  équilibra  à 


C-i  [^n  pMtori  est  un  corps  qni  reiqplti  exacKnvnilk  cipaô^é 

un  c^ilmilrc  crm:!  qi. 'il 'pont  paicouiir  libremeni  dais  k  wn* 


*  G)NDITIONS   d'équilibre.  59 1 

a   tgissant  sur  un  piston  dont  la  base  est  nAm  Suit  nPz=:p^ 

et  nul  z=:a.  nous  aurons  donc  — -  = y  ou 

p  ^ 

p^=aP.., («). 

Cette  équation  donne  p  =:  —j-  x  Py  on  peut  donc,  par 

l'intermède  d'un  fluide  incompressible  j  produire  avec 
une  puissance  arbitraire  P  une  pression  p  aussi  grande 
qu'on  voudra.  Il  ne  s'agira  pour  cela  que  de  prendre 
les  aires  a  et  ^  des  bases  des  pistons  dans  un  rap- 
port convenable  ;  c'est  sur  ce  principe  qu'est  fondée  la 
presse  de  Pascal,  Consultez  le  Traité  de  ^équilibre  des 
'  ligueurs. 

268.  Pour  que  le  mot  de  pression^  appliqué  aux  fluides, 
n'offre  rien  de  vague  à  l'esprit ,  avant  d'aller  plus  loin , 
nous  rappellerons  ici  ce  qui  a  été  dit  (48  et  221  )  sur 
les  pressions  en  général.  Ni^us  avons  vu  que  lorsque  des 
forces  étoient  détruites  par  la  résisttnce  que  leur  oppo— 
soit  un  corps  solide ,  il  falloit  c{ue  la  résultante  de  ces 
forces  fut  normale  à  la  surface  de  ce  corps  :  la  pression 
est  cette  résultante }  de  ^rte  qu'elle  est  égale  et  directe- 
ment opposée  à  la  puissance  qui  mettroit  le  sjstéme  en 
équilibre ,  si  l'obstacle  n'existoit  pas.  De  plus ,  cette  force 
est  mesurée  par  le  produit  de  la  masse  sur  laquelle  elle 
agit,  multipliée  par  l'élément  de  vitesse  qu'elle  est  capable 
de  lui  imprimer  durant  le  premi«ir  instant.  Comme  on 
n'a  jamais  que  des  pressions  à  comparer  entre  elles,  on 
prend  simplement  pour  leur  mesure  le  produit  de  la 
force  par  la  masse  qu'elle  sollicite. 

On  rapporte  ordinairement  les  pressions  à  l'unité  de 
surface ,  c'est-à-dire  qu'on  suppose  que  l'aire  pressée  =  i  j 
si  donc  A=zij  l'équation  («)  se  réduit  à  \^^=aPj  ce 


Sçp  UrniiOSTiTiQtrC. 

qni  apprend  que  pour  irouver  In  pression  qu'éprouve  I 
faim,  il  faut  multiplier  a  par  la  pression  qu'éprouH  y 
f unité  de  surface. 

n.     EqutUiont  if équilibre  ifune  masse  Jluide ;  pressions 
qu'éprouvent  ses  diverses  molécules. 

269.  Supposons  maintenant  <jue  les  diverses  moléculet 
d'un  fluide  soient  soumises  à  l'action  de  puissances,  telles 
que  la  gravité,  etc.;  le  principe  d'égalité  de  pression, 
c«ige  une  modification  ,  car  il  ne  peut  plus  indiquer 
qu'une  surface  a  éprouve  -la  même  pression  en  quelque 
lieu  qu'elle  soil  située,  ce  qui  seroil  contraire  aux  fails. 
On  doit  entendre  par  celte  égalité  de  pression  ,  que  la 
puiKiance  qui  agit  sur  le  piston  se  distribue  encore  comme 
si  le  fluide  n'étoit  soumis  à  l'action  d'aucune  force  accé- 
lératrice ;  mais  cela  est  indépendant  de  l'effet  dû  â  celle-ci 
qui  dnit  s'ajouter  à  l'autre.  Ainsi  la  pression  varie  alors 
d'un  point  à  l'autre  de  la  masse  ftnide ,  elle  est  due  aui 
foives  accélératrices  et  à  la  prcisiou  qu'elle  éprouve  à  ïes 
limites ,  considérée  indépendamment  de  ces  forces.  Nous 
rapporterons  dorénavant  la  pression  à  l'unité  de  surface , 
c'esl-à-dtre  qne  nous  supposerons  que  l'aire  pressée  est  =  1 , 
et  que  la  pression  est  la  niéme  en^tous  ses  points.  Con* 
(idérée  août  ce  rapport  la  pression  devient  finie  et  n'est 
plus  qn'hjrpothétique  :  mais  il  en  est  ici  comme  de  la 
vitesse  et  de  la  force  accélératrice  (  i49r  'SaJ  q"'  sont 
modifiées  par  des  hjrpolhèses,  sans  que  pour  cela  le  calcul 
ea  soit  altéré. 

370.  Désignons  par  p  la  pressioa  rapportée  à  l'unité 
de  surface  f  qu'éprouve  une  oK^écule  dont  les  coordonnées 
MWt  X  jj"  et  *-f  par  A^,  Y,  et  Z  les  composantes  paral- 
Wles  aux  axci  de  U  force  qni  agit  sor  eelte  molécule  ; 


COKBITIORS  D'iQUILIBllI.  595 

enBn  par  D  la  densité  du  fluide.  Comme  p,  Xj  Vj  Z 
et  D  peuvent  varier  d'un  point  à  l'autre  de  la  masse  fluide, 
ce  sont  des  fonctions  de  x,  j^  et  z.  '" 

Cela  posé  y  la  masse  fluide  étant  en  équilibre ,  cet  état 
ne  sera  nullement  altéré^  si  on  conçoit  une  portion  de 
cette  masse  comprise  dans  une  enveloppe  flexible  }  et  la 
figure  de  cette  enveloppe ,  quelle  qu'elle  soit ,  ne  devra 
pas  changer  y  puisque  chaque  point  devra  ^tre  également 
pressé  tant  à  l'intérieur  qu'à  l'extérieur.  Pour  traduire 
facilement  ce  fait  en  analyse,  nous  attribuerons  à  l'en- 
veloppe la  forme  d'un  parai  lélipipède ,  dont  les  arêtes 
soient  parallèles  aux  axes  :  et  même  pour  pouvoir  é>'aluer 
la  pression ,  nous  supposerons  cet'e  enveloppe  infiniment 
petite,  ce  qui  permettra  de  regarder  tous  les  points  d'une  ' 
même  face ,  comme  également  pressés ,  et  la  densité  û  et 
les  forces  Xy  F  et  Z,  comme  constantes  dans  cette  étendue. 

La  fig.  126  représente  le  |dan  des  xz  \  Mabc  est  la  ^*s-  <^c- 
projection  de  notre  enveloppe*  Pour  «implifier  les  locu- 
tions ;  nous  regarderons  les  projections  des  points  comme 
étant  les  points  eux-mêmes  )  on  rectifiera  aisément  ces 
énonciations.  M  est  le  point  dont  les  coordonnées  sont 
X  y  jTj  z  j  p  est  la  pression  que  le  fluide  y  exerce  sur  tout 
élément  de  surface,  quelle  qu'en  soit  la  direction ^  cette 
pression  est  rapportée  à  l'unité  de  surface  :  les  arêtes  du 
parallélipipède  sont  dx  ydy  eXdz,  Ainsi  la  face  Me  =  dxdy 
reçoit  la  pression  ^dxdy  (268)  )  de  même  la  face  Ma^^dzdy 
éprouve  la  pression  ^dzdjr^  etc.  Celles  qui  sont  exercées 
extérieurement  sur  les  faces  de  l'angle  trièdrc  M  sont  donc 

y^xdfy        i^dzdy  y  ^dxdz. 

Pour  obtenir  celle  qu'éprouve  la  face  ab  ,  il  faut  changer 

dp 
z  en  z  +  dz  dans  p,  et  on  aura  p  4-  -j-  dz  pour  celte 


EÇ^  HÎsKMTi'IlQVK' 

pretiîon  rapiiorléc  a  riinilc  tie  mrface  :  de  sorte  que  cette 
facfi  reçoit  l'effort  (  p  +  —■  dz\ dxdj:  En  en  disant 
autant  des  dtui  antres  faces  ,  on  a  pour  cet  pressions  ex- 
térieures 

(p+|j.)^*,(p+|^)j.^r,(p+|.*->i- 

IVecardons  maintenant  le  parai UHpipêde  Mabc  comme  un 
vasf ,  et  la  face  A/f  comme  un  piston  soumis  â  la  force  p. 
Cette  pression  se  ilistriiuera  dans  tout  le  fluide  intérieur, 
et  uomljin^  av«c  les  forces  X ,  Y,  Z  (jui  en  poussent 
les  molécules,  elle  agira  sur  chaque  face  avec  la  m&ne 
ititensitO  ijn'on  vient.de  déterminer  pour  la  partie  exté- 
rieure. La  base  du  piston  est  tJxdr,  le  fluide  réagît  sur 
elle  avec  la  force  ptJxiJy.  De  plus,  los  faces  ressentent 
celle  pression  proportionnellement  à  leur  étendue  fa,  267); 
de  sorte  que .  la  face  Jtfa  est  pressée  par  le  piston  avec 

une  farce  ^■çdxdy  X    -n-  ^^çdzdy,  il  en  seioit  de  même 

pour  les  autres  faces.  11  faut  à  ces  pressions  ajouter  («,  2G7) 
celles  qui  proviennent  des  forces  X,  V,  et  Z^  cooime 
elles  tendent  à  accroître  le»  coordonnées  x,y  et£ ,  elles 
n'agissent  pas  sur  les  faces  de  l'angle  Iriédre  Af.  Les 
pressions  tant  «ttérieures  qu'intérieures  sur  ces  trois  faces' 
ont  donc  mêmes  valeurs,  ce  qui  ne  fournil  aucune  condi- 
tion. Mais  la  tact  ab  éprouve  l'effort  de  ^ ,  qui  la  presse  k 
la  manière  d'un  poids  (321  ,  26S);  le  volume  du  fluide 
est  dxâydi,  la  musse  est  Ddxd)dz  ;  donc  la  pression 
causée  par  Z  est  DZdxifydz.  On  verra  de  niéiue  que 
celle  que  X  exerce  sur  bc  tit  DXdxdj-dz ,  etc.  Comme 
ees  pressions  doivent  être  ajoutées  à  ctHes  que  transmet 
le  pistou  Me ,  on  en  conclut  que  les  trois  autres  fïccs 


Conditions  s'équilibre.  5g5 

reçoivent  les  efforts  intérieurs 

(P'^DZdz)dxdrj  (^+DXdx)dsdr,{p+Drd:r)dxdz. 
Egalant  ces  valeurs,  à  celles  ci-dessus ,  il  vient 

dz  dx  •  djr 

Multipliant  ces  équations  respectives  par  dz  y  dx  y  djr  j  tX 
ajoutant,  comme   dp^-^  dx-^-^djr  -^^  ^j-dz y  on  a. 

dpz=D{Xdx^Ydr+Zdz) 03), 

L'intégrale   de   cette   équation  donnera  la   valeur  de  la 
pression  p  en  fonction  de  x yjr  et  z» 

271.  Voici  quelques  remarques  importantes. 

L  II   est  clair  que  ^p  étant  une  différentielle  exacte 
il  doit  en  être  de  même  de  D  {Xdx+  Ydy+Zdz)  :  d'où 

d.DX       d.DY     d.DX      d.DZ       d.DY     d.DZ 
dy  dx  dz  dx  dz  dy 

San3  ces  trois  copditioiis  les  forces  Xy  Yj  Z  ne  seroiont 
pas  de  nature  à  se  faire  équilibre  ^  et  le  fluide  seroit  dans 
une  agitation  pcrpétuello ,  sous  quelque  figure  qu'on  le 
disposât  :  mais  si  elles  ont  lieu  y  l'équilibre  sera  possible  y  et 
on  saura  intégrer  par  les  quadratures  l'équation  (C) 
(  CaL  inL  de  Lacroix^  n®.  Soy),  ce  qui  donnera  la  pres- 
sion en  un  lieu  quelconque  du  fluide.  Du  reste  y  cela 
ne  sufUra  pas  pour  que  l'équilibre  ait  lieu  y  il  faudra  en 
outre  donner  à  la  masse  fluide  une  figure  déterminée. 

£n  exécutant  les  différentiations  et  multipliant  ensuite 
les  résultats  par  Z,— F  et  X  respectivement;  puis  ajoutant, 


le  fucteur  commun  D  dUparoU  et  on  a  ^^^^^| 

Celte    Fi]ualioa    tient    lieu    d'une    des    précédentes   et   ] 
comme  elle  est  indcpeadante  de  Z> ,  lorsqu'on  ne  coit- 
noilra   pas    la    loi    suivant   laquelle  la   densité   varie  j    on    j 
pourra  cependant    s'assurer   en    partie   si   l'équilibre    est 
possible.   Si   la   densité  est  constante^  nos  trois  équations-   | 
r«produisen(  les  valeurs  (  e' ,  i68)- 

U.  A  la  surface  libre  du  duide ,  la  pression  doit  viiî- 
blemcnl  tire  nulle  ou  constante)  ainsi  ttp:=iOj  d'oà 

Xdx  +  Ydr-^  Zdz  =  Q (y). 

;  Cette  relation  est  en  x,j- et  j  celle  qui  i:onvîenl  à  la  suiv    , 

face  :  et  comme  oa  a  vu  qu'on  savoit  l'intégrer,  on  aurft'l 
l'equatiou  de  la  surface  libre  du  fluide ,  ce  <jui  est  nne  H 
nouvelle  condition  d'éi|uilibre.  L'érjuation  ;  y  )  convient 
encore  aux  surfaces  pour  lesquelles  la  pression  est  la 
m^me ,  ainsi  elle  appartient  à  toutes  le>  couches  étégale 
pression.  Ces  surfaces  ne  diffèrent  que  par  la  constante 
de  l'intégratiOD ,  parce  que  la  pression  est  bien  la  même 
pour  tous  les  points  d'une  même  conche,  mais  elle  varie 
d'une  couche  à  J'aulre. 

IIL  La  normale  à  ces  surfaces  fait  avec  les  uei  des 
ongles  dont  les  cosinus  sont  -j^  ,    ^ ,   ^ ,   en  faiiutt 

jV=V'(-^'+  J^-f-Z');  vojeï.  VAppl.  de  Fanât,  à 
la  géom.  de  Monge  ,  n°,  i.  Or  la  direction  de  la  ré- 
sultante des  forces  X,  Y,  Z  fait  aussi  avec  les  axes  des 
angles  qui  out  pour  eosûuu  ces  mêmes  valeurs  (  //,  34  ] 


Q>9DiTioNS  ]>'kquii.ibas.  59^ 

doncl'éqiiutkA  (y)  reyient  à  dire  que  la  résultante  des  forces 
est  normale  à  la  surface  de  la  couche  d'égale  pression  : 
ce  qui  est  d'ailleurs  visible  pour  la  surÊure  extérieure. 

IV.  Si  la  densité  n'est  pas  unifonne,  on  a  trouré  les 
conditions  qui  expriment  que  D  (  Ak/x-4-  ^4r+  Zdz)  est 

une  différentielle  exacte.  Mais  s'il  arrivoit  qu'alors 

Xdx-^-  Yâ]r'\-Zdz  fût  encore  une  dififérentielle  exacte  i/i^, 

on  aoroit  ----  -zzzdir^  de  sorte  que  pour  Xt.s  couches  d'égale 

pression,  on  auroit  encore  la  même  équation  (y),  ou 
i^  =  o  y  et  de  plus  D  devroit  être  une  fonction  de  p  ^  il  en 
résulte  que  la  densité  et  la  pression  ne  variant  qu'ensemble, 
le  fluide  seroit  disposé  par  couches  d'égale  pression  et 
de  xnéme  densité  ^  nos  conséquences  précédentes  auraient 
encore  lieu. 

272.  Faisons  des  applications  de  nos  formules. 

I®.  Supposons  que  les  molécules  fluides  soient  tontes  sol- 
licitées par  des  forces  dirigées  vers  un  pcnnt  fixe,  pris 
pour  origine  i  soit  r  la  distance  du  centre  d'attraction  au 
point  qui  z.  x^jr  ^t  z  pour  coordonnées ,  ce  qui  donne 
r*  =  x»  -^j*  +  ^*  î  ^ttc  hgne  r  fait  avec  les  trois  axes  des 

angles  dont  les  cosinus  sont •  ^^—  et  .  Désirons 

.r         r  r  ^ 

par  f  la  force  qui  agit  sur  la  molécule  placée  au  point 

dont  nous  panons  :  -^ —  •  —ï-^-  et  -^ —  sont  %it%  com« 

r    '      r  r 

posantes  dans  le  sens  des  axes  ;  on  doit  les  prendre 
négativement  y  parce  qu'elles  tendent  à  diminuer  les  coor- 
données ;  et  il  £iut  substituer  ces  valeurs  dans  les  équations 
précédentes,  hi  X ,  V  tt  Z. 

On  peut  d'abord  aisément  reconnoltre  que  les  équa- 
tions {e'y  168)  sont  satisfaites;  ainsi  l'équilibre  est  possible 
dans  le  système ,  lorsque  la  densité  est  constante  ou  lors- 


5g8                                HrS*0(T*TTQll». 
qu'elle  est  fonction  de  la  pression  seule.  De  phfi  l'équB- 
tjon  (y)  dcTenant  xdx  +  r^T  +  2<^2  =;  o ,  eo  sappriùiaol 
le  facteur  coramun j    on  obtient,  en  intégrant, 


ic»+ j«  4-  s'  =  C".  Comme  celle  éfjuation  est  celle  d'une 
sphère  qui  a  C  pour  rayon ,  on  en  conclut  que  la  misse 
fluide  devra  affecter  la  forme  Bphérique  ,  pour  c]ue  l'équi- 
libre puisse  exister  en  TCrlu  des  forces  9  qui  animent  ses 
molécules.  Telle  scroit  la  figure  des  planètes  ,  si  elles 
avoient  été  originiiirement  (luiUes,  et  si  le  monveineiit 
de  rotation  qui  ■  les  anime  n'avoit  déterminé  une  force 
centrifuge  dont  l'effet  a  dû  les  aplatir  vers  leurs  pôles  et 
les  élever  à  l'équateur.  De  plus,  si  la  densité  n'est  pss 
uniforme ,  le  fluide  devra  i!tre  disposé  par  couches  sphé* 
riqucs  et  concentriques  ,  d'égale  densité. 

Supposons  que  la  force  d'atlraclion  p  soit  proporlion- 
ifdle  à  la  puissance  'i  (le  la  dislance  r  au  centre ,  et  qne  la 
densilé  D  soit  constaiile  :  011  a  ij^r  ^r  ,  ce  qui  change 
l'équalion  (ff)  en  p=:  ^£'/f''-"(i:</±-f-^rf7- +"«&)  ;  or 
xdx  '(-J'd}'  +  *^  ^=^id  (r")  :aE  rdr  )  donc 

p^^Dfr'dr=  -dR.  X  x/  {x'+r 4- ="}'*'+ C. 

3°,  Lorsque  les  molécules  fluides  ne  sont  sounmes  à 
d'autre  force  qu'à  la  gravité ,  en  prenant  l'axe  des  z  yer- 
tital,  et  les  «  powtifs  de  haut  êti  bas,  on  a  X^=o,  V^o 
etZ^=g.  On  voit  que  les  équdtions  (e')  clant  labifiiites, 
l'équilibre  est  possible  ;  que  de  plus  l'équation  (r)  se  ré- 
daisant  à  gdt  ;=  o ,  ou  ;!  :=  conit. ,  la  surface  supêrienro 
du  fluide  est  parallèle  au  plan  xj- ,  c'est-à-dire  hdrisoD' 
taie,  Jorsque  l'équilibre  a  lieu.  Enlln  la  valeur  db  la 
pression  en  un  point  quelconque  du  fluide  est. 
p=/Dgrfï {i-). 


CoNDiTioHs  d'Équilibre.  599 

Cette  ëquaiioB  a  lieu  pour  tous  les  fluides  pesaiis.  Lorsque 
la  densité  D  est  constante  (  les  fluides  incompressibles  et 
homogènes  )  ^  ou  qu'elle  est  fonction  de  z  seul ,  on  remarque 
que  la  pression  ne  rarie  qu'arec  la  hauteur  z'jC^  qui  fait 
yoir  que  toutes  les  molécules  qui  soni  situées  sur  un  même 
plan  horisonïal  sont  également  pressées  y  et  réciproque^ 
ment;  résultat  conforme  à  ce  qu'on  a  yu  (271  ;  II)* 
Ces  diverses  propriétés  des  fluides  pesans  servent  de  base 
à  une  foule  de  considérations  importantes  qu'il  convient 
de  développer;  c'est  ce  qui  va  nous  occuper. 

275.  On  distingue  deux  aortes  de  fluides  ;  les  uns ,  tels 
que  l'eau,  le  vin^  le  -  mercure.  •<,  sont  incompressibles; 
leur  densité  est  constante)  on  les  noratue  Liquides;  les 
autres  sont  compressibles  et  aériformts  ;  on  les  appelle 
Fluides  élastiques^  parce  qu'ils  ont  aussi  la  faculté  de 
se  rétablir  :  tels  sont  les  gaz  et  l'air  atmosphérique.  Nous 
allons  successivement  examiner  les  propriétés  de  ces  deax 
sortes  de  fluides. 


CHAPITRE     H. 

Dbs  fijUidbs  ikcompressiblbs  et  PeSANS. 

I.     Des  Sjrphons  et  Niveaux  ;  pressions  'exercées  sur 

les  parois  planes  des  vases* 

274.  JruisQVE  la  8ur£ice  du  fluide  est  horisontale,  quelle 
que  soit  la  figure  du  vase  qui  le  contient ,  on  voit  qae 
si  plusieurs  tuyaux  de  courbure  arbitraire  se  communiquent 
entre  eux,  le  fluide  pesant  qui  y  sera  renfermé  devra 
s'élever  dans  ehaeun  à  la  mém^  bantcur.  On  a  donné  à 


'   4oo  HynnoBTi TIQUE. 

ce  système  le  nom  de  Sjrphons  ,  el  c'est  sur  ce  priccip; 
que  ta  coastructiou  du  Niveau  deau  est  foudêe.  Cet  ins- 
trument ,   qui  n'est  iju'un  syphon  à  deui  branches ,  con- 

'7'  &istc  en  un  canal  KF  plus  ou  moins  long  ,  aux  extrémités 
duquel  sont  lutées  deux  fioles  recourbées  AE ,  BF;  si  ou 
verse  de  l'eau  dans  l'une  d'elles,  ce  fluide,  après  avoir 
empli  le  canal  EF ,  s'élèvera  dans  la  fiole  BF,  et  toute 
droite  qui  passera  par  les  deux  suiTaccs  ^  et  £  sera 
horisonlale.  On  adapte  à  cet  assemblage  on  pied  en  C, 
afin  de  pouvoir  se  servir  par-tout  de  cet  inslrunienl,  dont 
l'usage  est  trop  connu  pour  qu«  nous  nous  y  arrâtious  ici. 

0.  275.  L'instrument  appelé  Niveau  à  bulle  d'air  est  fondé 
sur  ie  même  principe  et  remplit  le  même  objet  :  il  est 
composé  d'une  boite  CD  de  métal,  qui  renferme  un  liilie 
de  verre  ,  et  le  recouvre  entièrement,  à  l'exception  d'une 
partie  qu'on  voit  paroitre  par  une  ouverture  ou  fenêtre  </e 
pratiquée  à  la  boîte  CD.  Le  tube  ,  ferme  hermétique- 
ment ,  contient  une  liqueur,  qui  est  ordinairement  de 
l'alkool  ou  de  l'éthcr,  et  qui,  n'en  remplissant  pas  en- 
tièrement la  capacité,  laisse  un  petit  vide  ab  Oi:tupé  par 
l'air.  L'instrument  doit  être  disposé  de  manière  que, 
lorsque  les  extrémités  n  et  i  de  la  bulle  d'air  sont  éga- 
temeat  distantes  d'un  point  m  qui  a  une  position  con»- 
tautc  sur  le  tube ,  l'axe  soit  horisontal.  Ce  point  milieu 
n'est  pas  marqué  sur  le  tube }  mais  il  y  a  de  chaque  cdté , 
et  dans  l'espace  oii  les  extrémités  de  la  bulle  se  trouvent 
renfermées ,  dans  différentes  températures ,  un  certain 
nombre  de  divisions  égales  qui  y  sont  numérotées ,  et  on 
règle  l'instnuncDt  de  manière  que  son  axe  soit  horisontsl, 
quand  les  extrémités  de  la  bulle  sont  sur  deux  divisions 
de  m^me  numéro. 

On  adapte  souvent  à  cet  instrument  une  lunette,  dont 
l'ate    optique  est    parallèle  à    l'axe  du  niveau  ;  et  pour 


Stfhovs  kt  kits  aux*  4^1 

^bnnei^  plus  de  sensibilité  à  l'instrument  y  on  travaille 
intérieurement  le  tube  de  ¥erre,  de  manière  que  sa  section 
longitudinale  intérieure  soit  un  arc  de  cercle.  Nous  ne 
pouvons  entrer  ici  en  détail  sur  la  propriété  du  niveau  , 
les  procédés  de  nivellement,  les  corrections  des  réfrac- 
tions^ etc.  On  peut  consulter  à  cet  égard  Y  Architecture 
hjrdraulique ,  n^  646» 

276.  Lorsque  la  densité  D  est  constante,  comme  on 
peut  prendre  pour  le  plan  arjr  la  surface  du  fluide  (  ce 
qui  force  à  compter  les  z  positifs  de  haut  en  bas  ) , 
réqaation  (^)  devient 

De  plus,  lorsqu'on  fait  z  =  o,  on  a'p=C;  donc  C 
est  la  pression  exercée  sur  chaque  unité  de  la  surface  du 
fluide  'j  elle  répond  au  poids  de  l'atmosphère,  et  est  nulle 
quand  on  en  fait  abstraction.  On  peut  représenter  C  par 
le  poids  d'un  prisme  du  même  fluide,  en  donnant  à  ce 
prisme  la  hauteur  A ,  et  une  base  égale  à  l'unité  r  alors  on 
a  D^  =  C , .  puisque  h  est  le  volume  de  ce  prisme , 
Dh  sa  masse  (5o) ,  et  Dgh  son  poids  (221}.  Ainsi  l'équa- 
tion précédente  équivaut  à 

p=rZ?^(A  +  z)  =  x(A  +  ^) (0, 

en  faisant  £>^=tr.  La  valeur  de  h  sera  d'ailleurs  connue 
lorsqu'on  aura  Dg  et  C  :  de  plus  9  est  le  poids  absolu  de 
Vunité  de  volume  du  fluide^  c'est  ce  qn'on  nomme  sa 
PESANTBUK  SPÉCIFIQUE.  Lorsqu'on  ne  considère  qu'un 
fluide,  on  peut  prendre  sa  densité  pour  unité  et  faire 
D=zi  :  CSLT  D  n'étant  (5î)  que  le  rapport  de  la  densité 
d'une  substance  à  celle  d'une  autre  qu'on  regarde  comme 
terme  de  comparaison  ;  on  peut  prendre  pour  celle-ci  le 

26 


^S  HVDROSTATIQUB. 

fliiiile  mémei  alotï  *  deviciil=^.  ISous  donnerons  bienl&t 
la  valeur  de  ta  pesanteur  spéciri<{ue  ponr  chaque  espèce  de 
•ubstanre  (îgS). 

277.  Puisque  la  pression  eiercée  dans  tonle  retendue 
d'un  plan  borîsontal  est  la  mâme  ,  il  en  résulte  que  celle 
qu'éprouve  une  surface  honsoniale  A ,  dont  Z  est  l'enfon- 
cement dans  le  fluide, est  (267),  ir^(2-t- A).  Cette  valent 
se  compose  de  la  pression  nAh  qui  srroit  éprouvée  à  la 
«urface  du  llui Je ,  et  de  celle  vAZ  qui  est  le  poids  d'un 
volume  de  fluide  égal  à  AZ.  Ainsi  en  faisant  abstraction 
de  la  première  partie ,  on  voit  que  ta  pression  qu'éprouva 
faire  horisanîaîe  A,  tsi  h  poids  d'un  prisme  de  fluide 
gui  a  celle  aire  A  pour  base  ,  el  pour  hauteur  sa  distance 
«  la  Hirface  du  fuide. 

Celle  conséquence  s'applique  imniédiatement  à  la  pres- 
sion exercée  sur  le  fond  horizontal  des  vaaes;  il  en  résulte 
un  fuit  assez  singulier.  Si  on  a  trois  vases  dont  hi  fonds 
fiorisontaui  soient  é^ux,  et  dans  lesquels  un  inénie  fluide 
incompressible  loit  contenu  et  l'él&re  à  mtme  hauteur;  b 
pression  sera  ^gale  sur  les  fondt  de  ces  Tues,  ibat  h 
forme  est  d'ailleurs  arbitraire.  Ainsi  cette  pressÎDii  fera 
moindrfl  oa  plus  grande  ^e  le  poids  da  fiuide  qot  j  est 
renfermé ,  ou  même  égale  à  ce  poids ,  sinrant  qtie  le  rue 
,sera  un  tronc  de  cAne  renversé  ou  droit,  on  sera  un  cy- 
lindre. On  doit  donc  bien  distinguer  le  poids  <to  dnida 
ds  la  pretûon. 

276.  Lorsqu'un  vase  est  d«fliiié  à  coalenir  nne  grande 
masse  de.âuide,  les  partielles  plus  enfoncées  supporteift 
une  plus  forte  pression.  Si  don(%on  assetoUe  des  tujanx 
T«'licaux  poor  élever  l'eau  ou  tout  autre  fluide ,  c'est  se 
'  f  etter  dans  nue  dépanse  superflue  que  de  donner  k  m^ine 
épaisseur  à  toutes  les  parties.  Car  si  les  inférieures  ont 
une  épnsseur.  (uffiunte ,  ctmune  «Ues  doivent  l'avoir  en 


Syphons  et  niveaux.  4^5 

«ffet|  lés  parties  supérieures  en  oût  nécessairement  trop* 
U  convient  donc  alors  d'avoir  des  tuyaux  d'assemblage 
de  même  diamètre  intérieur  j  mais  d'épaisseurs  différentes  : 
de  placer  en  bas  les  tuyaux  les  plus  épais  ^  et  successif 
Vement  les  autres^  à  raison  des  différentes  hauteurs  de 
l'eau. 

Pour  trouver  en  général  l'épaisseur  que  doivent  av<Hr 
les  tuyaux  de  conduite  ^  il  faudroit^  par  des  expériences 
faites  avec  exactitude ,  déterminer  la  force  d'adhérence 
des  différentes  substances  qu'on  emploie  pour  former  ces  . 
tuyaux.  Nous  nous  écarterions  trop  de  notre  objet  en 
traitant  ici  cette  matière,  sur  laquelle  on  peut  consulter 
V Hydrodynamique  de  Bossut. 

279.  Cherchons  maintenant  la  pression  exercée  par  un 
fluide  pesant  et  incompressible  sur  une  surface  plane;  qui 
y  est  disposée  d'une  manière  quelconque  :  cela  s'applique 
ipaturellement  aux  parois  latérales  des  vases ,  et  m'éme  à 
leurs  fonds  y  lorsqu'ils  ne  sont  pas  horisontaux.  Si  on  prend 
seulement  un  des  clémens  a'  de  la  surface  en  question, 
l'équation  (e)  donne  pour  la  pression  qu'exerce  le  fluide 
sur  cet  élément  a'  (267),  pa'  =  îra'« ,  en  faisant  abstrac- 
tion de  la  pression  exercée  à  la  surface  supérieure  du 
fluide  ;  laquelle  se  distribue  également  sur  tous  les  points 
de  la  surface  pressée ,  quelle  qu'en  sfoit  l'inclinaison  (269). 

Cela  posé  j  nommons  a' y  a^ les  divers  élémens  dé 

cette  surface)  z'j  2'^. .  •  •  leurs  distances. à  la  surface  sypé- 
rieure  du  fluide ,  qui  est  le  plan  des'  xy  \  on  aura  ifa'z'y 
«r a'' «''.•..  pour  les  pressions  qu'ils  éprouvent.  Ces  pres- 
sions formeiit^t  tin  système  de  forces  normales  au  plan 
qu'on  considère  ^  leur  résultante  K  sera  visiblement  égal^ 
à  leur  somme  ;  car  ces  forces  sont  parallèles  entre  elles  ; 
«lie  sera  doilc 

ft  =r  ^  (  aV  +  a''z*  +  etc.  ). 


4o4  HïDRÛSTATIQrE, 

Désignons  par  A  l'élendue  de  la  surface  pressée ,  dat 

^  — fl'  +  a«  4- De  plus  a'z',  a^z" sont  lel 

monieas,  par  rapport  a\x  plan  de  la  surface  du  fluide,  des 
élëinens  a',  u^..,,*^  coniposenl  l'airê  ^.  Or  ea  dési- 
gDBDt  par  Z  la  distance  du  centre  de  gravité  de  cette 
aire  à  la  surface  supérieure  du  fluide,  on  a  {A',  54) 
AZ  :=  a'i'  -t-  a"z^  +  . . . .  donc  on  a  Ki=  sAZ  pour 
la"  pression  cherchée.  Or  ÂZ  est  le  volume  d'un  prisme 
ijuî  a  A  pour  base  et  Z  pour  hauteur  :  de  plus  v  est  la 
pesanteur  spécificjue  du  fluide,  ou  le  poids  de  l'unité  de 
volume  de  ce  fluide  (276)  ;  donc  la  résuUanie  des  pres- 
'  fions  qu'exerce  un  Jluide  pesant  sur  une  surface  plane 
fjM y  esi  plongée  ei  dans  une  position  quelconque-,  est 
le  poids  dun  prisme  de  ce  Jluide  qui  a  pour  base  celle 
surface,  et  pour  hauteur  l'enfoncenKnt  de  son  centre  de 
gravité  dans  le  fluide. 

n  est  important  de  remarquer  que  toutes  les  surfaces 
planes  plongées  dans  un  fluide  ,  éprouvent  des  pressions 
égales  lorsque  les  aires  sont  égales,  pourvu  que  les  en- 
foncemens  de  leurs  centres  de  gravité  soient  les  mêmes. 
Donc/ou/e  Juf^ce/^/nne,  plonge  dans  un  Jluide ,  éprouve 
des  pressions ,  dont  la  résultante  ne  c/iange  pas  de  gran- 
deur, lorsqu'on/ail  mouvoir  celte  surface  autour  de  son 
centre  de  gravité  ;  et  on  peut  la  disposer  liorisontalenieni. 
Cetterésultautecliange  d'ailleurs  de  direction  et  de  position. 

380.  Le  centre  dépression  est  le  point  par  leqnel  passe 
la  résultante:  ce  centre  est  facile  à  assigner,  d'après  ce 
^'on  a  dit  (36) ,  puisqu'il  ne  s'agit  que  de  cOBooitre  la 
position  de  la  résultante  d'un  système  de  forces  parallèles. 
Supposons  que  chacune  des  pressions  élémentaires  devienne 
horisontale,  ce  qui  ne  change  rien  su  point  d'application 
de  la  résultante  (37).  Soit  x  l'enfoncement  du  centre  de 
pression  ^  il  ne  s'agit  que  d'égaler  le  tuomenl  As  de  la 


( 


l  I 

Paèssions  sur  lbs  parois  des  vAssis*  4oS 

résultante;  par  rapport  à  la  surface  du  fluide ^  à  la  somme 
des  momens  wa'z'^y  ira^z^* des  pressions  élémen- 
taires ita'z'y  iga'fz^ é  ce  qui  donne  .  • 

iJz==sr^Zz=:r(ûV»+a"2'f»+...)  ou  ^Zz=»S.a'z'-. 
Ainsi  la  distance  z  du  bentre  de  pression  à  la  surface  du 
fluide  est 

^=      ^^      =-^xS.a'z'-... („). 

Pour  faire  usage  de  cette  formule  j  il  faudra  exprimer 
l'aire  élémentaire  a'  en  fonction  des  différentielles  des 
coordonnées^  mettre  pour  z'^  sa  valeur  donnée  en  x  tXy 
par  l'équation  du  plan  pressé  ^  et  intégrer  a'z'^  dans  les 
limites  déterminées  par  la  figure  de  l'aire  plane  qu'on  con- 
sidère. Cette  formule^  (9)  ne  fait  d'ailleurs  connoitre  le 
centre  de  pression  que  dans  le  cas  où  on  connoit  à  priori 
une  ligne  qui  le  contient ^  ce  quia  lieu  lorsque  l'aire  pressée 
est  partagée  en  deux  portions  symétriques  par  un  plan 
vertical  :  mais  dans  tout  autre  cas  ^  il  faut  en  outre  prendre 
les  momens  des  pressions  élémentaires  wa'z'j  ira''^".«.« 
par  rapport  à  un  plan  vertical  ^  perpendiculaire  à  oelui 
qu'on  vient  de  considérer  :  en  opérant  comme  ci-dessus  j  on 
obtient  la  distance  du  centre  de  pression  à  ce  plan  vertical^ 
et  par  conséquent  sa  position. 

281.  £n  général,  toute  cette  théorie  s'applique  à  la 
poussée  des  eaux  stagnantes  contre  les  digues  qui  s'opposent 
à  leur  écoulement.  Consulter  à  ce  sujet  V Architecture 
hydraulique  de  Prony ,  pag.  279 ,  et  les  Recherches  sur 
la  constructiqn  des  Digues  y  par  Bossut  et  Yiallet. 

Nous  nous  bornerons  ici  à  appliquer  ces  principes  gé- 
néraux à  la  pression  contre  la  vanne  verticale  et  rectan- 
gulaire d'une  écluse  :  soit  m  son  côté  horisontal^  n  sa 
hauteur  depuis  la  partie  inférieure  jusqu'au  niveau  de  l'eau* 


4o6  HtDIlOSTiTIQTM. 

On  a  Ar=mn  -  cl  comme  le  centre  de  gravité  qst  an  > 

de  la  hauteur  n  ,  Z^^^n.  il  suit  de  là  que  ,  i  °.  la  prt 

eiX,  R:=:~nfnn' ;  2°.  le  centre  de  pression  est  visiblenipnt 
sur  lu  ligne  verticale  qui  passe  par  le  milieu  de  la  base  m; 
5"-  en  prenant  pour  élément  a'  un  rectangle  horisonlal 
qui  ait  dz'  pour  ta  hauteur,  et  m  pour  sa  base,  on  a 
<i'=:wit/3' :  ainsi  S.a'z"  ^=  S. Tne"^àz' =  \mx".  Oi  \n 
limites  sont  i'i^oel*'=n;  celte  inlégrale  devient  doue 
5  mri^  :  ainsi  on  a  pour  >reofoaccment  du  centre  de  pres- 

Nous  allons  exposer  la  théorie  de  l'équilibre  Jes  corp» 
flottaos ,  après  quoi  nous  traiterons  de»  pressions  cïer«èe» 
fur  les  surfaces  courbes  des  vases. 

II.     Conditions  d'équilibre  des  corps  fioUans  ;  pressions 
exercées  sur  les  parois  courbes. 

3$2.  ELxaminons  main  tenant  ce  qui  arrivelorsqu'un  corps 
flotte  sur  un  fluide  pesant.  Prenon»  sur  la  surface  un  élément 
a;  la  pression  normale  qu'il  éprouve  estDgaz=  vaz ,  ..). 
Cette  pression  infiniment  petite  ne  doit  point  être  intégrée 
^ns  l'étendue  du  corps  ,  puisque  les  pressions  n'étant  pas 
parallèles ,  ne  doivent  point  avoir  leur  résùltaute  £gale  à 
leur  somme.  11  faut  donc  avant  tout  décomposer  cette 
pression  en  trois  autres  parallèles  à  trois  axes  rectangu- 
Iftiresj  puis  ensuite  procéder  à  l'intégration.  Or  la  normale 
«Et  perpendiculaire  au  plan  tangent ,  et  l'axe  des  a  l'est 
a)x  plan  xjr;  donc  ces  droites  font  entre  dlet  te  m^e 
angle  que  ces  plans  1  ainsi  pour  obtenir  la  composante' 
parallèle  aux  «  d«  la  pression  élémentaire ,  il  faut  mul- 
tiplier *az  par  le  cosinus  de  l'angle  que  forme  le  plan 
tangent  avec  le  plan  xy  ;  or  le  produit  de  a  par  ce 
cosinus  n'«st  autre  chose  que  la  projection  de  a  sur  ce 


E(ÎUILIBEB  »«»  COUPS   fXOTTANS.  /^ÙJ 

^an  :  la  màme  chose  ayant  lieu  pour  les  amcs  des  x  et 
des.  j*  OD  conclut  qae  Us  composantes  de  la  pression 
élémenidîre  paràUèles  à'  chaque  axe  y  soni  les  produits 
dewZy  par  la  projection  de  Pélément  sur  le  plan  coordonné 
qui  esi  perpendiculaire  à  cet  axe. 

Cela  posé  y  concevons  le  prisme  parallèle  aux  x  et  dont 
Pëlesnent  a  est  la  basé;  c'est  le  prisme  projetta]pt  cet 
élément  sur  le  plan  jrz.  Les  plans  de  ses  faces  déter- 
miaeront  sur  le  corps  plongé  un  autre  élément,  opposé 
k  celui  qu'on  considère  ;  et  qui  ayant  même  z  et  même 
projection  sur  le  plan  jrz  éprouvera  aussi  une  même 
pression  parallèle  aux  x  y  quoique  dirigée  en  sens  con^- 
traire  de  la  preraik-e^  et  comme  on  peut  en  dire  autant 
de  tous  les  éléniens  de  la  surface,  il  en  résulte  que  les 
pressions  parallèles  aux  x  s'entredétrnisent.  U  est  visible 
que  la  même  chose  a  Heu  daps  le  sens  des  j*;  donc  toutes 
les  pressions  que  le  fluide  exerce  sur  chaque  section  hori^ 
sontale  du  corps  plongé  se  détruisent  mutuellement 

Yenons-en  aux  pressions  verticales.  ;  concevons  de  niême 
le  prisme  promettant  l'élément  a  sur  le  plan  jr^,  et  dé-^ 
signons  par  «  cette  projection  qui  sert  de  base  au  prisilie  • 
wzit  sera  la  pression  élémentaire  dans  le  'sens  des'z}  elle 
est  égale  au  poids  d'un  filet  de  fiuide  ,  d'un  volume  égal 
a  celui  du  prisme  dont  nous  venons  de  parler.  Pfojéttons 
)a  partie  plongée  du  corps  sur  le  plan  des  Xff  qui  Mt 
la  surface  du  fluide  :  la  cylindre  projettant  aura  poitr 
base  cette  projection  ^  il  embrassera  le  corps  et  le  tou^ 
chera  suivant  une  courbe  :  n'ayons  d'abord  égard  qu'aux 
pressions  éprouvées  par  les  élëméns  situés  à  la  partie 
inférieure  de  cette  courbe.  Elles  forment  visiblement  une 
série  de  forées  verticales ,  dirigées  de  bas  en  haut>  cha^ 
cnne  d'elles  est  égale  au  poids  du  prisme  de  fluide  dont 
9ons  venons  de  parler.  Mais  une  partie  de  ces  precsions 


celles  qui  sonl  exercées  sur  les  èlcmeu 
placés  au-dessus  de  la  cotirbe ,  car  elles  agissent  en  sem 
contraire:  si  même  le  corps  ^loit  enticreiuent  plonge, 
il  faudroit  les  (Umînuer  toutes  du  poids  du  (iiet  de  Qaidt 
supérieur.  De  sorte  que  la  force  qui  en  résultera  sera 
simplement  la  différence  des  poids  de  ces  filets  de  fluide. 
Il  résulte  de  la  qu'on  peut  ftire  abstraction  des  pressions 
ffui    ont  lieu   à  la    parlie    supérieure    du    corps ,    pourvu 


qu-o 


:elles 


I    la 


B   ég..l. 


L     pO. 


tts  d'un 


de  fluide  d'ui 


plongé  qui  répond  au- 
nsidère.  Donc  ,  un  corps 
'a/LS  un  jhiide  pesant  et 
nions  dont  la  résultante 
t  haut  et  égale  au  poids 
!  cette  résultante  passe 


volume  égal  au  lilet  du 
dessus  de  l'élémcot  qu'on  coi 
plongé  en  tout  ou  en  partie  d 
en  équilibre  ,  éprouve  des  près 
est  verticale ,  dirigée  de  bas  ei 
du  fluide  çue  le  corps  dèplac 
-d'ailleurs  par  le  centre  de  gravité  du  fluide  déplacé  , 
car  toutes  les  composantes  étant  assimilées  a  des  poids,  elle 
tloil  passer  par  le  centre  de  gravité  de  leur  sjstéme  (*,■ 
{  ^ti.iPoisson  m'a  .coniniuniqaê  celle  dcmonslralion.  ) 
'.283.  Nous  avons  jusqnliçi  fait  ajî^raction  du  pouls  du 
,4^rps_:  or  ce  poids  est, fine  force.. verliç^e  dirigée  de  haut 
it^^b^s  y  et  agissant  au  ceaire  de  gravité,  Aa  corps  :  cette 
Jlprçe-  ;^t,  donc  opposée  à  la  poussée  d"  fluide.    Donc  , 


,  l^I  O"  P*"*  B'  rendre  raison  à  priori  de  crUe  cuUS^quencc  i 
ea  ([fet,  supposons  ijii'aiie  force  ngîssant  stir  un  corps  non  pesant 
le  retienne  en  équilibre  plongé  en  tout  ou  en  paniédaai  un  Aùide 
pesaBt.  Si  on  reinpbcé  la  portion  pbngée  du  corps  par  un 
■cftoent  égql  &t  fluide  devenu  solide,  l'équilibre  lubsister»  vi- 
siblement sans  le  secours  .d'aucune  force.  Donc  le  poids  de  ce 
solide  «ers  égal  ï  la  preuion  dn  fluide,  c'est-ï-dire  A  la  force 
i(^  leticnt  le  corps  pioDgé  en  éifuilibre.  Donc,  etc. 


Equilibra  bbs  corps  flottàns.  4^ 

le  poids  if  un  corps  plongé  en  tout  ou  en  partie  dans 
un  fluide  j  est  diminué  du  poids  ctun  volume  de  fluide 
égal  à  celui  qu^il  déplace. 

Quand  il  arrive  que  le  poids  du  corps  est  égal  à  celai 
4u  fluide  déplacé  y  les  deux  forces  ne  s'entredétruisent 
que  lorsqu'elles  sont  directement  opposées  (  lo)  ^  ce  qui 
exige  que  les  centres  de  gravité  du  corps  et  du  fluide 
déplacé  soient  dans  1^  même  verticale.  Ainsi  pour  qu'un 
corps  pesant  puisse  flotter  en  équilibre  sur  un  fluide  , 
il  faut  deux  conditions  ^  i*.  que  le  poids  entier  du 
corps  soit  égal  au  poids  du  volume  de  fluide  déplacé  ; 
et  a"*,  que  la  droite  qui  passe  par  les  centres  de  gravité 
du  corps  et  du  fluide  déplacé  soit  verticale. 

284*  Soient  n  et  sr  les  pesanteurs  spécifiques  respec- 
tives d'un  corps  et  d'un  fluide }    F  le  volume  du  corps  ^ 

V  celui  du  fluide  qu'il  déplace^  vv  sera  le  poids  du 
fluide  déplacé  ^  et  représentera  la  pression  totale  exercée 
sur  le  corps  :  Il  F  sera  le  poids  du  corps  y  et  il  se  pré- 
sente ici  trois  cas. 

1°.  Si  l'équilibre  subsiste  y  alors  on  a 

^f  =  ny. (•). 

Cette  équation  exprime  l'une  des  deux  conditions  néces- 
saires pour  que  l'équilibre  ait  lieu.  On  remarque  que  si 
le  corps  est  entièrement  plongé  dans  le  fluide  y  couime 

V  zzz  Fyil  faut  alors  que  sr  =  jj ,  c'est-à-dire  que  le  corps 
<loit  avoir  la  même  pesanteur  spécifique  que  le  fluide  : 
dans  ce  cas  l'équilibre  a  lieu  ;  quelle  que  soit  la  position 
du  corps  dans  le  fluide  y  car  le  centre  de  gravité  du  corps 
est  le  même  que  celui  du  fluide  déplacé.  La  réciproque 
9St  vraie. 

2*».  Si  on  a  îtv  >n  f')  alors  le  corps  doit  remonter ^  car 
la  poussice  da  fluide  surpasse  le  poids  du  corps  de  »-f — n  K 


*7" 


V.  tmlm  «  M  a  ^<«^k        j  I   '       I   r  III  ih  , 


t  Airf  r^aqikar  n  par 


■  iiyàlwiiiwhn 


I  ccvp 


<xtte  Jfpn  wioM  :  tfrA  ce  ^  I  niliyi  p— 'tfiBÎ  ont 
ai^dlle  wnliiilr  de  cîr«,  fetf  ialler  ht  Toh,  yoiyt  pU> 
poaatc  i{oe  ee  flv4e.  Vitm  le  ■«■wie  de  H.  Lfhnfc 

sffS.  Dam  b»:t  ex  ^  TÎevt  d'ém  dii  Miai  vnMt  fait 
■Ininctkn  da  paidf  de  FatiBoifibcn  :  laak  l«s  ràHlIaU 
b'cb  toEi  pu  BMÎBf  eiactt-  Cor  il  eft  &c3e  de  ttwttf  CK 


ËQUILIBRB   DES   CORPS   rLOTTAlfS.  4ll 

parttculiier  la  pression  qa'il  produit.  £n  faisant  de  nouveau 
tous  les  raisonnemens  développés  dans  les  articles  pré->- 
ccdens  ;  inais  remplaçant  wz  par  la  pression  constante  P, 
il  sçra  aisé  d'en  conclure  que  lorsqu'un  eorps  pesant  est 
plongé  dans  un  fluide  an  équilibre  y  si  on  applique  une 
force  qui  agisse  sur  le  fluide  à  l'aide  âun  piston  y 
f  équilibre  ne  sera  mdlemeni  altéré*  Consultea  le  n^.  269 
qui  rend  bien  raison  de  ce  théorème. 

286»  Noos  avons  vu  (285)  qu'il   faut  essentiellement 
deux  conditions  pour  qu'un  corps  puisse  flotter  en  équi- 
libre sur  un  fluide  :  or ,  par  la  propriété  des  centres  de 
gravité  (55  et  5:^^  4*.  )  ;  la  droite  qai  joint  les  centres  de 
gravité  d'un  corps  et  d'un  segment  formé  par  un  plan  quel- 
conque ;  doit  aussi  passer  par  celui  de  l'autre  segment  : 
dans  le  ca^  que   nous  traitons  ici^  le  plan  coupant   est 
la  surface  même  du  fluide  y  qu'on  nomme  plan  de  flot-- 
faisonji  on  en   conclut   que   pour  qu'un   corps  soit  en 
équilibre   sur  un  fluide  spécitiquement  plus   pesant  que 
lui^  il  faut  que  la  droite  qui  passe  par  les  centres  de  gravité 
du  corps  et  d'un  des  segmens  formés  par  le  plan  de  flot- 
taison y  soit  perpendiculaire  à  ce  plan.  Ainsi  le  problème 
général    de   la  recherche   des    positions    d'équilibre  d'un 
corps  homogène  est  réduit  au  suivant  :  couper  par  un 
plan  y  un  corps  de  figure  donnée  y  'de   manière  que  la 
ligne  droite  qui  passe  par  le  centre  de  gravité  du  corps 
et  par  celui  de  l'un  des  segmens  y  soit  perpendiculaire 
au  plan   coupant;  et  de  plus  que   le  volume  de  l'un 
des  segmens  y    soit   à   celui  du  corps  entier   dans    un 
rapport  donné.  Ce  rapport  est  assigné  par  l'équation  (1). 
jEn  mettant  donc  cette  double  condition  en  équation  ;  les 
positions  d'équilibre'  d'un  corps  seront    données  par  des 
racines  qui   en  indiquent  le  nombre.   Nous   ne  pouvons 
nous  occuper  ici  de  la  résolution  de  ce  problème  qui  ne 


4t9  HroncMÏATiQut. 

dcpend  que.  de  la  géométrie.    Consaltec   la   Jflécaniqut 

philosophique  ,  pag.  a/|4.  . 

287.   Il  résulte  de  ce  qu'on  vient  de  dîrp,  que  les  prismci    ! 
et  les  cylindres  droits,  homogènes  et  à  base  quelconque,  ] 
ont  deuï   positions    dëquilibre    manirestes ,   en  disposant   ' 
verticalement  la  ligne  génératrice  et  en  plongeant  tout^- 
tour  chacune  des  bases  dans  le  fluide.  La  luéme  chose  a 
lieu  aussi  pour  les  solides  de  révolution  et  pour  le»  corps 
symétriques  ,  par  rapport  à  une  ligne ,  en  plaçant  cette 
ligne  verticalement. 

De  plus  les  prismes  et  cjiindres  droits,  et  en  général 
tous  les  corps  susceptibles  d'être  coupés  par  un  plan  en 
deux  segiuens  symétriques  ,  ont  des  positions  d'équilibre 
dans  lesquelles  ce  plan  est  vertical.  Pour  trouver  ces  po- 
sitions ,  il  suffit  de  considérer  seulement  celles  de  l'aire 
résultant  de  l 'intersection  du  corps  par  ce  plan. 
'«  2B8.  Un  exemple  simple  suffira  pour  (aire  voir  celte 
dernière  proposition  ,  et  comment  différentes  positions 
d'équilibre  d'un  corps  sont  données  par  une  tnitae  équa- 
tion. Supposons  que  le  solide  ett  un  prisme  triangulaire 
'homogène  et  droit,  dont  les  arêtes  sont  horûontalM  el 
dont  la  base  est  le  triangle  SEG  :  XX'  est  le  plan  de 
flottaison-  Il  faut  considérer  deux  cas;  i".  celui  (fig.izg) 
où  les  bases  de  ce  prisme  ont  nn  angle  S  plongé  dans  le 
fluide,  et  deux  angles  G  ,  E  hors  de  ce  fluide  j  a",  le  cas 
inverse  (fig.  t5o].  Nous  allons  traiter  à-Ia-fois  ces  deux 
circonstances ,  parce  que  le  c^cul  en  est  le  mfaie. 

Pour  connoître  la  ligne  MN  suivant  laquelle  le  plan 
XiX.'  coupe  le  triangle ,  il  faut  trouver  SM'=  x ,  et 
SN=y.  Soit  P  le  milieu  de  EG%  les  données  sont 
SE  =  a,    SG  =  b,   SP  =  k,    PSE  =  m,    GSP  —  n. 

Désignons  par  r  le  rapport  — de  la  pesanteur  spécifique  n 


Equilibre  dbs  corps  ylottans.  4i5 

ûu  corps  a  celle  w  du  fluide  ;  l'ëquation  (I)  donne 

Dans  le  premier  cas  (  fig.  12g)  •  •  •  r*SEG  =  SMN. 
Dans  le  second  cas  (  fîg.  i5o  )  ...  r^SEG  z=z  GEMN* 

Or  les  deux  triangles  SMN,  SE  G  ont  l'angle  S  commun^ 
et  on  a  (prop.  24  9  liv.  3^  Géom.  de  Legendre.;  et  n".  64  > 
Céom,  de  Lacroix  ) 

SMN  _   SM  y  SN  _    xy 
SEG  "^    SG  X  SE     ~    ab    ^ 

SEG  — SMN  _   GNME  _  ah  —  xy^ 
"^  SEG  ~     SEG     '^        ah       ' 

• 

on  a  donc  a-^  =  rab ,  ou  ^tt*  =  a^  (  i  —  r) (1). 

H  s'agit  maintenant  de  satisfaire  à  la  seconde  condition 
(283)  ;  c'est-à-dire  que  les  centres  de  gravité  de  SEG  et 
du  fluide  déplacé  {SMN y  fig.  129,  ou  GNMEyûg.  i3u) 
soient  dans  la  même  verticale.  Si  on  prend  PRz=.  ^  PS  y 
R  sera  (58)  le  centre  de  gravité  du  triangle  «^^G^  de 
même  si  Q  est  le  milieu  de  MN y  et  si  ÇO=  5  QS  ,  O 
sera  le  centre  d^  gravité  du  triangle  SMN  :  la  droite  RO^ 
ou  sa  parallèle  PQy  doit  donc  être  verticale  dans  le  cas 
d'équilibre  ;  c'est-à-dire  que  Pil/=PiV  exprimera  cette 
condition.  Abaissons  du  point  P  les  perpendiculaires  PA 
et    PD,  sur  SE  et  SG.  On  a 

Pji  =  k  sin  m  ,  PD  =  Ar  sin  « 
SA  =  k  cos  m  ,  SD  =  k  cos  n. 

Donc  AMzrz  X  -^k  cos  m  ,  et  ND'szk  cos  /i— 7*  : 
or  P^  =  PN,  donne  ^/^*  +  AM-  =  PZ>-  +  iV/>'- 
£n  substituant  et  réduisant  on  a 

a:»  —  2  Ax  cos  m  =^*  '^^kj  cos  n. 


k 


::!■■■- 


4t4  Hii>Kosr*fR;uL 

Poor  traavcr  Ui  poniions  d'équilibre  ,  il  £uil  imt 
élitniDer  x  t\  y  cnir«  cette  équation  et  i'uB«  des  àtat 
valeurs  a',  d):  ti  comme  U  seconde  se  dédnit  de  la 
pMmièfe  en  y  changeant  r  en  i  —  r,  il  est  ai»  de  ne 
^re  qu'âne  élimination  ;  ce  qui  donne  ,  suivant  qu'il 
s'agit  de  la  fig.  lag  ou  de  la  fig.  i5o, 

**-aft3:^co!m-H2aèArx.coï«-r*fl'A*:=o 

Ces  équations  sont  du  quatrième  degré  el  ont  an  moûu 
deux  racines  réelles,  à  cause  du  dernier  lenne  qui  est 
négatif  i -^ig-  «le  I^crois,  n".  219.  s  mais  ces  tacine» 
peuvent  iue  louics  les  quatre  réelles,  et  alor^  la  dispo- 
sitinndes  signes  indique  (  Comp-ifu/g,  de  I^crûii,  p.  91), 
par  la  r^Ie  de  Descartes,  que  trais  des  racines  sont  posi- 
Ures,  et  que  ta  qnalriiiiie  est  négative.  Celte  dernière 
radoe  est  inutile  au  cas  présent;  car  la  pesantenr  n'agissant  | 
jamais  que  de  haut  ta  bas,  la  droiii  5,1/  ne  peut  étra 
placée  que  d'un  sent  cAté  par  rapport  au  point  S;  de 
sorte  qu'on  ne  peut  porter  la  valeur  de  j  sur  le  pro- 
longement de  JUS.  It  y  aura  donc  une  ou  trois  positions 
d'équilibre  qui  seront  données  par  les  radoes  positives 
des  équations  (3)  :  les  valeurs  correspondantes  desj'  seront 
données  par  les  équations  (1).  On  devra  cependant  avoir 
x<a,  etj-<6. 

389.  Appliquons  cet  raisonnemens  an  triai^le  isocèle , 
«fin  de  pouvoir  pousser  le  calcul  jusqu'au  bout  :  ne  con- 
aiderons  que  le  cas  où  il  n'y  a  qu'un  seul  angle  dn 
Aîangle  plongé  dans  le  âuide.  On  a  donc  ici  m=n  t 
A  d  ^  6  :  ce  qui  donne 

3r^;=a'r,  et  x*— aitjt^cof  m+sa'rAxcocm — r*a*=o. 


ËQtJILIBlUt  l»Bt  CM^PS   VLOTTArCS.  4^5 

Les  faeteunda  second  degré  de  cette  dernière  ëtani 
x*  -^a*rz=:o.  et  «•— aArxcos  m  +  a*r  =  o,  on  en 
coBclut  j  en  ne  prenant  que  les  racines  positives  ^ 

x:=ia'^r,  et  a:=:  A: cos m ±  |/( A*  ces» m— a*r)j 
d*(nijr  =  Xj        et  j^=AcosF»qpv/(**^^^'''**^*'')* 

La  première  racine  indique  qu'il  y  a  une  position  d'équi- 
libre en  supposant  EG  horisontal.  Cela  s'applique  aussi  au 
cas  de  la  fig.  i5o«  Les  autres  positions  sont  données  par 
les  deux  autres  racines ,  mais  elles  doivent  satisfaire  à  des 
•onditious  remarquables  :  car  3t  et  jr  doivent  être  <<  tf  > 
ou  a  —  k  cos  m  >  zh  ^/(Ab?  cos*'  m  —  a*r)  j  en  carrant  et 
réduisant^  et  observant  de  plus  que  chaque  radical  doit 
être  réel ,  on  obtient  pour  r  les  deux  limites 

2lA  cos  m  —  a           ^    h  cos*  m 
r> ,    r< 


On  aura  de  même  les  limites  pour  le  second  cas  ;  en  chan-  rîf.  i3«. 
I^eant  r  en  i — r;  elles  sont 

2  a  — >  2  A  cos  m  ^  à'^^k*  cos*  m 

r  < •  et  r  >  » 

Ces  conditions  doivent  être  satisfaites  pour  qu'il  y  ait 
trois  positions  d'équilibre  :  sans  cela  y  il  n'j  auroit  que  celle 
qui  est  donnée  par  l'équation  x  =jr  =  a  ^/r. 

Lorsque  le  triangle  est  équilatéral ,  m  est  le  tiers  d'un 

angle  droit;   d'oii  on  tire  cos  m  =  y/  1  •  ^°S' 

/c=zSEx  cosm:=ia.\/  l',  donc  A  cosm=  |a  :  donc 
les  limites  ci-dessus  deviennent 

premier  cas  r>|  et  r<-^j  second  cas  r<î  et  r>^ 

290.  lorsqu'un  corps  flottant  est  en  équilibre,  nous 


t» 


llmmo^Tt  TTçct. 


■iaiw  iqw  ■  ea  hn  ajoDte  nn  poidi  P^  i  daiC  c 
<lini  Sr  Aaiée  :  soppoMiu  qne  les  lij>li  ^  gravité  4b  ' 
e  déplace  mUnt  4^b  ^ae  ^rfae  rert^ 
s  de  déUnaiaa- 1»  ^^tovr  s  de  l'en- 
I.  Soit  A'  l'aire  d«  la  aectiem  ém.  cirps  pv  le  pba 
^  Ailkâaa  dan  b  leconde  poKioM  fiiftiliii  .  e'ofc-  I 
*  At  W9i|M  Veaùmxattat  est  cpôr.  B  ot  cinr  ipt  S 
Wtt  — t  fciliiJa  de  =  domée  |V  h  fanae  Ai  corps  cl i^ 
r^irti»  MT  le  inde  dm  le  prcMo-  ét^^étf^hn. 
K^  CM  b  ttiadK  âMeaUn  da  oor^;  de  lork  tpe 
/XA  t9lk««lHM4ebyHlic^c»(y«^s*c9leafaMe(e, 
tipâi  xc^o:4dqc  le  poâcb  da 
:  pir  cet  ffawci^Kt  ert  mJKét ,  a  4«nt 
b  I f— fi  nitcili^er  d>  bide.  D 
faUl  doit  Mr  jgal  à  eel  P  qu'on  a  aioatê 


/>=./&&.. 


•('^ 


Foir  blK  imgt  d«  celte  fonnole,  on  j  scbstitncn  pour 

K  iA  valeur  en  fonction  de  s,  et  PinlKrale  étant  prise 
depai*  z-:=  o  ^  oa  en  déduira  z ,  ou  la  hauteur  de  l'en' 
foncetuenl. 

Cette  théorie  l'appliqne  principalement  aux  corps  s^ymé- 
trique»  par  rapport  à  un  aie  vertical  (287; ,  teb  que  les 
corpi  d«  révotulion  ;  parce  que  les  centres  de  gravité  du 
corps  et  du  fluide  déplacé  sont  alors  sur  cet  axe.  L'équa- 
tion de  la  courbe  gi^nératrice  du  corps  de  révolution  est 
y=ifi\  en  juppojant  (jue  l'origine  est  au  point  où  l'axe 
est  coupé  par  le  plan  de  flottaison  primitif  :  K  est  l'aire 
d*nn  cercle  dont  l'ordonnée  jr  est  le  rayon }  ainsi  A!=^C7", 
(c  étant  le  rapport  du  diamètre  à  la  circonférence)  l'i'qua-, 
tion  'i)  devient  donc 


Equilib.1^1^  P«s  corps  flottans.  -4^7 

9âr.fXeDil^i^M^,ai9.p«raI>oloïde  de  révolutioii;  d'abord 
placé  dans  une  position  d'équilibre  y  Taxe  étant  vertical  ^ 
xiR  «  pdop  Véqvr»tiAn  de  la  parabole  j-»  =  m  (a-f- z), 
in  étant  le  paramètre  et  a  désignant  la  distance  du  som- 
-met  au;plan  de.flpltaisoD-  Ainsi  an  a  P=r^»^c?w  (^+-2)"+  Cy 
«•  comme  PirrQ^^onfte  z^=pOj  oxx  a  Czzz-^^^cma"^'^ 

<lonc  enfin  a  ==  —  a  ih  1/  < h  <**  J«  Le  sifinie  in- 

■■■'  ,  -.-:   :.  ..-:.!      y      Ucm  J  ° 

^FériQorVîSe  «rapporte  ^u  ças..où.on  auroit  au  contraire  âte 
4e'  poids  jP.  },    . 

291.  La  ibnnutè  (i/^pieut  encore  s'appliquef.au^  pri^9)tf 
'et  cylindres  droits  à  baSe  quelconque  ,  dans  les  cas  où' la 
génératrice  est  'horîsontalé"  bu  verticale.  En  effet  y  dans  le 
iprfimier  cas:,  il  suffit  d'avoir  égard  ^  la  base  qui  est  une 
ico^rke  plane  dofli,*  l'équation  est  donnée  ;  alors  K  est  sini- 
îplemcnt  l'aire  du  rectangie  qui  résulte  .d^  l'intersection  de  ce 
xjlindre  par  le  plan  de  flottaison  4«)n^^. le  second  état  d'é- 
x{iiiUbre*  Si  au  contraire  I9  générs^trioe  est  verticale^  K  est 
ifaire  constante  de  la  ba^^  et  on  a  sii^plemeiit-  P-=z%Kzj 
•./; Pr    ■■.    .       .  '    '.' 


ou  z  =^ 


«xi  :|i       •      ; 

■  •    ».        : .    ■ 

Ainsi  pour  le  cjy4iridte  ^roit  à  'base  .|Kiràbolique  ^  dont  la 
génératrice  est  horisontale  et  h  la  longueur , :qbi  a: encore 
ici^'  =  m  {a-irz)  ;  d'où  pn  voit  que^p^ 2/2  \/rn,  1/  (a  -j-  z)y 
<:c  qui  donne  pour  la  formule  (/),....  1  /....-....  ^ ...  ; .*. 

P  =  |ir/iV/'w  ((a-+.z)*  — a^}  ,    d'où 'irfiùdra    dédirirc 

Ji^  vftl^\ir  de  z.  Si  au  contraire  ce  cylin^e  a,  sa  génératrice 

yerticale^^  comme  on  sait  que  la  base  est  un  segment  pard- 

lîôliquc  dont  l'aire  est  A'  =  |  hk  ,  h  et  A:  étant  Tes  deux  plAs 

'grandes  dimensions'  de  ce  segment ,  on  a  -a  :==  •-—***-—  * 

O»  oW.rV€  qui  4ÔUJ  ce  qui  vieJlf .  4]étre  dit  s'applique 

1  27 


r 


4 1^  llTOHOSTATlQire. 

i^alemcnf  au  cas  où  l'un  Atcroit  an  contraire  im  pàttP,  1 

•a  cori»  floltatii. 

•  093.  Evaluons  niaînlenant  tes  pressions  exercées  surli 
paroi  courliL'  d'un  vase. 

Oii'a  vu  (!>8i;  qu'on  doit  décomposer  la  pression  clé- 
intaUire  pnrallèlemËnl  aux  aies  des  z  ^  ^  et  z-,  et  que  lei 
compoianlcs  sont  les  produits  de  «  z  par  les  projections  de 
l'f^li'ment  de  turface  sur  les  plans  des  ay ,  xz  et^E ,  pro- 
jections qui  sont  respectivement  tes  rectangles  dîfférenti«ls 
dxdj-jdxdz  et  dydz.  Les  composantes  de  la  pression  ële- 
iiienuire  suivant  ia  z,  Ua  x  ^'.'^  '  sont  donc 

wcdx^  ,     rsdxdx  f     ir  sdydz. 

Cm  trois  valcurt  étant  intégrées  dans  les  linutes  que  pres- 
crit l'étendue  de  la  surface  qu'on  considère  ,  donneront 
les  ri'sultRnles  des  pressions  parallèles  aus  axes,  éprouvées 
par  cette  partie  de  la  surface  plongée.  Quant  au#  truis 
points  oii  ces  résultantes  pressent  la  surface,  il  faut, 
pour  les  obfcnir,  recourir  au  ihéoréme  des  momens  ou 
«ux  cqualioRS  {Pj ,  voj.-ei.  |>ag.  43 ,  u"'.  55  et  5ô-  Ainsi 
désignons  par  Zet  V  les  coordonnées  du  centre  de  pression 
des  forces  paràlUlfs  aux  x  ,  et  par  R  leur  rcsaltanle, 
nous  obtiendrons 

R  —ffwedj-dt.  RZ=ffmz*dj-âz,  RY^  ff^  jg-dydz. 

De  mfrae  dans  le  sens  desj'  et  des  s  on  a    . 

n'^f/w'dxds,  R'Z'=ff,z*âxdz,  R'X'=JT,zxdxd%. 
R''^/fwzdxdy,  R' ¥'=//.  zydxdr,  h*X»=JJrzxdx4: 

Ou  na  pourra  d'ailleurs  réduire  ces  trois  pressions  à  una 
seule  que  dans  des  cas  particuliers  (47).  Quant  aus  inté- 
graiions,  elles  se  pratiquent  en  suivant  tas  tnémei  principes     1 


^^ 


EqUILlBAS   DES  COKPS   TLOTTÀNS.  4l9 

qae  lorsqu'il  s'agit  d'^aluer  Paire  oa  le.  yolume  d'une 
portion  de  surface  courbe^  car  on  doit  connoitre  l'équation 
de  la  surface  pressée  jet  les  projections  die  ses  limites. 

Si  la  paroi  pressée  est  ui^  p^^i^  vertical^  on  peut  le 
prendre  pour  celui  dés  x'z ,  dont  l'équation  est  j-=  oi 
On  a  donc  R  et  R^  nuls ,  ce  qui  est  d'ailleurs  visible  : 
et  l'intégrale  de  %zdxdz  j  prise  dans  les  limites  conv^ 
pables ,  donnera  la  pression  cherchée  :  or  dxdz  est  Télé-* 
ment  pressé  y  zdxdz  est  son  moment  Relativement  au  plan 
des  xjr ,  ainsi  Jf zdxdz  est  le  z  du  centre  de  gravité  de 
l'aire  pressée  ,  ce  qui  .  reproduit  le  thé^éme  279.  Il  est 
d'ailleurs  aisé  de  voir  que  la  valeur  de  Z'  reviei^  à  celle 
de  la  formule  (ij).  •   , 


t  >  '    • 


m.     De  r  Aréomètre  et  de  la  Balance  hydrostatique. 

.  Il  • 
295.  Comme  la  théorie  des  corps  flottans  exige  la  con- 
naissance des  pesanteurs  spécifiques  des  '  divers  corps ,_ 
tant  solides  que  fluides  ^  nous  allons  nous,  œcuper  des/ 
moyens  propres  à  les  calculer.  La,  pesanteur  spécifique 
est  le  poids  absolu  de  l'unité  de  volume  (276)^)  niais 
connue  nous  n'avons  d'autre  moyen  d'assigner  le  poids 
d'un  corps  que  de  trouver  son  rapport  à  un  poids  pris 
pour  unité  (221)  y  il  est  aisé  de  conclure  qu'il  ne  s'agît 
ici  que.  d'assigner  les  rappcjrts  qui  existent  entre  ItS 
pesanteurs  spécifiques  des  diverses  substances.  Il  faut. donc 
concevoir  qu'on  a  pris  pour  unité  la  pesar^t^ur  'spécifique 
d'une  substance  telle  que  l'eau  ^  et  qu/oU'.veut  Seulement 
Irouver  les  rapports  qui  existent  entre  cette  pesanteur 
spécifique  et  celles  des  autres  substances*]  :$i  -le  corps  est 
liquide  y  on  prendra  un  flacon  dont  on  cherchera  le  poids , 
-vidd ,  plein  d'eau ,  et  enfiti'  rempli  du  fluide  dont  on  veut 
ctbtenii;  lia  pesanteiilr  spécifique  :  soi^nX  a  yh  et  p  ces  poids 


^20  HïDRoaTATiQrB. 

respectifs;  b  —  a  est  celui  cle  l'eau  et  c— «  celni  i<i. 
lioiridc  contenus  danï  1«  flactm  ;  comme  les  volumes  stml 
Kgauï,  le  rapport  de»   pesanlturs   spécifique*  «l  égtl  i 

celui  de  CCS  poids,  ou  z= , 

S'il  s'agit  (l'un  corps'  solide^  après  avoir  mis  le  flacon 
plein  (l'eau  dans  un  des  plateaux  de  li^  ba'aiicp ,  et  produit 
l'é(iuilibre  ,  on  placera  le  corps  à  côlé  du  ^acon  ,  et  on 
ajoutera  de  l'astre  porl  le  poids  nécessaire  pour  rétablir 
l'ôpiilibre  ;  ce  poids  sera  celui  du  cc^ps.  InIroduisanI 
ensuite  le  corps  dans  le  flacon  toujours  plein  d'eau,  et 
rfplaçool  dans  le  mCme  plateau  «^u'auparavanl ,  on  sera 
obligé  d'ajouter  un  nouveau  poids  au  fiacon  pour  fdire 
L'J^uibbre  ;  ce  sera  le  poids  de  l'eau  ([ui  a  été  chassée  du 
flacon  lorMfu'on  y  a  mis  le  corps  :  il  ne  reste  plus  qu'à 
diviser  ces  deux  poids  l'un  par  l'autre ,  car  le  rapport 
cherché  est  le  quotient  du  poîd»  du  corps  divisé  par  le 
poids  d'-un  volume  d'eau  égal  à.  celui  de  ce  m^Hic  <;w|u. 

Cette  méthode  est  due  à  Klaprotb.-Il  est  inutile  d«  diec 
(pi'il  faut  eavironner  ces  expérjences  de  toutes  serte*  ds 
précau^ODi,  pour  pouvoir  compter  sur  l'exactilnde  dci 
résuhatB.  Ainsi  on  emploiera  une  balance  trù-exacle, 
«t  le  procédé  inditpié  pag.  t54-  On  se  servira  d'eau  dis- 
lillée;  OB  opérera  à  une  tenipéralure  délenninée,  puisse 

la'  cbalenr  lyt   varier  le  volume  des  ciarpa Voyei. 

fe'  Physique  de  Fîccher ,  pag.  it^.  On  prend  ordina»- 
rMnent  18"  du  thermocnètre  cenfifrade,  pM-ce  qu'il  est 
plus  facile  de  se  procurer  cette  température.  Aa  reste, 
il  est  aisé  de  ran^emer  les  expériencci  il  uns  tampérature 
âétertuinéei;  cap  chaque  degré  donne  à-^ei»-près  k  mâve 
augmentation  de  volume.  Il  résulte  mène  des  expénençcs 
de  Gay-Lussac,  que  les  gia.  bien  deïsédiéa  offre n iri- 
goureusemoat  cette   conséquence.    P(iW    lOo,  d^rés  âa 


/ 


AnÉOMiTRE;    POIDS   SPKCIFIQITE.  4^1 

température,  l'eau  se  dilate  de  o^oSy  j  le  cuivre  de  0,0017 j 
le  fei[  de  o^ooiaSS;  le  mercure  de  0,^00 1 65 ^  Takool  0,087 j 
le  verre  blanc  o,ooo83.  Il  est  facile  d'en  conclure  Taug- 
mentation  qu'éprouve  une  surface  ou  un  solide  :  si  par 
exemple,  un  parallélipîpède^  dpnt  les  arêtes  sont  a,  h  et  c^ 
éprouve ,  pour  chacune ,  une  dilatation  dont  le  rapport 

«st' — '  pour  cha<Jue  degré  j  la  sur&ce  devient  «6+  — - 

s  .  s 

5  abc 
et  le  solide  abc  +  — — -  ^  en  iiég%eaBt  le  carré  et  le 

cube  de  — -• 

s 

C'est  d'après  ces  procédés  et  à  la  température  de  18** 
centigrades ,  ou  d'après  les  principes  qu'on  va  développer, 
qu'on  peut  concevoir  la  formation  de  la  table  de  pesan- 
teurs spécifiques  que  nous  donnons  à  la  fin  de  cet  ouvrage,, 
et  dans  laquelle  la  pesanteur  spécifique  de  Teau  distillée 
a  été  prise  pour  terme  de  comparaison  et*  représentée 
par  1.  De  sorte  que  les  nombres  7,2914  et  i  qu'on  lit 
«Lans  cette  table  à  la  suite  des  mots  Etaïn  et  Eau  y  dé-> 
signent  que  les  poids  de  l'unité  de  volume  ^  ou ,  si  on- 
veut ,.  les  poids  de  deux  volumes  égaux  d'étain  et  d'eau  ,. 
sont  entre  eux  comme  7,2914  est  à  i.  On  voit  de  même 
«pie  ces  poids  pour  le  fer  et  le  cuivre  sont  entre  eux 
comjue  7,8  est  à  8,876 >  ou  coH^me  7800  à  8876. 

On  peut  se  servir  de  cette  table  pour  déterminer  le 
poids  X  d'une  substance  dont  le  volume  est  connu  ^  il  faut 
pour  cela  chercher  le  poids  a  d'un  pareil  volunie  d'eau , 
et  faire  celte  proportion  (dans  laquelle  D  désigne  le  nombre 
xnis  dans  la  table  à  côté  de  la  substauce  dont  il  s'agit) 

-—-  =  —  ;  donc  x=aD.  Ainsi  pour  trouver  le  poids 
D  X 

d'Xiii  volume  déterminé  d'une  substance,  il  faut  multiplier 


u- 


idi  Htobostatiqvi:. 

te  nombre  mis  dam  la  table  à  côté  tie  ceue  substance 
par  le  paidi  iFun  volume  égal  ifeau.  Pour  trouver  ce 
dernier  poids  ,  on  doit  savoir  que  le  centimètre  cute 
d'eau  distillée  pèse  i  grajacie,  et  que  le  décimètre  cube 
jifsr  1  Lilof^ramniF.  Ainsi  en  multipliant  7,2914  i  qui  e^t  la 
(lensitc/^  de  l'étain,  par  i  kilogramme,  on  a  7'-'',29i4  po"' 
le  poids  d'Dn  décimètre  cuhc  il'étain  :  de  sorte  que  noire 
table  n'est  en  eff^-t  que  le  poids  d'un  décinièlre  cube  de 
•rliaque  substance.  Il  peut  élre  utile  des  avoir  que,  d'après 
les  anciennes  masures  ,  le  pied  rul>t  d'eau  distillée  pèse 
^o  livres,  et  le  pouce  cube  5  gros    i5  5  grains. 

394-  1-' Aréomètre  {*)  ou  PciSe-Zi^ucur  est  un  instrument 
destiné  à  faire  cunnoilre  les  rapports  des  pesanteurs  spé- 
cifiques des  fluides  :  sa  forme  est  a-peu-près  arbitraire- 
'■.  Soit  D  tin  globe  de  verre  lesté  inférieuremeat  en  F, 
afin  qu'il  garde  la  position  verticale  (5oi),  et  surmonté 
d'un  luh.;  C/.  Si  oii  plonge  cet  instrument  dans  nn 
fluide,  il  s'y  enfoncera  jusqu'en  un  point  C,  et  le  poids 
entier  de  l'aréomètre  sera  égal  au  poids  du  volume  v  du 
fluide  qu'il  déplace.  Dans  un  autre  fluide ,  l'instrument 
'■'enfonceroit  jusqu'en  E ,  et  déplaceroit  un  volune  v'  ■ 
désignons  par  x  et  «'les  pesanteurs  spécifiques  des  fluides, 
le  poids  de  l'inslniment  sera  donc  égal  d'une  part  àirr, 
et  de  l'autre  à  «'c' ;  ainsi  on  aura  «f'r=«V;  fc'est-»- 
dire  que  les  pesanteur!  spécifiques  de  deux  fluides  sont 
en  raispn  inverse  des  volumes  déplacés.  Si  donc  on 
pouvoit  parvenir  à  connoltre  ces  volumes,  on  aûroit  le 
rapport  des  pesanteurs  spécifiques. 

Dans  les  usages  ordinaires  de  la  vie,  comme  on   n'a 
besoin  que  de  valeurs  grossièrement  approchées ,  et  d'ailleurs 


AliKOHàTMy  POIDS  SPéoiFIQUB.  4^.5 

comme  on  ii^^prouve  qd^un  petit  nombre  de  fluides  y  on 
marque  des  divisions  sur  le  tube  C/)  de  sorte  qu'au 
premier  aspect  on  jVige  des  pesanteurs  spécifiques,  d'après 
les  nombres  de  degrés  de  l'instrument.  Mais  ce  procédé 
n'est  propre  qu'à  indiquer  si  un  fluide  est  plus  ou  moins  ^  . 
dense  qu'un  autre,  et  il  ne  peut  servir  à  mesurer  le  rapn. 
port  de  leurs  densités. 

Il  faudroit  donc  avoir  un  moyen  rigoureux  d'évaluer 
les  volumes  de  fluide  déplacé  dans  les  deux  expériences) 
Fahrenheit  en  a  évité  la  recherche  en  plaçant  une  cupule  B 
à.  la  partie  supérieure  du  tubc^  puis  jr  ajoutant  ou  en 
^tant  des  poids ,  jusqu'à  ce  que  U  surface  de  l'eau  montit 
au  même  point ,  ce  qu'on  appelle  affleurer  /  car  comme 
par  là  les  volumes  déplacés  sont  toujours  les  mêmes, 
p  tl  pdCq  désignant  les  poids  de  l'instrument,  et  y  le 
volume  déplacé  dans  les  deux  épreuves  faites  sur  des  fluides 
dont  w  et  tf'  sont  les  pesanteurs  spécifiques ,  on  a  f;  =  iry 
tt  p  :iz  q  •=  w'if  y  d'oii 

~ 7^ ^•'' 

295.  Niùholson  a  imaginé  d^employcr  à  la  détermina- 
tion des  pesanteurs  spécifiques  des  solides  un  instnunent 
analogue  à  l'aréomètre  de  Fahrenheit  ^  et  qui  mérite  d'être 
connu.  Il  consiste  en  un  tube  MN  de  fer  blanc,  surmonté  fi;.  ;3a. 
d'une  tige  Bb^  faite  d'un  fil  de  laiton,  et  qui  porte  à  son 
extrémité  une  petite  cuvette  A,  Cette  tige  est  marquée  vers 
son  milieu  d'un  trait  b  fait  avec  la  lime.  La  partie  infé- 
rieure tient  suspendu  un  cône  renversé  E^  concave  à 
l'endroit  de  sa  base ,  et  leste  en  dedans  avec  du  plomb. 
Le  poids  de  l'instrument  doit  être  tel ,  que  quand  on 
plonge  celui-ci  dans  l'eau  pour  TabanJonner  ensuite  à 
Itti-méme  y  une  partie  du  tube  surnage.  La  cuvette  A  qui 


Wa 


^1^  HïDBOSTiTlQt'E. 

(rraiiM  h  (ig*  «  «t  ([ai  a  b  foroie  d'une  eatotle  sphëri^i  ' 
y  «Il  »»itjrltie  -m  mm-m  cfuo  petit  tube  de  fer  lilnti  1 
âina  Icilud  irrtie  li;|«  entre  avec  troltrineitt.  Ot)  e 
Bairvtnrot  une  seootulp  cuvelte  plus  larpe  ,  ijuc  l'un  plï»  I 
aik-(lc*sus  de  la  première,  dan*  la  coccaTÎte  de  latjndJ*  I 
eUe  s'engage  "par  sa  convcsilp.  Oo  peut  atosi  eotev»»  1 1 
volonté  celte  seconde  cuvette,  soit  potu*  retir«rplil9  ^\ 
tilement  les  poids  dont  elle  est  chargée ,  comme  nuu*  I»  I 
dtroni  èàv&  un  itislant,  soit  pour  taire  ^iieli|ae  chwg*  I 
ment  dans  leur  Assortis^|pient. 

L'usaiîi-'  de  cet  instrument  mî  fsHle  a  concrvort'.  (H  J 
cfniiineMce  par  placer  dans  la  ciivetle  supérieure  le  potdi  1  1 
nèceuaire  pmir  qiie  le  trait  Ir  ,  inarqii*  sur  U  lifîe , 
tende  à  lleiir  (f  eau  ;  puis  fitant  ce  puids,  on  y  suhs&tatlt  j 
corps  dextinc  pour  l'expérience,  et  on  y  ajouie  le  pâést 
tiifcessairc  pour  produire  l'afllenrenicnt.  Soit  p  le  poids  ^ 
cnrps  dan»  l'«ir;  comme  le  volume  de  fluide  déplacé  t* 
le  même  dans  les  deus  cas  ,  on  k  p  =.  k  , —  /.  On  retire 
l'ardomi-tre  pour  pljcer  le  corps  dans  le  bassin  infé- 
rieur i^'  ;  puis  ayant  replongé  rinslrumenl  ,  on  prmluît 
de  noiivo:iu  raflleiiri'ment  i  l'.iiJc  d'un  poids  m  ,  c'fst- 
4-dire. qu'on  ajoute  au  poids  l  de  la  seconde  expérience 
ht  poids  m  —  /, -qui  est  par  consé<iueat  la  perle  que  le 
«orps  a  finie  de  son  poids  dans  l'eau  ,.  ou  le  poids  du 
Volunie  de  fluide  déplacé.  Il  ne  s'agit  plus  que  de  diviser 
ie  'poids  p  du  corps  par  celui  m  —  ^  du  flaide  déplacé  ; 
de  sorte  que    le    rapport   des    pesanteurs  spécifiqties    est 

A  — /      ■ 

= y  ;  k,  l,  m  élnnl  les  trois  charges  de  l'arêo- 

mèlfe.  On  a  dû  remarquer  que  cet  instrument  donne  le 
poi4a  du  corps  dans  l'air  et  dans  l'eau. 

S'il  s'agit  d«  deux  fluides ,  soient  a  le  poids  cnlisr  de 
l'tnttiumetM  )  (  '^  charge  qui  produit  l'afSeurement  dans 


BaLÀICCE   ^TI>KOSTATtQUE^  i^%i 

le  premier  âiûde^  A  le  poids  qu'il  faut  ajouter  X)u  ôler 
pour  le  produire  dans  le  second  i  a  -^l  et  a  -¥'  l  zïi  X 
sont  lés  poids  de  fluide  déplacé  f  donc  le  riapport  de  leura^ 

'  -n        '      a  +  /dnA            .  .       A 
pesanteurs  spécifiques  est  — ^ ; —  =  i  ±:  —  ^ 

(  Pivysitfw  xiç  Hatjy,  n%  54-  ) 

a'gjB.  Soient  trois  substances  M^NetP^  telle*  qu'uA 
^el  y  de  Talkool  et  de  l'eau ,  il  est  facile  de  trourer  le 
tupport  des  pesanteurs  spécifiques  du  sel  et  de  Teau^ 
lorsqu'on  connoit  celles  qui  existent  entre  Tcau  et  Talkooi 
d'une  part  y  et  le  sel  et  Talkool  de  l'aulre^  Car  soient 
»•,  *',  %^  le!$  pesanteurs  spécifiques  de . -W ,  N  et  P  ^ 
tt  jh^  c  leurs  rapports,  de  sort^  que  »=«»',  ^^=ibitfy 
9f*  -^i^  ùft^  J  en  êHinittant  «r  entre  les  deux  premières ,  on. 
«  il»'  =  6ir",  d'où  b^ac  i  on  devra  employer  ce  pro- 
cédé toutes  les  fois  qu'on  voudra  trouver,  la  pesanteur 
Ipécifique  d'un  cprps  soluble  dans  l'eau. 
'  i»97.  Concevons  une  balance  tris-exacte ,  qui  porte  en 
Ijèàsous  de  Vuxk  de  ses  plateaux  un  crin  auquel  on  puisse 
suspendre  les  corps ,  afin  de  les  peser  dans  Tair  et  dans 
l'eau  :  cet  instrument  a  été  nommé  Balance  hydrostatiqite* 
Après  avoir  mis  ainsi  un  cotps  en  équilibre 'dans  l'air, 
on  fait  en  sorte  qu'il  plonge  dans  Teau  5  comme  il  y 
perd  une  pifftie  de  son  poids  ,  on  est  obligé  d'ajouter 
un  poids^pour  rétablir  l'équilibre  5  ce  poids  /  est  celui 
de  Peau  qu'il  a  déplacée.  Soit  P  le  poids  du  cor^  dans 

P 

l'air  j  — jr   sera  le  rapport  du  poids  du  corps  à  celui  de 

l'eau  déplacée  ,  et  par  conséquent  sera  le  rapport  des  pe^ 
^nteurs^  spécifiques  du  corps  et  du  fluide. 

Puisque  y  est  le  poids  d'un  volume  ^  d'eau  égal  à  celui 

*j.  corçs,   on  a  -^  =    ^,e.  cubt  ^  ^^^^^^  "°'  ^9^^'  ^^^ 


y^    '    ;  le  poids  f,  espirimê  en  luto^ranunci , 

donnera  donc  le  volume  du  curpt  exprimé  en  dÉcimètra 
cubes  ;  ce  qui  oftre  le  mo^'cn  d'avoir  le  volume  d'à 
corps  cjnelcoorjne. 

La  ItaUnce  hj-drosUtique  sert  aossi  à  irotiTer  les  rapporu 
des  pesanteur*  spéHfique»  des  fluidesj  car  soient  /"et  /' 
les  poid»  qu'il  faut,  coniime  ci-dessus  ,  ajouter  a  un  c(>r|U 
pour  qu'il  soit  en  équilibre  dant  deux   tluidesj  ce  sont 

!  les  poids  de  deox  voliunes   é^'aus  des  Suides  ,   -^  «t 

L  ^  /' 

l  donc  le  rapport  cherché.  Ainsi  le  rapport  des  pesanteurt 

spèc)fii|acs  des  fluides  est  le  même  que  celui  des  perles 
H  dfl  poids    que  iail  le    corps   ploi<:r.   Consultez,    sur  celle 

fUlicR  la  Table  des  pesanteun  spécifiques,  par  Brissoo. 
I  *9l^  ^  '^'  ^^  nuînlenant   de  comprendre   conirnent 

ÎAftCHiMiue  put  résoudre  le  problème  de  Hiêron  ,  roi  de 
Syracuse.  Il  s'a^issoit  de  s'assurer  ,  sans  endnniBiager  une 
n  couronne,  si  elle  t-to:t  composée  d'or  pur;  el  dans  le  cas 

où  on  V  aiiroil  mî-Ié  Je  l'argriil,  de  connoïlre  le  rapport 
«ntre  les  parties  constituantes  de  ces  deux  métâni.  Ce  pro- 
blénie  rcrieDi  a  trouver  le  titre  d'un  lingot  composé  d'or 
et  d'argen*. 

Soient  n  et  B'  les  rapports  connus  des  pesanteun 
sp^fiques  de  ces  deui  métaux  à  celle  de  l'eaa}J'etf 
let  poids  du  mélange  dans  le  vide  et  dans  l'eau;  enfin 
J  et  f~x  les  poids  respectifs  des  parties  d'or  et  d'argent 
«onlenues  dans  le  mélange.  Puisque  n  csl  le  quotient  du 
IKÀds  X  de  l'or  divisé  par  le  poids  cle  l'eau  qu'il  déplace, 

,r  f X 

ce  dwnier  poiJs  est  =^  :  de  mime  :—  est  cdtâ 

que  Taisent  déplace.  La  somme  de  ces  quanlitét  est  le 
poids  y  du  volume  d'eau  déplacé  par  le  mdange;  ainsi 


^n 


BaLANCX  HTBROtTATIQVE.  4^^ 

/.=  ^  4:/zif ,  d'où  ,^  "(/-/f). 

f        ^ 

S'il  n'y  avoit  eu  que  de  Tor,  on  aaroit  eu  n=  '—  d'où 

ac  ^=-Jf  il  est  <fonc  aisé  de  s'assurer  si  le  mélange, contient 
de  l'alliage^  ou  s'il  n'est  formé  que  d'or  pur.  Cette  théorie 
est  supposée  dégagée  de  la  pénétration  apparente  que  les 
corps  mélangés  peuvent  éprouver  en  vertu  de  leurs  attrac- 
tions chimiques. 

ly.     Stabiliié  et  osciliaiions  des  corps  Jloiians. 

299.  Lorsqu'un  corps  flottant  est  en  équilibre  y  s'il  est 
dérangé  de  cet  état  par  une  cause  quelconque  ;  telle  qu'une 
i^ipulsion  ,  il  est  important  de.  connoitre  si  cette  circons- 
tance permettra  au  corps  de  revenir  à  sa  première  posi- 
tion ^  ou  le  contraindra  au  contraire  à  s'en  écarter  da- 
vantage :  c'est  ce  que  nous  nous  proposons  d'examiner  ici. 

Dans  la  situation  d'équilibre ^  la  droite  GO  qui  joint  Fig.  i33 
le  centre  de  gravité  G  du  corps  DFE  à  celui  O  du  **  ^^^ 
fluide  déplacé  j4FB  j  est  verticalç  ;  ce  sera  notre  axe  des  z  : 
lorsqu'on  dérange  le  corps,  la  ligne  GO  s'incline,  O 
n'est  plus  le  centre  de  gravité  du  fluide  déplacé  aFb^j 
nous  supposerons  ici  que  le  dérangement,  a  été  trcs-petit, 
ou  que  le  corps  a  tourné  infiniment  peu  ;  nous  prendrons 
le  plan  xf  horisontal  et  passant  en  G  ^  le  plan  de  la  figure 
lui  est  perpendiculaire;  l'axe  des  j^  y  est  projette  en  G, 
Gx  est  l'axe  des  x ,  AB  représente  la  surface  de  flottaisou 
dans  l'état  d'équilibre  ,  ab  est  celle  de  l'état  varié  )  on  est 
supposé  avoir  pris  les  j  parallèles  à  Taxe  de  ces  surfaces , 
qui  sépare  la  partie  BCb  qui  s'est  immergée  ,  de  celle 
JtCa  qui  eït  sortie  du  fluide;  c'est  ce  qu'on  nomme  l'axe 


il   est   projellc   en   Cy  O  ^tat  élre  plxè 


h 


de  IloUnwn  ; 

plus  bas  que  G;  cela  ne  change  rien  aux  coq&iilérationiT 
roire  figure  suppose  que  le  corps  flotlast  n'est  point  hrjmo- 
grve ,  e'  inp  »a  partie  itilërieurefnt  chargée  J'uoc  sobslanct 
ïpicîii' . Dément  plus  [.eianie  (|ue  le  Quide.  Du  reste  ntius  r&- 
gartleronsconiniçnrinimentpetill'aDgIeaC,<  =  l^  CO;': 
de  sofle  qu'on  peut  supposer  l'ooplet  ACa  engendré  par  la 
révolation  de  ta  surface  >fC  autour  de  l'axe  defioltaïscn  C; 
il  en  est  de  niâme  de  liCb  ;  qq'  et  pp'  sont  les  projections 
des  arcs  décrits  par  les  eenires  de  gravité  de  BC  et  AC. 

Nous  ferons  ici  abstraction  du  mouvement  vertical  ttu 
corps,  et  nous  regarderons  aFh  comme  égale  à  jiFB.,  do 
sorte  ((ue  la  partie  ACa  qui  est  sortie  du  Suide  soit  égale 
à  celle  J9C&  qui  s'^  est  plongée.  S'il  n'en  êtoit  pas  ainsi, 
le  poids  du  corps  ne  seioit  pins  égal  à  la  poussée  Ju 
fluide ,  et  ces  deuit  forces  pouvant  être  considérées  comme 
applitjuéeS  en  G  (255),  le  corps  aoroit  un  mouvement 
vertical  :  mais  en  outre  il  tourueroit  autour  du  point  G 
COjnme  s'il  êtoit  fi\e-,  et  comme  ce  dernier  mouvement  a 
lion  indépendamment  du  premier,  et  qu'il  eïl  le  stul  i|ui 
nous  intéresse,  notre  hypothèse  simplifie  les  considérations 
et  ne  change  rien  à  ce  mouvemertt.  En  égalant  les  A- 
prcssions  des  volumes  égaux  ACa,  BCb  qui  sont  [p.  9^) 
AC  X  pp'  et  CB  X  1/7' ,  on  voit  que  comme  les  momens 
des  aires  AC  et  BC  sont  égaux  par  rapport  à  l'aie  C  de 
flottaison ,  le  centre  de  gravité  de  la  surface  Jffi  on  aà 
est  situé  sur  cet  ase.  • 

L'équilibce  n'ayant  plus  lieu,  nous  allons  chercher  Ic' 
mouvement  que  le  corps  devra  prendre.  Soient  GO=a, 
le  volume  AFB^=aFb=^S;   on  a   de    plus  sinl  =  t, 

La  poussée  du  fluide  sur  la  partie  plongée  aFb  est  égale- 
au  poids  du  fluide  déplacé;   cette   fqrce    agit   aa  centre 


StAB.   BT    08CILL.    set   CORPS   FLOTTÀHS.  j(ii 

des  d«iix  ongkts.  Supposons  qae  les  ordonnées  dans  le 
sens  des  jr  de  leurs  centres  de  gravité  respectif  «ont 
positives  :  Pélëoient  i  pris  sur  CB  donne  le  parallélipipède 
élémentaire  l/i  ;  en  désignant  par  r  sa  distance  au  plan  xz^ 
êftr  est  son  nioment;  la  sonune  des  momens  est  donc 
éfifir)y  bien  entendu  que  ce^  divers  momens  doivent 
varier  de  signes  avec  r,  c'est-à-dii-e  suivant  que  lea 
élémens  sont  d'une  part  ou  de  Tautre  du  plan  xz  :  on 
a  donc  êf{ftr)  pour  le  moment  de  BCb,  On  obtiendra 
pour  aCA  une  expression  semblable ^  mais  elle  doit  être 
prise  en  signe  contraire  ,  parce  que  la  poussée  qui  est  rela-- 
tive  à  Bcb  et  oFb  agit  visiblement  en  sens  contraire  du 
poids  de  jiCa  :  cette  expression  négative  ,  passée  d^ns  le 
second  membre^  devient  positive,  et  on  a  Sjr:=i^J\ifry^ 

d'où  on  tire  j-  =  -j- f{  tfr). 

Le  signe  /  déôgne  une  intégration  relative  à  foute 
Té  tendue  de  la  sur&ce  de  flottaison  ,  et  à  une  droite  qui  est 
l'intersection  de  cette  sniۈce  par  le  plan  xz  :  on  doit 
la  regarder  coinme  connue ,  mais  elle  n'est  pas  essen- 
tiellement punitive,  conirue  /{t^^'f  ^^^  parties  doivent  y 
être  prises  avec  lenr  signe ,  suivant  qu'elles  tombent  d'un 
câté  ou  de  l'antre  de  Taxe  dont  il  b'agit.  Ainsi  \y  du 
métacentre  est  pontive,  négative  ou  nulle  avec /*(c/r)« 

3oo.  Si  le  corps  est  coupé  par  le  plan  xz  tn.  deux 
parties  sjrméiriques  ^  5  (  i/r)  est  nul  ;  ^  =  o  et  F  x  du 
centre  de  gravité  est  donnée  par  la  formule  ^p^;. 

Si  par  exemple  û  s'agit  d'uu  cylindre  horisontal  dont 
la  baise  soit  DFE  ^  on  trouve  ,  pour  le  moinert  d'inertie 

du  rectangle  qui  est  la  surface  de  flottaison -, 

f{fU)z=zf(j'*dxdx)  =  -jîr  kli*  j  k  étiint  la  longueur  de 
l'arête  on  la  base^  et  h  la  liRuteur  AB  de  ce  rectz.nf^4:. 
Si  donc  on  désigne  par  B  l'a're  <ie  la  partie  AFB  pion^/'e 


p 

4V1                                ttT«H»»*ATIIÎtlfc.                                           1 

<J.r  U  bnie,  on  a  S=:bkj  b'  =  ^kli\  iToo 

[ 

-— =  (i^*")'=- '"■ 

^d«s™.<-^±.. 

... 

3(.       Lorsque  a^:=o,  les  ceD très  do  gravité  du  corp?  et  Jii 
fluid*  ddpl^çé  se  trouvent  encore   dans    la  même  verli- 
caie  Gty  ainsi  l'équilibce  sutsisle  dans  ta  nouvelle  posi- 
tion du  corps.  Cela  arrive  lorsque  a  étant  négatif,  on  a 

' 

la  poussée  du  fluide  agit  de  bas  en  haut ,  il  est  clair  qa« 
lorsque  x  est  positif,  le  corps  îend  à  reprendre  sa  pre- 
iiiii're  position:  on  dit  alors  que  l'équilibre  est  stable.  Ce  ca 
a  lieu  lorsque  a   est  positif,   ou  lorsque  a  étant  négatif, 

il  arrive  que  a  est  plus  petit  que    — ^.     Enfin    si  a  rrt 

négatif  et  >  — r  >  ^  «*  négatif,  cl'  qui   signifie 

eenlrp  de  .  gravité  de  aFb  est ,  disposé  de  Tautf e  cAlé 
tle  la  vert,icale  Gz  :  il  est  alors  évident  que  la  poussée  da 
fluide  (end  à  écarter  davantage  le  corps  de  sa  position 
primitive,  et  que  l'équilibre   n'est  point  Stable. 

Lf  poussée  du  fluide  rencontre  l'aie  des  x  primitif  en 
nu  point  auquel  Bou^uer  a  donné  le  nom.  de  Méiàcenlre  (*) 
datii  «^,  Traité  du  navire.  Il  suit  de  celte  définition  que 
ie  corps  •fioltani  ost  en  équilibre  stable,  lorsifue  le  mé- 
iacentreest  plus  élevé  que  U  centre  de  ^aviii  du  corps; 
çu'il  manque  au  contraire  de  stabilité  lorsque  le  méta- 


n'M»i,    au-dell;     Kî-rj»,  c 


StAI.   et   0^LI<.    des   COEM   FLOTTÀK8.  4^ 

'^tfitfe  est  plus  bas  que  le  centre  de  gravité  du  corps  $ 

•^t  qù*enfin  îorsàue  ces  deux  points  coïncident  y  le  corps 

f>ersiste  dans  tétat  ùii  on  le  meL  D  est  en  ^et  évident 

que  le  point  g  est  pins  élevé  on  moins  élevé  que  G  y  ou, 

même  coïiv^îde  avec  G,  suivant   que  la   valeur  de  Gn 

4est  positive  y  n^ative  ou  nulle. 

Soi.  Représentons  y  pour  abréger ,  par  A  le  coefficient  Tag.  ti^ 
-de  ê  dans  la  formule  (/e) ,  ou  dans  celle  (a)  ,  en  y  re- 
"gardant  toutefois  le  corps  comme  coupé  sjméfriquement 

b* 
par  le  plan  xz}  ainsi  ji  =  — ^  —  ^  J    donc    Gn  =:  A4 

et   Gg  =  A  :  enfin  y  P  désirant  le  poids  du  corps  ou 
la  poussée  du  âuide  y  PA  ê  sera  le  moment  de  cette  force 
par  rapport  à  l'axe  passant  par  le  centre  de  gravité  G* 
Nous  avons  vu  (A*,  ^44)  S["®   lorsqu'un   corps,   retenu 
par  un  axe  lixe  y  est  soumis  à  l'action  d'une  force  y  l'effet 
de   cette  force  pour  faire   tourner    le   corps    croît  pro- 
portionnellement  à  l'intensité   de  la  puissance    et   à   sjt 
distance  de  l'axe  fixe.  La  puissance  est  ici  la  poussée  du 
fluide }  son  moment  par  rapport  au  centre  de  gravité  est 
PAê  :  il  suit  de  là  que  lorsqu'un    corps    flotte    sur   un  - 
fluide  y  son  poids  P  étant  constant  y  la  vitesse  qu'engendre 
la  poussée  du  fluide  est  d'autant  plus  grande  que  l'incli^ 
naison  0  est  elle-méine  plus  grande,  ainsi  que  A>  Donc 
la  stabilité  d'un  cor^s  flottant  en  équilibre  est  d'autant 
plus  grande  que  son  centre  de  gravité  est  plus  bas  que 
celui  du  fluide  déplacé,  et  que  la  distance  entre  ces  centres 
est  aussi  plus  grande.  Alors  si  le  corps  est  tiré  de  l'état 
de  Péquilibre  ,   la   force  qui  tend  à  le  rétablir  est  elle- 
même  d'autant  plus  grande.  C'est  par  cette  raison  qu'on 
lesie  les  corps  flotfans  dont  on  veut  empêcher  le  renver- 
sement :  on  dispose  à  leur  partie  inféneure  une  substance  ' 
d'une  pesanteur  spécifique  plus  grande  que  celle  du  fluide^ 

28 


^$4  HltOMÊfTATUiVm, 

a5n,<iuc  le  centre  iJc  |:ravitê  du  corps  sojt  plus  b«s  ^ 
cet  ni  lia  fluide  iJé(ilacc. 

3oz.  On  auro  nne  jiute  idée  <le  l'équilibre  tlabte  et  de 
l'équilibre  non  stable,  en  considérant  une  ellipse  plactt 
verticalement  sur  un  plan  honiontal.  Si  l'ellipse  est  en 
équilibre  sur  ion  pelît  aie,  ou  voit  qu'en  l'écartanl  un  pen 
«le  celle  situatioo  ,  elle  tend  à  y  revenir ,  en  faisant  dei 
lucillatiuns  que  le  frottement  cl  la  résistance  de  l'air  au- 
ront bient^'t  ani^anlies.  Mais  m  l'ellipse  est  en  équililtrc 
Rur  son  grand  axe,  une  fois  écartée  de  cette  sîtuatioa, 
elle  tend  à  s'en  éloigner  davantage,  ei  finit  par  se  renverser 
«or  son  petit  axe. 

L'exemple  que  nuui  venons  de  donner  offre  une  cir- 
constance remarquable ,  mats  qui  pourtant  ne  loi  e$t  pas 
particulière*,  les  quatre  positions  d'équilibre  de  l'ellipse 
uir  tes  eitrémilés  de  ses  deux  axes,  sont  «IternalivenieDt 
slaUes  et  non  stables  :  il  est  aisé  de  se  convaincre  qa« 
la  même  chose  a  lieu  dans  tous  les  cas.  En  effet  ,  soient 
deui  positions  d'inj  ni  libre  stable  d'un  corps,  et  telles 
qu'il  n'en  existe  entre  elles  aucune  de  mime  nature  :  à 
le  corps,  lupposé  placé  dans  une  de  ces  positions,  en 
est  écarté  pour  l'approcher  de  l'antre  ;  solvant  que  cet 
écarlement  sera  plus  ou  moins  grand,  le  corps  tendra  à 
revenir  a  ton  premier  état,  ou.it  atteindre  la  seconde  po- 
sition. Il  suit  de  U  qu'il  faut  nécessairement  qu'entre  ces 
deux  positions  il  y  en  ait  une  oii  le  corps  ne  tende  pas 
plus  vers  l'une  que  vers  l'autre  :  cet  état  intermédiaire  est 
un  équilibre  non  stable  ;  car  quelque  peu  qu'on  en  écarte 
le  corps  vers  l'une  des  deux  positions  stables,   il  devra 


n.corps  ,  en  tournant  autour  d un  axe  Jixe , 
it  par  piusieun  positions  tTéquilibre, 
elles  seront  tour-à-lour  stables  et  non  stables^  On  voit 


Stâb.  st  o^gilim  dis  GORn  flottàtts.         4SS 

donc  que  h  nombre  total  4e  ces  positions  est  paiiry  à 
moins  qae  deux  positions  consccatives  ne  se  co/ifondent; 
dans  ce  cas  U  poskjoa  réf  allant  de  kur  réunion  ^  donnera 
Véiftt  déjà  ezarain»  d^iv  lequel  la  valeur  (a)  est  nulle. 

5oS.  Lorsqu'on  écarte  très-peu  un  corps  d'une  position 
d'équib'bre  stable  y  pqisque  le  moment  Pjiê  de  la  poussée 
du  fluide  est  proportionnelle  à  l'arc  I  que  le  coFps  devra 
décrire  pour  se  rétablir  dans  l'état  primitif ,  cette  restitu- 
tion devra  s'opérer  suivant  les  mêmes  lois  que  pour  le 
pendule.  Le  corps  fera  donc  des  oscillations  autour  de  la 
positioiv  d*équilibre  stable  j  et  même  il  oscilleroit  sans  cesse 
autour  du  centre  de  gravité  y  si  la  résistance  du  fluide 
n'éteignoit  peu-à-peu  sa  vitesse,  et  ne  le  rendoit  enfin  au 
repos  stable  dont  on  l'a  tiré.  Le  calcul  fournit  des  moyen» 
de  s'assurer  directement  de  tout  ceci ,  et  en  outre  sert  à 
détermina  toutes  les  circonstances  du  mouvement  oscilla— 
toire^  ainsi  que  nous  allons  l'exposer ,  en  nous  bornant 
toujours  au  cas  où  le  corps  est  symétrique  par  rapport 
au  plan  xz* 

•  Supposons  que  le  corps  ait  été  très-peu  écarté  de  sa  pi^.  .34. 
position  d'équilibre ,  puis  abandonné  ensuite  à  l'instant  oii 
on  compte  /  =  o.  Au  bout  du  tenis  /  ^  la  droite  G  O 
qui  pas^  par  le!^  centres  dé  gravité  du  corps  et  du  fluide 
déplacé  daiis  l'état  d'équilibre,  fera  avec  la  verticale  un 
angle  G  Of^  mesuré  par  l'arc  f.  Soit  /  la  valeur  de  $ 
lorsque  f=o,  c'est-à-dire  la  valeur  angulaire  qui  déter- 
mina la  position  du-  corps  à  cet  instant  t  enfin  soit  «  Tare 
décrit  par  le  point  placé  sur  CO  k  l'uuité  de  distance 
du  point  G  f  et  y  la  vitesse  de  ce  point ,  ou  la  vitesse 
angi4sâre,^  ou  a.  f  =:?/*•—<«  :  ces  déoonun^tions  sont  les 
mêmes  qu'aux  n®'.  248  et  ,197  pour  Je  pendille.  Au  bout  ri^.  oi. 
du  tems  /,  la  poussée  du  fluide  tend  à  accroître  la  vitesse  y  ^ 
et  en  appliquant  ici  la  formule  (  im",  247  )  ,  on  voit  que 


X 


i 


0Ç  HrORMTATlQUt. 

pour  obtenir  la  force  accélératrice  angulaire  — —  ,   il  faut 

dfïiseï  le  momenl  Pjit  de  la  poussée  du  fluide,  pw 
rapport  ail  centre  ile  gravité  G,  par  le  moment  d'inertie  ; 
or  M  ëlanl  la  masse  du  corpi,  on  a  P^=:  gJU;  cl  le  mo- 
ment d'inertie  est  Mk'  ;  ainsi  -r—  ^=  — .  -  =  -j—  {f—a)  ! 

or  w^  —7-'}  multipliant  ces  deux  équations,  et  inté- 
grant, on  a 

OB  intègre  de  nouveau  (vojez.  pag.  3t5),  et  on  troave 

Les  constantes  sont  nulles,  parce  que  (=0   donne  »^=o 

et  «  ^  o.  On  conclut  de  là  que 

i".  Si  ji  est  positif,  pour  que  la  valeur  de  «  soit  réelle, 

,  il  faut  que»  soit '^2/',  qui  est  l'excursion  QOQ'qne  l'axe 

MO  du  corps  &it  d«  part  et  d'autre  de  la  verticale  OAj 

il  jr  a  donc  stabilité  :  ti  an  contraire  jl  ett  négatif,  il  n'y 

a  pas  stabilité  ;  de  sorte  que  la  réciproque-  est  vraie. 

2°.  En  comparant  la  valeur  de  «  à  celle  (n",  p.  558), 

on  voit  que  le  corps  doit  osciller  lorsque  A  est  positif, 

et  que  ses  oïcillationi  sont  isochrones  :  <*^ay donne  pour 

A» 
le  temi  7' de  l'oscillation  entière,  T^  ^^^—, 

3',  En  comparant  cette  valeur  avec  celle  (î',  p.  271), 
on  obtient  pour  la  longueur  r  du  pendule  limple  t/it' 

ehrone  (  a49) ,  r  =■  ~-j-  • 


L 


StAB,   RT  OSeiLL.   DES  CORPS  FLOTTAlfS.  4'? 

Î5p4«  Appliquons  ces  principes  au  cas  où  le  corps  est  ^îfr  »3*» 

un  prisme  dont  ]•  profil  transversal  est  DCE  y  tel  qu« 

sa  partie  plongée  soit  un  triangle  u^^C  isocèle  ^  et  dans 

lequel  AB  =52  i  =  a  in  ^=:  a  AF^  et  CF=  h  :  le  surplus         *• 

jiDEB  du  profil   peut   avoir    une  forme    quelconque* 

Soit  G  le  centre.de  gravité  du  corps  ^   O  celui  de  ACB\ 

FO  =  ^hy{SS)'y  Sôit  FGssnion  aura  donc 

OG  =  £ï  =  o  — ^Ay  de  plus  Taire  ACB  est  B  =  mh. 

Ainsi    la   distance  A  du   m^tacentre   au   point    G  jest 

.       2  w' :±:  ^  ( 3 n  —  h)  ,.         .  ,  ,,  ,       , 

A  =  ^  , ,  et  il  est  aise  d'en  conclure  les 

conditions  nécessaires  pour  que  le  corps  soit  dans  un 

équilibre  stable  ;  non  stable  ou  permanent.  Oa  obtient  pour 

5  hk* 
la  longueur  du  pendule  synchrone.  r±= ^      ,    . ji  •■ 

OA'  auroit  aussi  aiséâiQnt';lô  tems  de  Toscillation^ 
.  Si  la  partie  plongée  du.  corps  étoit  un  rectangle  ABIH^ 
<n.  faisant  de  même  AB  =  6 = 2 7».,  W=s:  ^ ,:  et.  GF=:n y  v 

on  trouve  S-=.ihmhj  OF=^h ^  G0.=^a=2n^^jhi 

donc  A  =       -    zfc  (  9  —  i  ^0  J-  et  les  conditions  de  la 

stabilité  s'en  déduisent  aisément  :  on  obtient  aussi  la  lon-« 
gueur  du  pendule  synchrone  et  le  tems  de  FosciUdiQn^ 
.Yoj&eçi  Méc^  phiLf  pag.  370.^ 

■    ■  ■    .    •  ;:  . 


f    m  •  ■ 


4^ 


CHAPITRE    m. 


,1.     Det  Fluides  hétèrogèiies  pesons  et  incompressibles, 

5n5.  Si  dans  un  mime  vase  on  mêle  emen.ble  des  lluia» 
•le  pesanteurs  spécîlîquea  différentes ,'  les  molcculcs  de- 
rronl  te  scjiarer,  et  celles  d'une  niËiiic  cspi'ce  se  réuniront 
çiitie  fUcn  I  les  posiliuns  respectives  «les  Quides  devront 
être  telles,  que  les  couches  qui  les  séparent  soient  horîson- 
taies,  pour  que- leurs  surfaces  soient  de  niveau  (372,  a°<), 
«t  que  les  lltiides  spécifiquement  moins  pes3ns  soient 
disposés  dan^  la  partie'  supérieure  du  vase  ,  pour  que 
rM{t)iltbr«  soit  stabl«.  ^ 
,.  .  Soit  AB-ÇD  un  syphon  Ue  forme  arbitraire  reafennant 
deus  fluides  en  équilibre ,  contenus  l'un  en  EBCG,  l'autre 
ta  !OG//iV;  CM  substance»  soiit  '  eu  contact  en  OG. 
8oi«W  ir  ei  m''  \eavA  pesant^oTB  spécifiques  respectives, 
k  et  II'  les  hauteurs  des  Httifks- au^essos  (le  OG',  c'est- 
à-dire  EF-=^  h,  Kl^h'.  Cela  posé,  il  est  visible  que 
la  partie  FBCC  est  naturellement  en  équilibre;  il  faut 
donc,  pour  que  l'équilibre  existe  ,  que  les  pressions  exer- 
cées sur  OG ,  par  les  fluides  EF  et  //Croient  égales. 
La  première  (277)  est  «A  x  surface  OG;"  seconde  est 
v'h'  X  surface  OG  :  doue  vh  =  «'A' ,  c'est-à-dire  que 
deux  Jîuides  en  équilibre  dans  un  sjphon ,  doivent  avoir 
leurs  liauteurs  au-dessus  de  la  surface  de  conlact  ,  en 
ruison  inverse  ik  leurs  pesanteurs  spécifiques. 


Fluides  HÉTénoGÊNES.  ^5g 

506.  On  pourri  toujours  (277)  substituer  à  un  fluide 
renfermé  dans  un  vase  /  un  autre  fluide  y  d'une  densité 
constante  et  donnée,  sans  que  la  pression  sur  Je  fond 
du  vase  soit  différente  :  il  ne  faudra  que  donner  une 
hauteur  convenable  à  ce  fluiQe*  Si  donc  un  vase  contient 
plusieurs  fluides  en  équilibre^  et  de  densités  différentes^ 
on  pourra  leur  sul)*stituer  un  fluide  homogène  qui  pro- 
duiroit  la  même  pression  sur  If  fond  de  ce  vase.  On 
conclut  aisément  de  là  que  si  un  même  vase  renferme 
diffèrens  fluide^  y  la  pression  exercée  sui^  le  fond  hori"' 
sontaly  est^  le  produit  de  la  surface  de  ce  fond  y  par  la 
somme  des  produits  des  pesanteurs  spécifiques  des  fluides 
par  leurs  hauteurs. 

IL     Des  fluides  élastiques, 

507.  Les  fluides  classés  sous  la  dénomination   d^aéri- 
formes  y  jouissent  de  la  propriété  remarquable  d'occuper 

sensii^Moient  un  espace  d'autant  plus  petit  y  que  les  puis- 
sancflH{ui  les  compriment  sont  plus  grandes  y  et  de  se 
rétablir  dans  leurs  volumes  primitifs ,  Iprsque  les  forces  qui 
qui  ont  fait  changer  ces  volumes  cessent  leur  action.  Cette 
propriété  leur  a  fait  donner  le  nom  de  Fluides  élastiques; 
soit  P  une  pression  exercée  sur  un  volume  ip^ de  fluide^ 
dom  la  densité  soit  D;  p  une  autre  pression  ^  f^  le  volume 
que  prendra  la  masse  du  fluide  en.  vertu  de  cette  pression  p 
et  d  sa  densité  :  la  propriété  de  l'élasticité  parfaite  donne 
les  équations 

PF=^i^y    VD:*=zvd,   et  Prf  =  pZ> \.{f). 

<   ■ 

Ces  valeurs  ne  donnent  que  la  pression  exercée  sur 
l'unité  de  surface)  mais  en  faisant  abstraction  de  la 
pesanteur,  ou  de  toute  aatre  forcé  qui  pourroit, faire  vvier 


44a  Htdkwtatiqiib. 

la  denaité  lonqa'on  passe  d'an  point  de  i«  tnass«  du  âutd« 
à  un  autre  point ,  tout  ce  qui  a.  été  dit  (269)  s'^tpliqae  ici> 
viiui  la,  pre»ipii  p  eçercéc  tur  la  Hirface  a  scia. 


D 


P,  on  p  = 


5o8.  Heprcnonsr^ualion(^,  p.  598>^p= — gOrf;;  lors- 
que le  fluide  est  compressible ,  il  est  évident  ijue  les  couches 
\es  plus  basses  étant  chargées  du  poids  de  tontu  cellu 
qui  sont  aiv-dessns ,  deux  trancbes  horisontales  de  ce 
fluide,  prises  à  diffùrenles  hauteurs,  ne  peuvent  aToic 
Blême  densité  ;  D  variera  donc  avec  x ,  y  et  i ,  el  U 
loi  de  celle  variation  dépendra  de  la  nature  du  fluide. 
Si  on  suppose  U  température  constanle,  l'intégration  s«ra 
facile  à  faire ,  puisque  D  ne  sera  foiiLCtioQ  que  de  p.  C'est 
ce  qui  arrive  pour  l'air  atmosphérique ,  car  lorsque  la 
chaleur  est  uniforme  ,  la  densité  D  est  setisU>leineat  pu- 
porlionneîle  a  la  pression,  parce  qu'il  se  comprime  en 
raison  inverse  des  poids  dont  il  est  chargéi  Mail  Imqae 
la  température  varie,  la  chose  n'a  plus  lieu  aiiulBarce 
que  l'élasticité  de  l'air  augmente  par  la  chaleur  ,  avorte 
qu'avec  une  densité  moindre ,  il  peut  soutenir  la  méine 
pression.  On  a  trouvé  qu'à  fort  peu  près  la  dilatation  de 
{'air  est  proportionnelle  à  l'accroissement. de  température, 
la  pression 'demeurant  la  même;  de  stvte  que  le  volfcnc 
■'accroît  de  son  a5o'.  pour  chaque  degré  du  thermomélr» 
centigrade. 

III.     Du  Baromètre. 
Soq.  Apphquons  cette  théorie  au  bakomâtiib  (*).  Çe^ 

(*)  Bcfii,  ppids,  charge^  Mirfu,  mesnre. 


^ostramcnt  consista   en  un   tube  recourbé  giac  ^  fermé  rig.  87.. 
en  g  et  ouvert  en  c  ;  la  pagrtie  gd  est  entièrement  vide 
d'air^  et  la  par^e  dia  est  remplie  d'un    fiuide  pesant^ 
tel  que  du  mercure*  Les  points  d  tl  a  n'étant  pas   au 
Qaéme  niveau^  il  est  évident  (274)  que  si  aucune  puis-, 
sance  n'est  appliquée  en  a^  le  mercure  doit  &*échapper 
par  l'orilice  c  ^  jusqu'à  ce  que  la  surface  d  soit  parvenue 
en  I  au  niveau  de  a-  Mais  dans  l'état  physique  des  choses , 
Vextrémité  g  étant  bouchée  ,  la   surface  d  n'est  pressée 
pay  aucun  poids  supérieur.  Or  l'orifice  c  étant  chargé  du 
poids  de  la  colonne  d'air  qui  lui  répond  verticalement  ^ 
«t  le  fluide  renfermé  au-dessous  de  ia  étant  de  lui-même 
€n  équilibre^  il  faut^  pour  détruire  la  pression   exercée 
•n  a  par  le  poids  de  l'air  ^  une  <x>lonne  d^mercui*e  dt 
dont  j  à   bases   égales ,    le  poids    soit    idenSquement  le 
même  que  celui  de  la  colonne  d'air.  Cette  hauteur  varie 
avec  le  ressort  de  l'air  j  elle  est  ordinairement  de  76  cen- 
timètres i  elle  dépend  du  rapport  des  pesanteurs  spécifique» 
des  deux  fluides  (5o5). 

-    On  peut  donc  se  servir  de  cet  instrument  pour  mesurer  vig.  h^, 
le  ressort  de  l'air ,  par  la  hauteur  à  laquelle  le  mercure 
reste  suspendu  dans  le  tube.  Pour  cela  on  construit  un. 
cadran  qui  en  indique  les  variations  y  comme  on  l'a  décrit 
pag.  173  7  on  on  fixe  le  tube  sur  unfi  planche  graduée  vers 
dg  el  ac  y  afin  de  mesurer  les  changemens  success^  du 
niveau  d  du  mercure.  On  juge    du  ressort  de  l'air  en 
comparant  entre  elles  les  sur&ces  ^  et  a  du  mercure^  et 
on  a  y  par  une  simple  soustraction  y  la  différence  de  niveau  ^ 
c'est-à-dire  la  hauteur  de  la  colonne  de   mercure  sus- 
pendue. IL  faut  observer  que  dans  les  deux  cas  y  la  branche 
pii  le  mercure  est  élevé  doit  être  plus  longue  que  76  cen- 
timètres y  puisqu'alors  'be  fluide  l'empliroit  entièremenL  & 
ÇA  IsÛsoit  un  baromètre  avec  de  l'eau  ^  il  faudroit  que  k 


tube  eût  plot  de  ^3  pieds ,  bu  10,3  mètres  ;  car  on  peut 
s'assuriT  (29^)  '[u'une  colonne  d'eau  de  celle  hanleur  a  le 
m'ente  poids  tjU'une  colonne  de  mercure  de  0,76*  de  hant 
Enfin  on  voit  que  le  baromètre  peut  s'adapter  a  nue 
machine  pneumatique  ,  alin  de  connoîire  jusqu'à  quel 
priint  on  a  fail  le  vide,  ou.  ruèfié  l'air  sous  le  récipi'enL 

La  quantité  /i  <pi  entre  dans  l'équation  (t,  376),  et 
qui  provient  du  poids  de  l'atmosphère,  est  donc  le  poids 
variable  de  la  colonne  de  mercure  suspendue  par  le  ressort 
de  l'air,  colonne  qui  a  environ  28  ponces  de  haut,  on 
76  (■enlinièlres. 

L.'aîr  renfermé  exerce,  par  son  ressort,  la  mfmepres» 
ninii  que  s'il  Bgissoit  librement  par  son  poids  j  eu  con- 
aéquence  la^ulcur  du  mercure  doit  ftre  la  m<^ me  dans 
un  endroit  wrmé  que  dans  l'air  libre.  Cependant  l'élat 
de  la  lempéralure  de  l'atmoï^phère  doit  faire  varier  un 
pfu  cette  hauteur  ;  car  lorsque  l'air  devient  plus  chaud, 
le  mercure  se  dilate  et  sa  densité  diminue  :  il  faut  doue 
alors  un  plus  praud  volume  de  mercure  pour  qu'il  eu 
résulte  le  méiue  poids  :  ainsi  le  ressort  de  l'air  étant  sup- 
posé le  même ,  la  colonne  de  niercrire  doit  avoir  une  plus 
({['anJo  hauteur  pour  lui  faire  équilibre.  Mais  la  variation 
de  densité  du  mercure  n'étant  guère  sensible,  on  peut 
en  fuirc  abstraction  Jans  les  opérations  qui  a'esigeat  pas 
une  grande  exactitude.  • 

3lo.  L'un  des  usages  les  plus  intéressant  aojquels  on 
ait  detliné  le  baromèlre,  est  l'application  qu'on  en  a  fuit 
SU  nivollemcnl  :  celle  lliéorie  est  d'une  trop  haute  impor- 
liiuce  pour  que  nous  négligions  de  l'examiner.  Il  résulte 
de  ce  qu'on  a  vu  ,  que  la  densité  des  couches  atmosphé- 
riques décroît  à  mesure  qu'on  s'élève,  et  par  conséquent 
la  colonne  de  mercure  doit  en  même  lems  s'abaisser. 
Vuici  comment  on  a  f^t  servir  la  coniidissance  de  cti 


BAKVSÊTKm.  44.S 

ohaàsKSOtta  '2.  ïa  cêlenÛBitâoa  de  li  «sactecr  r^rticile  z 
qui  sêporte  c«ax  lieux  d'oiaerr&tïoB. 

PcMir  intégrer  râ|utîoii  ^  =  — gi^dz  ^obsoxons  que 
la  pression  Tarie  piopofticwmengtHrBt  à  la.dâisîtê,  à 
légale  Uuipêiatare  ,  ci  qne  la  dBaUtiaii  varie  pnoportîoii- 
neOement  â  racermiMmcut  de  températnre  5o8  à  presskm 
égale.  Si  donc  on  dês^e  la  tempêralnre  par  «,  on  a 
p=fgi^Dj  fg  étant  nne  constante  indctenninëe.  Drrisons 

nos  denx  ëqoatioiis  1  une  par  rantre,  a  tient  ~Z.=.i.  ... 

^'où  log  ^  =  —  /  --jr- .    Noos   désignons  par  p  ^  p' 

les  pressions  correspondantes   anx   haoteofs  ^  et  o,   le 

mercare  étant  dans  le  baitHnètre  êleré   de  A  et  A';  de 

sorte  qoe  les  lettres  accentuées  se  rapportent  à  la  station 

p'  h' 

inférieure  :  du  r^te  on  a  -^—  =  — ;—  •  Puisque  les  limites 

p  h  * 

de  l'intégration    sont    de  p*  k  pj    ei  de  o  k  Z ,   on  a 


log  p'  —  logp  =J   ~  , 


^ous  remplaçons  ici  les  loganlhmes  népénens  par  ceux 
des  tables  ou  de  Bri^s ,  que  nous  indiquons  par  le  signe  Ly 
parce  qu'il  faudrait  multiplier  par  le  module ,  ce  qui  ne 
change  que  la  constante  indéterminée  yi  L'intégration  qui 
reste  à  eQCectuer  doit  être  depuis  ^  ==  o  jusqu'à  z-=iZ\ 
mais  il  fandroit  connoitre  pour  cela  la  loi  suÎTant  laquelle 
Ja  température  varie  à  mesure  qu'on  s'élève  dans  Tatnios- 
phjère.  Nous  exanuuerons  d'abord  le  cas  le  plus  simple 
qui.  .est  .celui  où  elle  est  constante.  On  a  alors  ^  en  sup- 
primant et  qui  se^  combine  a>rec  f. 


444  lIlDBOITATIQVK. 

'h- 


'-H^y 


Delnc  a^ant  choisi  parmi  les  résultats  Axa  à  l'obserri 
c<'ux  qui  paroissoient  niériter  plus  de  confiance,  el 
chant  la  valeur  du  facteur  numérique  f,  Iroupa  ce  ri 
d'une  simplicité  rE.'mar<)uahley=  lo  ooo,  la  tempcmUn 
^lanl  d'environ  i6°  j  du  ihermométre  de  Réaumur;  nuir 
pour  toute  autre  lenipérature ,  il  falkiit  faire 
correction  à  la  formule  :  comme  ii  croj-jit  que  l'a 
aiS"-  de  son  volume  par  chaque  degré,  il  augmentoilb. 
r^strilat  ci-dessus  d'autant  de  fois  sa  3i5'.  partie  qu*il7 
Kvoit  de  degrii'S  de  difTvrfQcc  entre  16°  \  et  la  tempéraiuri. 
nio_)'enne  entre  celle  des  deux,  lieux  d'observation.  5oiti 
cetto  difTcrcncC]  la  formule  de  Deluc  est  donc 

•z  =  ,oo„i(4^){,iij} M.      1 

TremWey,  par  des  espériences  plus  nombreuses  a  trouvé 
tju'il  falloit  prendr«  pour  h  la  différeace  entre  1 1°,5  et  U 
température  nioyenne  ;  il  remplaçoit  de  plus  le  nombre- 
ai5  par  1^1.  Ces.  estimations  sont  rapportées,  à,  la  toise 
pour  usité ,  et  il  paroU  que  la  dernière  est  plus  exacte. 

5ii.  Ces  prcKcdés  ont  plutdt  une  exactïtade  empirique 
qu'une  certitude  raisonnëe  ,  et  on  sent  qn«  la  détermi'. 
nation  à  laquelle  ils  condm'sent  ne  peut  être  que  trèsr 
vague  ;  car  ils  reposent  sur  diverses  hjpodièses  abso- 
lument inadmissibles  :  1*.  l'air  ne  se  comprime  pas 
proportioiuiellcment  aux  poids  dans  toutes  les  limites; 
X*.  à  des  élévations  un  peu  considénbles  U  gnvité  décroît', 
V.  le»  g«i  cl  autres  coq>s  éirangere  oonl  l'air  est  taot  cesse 
diargé,  modifient  la  variation  de  sa  densité;  4*.  couune 
«a  a  reconsa  que  r«ir  se   refrcwlisoit  gtadodlemeiU-  i, 


y-V 


V     ( 


knesure.  qu'on  s'élevoit  y  l'hjpothèse  de  la  température 
constante  est  démentie  pair  Texpëriénce^  5®.  enfin  le- ba^ 
romètre  étant  lui-même  soumis  aux  impressions  de  la 
chaleur  )  le  fluide  métallique  qui  compose  cet  instrukuent 
ëproure  des  changemens  de  dimension(5o9)  auxquels  on 
ne  peut  négliger  d'avoir  égard»  Ces  deux  dernières  cir^ 
constances  sont  même  celles  qui  influent  d'une  manière 
plus  décisive  dans  Içs  expériences ,  et  ce  sont  elles  que 
les  physiciens  ont  sur-tout  eues  pour  objet  lorsqu'ils  ont 
voulu  corrigef  la  théorie  précédente. 

Comme  l'usage  du  baromètre  est  beaucoup  plus  expé« 
ditif  et  plus  commode  que  celui  des.  instrumens  de 
géométrie^  il  étoit  très  -  important  de  se  procurer  une 
formule  susceptible  d'une  plus  grande  précision. 

Laplace  a  donné  (pag.  289,  tom.  IV,  Méc.  céL  )  une 
solution  très-élégante  du  problème  qui  nous  occupe  ^  elle 
consiste  à  déterminer  la  loi  qui  lie  z  à  « ,  à  l'introduire 
dans  l'équation  (()  7  et  à  intégrer  depuis  zz=o  jusqu'à 

La  constitution  physique  de  l'atmosphère  dépendf  d'élé-» 
mens  si  compliqués  ^t  si  variables  y  qu'il  est  très^douteuX 
que  l'analyse  puisse  les  combiner  d'une  manière  rigou-^ 
reuse.  Le  froid  des  couches  d'air  supérieures  les  condense,^ 
et  lar  pression  qui  en  résulte  doit  être  plus  forte  que  dans 
l'hjpothèse  d'une  température  constante.  La  théorie  des 
réfractions  (  Méc,  céL ,  pag.  267  )  prouve  que  la  consti- 
tution réelle  de  l'atmosphère  est  comprise  entre  ces  deux 
limites^  savoir  :  une  température  constante  et  une  tempéra- 
ture décroissante  en  progression  arithmétique  lorsque  les 
hauteurs  croissent  dans  une  progression  semblable.  Cette 
dernière  évaluation  satisfait  aux  phénomènes  avec  une 
exactitude  suffisante  y  attendu  que  l'élévation  de  nos 
ifnontagnes  est  peu  considérable  relativement  à  celle  de 


446  HisnoxTÀTtQtJE. 

l'atmosphère  cDtiî're ,  qui  est  de  60  ooo  mètres  environ. 
On  conçoit  en  efl'ct  (jne  panui  les  causes  de  l'ariatioB 
de  la  température ,  il  en  est  (jui  soal  insensibles  dav  , 
luie  aussi  petite  élendue  ,  et  d'autres  qui  doivent  se  r»< 
produire  d'une  manière  constante.  Admettons  donc  «jne 
la  température  ■  décroisse  en  progression  arithmétique 
à-peu-prés;  et  cherchons  à  Her  ^  et  s  par  une  relation 
qui  remplisse  cette  condition,  soil  facile  à  calculer,  et 
de  plus  soit  telle  qu'elle  s'accorde  avec  les  tempêratuws 
données  ç  et  r  des  lieux  où  l'on  fait  les  observations,  rt  , 
dont  l'un  répond  à  a  =  o  et  l'autre  à  2.7=  Z.  En  snp- 
posant  m-^\/{q'—  iz),  ces  conditions   sont  satisfaites, 

/désirant,  pour  abréger,  — -= —  :  en  effet  2^0  danne 
«■:=ç,fet  z^:=.Z  donne  s^=r}  de  plus  le  développement  de 

(9»— «)*,  procédant  suivant  les  puissances  de 

lî           O*  —  T*      z 
^=^  ■  -=-  ,  sera  frcs-convcrgent  ;  de  sorte  «rae 

fi  on   se   bornoit   aui   deux   premiers   termes ,    on   auroil 

«  =  <7  -^  3  ;  la   condition  que  «  et  ^  varient  à-peu- 

^près  en  progression  arithmétique  est  donc  remplie. 

On   a  donc  C—  = \-  1/ {q^  —  i=  )  +  C;  l'in- 


.n- 


z  =^  o  ■-     ainsi     C  - 


h)   :   l'autre  limite  de  l'intégra 


:  r^  Z  ou   B  ^  r;  on  a  donc ,   en  remeUanl  pour  i  sa 

valeur,  '.  Or  les  températures  se  mesurent  par  des 

'legré&  tJiermométriques ,  {«"is  n  partir  du  terme  de  con- 
gélation j    soit  /  la  lenipérature  qui  J  correspond,  et/, 


Baromètre.  44? 

I  les  nombres  ^degrés  du  tl^rrnomètre  centigrade,  on 
a  qz=zl  -^^  t' f  r=/-f^^'   nme  intégrale  devient 

—7— 7,  et  l'équation  (?)  donne 

-=/'{■ +^} -a). 

I 

bien  entendu  (ju'on  doit  prendre  négativement  les  valeurs 
de  /  et  t'  qui  indiquent  des  températures  au-dessous  de 
zéro* 

Ramond  a  obtenu  la  valeur  du  coefïïcient  //  par  des 
expériences  précises  et  nombreuses^  il  est  parvenu  à 
yî=i8  356 j  on  sait  d'ailleurs  (5o8)  que  /  =  25o. 

5 12*  11  ne  nous  reste  plus  qu'à  faire  une  coircction 
relative  à  ^  :  en  effet  les  hauteurs  du  mercure  dans  le 
tube  du  baromètre  n'étant  plus  proportionnelles  aux 
densités,  à  cause  de  la  dilatation  du  fluide  métallique  (3o9), 
il  convient  de  changer  h^  afin  de  dégager  l'expérience  de 
cet  effet ,  et  de  la  ramener,  à  ce  qu'elle  auroit  été  si  en 
partant  du  lieu  inférieur,  le  mercure  avoit  conservé 
la  même  densité  à  la  région  supérieure.  Or  on  sait  que 
pour  chaque  degré  du  thermomètre  centigrade ,  le  mer- 
cure se  dilate  de  •  ainsi  la  hauteur  h  observée  à 

5412    ' 

la  région  la  plus  élevée  (et  la  plus  froide)  doit  devenir 

h(if  —  t)  ,   /      .     i'  — '\         ,  .   ,  . 

fi  j L. L  ou    /i  (  I  +  -= )  :  valeur  qui  doit 

541a  \  5412  /  ^ 

remplacer  h  dans  notre  formule.  File  donne  donc  pour 

la  différence  de  niveau  des  lieux  d'observation 

(  0412  ) 

t  tl  tf   sont  les    nombres    de    degrrs    du    ihcrmometro 


ceiiti^iT^Je  i  h  ^  '''  'es  iMutetirs  du  mi^Bure  dans  Itbt' 
twnctre:  les  IcUres  accentiiées  sont  relatÎTPS  à  la  stofioli 
la  [fliu  bute.  Oa  peut  mettre  celCe  (-(juation  soos  la  foniu 


Z=  56,67^(500  4- ''  +  0/. 


5i3.  Le  Womêlre  ordinaire  est  peu  propre  i  tMiurM 
\ti  hnuteim,  parce  qu'en  le  renversant  pour  le  lr*OSporlcr, 
i*e(tréiuité  iafôricure  du  tube  cessant  de  plonger  dam  le 
luircurr,  il  se  forme  un  passage  dans  lequel  l'air  i'in' 
Irodiiit ,  divise  la  colontie ,  et  détruit  l'efTel  qu'on  dtA 
alteotlre  d«  rinstrumenl.  Ou  se  sert  d'un  baromètre  por^ 
Lilîf  i)iii  a  son  «Irémitc  infcricure  hemiétiquement  feimcei 
et  ijui  a  siiu  ouverture  disposée  latéralement  â  quelqne! 
lif^cs  du  fond  du  réservoir  ;  de  sorte  que  lorsqu'on  ren- 
verse te  baromclre  ,  le  mercure  ,  baignant  toujours  cet» 
ouverture ,  empêche  l'air  de  s'y  introduire.  Pour  mellre 
plus  de  précision  dans  les  calculs,  il  faut  distinguer  là 
température  de  l'air,  de  celle  du  mercure,  parce  quC 
lors'jut  l'observation  est  faitt ,  l'instrument  n'ayant  pas 
eu  le  teins  de  se  mettre  à  l'unisson  de  température,  le 
niétal  liquide  n'a  paj  éprouvé  toute  la  ddatatîon  que 
comporte  celle  de  l'air  ambiant  :  c'est  pourquoi  on  adapte 
ftU  baromètre  un  thermomètre  dont  le  but  est  de  fixer 
les  valeiurs  de  /  et  t',  qui  ne  se  rapportent  qu'à  la  cor^ 
rectioD  de  h  :  ces  valeurs  doivent  être  employées  sous 
Iç  signe  L  de  l'équation  (9).  On  a  en  outre  un  thernii>^ 
nùtre  libre  qui  donne  t  et  ('  hors  du  ngne  /<'• 

Pour  miens  comprendre  l'usage  de  notre  formule,  qui 
^t  fti  importante,  nous  allons  l'appliquer  à  une  des 
ab|>irvation5  de  Bambnd  au  pic  de  Bigorre.  Voici  les 
^fAD^a   du    problème.    Un    baromètre    pkcé  à  Taibei 


B4R0MàTR£.  44|J 

marqnoit  o™;75558i  ;  le  thermomètre  fixe  à  rinstrument 
donnoit  i8^;6s5^  et  celui  qui  étoit  libre  I9'^yi25  :  au  haut 
du  pic  le  baromètre  donnoit  0;537ao5y  le  thermomètre 
fixe  9^75^  celui  qui  étoit  libre  4'.  Il  est  clair  qu'on  a 

Ji=o,5372o5,  /i'=o,75558i,  /'+^=25,i25,  f—t=S,8j5, 

if  J^iesl  déduit  des  observations  des  thermomètres  libres^ 
et  if  —  i  de  ceux  des  baromètres.  Nous  donnerons  ici 
le  type  du  calcul  j  d'autant  plus  que  deux  des  logarithmes 
reriènnent  toujours.  Le  signe  "^^  placé  au-dessus  des  ca- 
ractéristiques ,  indique  qu'elles  sont  négatives. 

l.  541a =5,7555578 

Ui'       =    i   0,755581 =7>)665o5 

Ç.Z^  =  0.1.0,557205 =  0,2698608 

O.  L  (  541a  +  <'  —  O  =  ^•-  ^  5420,875  ="4;26595«6 

Somqie  =- 0,15^7827 

Z  0,1557827 —T,\^iAlil^ 

Z56,672 =1,5645546 

Z(5oo  +  /'+0  =  Z,  525,125  =  2,7186055 

Sommi*  =  5,4 1 57846  =L  26o4»,86 

ainsi  l'élévation  du  pic  est  de  26o4*,86* 

La  formule  (v)  oflBre  deux  autres  corrections ,  l'une  est 
relative  à  la  diminution  de  pesanteur  à  mesure  qu'où 
s'élève  (160,  210),  Tantre  dépend  des  latitudes  des  lieux 
d'observation  :  nous  ne  dirons  rien  ici  de  ces  corrections, 
'qa*on  peut  voir  {Méc,  cél.  y  tom.  lY,  pag,  289;,  parce 
qa'dief  ne  sont  pas  d'une  très-grande  importance.  Nous 
avons  d'ailleurs  développé  duos  ce  1  raité  tous  le&  éléuiens 
propres  à  l'intelligence  du  pawage  du  célèbre  ouvrage  que 
nous  venons  de  citer. 

29 


• .  1  ■ 


Pompe).  /fil 

-S  a  toutes  trouvées  conformes  aux 
il   i;co]nctrie.  On  ne  sera  peut*âtro 
i.i  i]ucI(jueS'-un8   des  résultats  <|ii*il 
iM's   suivantes  sont  prises  du  niveau 
■•n^.    ',  qui    LSt  clevé  de  5 76", ifj5  au-dessus 
'iii      '  ■  1.     ruur 

"  '.  V* .  ï  :  )  o  -  '%  -  5  Àig u ille  do  la  Sa  s- 

....  I  i<)?.  ,06            sière Vi8ff  ,88 

:>ojy  ,iS  Aiguille  noinj  de 

=0:.  ..  1070  ,'7'i             la  Vanoise..     Vjr^i  ,W 

'  1  \" 82  ,68  Cornette at/Mj  ,76 

•  '.au j4o  ,16  Voisroas '"74  >^'' 

'lace 2450  ,54  Dent  du  Corbeau.  21 1^  ,(^7 

. .. • 2T27  ,76  Crenifrr i  Vii   ,<i^ 

rV.     Z>ey  pompes. 

4*  Expliquons  maintenant  comment  i'eau  $^;!^ve  dans 
OMPBS.  Ijepîsion  AB  remplit  c-uc-tement  U  *:h'^y4f.\\k  ^«1 
îeurè  d'un  cylindre  creux ,  'ju'on  app<rîle  (.otpz  dt 
pc ,  et  peut  la  parcourir  dans  sa  \on^u/eur  f^O  •  re 
idre  est  fermé  dans  une  tectic-n  f^  4*:  %'4  K^^uteiw, 
moyen  d'un  pelît  couvercle  /- ,  à  r,Kî*T/ji<-r*: ,  *^u't 
:hc  très-exactement  l'orlfiCH  auqu*;!  il  ett  a'l;ipté  j  /,#- 
'ercle  se  nonuce  Soupupfi ,  iJ  *:ît  doçtjné  à  |>erm«ftr« 
Tmer  altenuliremeiit  !•:  pa^save  ^  "',j.  L/j*.-  $«-r/i- 
le  soupape  est  iAiL^iie  au  pi  non  tq  A.  />;  «,<>f  ps  d«5 
pe  coDimiuijque  à  uu  tjv^u  Kfl  *i*jr:\  \'r.yXrhmt/:  in- 
«re  plonge  cas»  J'eau  /iS.  Nous  eîileri'irotii  ;^4^i  ^<iî« 
liston  sa  section  liorîsontaU  <.-ir'^n;l^ir^. 
idistinçœ  deux  esp*;ces  'J«t  po/np'.s  :  lu  pompe  aspiranUt 
Bonter l'eau  eu  aspirant  Tair  'j«,iiteiiu  dtue  Je  ^jjr\^h  d« 
^',\^  pompe JouLunU:^  au  conlra:r':,  s?-"*  ^n  f'>uUiit 
iide.  Expli^]uons    k  jtu  cJc  ces  cieL:x  TXL6'.:.jae5. 


i/ 


5l5>  âiiffOMM  •]■«  Ton  éUat  an  méaie  BiveHi  RS, 
dow  le  ràcrvoir  «t  daas  le  laTau  Kg  J'—faraboo ,  ^ 
ftww  P  ^f>iii]Dc«  '  la  tige  lia  piston,  Télève  tn  Of 
Tair  dmÏMim  <!«  rasm  «•  m  rtpanibiit  d^  TopMc 
^r  k  peton  basera  tîbre  ci  ««nera  mr  U  iiim[i^i 
!  £  on  cfl'orl  moindre  tjo*  ne  le  &it  l'ûr  rp»' 
daM  le  tnjsa  A.^:  nlte  soopapc  ic  lercn  iloac 
r  dm  tajau  d'aipiratûm  afflaera  dtna  k  corfa  dt 
^'a  ce  <^'il  soit  parvenu  à  a^tiâr  Jiim  ca 
daax-eifMo»  ff  f.  ft"ff  wr  itrmilr"  rpir  ,  mmir^M  nwiiiafci 
tp'â  l'esin-ieiir-  Aton  ta  icopape  £,  ^^alraiemt  pressée 
des  deni  nltM ,  m  refimnera  pw  jon  propre  pcndi.  L'eui* 
de  prcMÏtMi  de  l>  pwl  de  l'air  ettênior  ,  fera  dooc  rosier 
fua  dam  le  iBjaa  /ÎA  â  aa>?  certaine  hanlenr  VV  leH* 
<jue  te  poids  de  la  coioanf  de  flaide  3tH ,  ioût  à  I* 
presaioB  de  l'air  lalétMSr  ,  é<{iii*ale  m  poids  d'axe  co- 
hnae  de  fl^âie  de  lo  laètres  de  hast  eonroo.  L'éf»- 
lAre  ainsi  rétiliË,  a  on  bsiwe  I«  pùton,  far  r«tiftrai£ 
dam  le  corps  de  pompe  aa-dessoos  da  piston  ,  te  cod- 
dessera  ,  sans  néaiicnoins  a^ir  sur  l'air  Teatttatê  daol 
te  tava.u  d'a^ptratioa  avec  leipiel  il  as  pfos  lic  commu- 
■îcatiaB  :  ainsi  l'eaa  daas  ce  taj^o  restera  dans  le  mfaie 
état.  Cependant  t'abaisiemait  du  [Hstoa  r^M^al  Pair  ds 
fcorp  de  pooipa  ptns  dense  que  Taîr  exlérienr ,  la  soo- 
pifie  L  doit,  s'élever  et  ta  densité  ext^iîeuR  derenir  la 
JD&ue  ^'«D  fâ  :  ta  soupape  L  se  refernpe  ensuite  par 
.ion  propre  pouls.  Si  on  rectHwnence  la  ntee  ^noenrre, 
TeMi  s'élevende  anareao,  en  sorte  qa'ajant  enfin  gagof 
U  corps  de  pompe ,  efic  passera  ,  à  chwptc  abaissement 
.da  pisiDQ,  fflf  le  tnm  de  la  souple  L  :  cette  sot^op* 
.M  fcruk^t  j^  son  poid»  retiendra  au-desins  d'eQe  l'eu 
^9Û^r9  p«âK,  et  ^e  l'on  élèvera  en  lainii  leus  ^ 
le  pùloa.  Td  «st  le  jeu  de  la  pofnpe  ayrante. 


r^ 


!► 


•         PoStPES.  4SS 

5 16.  Dans  la  pompe  foulante  le  piston  est  dtaé  vers  N  rig.  137. 
dans  le  turau  KH  ^  au-dessous  du  niveau  de  l'eau  R'S'  i 
lorsqu'on  le  fait  descendre  il  se  fait  un  vide  entre  la 
soupape  K  ,  qui  est  alors  fermée ,  et  la  base  du  piston. 
\jt  poids  de  l'eau  agissant  j  conjointement  avec  celui  de 
Tair  extérieur ,  contre  la  soupape  du  piston  y  fait  passer 
l*eau  dans  le  tuyau  KHy  où  elle  r^rend  le  niveau  R'S*. 
liorsque  l'eau  cesse  d'entrer^  la  soupape  du  piston  se  ferme 
|Mur  son  propre  poids.  Alors  si  l'on  remonte  le  piston  y  il 
chasse  devant  lui  l'eau  qui  est  entrée ,  et  l'introduit  dans 
le  tujau  FO  en  levant  la  soupape  E  qui  se  referme  en- 
suite, cA  retient  l'eau  jusqu'à  ce  que,  par  un  au(re  eflbrt 
semblable  au  premier^  on  en  fasse  passer  de  nouvelle. 
Quelquefois  cette  pompe  est  différemment  composée  (  voj'» 
TjfrchL  hj-dr. ,  pag.  5io  ) ,  mais  dans  toute  disposition , 
l'effet  s'explique  d'une  manière  analogue. 

3 17.  On  forme  des  pompes  qui  réunissent  les  effets  Fig.  z37. 
des  deux  précédentes  ;  et  qu'on  noniiiie  pour  cela  Pompes 
foulantes  et  aspirantes.  La  soupape;  L  du  piston  n'existe 
plus}  mais  on  en  adapte  une  à  Torifice  /  d'un  tuyau  7* qui 
vient  communiquer  avec  le  corps  de  pompe.  Quand  le  piston 

^B  s'élève  j  il  fait  entrer  l'eau  dans  l'espace  FB  ,  comme 
dans  la  pompe  aspirante }  lorsqu'il  s'abaisse  j  il  foule  l'eau 
contenue  dans  cet  espace  y  laquelle  ne  pouvant  s'échapper 
par  la  soupape  E  qui  se  ferme  d'elle-même ,  lève  la 
soupape  I  et  passe  dans  le  tuyau  TY. 

3 18.  A  chaque  coup  de  piston  il  sort  un  volume  d'eau 
équivalent  à  un  cylindre  y  dont  la  base  est  celle  du  piston  , 
et  dont  la  hauteur  est  son  yen ,  ou  la  quantité  dont  il  s'élève 
dans  le  corps  de  pompe.  Quant  à  la  force  qu'il  faut  employer 
pour  mouvoir  le  piston ,  de  bas  en  haut,  en  faisant  abs- 
traction du  frottement  et  du  poids  du  piston ,  elle  soutient 
le  poids  if  une  colonne  d'eau  y  qui  auroit  pour  base  ce/Zu 


du  fiistùn ,  et  pour  hauteur  calle  dont  Peau  ttt  éli\v» 
dans  la  pompe  au  -  dessus  de  la  surface  -du  reienwft  , 
La  chose  est  (évidente  [^77)  dans  la  pompe  foulante, 
puisque  la  base  du  piston  n'est  pressée  <]ue  par  la  co- 
lonne il'eau  qui  est  depuis  le  niveau  pisqu'à  la^  Ibou 
supérieure. 

Si  la.  pompe  est  aspirajnte ,  le  piston  est  d'une  part  visi- 
blenieat  chargé  de  toute  la  colonne  d'eau  qui  est  au-dessus; 
<piant  à  celle  BEH  qui  est  au-dessous  ,  elle  ne  peut  ttXrt 
soutenue  que  par  la  pression  que  l'ajr  e-ilcrj'eur  eieree 
sur  la  surface  RS  )  donc  la  Force  doit  faire  équilibre  à 
cette  pressiou  qui  équivaut  à  la  colonne  d'eau  qià  auroif 
pour  base  celle  (lu  piston ,  et  dont  la  hauteur  seroit  égal« 
à  la  dislance  de  jiB  à  RS.  Ainsi  la  force  qui  anime  le 
piston  porte  ce  dotiLlu  poids  ;  ce  qui  est  conforme  à  ce 
qu'on  a  dît.  Pour  faire  descendre  le  piston  ,  il  suffit  visi~ 
bleincnt,  de  vaincre  le  trottcnient. 
r.  I^ns  la  pompe  fpulante  et  aspirante  on  doit  considérer 
deux  circonslQucEs  différentes.  Quand  le  piston  rjionie, 
il  n'éprouve  aucune  pression  de  la.  part  de  l'eau  renfer- 
mée dans  le  tuyau  montant  IT,  parce  que  la  soupape  I 
«t  alors  fermée  ;  le  moteur  porte  donc  unç  colonne  d'eau 
qui  a  pour  base  celle  do  piston  ,  et  pour  hauteur  sa.  diS: 
tance  à  la  superficie  du  réservoir.  Lorsque  le  pi^top  descend, 
4;onime  la  soupape  doimante  E  est  alors  fermée,  l'effort 
du  moteur  doit  faire  équilibre  au  poids  d'un  cjliudre 
4'^^  qui  auroit  pour  base  celle  du  piston  ,  et  pour 
hauteur  La  différence  de  niveau  du  fluide ,  dans  te  corps 
de  poinpe  et  dans  le  tujau  montant  IT. 

519-  Maintenant  analysons  toutes  les  circonstances  que 
peut  offrir  le  jeu  d'une  pompe.  Désignons  par  e  et 
E  les  volumes  ED  et  £0  d'air  compris  depuis  la  sou- 
pape dormante  D  jusqu'au  point  .Ole  pliu^^bas,  et  af 


1 


point  O  le  plus  élevé  de  la  course  du.  piston  ;  par  j* 
et  a  les  bf^uteur^  EN  e\  EH  entre  cette  même  soupape 
^  et  les  niveaux  N  et  RS  du  fluide  :  par  s  la  section  traniB- 
Yers^le  du  tujfau  d'aspiration  KH  :  par  x  la  hauteur  d'une 
colonne  d'eau  qui  exerceroit  en  N  la  même  pression  que 
•«l'air  raréfié  renfermé  dans  le  tuyau  d'aspiration }  et  par 
h  la  hauteur  d'une  colonne  d'eau ^  dont  le  poids  est  égal 
à  la  pression  de  l'air  atmosphérique  (cnv.  lo™.). 

.Lorsque  le  piston  est  baissé ^  l'eau  doit  rester  suspendue 
dans  le  tuyau  d'aspiration  ^  une  hauteur  a  — jr  telle  que 
la  pression  de  l'air  intérieur  jointe  au  poids  du  ftuide^, 
équivalent  à  la  pression  de  l'air  extérieur;  on  a  donc 
^  =  a:-f-a— jr  ou  a: — jr=zb  y  en  faisant  ^  pour  abréger, 
h  '^m,^  =  b.  Le  vokmiiQ  d'air  renfermé  dans  le  tuyau  d'as* 
piration  est  ^  ;  et  jcomme  sa  densité  est  à  celle  du  corps 
de  pompe  y  ou  de  l'air  extérieur^  (^7)  dans  le  rapport 
de  or  à  A  ^  ce  volume  sjr^  réduit  à  la  même  densité ,  est 

— ■,'  •  :  ainsi  e  A r--  est  le  volume  total  BN  de  Pair 

^  à 

intérieur^  lorsqu'il  est  réduit  à  la  densité  extérieure. 

Les  choses  étant  d^ns  cet  état^  si  on  lève  le  piston, 

l'air  se  trouve  avoir  la  même  densité  dans  toute  l'étendue 

intérieure  ,  et   l'eau   monte   dans   le  tuyau  d'aspiration. 

Soient  3/  et  jc'  ce  que  deviennent  alors.  :ip  et.  j-k.  On.  a 

donc 

•  X — J^  =  Ô,   et  X*^— J-'rr:^. (ï). 

J\f ^tenant  le   voluine   d'air  intérieux:  esX  E-^y/Sy  sa 
densité  étant  déterminée  par  a:'  j  avant  d'élever  le  piston, 

XSY" 

le  volume  étpit  e  -f-  — _-^  ,   ramené  à  la  densité  extérieure , 

h 

qoi.  est  .mesurée  par  A;  ces  quatre  quantités  étant  en  pro* 

portion  inverse ,  Q^  4 


poar  la  haateur  x'  de  la  colaiine  d'eau  dont  te  paiJi 
exerceroil  U  même  preicion  que  l'air  dilaté  exerce  a  \t 
surface  du  fluide  dans  le  tuyau  d'aspiration.  On  a  aïnii 
In.is  équations  qui  dctermineat  jj- ,  x'  et  j-'  eo  fonclion 
de  JT  ;  on  ne  doit  prendre  que  les  raciues  qui  répondrai 
à  ^  ^  A.  L'élimination  donne 


J' 


=  ^-^{(^)-  + 
=-^-^{(^)-- 


he 


-M 


'^-^X"  —  bx\ 


On  peut  déduire  de  là  les  densités  successives  de  l'air, 
et  les  hauteurs  aniquelles  l'eau  s'élève  à  chaque  coup  de 
pistou.  En  effet ,  supposons  qu'il  n'y  ait  eu  aucun  coup  de 
piston  ^onn^  ,  on  a  x  ^  ft  et  j'  =;  û  ,  d'oii  on  c«n- 
tlut  le  ressort  x'  de  Pair  ,  ft  l'élévatiDn  a  — y'  de  l'eau 
a^rès  le  jMremier  coup  de  piston  :  substituant  poor  x , 
dans  les  m^es  équations ,  la  valeur  x'  <]u'on  vient  de 
trouver,  on  aura  1«  valeurs  de  x'  et  y'  r^on^nt  n 
second  coup  de  piston  ,  et  ainsi  de  suite.  On  pourra 
mente  par  là  trouver  combien  chaque  coup  de  pîstoU 
élève  l'eau ,  en  prenant  les  difTérences  successives  dea 
valeurs  de  y. 

5ïo>  Pouï  que    l'eau  cesse  de  moQter,  il  f^ut  qu'on 
ail  y — y'  =  o,  d'oii  x  =  St'   :   l'équation  (2)    donne 

k=:kh,eti  disant  -rr-  =  A-,  pour  abWgcr;  Où  ïrti  cotichil 

jr^sa  —  (t—k)ft.  S  donc  il  y  a  un  tapa»  t  entre 
la  soupape  dormante  £  et  le  poiilt  D  le  ftdl  'hta  de  1* 


45? 

course  du  piston  5  larmpit  Tean  §cn  montée  à  la  hanteur 
tf  —  (i  ^^  k;  hj  ei)«  ne  pourra  plus  s'élever  au-delà  : 
de  sorte  que  si  la  hantenr  £ff  da  la  soupape  dormante 
•iMMiessus  da  réserroir  RS  est  pAas  grande  ou  m€nie  égale 
4  celle  quantité  j  de  nouveaux  coups  de  piston  ne  la 
feront  plus  élerer.  Cda  résslte  de  ce  que  l'air  dilaté  du 
corps  de  pompe  n'ayant  pas  alors  un  ressoil  moindre  que 
celui  du  tnjan  KN ,  la  souple  E  ne  s'élère  pas  et  la 
"densité  KN  reste  la  même.  On  Toit  aussi  qu*il  faut  que  a 
sok  ^  h  j  même  lorsque  k  n'est  pas  nul. 

521.  Supposons  que  la  soupape  dormante  soit  au  ni- 
veau RS  y  ou  même  au  -  dessous ,  oa  entre  H  et  K  'j 
qu'on  soit  parvenu  à  faire  monter  Teau  au-dessus  de 
cette  soupape  y  et  qu'on  veuille  continuer  de  Téle^'er. 
'Conservons  les  dénominations  précédentes.  Lorsque  le 
'piston  est  baissé  y  l'air  qui  est  renfermé  au-dessous  est  dans 
l'état  naturel;  les  formules  '1)  et  [2]  ont  donc  eucore 
lien  ici  ^  en  faisant  x  =  A  et  changeant  le  signe  de  j^ 
et  j^'  :  c'est  au  reste  ce  dont  on  peut  s'assurer  par  les 
raisonnemens  prècédens;   ainsi  on  a 

b  =  Jr'+  r'  et  X'  =  l~^  xh (3). 

P'où  on  tire 

bs-^E  ^iE*      .    2he  —  hE  ,        ,    ) 

hs-^E  €  E-     ,    nhe-^-bE        .  ,        ,    > 

25        ^  *"     f  4i»  2S  ^*  ^  S 

Si  le  tujan  d'aspiration  et  le  coros  de  pompe  ont  mêmes 
diamètres  y  ces  formules  sont  applicables  dans  toute  l'é- 
tendue de  la  colonne  fluide,  ainsi  on  peut  calculer  les 
dilatations   successives  de  l'air   et  les  asceusions  corrcs- 


4SS  HvokosTitinQVR. 

pondanles    de  l'eau,  comme  précédemmeat  :  mais  éijit' 

diamèlrcs  sont  diilerens,   on  appliquara  les   formulesfî), 

tant  que  l'eau  n'aura  pas  atteint  le  point    ^  de  jonction. 

du   tujaa    d'aspimtiun  au  corps,  de  pompe  ;  après    i.|uai| 

prenant  ce  point  pour  origine  dm  j- ,  j' ,  a,  E  et  e  ,  !ei , 

inémt:s    formules    seront    applicables    aux    asceouons   de 

l'eau  dans  le  corps  de  pompe  ,  pourvu  (|ue  s  en  désigne  la 

section  :   c'est  ce  dont  on  peut  aisément  s'asinrer.  Ceci 

donne  l'ascension  de  l'eau  au-dessus  de  la  soupape  dor* 

mante  E  lors<]u'elle  est  pUcée  en  te  point  dt  jonction. 

5aa.  Le  fluide  cessera  de  monter  si  on  a  dans  ijuelqua 

,                        ■    1            t                  (e  — sr)  A        ,,  . 
ca*  y'  z^jr  ,  ce  qui  donne  b  — j-  ::=  — -; ,    d  ou    | 

*j" — j'(£  —  as)^eh  —  Eb.  Tant  que  celte  équation 
est  impossible,  le  fluide  doit  monter  j  mais  comme  elle  a  ses 
racines  réelles  lorsque  (îa  H-£j' est  >4i/i  (£  — Cy,  oa 
a  deux  points   entre  lesquels  l'ascension    de  l'eau,  cesse    j 
d'avoir  lieu  :  alors  le  carré  de  la  moitié  du  volume  0/^3 
est  plus  grand  que  A  x  volume  OD  ou  3»  fois  W  voIlhhaJI 
décrit  par  le  mouvement  du  piston.  , 


Fin  de  t Hydrostatique 


LIVRE    XV; 


HYDRODyNAMIQUE, 


''     '     ■-" 


I^    De  VEcoulement  des  fluide^  par  d^s  orifice^ 

horisontaux» 

525.  I^N  sait  que  lorsqu^in  fhiide  pesant  et  încompres-' 
sible  sort  d'un  vase  par  une  ouverture  faite  au  fond  ou, 
fl^ux  parois  7  sa  surface  demeure  toujours  horîsontale^  au 
moins  sensiblement  j  en  supposant  que  les  parois  du  vase 
conduisent  à  Torifice  sans  rompre  la  ïoi  de  continuité-^ 
et  en  faisant  abstraction  de  la  cause  qui  produit  au-dessus 
«le  l'orifice  une  espèce  d'entonnoir  ^  quand  la  surEsice  du, 
fluide  est  très-proche  de  l'orifice.  Il  résulte  de  là  que ,. 
si  on  conçoit  une  infinité  de  tranches  horisontales  dans 
le  fluide,  elles  conserveront  en  s^'abaissant  leur  parallélisme^, 
et  que  de  plus,  chaque  point  d'une  même  tranche  descend 
verticalement,  en  faisant  abstraction  des  molécules  qui 
«ont  près  des  iparois  courbes  Du  inclinées ,  parce  que  leur 
nombre  est-  itiJfraiDient  petit  par  rapport  à  celui  des  autres 
points  de  la  tranche.  Nous  supposerons  donc  ici ,  d'après 
ces  raisonnemens,  comme  un  fait  dû  à  l'expérience,  que 
lorsqu'un  fluide  s* écoule  d'un  vase  C  ApqB  par  un  orifice  Tig.  tsa. 
Jforisontal  pq ,  toutes  les  tranches  horisontales  du  fluide 
conservent  en  s* abaissant  leur  parallélisme ,  de  sorte  que 
^us  les  points  d'une  n>éme  tranche  ont  la  même  vitesse- 


\ 


j^  ,    _         _   i{rDIU>DTJ«AHU}I.'E. 

verticale.  Et  pour  it^nJrc  celle  h^ypolhcse  fJus  conforme 
aux  obienratioiis ,  nous  regarderons  la  distance  enlre  U 
surlace  supérieure  \^fl  du  flnide  et  l'orifice  pq  comme 
asse^  considérable  pour  que  la  snrface  ne  présente  pas 
r«ntonnoir  dont  «n  a  parlé.  La  figure  de  U  patvi  înlérieurc 
du  vase  est  snpposée  connue  et  donnée  par  son  équation 
en  X ,  jr  tl  z;  les  z  étant  comptés  sur  la  verticale  Ck  tjui 
passe  par  l'orifice  pq,  et  l'origine  étant  en  un  point  quel- 
i;n[i(]ue  C.  Tonte  section  horizontale  du  vase ,  telle  c|uc 
7'/"'=  %,  aura  donc  une  Hgure  déterminée  en  fonction 
df  CQ  =  a  :  il  en  est  de  m^me  de  la  surface  supérieure 
AB^K  du  (luide,  laquelle  peut  ftre  constante  ou  varier 
avec  CR^^l;  on  connolt  aussi  l'aire  py  =  ft  de  l'orifice, 
ijuc  nous  supjiosons  être  une  section  du  vaie  r^wndant  à 
la  hauteur  R/t^^^h,  ou  à  l'absciste  CA^i-f-  A. 

Si  on  conçoit  ie  fluide  partagé  en  une  infinité  de 
tranches  horizontales  jIBba ,  il  faudra  ,  par  hypothèse  , 
(]uc  toutes  les  molécules  (jui  composent  l'une  de  cm 
tranches  aient  la  ménie  vitesse  verticale  *,  soit  r  celle  de 
h  tranche  rjuelcotirjue  Tf  pour  la^ui-lle  CQ^z  et 
'/'F=i  :  V  est  fonction  de  x  et  (.  Toutes  ces  tranches 
agissent  les  unes  sur  les  autres  dans  toute  l'étendae  Rk  i 
en  sorte  que  si  la  vitesse  des  unes  est  accélérée  par  le 
poids  de  celles  qui  sont  au-dessus  d'elles ,  la  vitesse  de 
celles  -  ci  est  diminuée  par  les  autres  dont  l'écoulement 
ne  se  fait  pas  avec  la  même  ra[»dité  qcre^oi  Je  fluide  toiii> 
boit  librenient.  Nous  désignerons  par  u  laivltesse  du  fluide 
ipii  s'écuiile,  au  bout  du  tems /,  par  l'orifice  pq;  u  n'est 
fonction  que  de';  et. par  p  la  pression  verticale  exercée 
de  haut  en  bas  à  la  surfece  Tf',  au  même  instant  j  celle 
pression  est  rapportée  à  l'unité  de  surface  (368)- 

La  nature  du  problème  que  nous  nous  propomns  de 
résoudre  comporte   deux  sortes  de    variaôons    qu'il    est 


ECOUL.   PAR    DSS  OKiriÇES   HOaiSONTÀVX.  4^1 

important  de  hjen  distin^eré  Tantôt  on  a  pour  but  de 
considérer  les  espades  décrits  par  i^ae  molécule  ifans  des. 
tiems  successifs;  nous  affecterona  du  signe  /  les  intégrales 
^e  cette  circonstance  introduira^  tantôt  aussi  on  consi- 
dère^ au  même  instant  y  deux  molécules  de  la  masse  fluide^ 
djéterminées  par  des  valeurs  de  z  différentes  :  nous  em* 
ploierons  la  caractéristique  S  pour  désigner  les  intégrales 
qui  se  rapportent  à  ce  cas  y  et  qui  sout  uniquement  re«- 
latives  à  la  forme  du  vase  y  et  absQlumçntiîudépendante^ 
du  tems  et  du  mouvement. 

524«  Cette  notation  établie^  considérons  le  mouvement 
de  la  tranche  FT  au  bout  dii  tems  *i  :  la  vitesse  y  d^ 
cette  tranche  s'accroîtra  de  dv  dans  l'instaut  dt  qui  suit , 

dy'  '  ■.,"'■ 

ou  plutôt  —r— ^,  puisqu'ici  on  ne  considère  qucr  la  va- 
riation que  y  éprouve  lorsqu'il  s'agit  d'une  même  tranche 
de  fluide.  Or,  s'il  n'y  avoit  aucune  action  des  molécules 
les  unes  sur  les  autres  ^  râccroissetnçvt  de  vitesse  aeroit 
gdl'y  d*ou  il  suit  que  durant  le  tems  dt  la  tranche  l'V 
perd  y  en  vertu  de  cette  action  mutuelle^  la  vitesse... 

dy  \    •  >■ 
g~:^—^\dt.    Par  le  principe  de  d'Alembert  (229)  si 

chaque   tranche  n'étoit  mue  que  par  la   force    verticale 

■    'd^    -  '     '■''      ■        •■"-■•'■        -   .         .    ■ 

g  — l'équilibre  auroit  lieu  :  pour  exprimer  cette  con- 
dition ^  il  faut  recourir  à  l'équation  (ff,  270)  et  faire  Xz=.  o , 

dy       * 
Ymô  y    Z'==^— -T-^;    ia  densité   D  étant   t=  i ,  on 

dt 


c 


trouve 


/ 


L'intégrale  doit  être  prise  depuis  la  surface  AB  du  fluide 


^ 


46Ï  HYDftODVWAIUlQÛK. 

jusqu'à  la  tranche  indétermini-e  dont  on  cherche  la  p\^é^ 
tion,  t  étant  constant  (*). 

555.  Il  convient  de  distinguer  dnn?  notre  iulégrale  ]» 
partie  qui  dépend  du  tems-de  celle  rjui  est  fonction  de*, 

car  f  et  la  différentielle  th"' relative  au  tcnis,  sont  des 
fonctions  de  s  cl  i.  Poor  cela,  oBservons  <]u'en  vertu 
de  l'incompressibilité  du  fluide  ,  la  tranche  TF  ne  peut 
descendre  de  dz  diirant  l'instant  dt ,  sans  qu'il  s'écoule 
en  même  teu#  par  l'orifLCc  k  une  portion  égale  de  fluide  : 

(*)  Soient  J',  Ç«. .. .  le»  aires  des  tranches  de  fluides;  •/,  </'.  . . 
leuri  y'itesaetigi'ds,  g'-H  dz. ..  .  Êont  les  forces  mofrires  quilfl 

lollicilenr  ;  or  porla  réaclicn  des  parties —— .f'rfa  ,  < .f'iis^.. 

lent  les  forces  qui  ont  iieii  :  lei  forces  perdues  stmt  donc. . . 

ttanclie  exerce  nie  la  seeondfc  In  presaioB  Vg  —  =^  )  ?'•'»  1 
preiiion  qui  s*  tmasinçt  it  ta  troiiifme  pir  rinlcrmcdiaire  if  h 
««coade;  en  muliipliant  par  le  rapport  ■  ■■,■  des  sujifaoes  prei- 
•^ei  (s ,  367},  OD  a  peur  la  pression  de  la  première  traacbe  sot  Ik 
troisième  {g — -  J  {"^dz  ,  Inqutlle,  jointe  il  ceÙe  qu^exercê 

ia  secMide,  donne  (aj —  ^ 'j~J  ^"'^*'-  cntrouVërB  At 

(dvi  du"  dii"l  •,   , .     ,  ,  ■     , 

exerctïe  sur  la  quatrième  tranche.  Celle  qui  a  lien  sut  une  trancbt 

quelconque  TV  nH  donc  *X^C».|  — |J.  -^  <*»  ■  "    ■*'♦'- 

saat  par  f,  on  obrient  la  pression  p  sur  l'unité  de  sui£iC(i  c« 
qui  s'accorde  ûtcc  ce  qu'on  vient  de  ïoir,  (C'est  M.  Poisson  qu( 
m'a  coDiDiuniqué  cette  diuiensiraiion.") 


ECOVL.    PAA   BBS   ORIFICES   HOMSONTÀUt.  jfâS 

•ei  quantités  étant  visiblement  kudt  et  idz  y   on  a 
kudi=ldz  f  d'où  ku=:yl (2) 

k  cause  de  dz-=vdt  i  v  tX  i  sont  des  fonctions  de  z  et  /, 

qui  cependant  sont  telles  que  lenr  produit  f^i  est  indé* 

pendant  de  z  ^  puisqu'il  est  =r  A^u  ;   il  en   est  de  même 

de  {4b  :  ainsi  y\  et  Idz  sont  constantes  relatirement  à 

notre  int^ration. 

Cela  posé ,  1".  S.gdz=:gz', entre  les  limites  z=l:=CR 

et   z  =:  z'  -h  /  =  CQ  ,    z'  éunl  la  disUnce  RQ  de  la 

snr&ce  supérieure  du  fluide  à  la  tranche  quelconque  Tf^} 

.  /eu    .  dv       k  du      ku  dl     ,.  , 

a*.  vr=  —7- donne -=-=:—-. --—.--.-—;  d'où 
i  dt       \    dt        ^  dt 

ç  àv  L^^  ç  àz  dldz  , 

1//  ^        {  l^  di 

L^int^rale  S.-^  dctrra  être  prise  entre  les  mêmes  limites} 

elle  sera  connue  en  fonction  de  z,  puisque  (  se  déduit 
de  l'équation  de  la  paroi  du  vase  :  quant  au  second  terme , 

comme  idz  est  constant ^  il  équivaut  à  — ku.^  —  S—^p 

«t    comme    d'tme  part  {  -7—  s=:kuj    et   que  de  Tautre 

di             I  I 

^.-p-  ^=  -^j^ -^j^  entre  les  limites  désignées  j  on  sk 

en  réunissant  ces  résultats 

s 

P=^+V-*J^.i+i«-(i-|.)....«, 

ji  désignant  la  pression  que  l'atmosphère  ;  ou  toute  autre 
cause  y  exerce  sur  chaque  unité  de  la  surface  supérieure  AB, 
Cette  équation  détermine  p  en  fonction  de  Zf  z'  et  ir; 


de  Mrte  ^"îl  U*t  iMMilrn*nl  trasTa-  dex  i 
cef  rariaMa  ,  i^i  •«  rapportent  â  l'i'i  iiiili  iwi  ^  jWM 
p«r  rnri&oc  A  ;  iu  =  rS  Jn—rri  cubîIk  U  « 
mnrhe  <}cirlcon'|ue. 

ori  l'écoule  pv  l'orifice ,  il    bat   &irE  (= 

refit  il  efTeelurr  devra  être  prise  eotrt  lalinnles=^/(t 
x^  /-i-A;  d«t(gnofUpar  TV  la  fonrlion  de  /  c<  A  i]»  cm 
rteiltcri ,  nom  auroiu  (*) 


^-*^-^-4-(-^)=" 


Wi 


é^naiion  «nlrc  ti  et  (  <[ui  lert  à  trouver  U  tîI£u«  u  dn 
fluide  (jui  «'écoule. 

597.  Si  l'oriiïce  A  est  ialiDimeiit  petit,  ré<{Dation  pn- 
c«d«DU  M  f^duit  â  w^^tgh  j  ce  qvi  prouve  qae  lorsqu'un 
Jluitlë  incompressible  et  pesant  s'écoule  tfun  vase  par 
un  orifice  Infiniment  petit ,  il  a,  à  sa  sortie  du  vusf, 
vne  vitesse   due  à  la  hauteur  de   la  surface  supérieure 


(*}'I-/i.-i]unlioii  («]  peut  ^re  d^montrife  îniificJJpleniciil  p^rl» 
roiiooncaicnt  in^m»(|ue  noua  avom  employés  pour  obtenir  p.-car 
*i  cliai|iie  Ironche  fluide  n'ërpll  animée  que  de  11  Titeue  gdt — dv, 
il  y  ouroit  équilibre;  deiorie  qu'un  fond  qui  ferioeroîl  l'orifice  ^ 
ne  denroil  pas  dproover  de  preïitcm.  Or  la  preiuon  im  le  fond 
boriionlul  (377)  tu  S  { gdt  —  dv  )  di ,  l'tnléçrale  ét>M  pri»  dans 
tour*  l'éiftidne  du  Huide,  c'eit'l-dire  de  la  turface  ABi  l'ori- 
fice "fit  :  il  faut  doac  ici  que  cette  imégmle  loit  nulle  ,  d'où 
gdii'dt  —  Sdvdi  =  o.  Or  Sda  =  h ,  entre  let  Hmiies  »  =  /  el 
m^l^k.  On  >  iTOQvé  ei-dsWu9  S.dfdf,  seuleBaiH  il  faM 
rittodre  la  tccontlc  iioiilc  jurqu'i  l'orifice  :  Muai  oa  <AtieBI 
Nqu„ioo(.). 


ECOUL.   PAR  DO  OKiFiCKf  HOAlSONTAtTX.  465 

du  fluide  j  au^-dessus  de  ^orifice.  Cette  consëqaence  a 

liea  quelles  qae  soient  les  figures  du  Tase  et  de  rorifice. 

528k  On  peut  mettre  l'équation  (r)  sous  une  forme  plus 

simple  y  en  désignant  par  «  la  hauteur  due  à  la  vitesse  Uj 

ce  qui  donne  u'  =  2^«^  et  faisant  pour  abrége^^••.. 

h 
I  —  -j=p  =a  Mj  on  a 

.  kN  dm         ^ 

\/{:igm)         dt  '  ' 

529.  Tout  ce  qui  vient  d'être  exposé  a  Heu  y  soit  que  le  ^^i-  «38. 
vase  se  vide  sans  recevoir  de  nouvelle  eau,  soit  que  chaque 
pirtie  de  fluide  écoulé  soit  renouvelée  en  AB  par  une  . 
nouvelle  couche  de  fluide  ayant  méoie  vitesse  que  celle 
qu'elle  remplace.  Quand  le  premier  cas  a  lieu  yhj  z*  et  / 
sont  des  grandeurs  variables ,  il  convient  donc  d'obtenir 
une  rdation  entre  h  et  les  autres  variables. 

Les  volumes  de  fluide  qui  s'écoulent  dans  le  même 
tems  par  l'orifice  k  et  par  la  tranche  supérieure  K  étant 
égaux  y  on  a  kudt  on  k.  y^(  2^«)  ^/  =  — -  Kdh  :  on  met 
ici  le  signe  — ,  parce  que  t  croit  lorsque  h  décroit 
L'équation  (r)  devient  donc 

Khdh  +  Nhdm-'Kmfi ^\dh  =  o....{(p). 

Kh 
K  est  alors  fonction  de  /i.   Supposons  ■  =  —  Q  , 

=  P;  nous  aurons  d«+  Pmdh  =  Qdh.  Cette 

équation  s'intègre  par  les  formules  connues  des  équations 
différentielles  Unéaires.  (  Yoy.  CaL  inL  élém.  de  Lacroix , 
257  V  265 )•  On  obtient  ainsi  la  relation  entre  h  et  m} 

n  =z  e^  X  fO^  ^^'  O"  ^o  *"***  ensuite  une 

5o 


HmROBTNAMIQWE. 


mire  h  et 

ce  qui  donne  la  loi  des  abaisscnieas 

55a.  Un  des  obicls  i]u'< 
vue  daiit  }a  tltéoriç  qui 


k\H' 


aiîs  du  Rni^t. 
a  pins  particulièrement  w 
s  occupe ,  est  Je  vobnie  de 
Ituide  écoute  par  l'uriRcc  au  bout  d'un  tenis  donon 
Pour  le  déterminer,  observops  que  ce  volume  peul  élre 
regardé  comme  égal  à  celui  d'un  prisme  qui  auroit  l'ori- 
•ficc  k  pour  base  ,  et  une  hauteur  ^  variable  avec  le  tems  ; 
il  s'agit  donc  de  trouver  Ç  en  fonction  de  l.  Pour  cela, 
on  a  u'^iag-a,  (foii  udu  =^  gri»  et  uJl^zd!^.  Di- 
visant la  seconde  de  ces  équations  par  la  troisième,  on  a 


hd^  —  md^=M»d?^.. 


■■ixi- 


i 


5^1-  Lorsque  le  fluide  est  cous  tant  ment  entretenu  à  U 
miïine  baulcur  dans  le  vase,  K  et  Jif  sont  constans  ,  {r) 
donne  In  vitesse  u  en  fonction  de  i;  et  on  sépare  aisément 
les  variables  dans  l'équation  (x),  dont  l'intégrale  est 

CM  =  —  m  {log  Çh—  M*)  -h  C)  y 

«^o  donne  ^  =  0,  donc  C=:  — log./i,   et 

e  étant  le  nombre  dont  le  logarithme  népi^rien  est  ^  i. 

Ces  expressions  donnent  en  quantités  finies,  la  relation 

entre'  la  hauftor  Ç  du  prisme  de  Suide  écoulé  et  la  hau- 

tear  n  due  à  lA  vitesse  à  l'orifice.  Si  on  veut  obtenir  (  en 

_,     ,,      m-d^ 

fonclion  de  »,  comme  ual=:d^=  ^ 


-h=Si' 


en  renie  ttaot 


-     EcOUL.   PAR  DBS  ORIFICES   HORISONTAUX.  ifij- 

—  pour  tf ,  on  a  é//  =  2  Nk  .  — 5 — —  ,  JDrmule 

a^  ^  .  2gh  —  Mu*  '  ^ 

dont   rintëgratton  rentre  dans   la   théorie   des  fractions 

rationnelles. 

£nfin  la  relation  entre  /  et  Ç  se  trouve  aisément ,  car 
on  a  dZ=  ii^/  =  £f/.\/(2^«) }  mettons  pour  «  sa  valeur  ci- 
dessus^  et^  pour  fiiciliter  l'intégration  y  faisons  n=^-jrp.x*  • 

Al 

ce  quj  donne  4= _.log(i— x*),  et  ^Ç=  -_.__. 

^           ,             :tNk''        •  dx  .       ,        , 

Donc  dt  z= t-=r=-  . :  expression  dont  l'inté- 

gratidn  n'offre  aucune  difficulté.  Les  constantes  se  déter- 
minent ,  dans  ces  deux  derniers  cas ,  en  observant  que 
Ç  =  o  donne  /=  o,  «=o  et  x=:o. 

IL     DeVécoulementpar  de  petits  orifices}  Clepsydres. 

552.  On  ne  doit  pas  oublier  qu'on  a  supposé,  dans  tout 
ce  qui  "vieot  d'être  dit,  que  k  est  l'orifice  inférieur,  qui 
est  l'intersection  de  la  surface  courbe  qui  forme  la  paroi 
intérieure  du  vase ,  par  un  plan  honsontal.  S'il  n'en  étoit 
pas  ainsi ,  il  paroit  qu'il  se  formeroit  un  vase  fictif,  et  qu'à 
la  partie  inférieure  il  y  auroit  une  portion  de  fluide  sta- 
gnant \  mais  comme  la  figure  de  ce  vase  est  inconnue , 
il  devient  absolument  impossible  de  déterminer  les  cir- 
constances  du  mouvement.  Cependant  la  forme  du  vase 
étant  arbitraire  (526) ,  lorsque  l'orifice  est  très-petit  par 
rapport  aux  diverses  sections  horison taies  du  vase ,  on 
voit  que  le  théorème  démontre  dans  ce  paragraphe  est 
vrai,  lorsque  l'orifice  est  simplement  pratiqué  dans  la 
paroi. 


»5. 


',.  6a  *  us^ 


ffrtnuatniAV  iqus. 

v/(2gA),  r^-);  or  gA  en  le  foib   ' 


d'un  pdstne  de  Suîtle  qui  a  riinilé  pour  bue  «t  h  pgs 
ikUtleuf)  la  denïitc  élant  ::=  i  j  ainsi  ^Â  est  la  prcukm, 
lapportce  â  l'uuité  d«  suriace ,  <{ui  s'cxcrceroît  à  l'on'fict 
suppoftê  bouché  ;  et  celte  pression  esl  la  seule  cause  priH  i 
duclrîce  de  la  vitesse  u ,  pu)«c)ue  c'est  le  seul  élêineflt 
susceptible  de  modiricalion.  Or  toutes  les  fois  que  h 
hauteur  h  de  la  surface  supérieure  d'un  fluide  pesant,  au- 
dessus  d'une  surface  infiniment  petite,  reste  la  même,  1» 
pression  de  telle  surface  est  aussi  la  tncnic,  qudle  que 
soit  son  indinaison  (279;  ;  doqc,  ptiisque  cette  pressiùD  * 
est  la  seule  cause  productrice  de  la  vitesse  d'un  fluide 
jailb'ssant  par  un  orifice  infiniment  petit,  l'effet  produit 
ou  la  vitesse ,  sera  la  même  lorsque  la  cause  sera  la  aiinw. 
Ainsi  \/[^gh)  sera  la  vitesse  du  Duide  jaillis&ant  par  un 
orifice  iuRniiaenl  petit  sous  une  hauteur  /t ,  qucUe  que 
soit  l'ÎDcliuaison  de  cet  orifice ,  sa  figure  et  celle  du  vase. 

Les  circoDstiinces  du  ntouvcnieut  du  fluide  â  U  sortie 
du  vase  peuvent  donc  être  déterminées  d'après  ce  qu'oa 
u  dit  page  25u ,  puistju'il  n'est  <juestion  que  de  Lonsi- 
dérer  le  mouTeuient  d'uu  corps  lancé  dans  une  direction 
détemiiaée,  et  avec  une  vitesse  connue. 

Si  donc  un  fluide  s'«bule  dans  le  vide  par  un  orifice 
vertical ,  chacune  des  molécule*  décrira  une  branche  de 
parabole  à  partir    du  suinmet,  l'axe  de  cette  courbe  sera 

vertical  i  son  équation  sera  ^  z=  —  — —  ,  A  étant  la  Iiau- 

jeur  du  fluide  dans  le  vase  au-dessus  de  l'orifice;  en  faisant 
t:=-o,  dans  l'équation  (h'). 

554'  On  sait  (iSy,  V]  qu'un  mobile  qui  par  sa  cbute 
a  acquis  une  vitesse  due  à  une  certaine  hauteur,  doit  re- 
monter à  la  même  hauteur  en  vertu  de  celte  vitesse  ;  ainsi 
unfiuiàejaUlissatil  veriicakmeni  de  bas  en  haut  par  ut 


<% 


EcOUIi.   FAR   LS8    PETITS    ORIFICEtS.  4% 

peiii  orifice ,  dçii  remonter  à  la  jnénie  hauteur  à  laquelle 
ia  surface  du  fluide  est  élevée  dans  le  réservoir  .*  on  fait 
ici  abstraction  de  la  réifistance  de  l'air. 

5S5.  Be  ce  que  la  ritesse  dl'un  flaide  qui  s'ëcoule  par 
un  orifice  infiniment  petit ,  est  u  =  y/( ^gfi)  ^  il  s'ensuit 
que  si  le  fluide  est  entretenu  dans  le  vase  à  la  même 
hauteur  h ,  par  une  quantité  d'eau  àffluente  égale  à  celle 
qui  s'écoule,  il  sortira  dans  chaque  unité  de  tenis  un 
prisme  de  fluide  d'un  volume  =  A:  \/ (2^1).  Ainsi  le  vo- 
lume Q  qui  s'écoulera  pendant  un  tems  donné  (,  sera 

Q  =  kt^i^gh) \^). 

Nous  ferons  observer  que  cette  équation  renferme  quatre 
-  quantités  y  Qy  k,  t  et  A,  et  qu'elle  pourra  servir  à  dé- 
terminer l'une  d'elles  d'après  la  connoîi^sance  des  trois 
autres  j  ainsi  de  ces  quatre  choses  la  grandeur  de  l'oriflce  ^ 
le  tems  de  l'écoulement ,  la  hauteur  du  fluide  au-diessus  de 
l'orifice  y  et  le  volume  éisoulé  ^  trois  étant  données  y  on 
pourra  toujours  trouver  l'autre. 

Par  exemple  ;  si  le  vase  est  un  prisme  vertical  (percé 
à  son  fond  par  un  orifice  très-petit  )  dont  là  sçction  hbri- 
sontale  soit  A^^  Kk  est  le  volume  du  fluide  qult  contient. 
Si  donc  on  fait  QzziKh^  le  vasey  entretenu  constamment 
plein  y  eraplpiera  à  la  dépense  d'un  volume  d'eau  égal  Kh^ 
c'est-à-dire  égal  à  celui  qu'il    contient  y    un   tems..' • 

Il  suit  aussi  de  l'équation  (  ^  )  que  lorsque  deux  va^c& 
sont  entretenus  constamment  pleins  ^  les  quantités  de  li- 
queurs qui  s'écoulent  dans,  le  même  tems  sont  entre  elles 
tïomme  les  produits  des  orifices  par  les  racines  carrées  des 
hauteurs.  Car  on  aura  pour  le  second  vase  Q'  =k'  t^{igh')y 
<n  marquant  d'un  trait  les  lettres  qui  se  rapportent  à  c  « 


■pv^ 

1 

M 

■ 

^M 

n      <-•• 

lIïDHOnïKABKÇtlE. 

1    *    „„,  =  ..,. 

Je  la 

Aù)s 

««.oi. 

1                     saut  par  espérie 

ocece 

qui  est  r 

l.lifiil'u 

idcsé 

i                       un  pourra  diitcrminer 

et  qui  . 

rapport  à  1 

aulre. 

^^_             356.  Lorsque 

l'eau 

qui  l'rL 

uule  n'est 

ni  en 

tolalilé  ni 

^^^|h      eu  partie  remplacée 

l>  vlteu 

i  l'orifice  dimiD 

ue  graduel- 

^^M      lement      mesur 

e  que 

le  finid. 

s'abaisse  dans  le 

vaic.  L'eu 

jaillit  donc  a\ec  une  force  de  moins  ea  inoins  grande,  el 
l'amplitude  du  jet  diminue  sans  cesse* 

Si  donc  K  désigne  l'aire  de  la  section  da  vase  par  un 
plan  passant  par  la  surface  supérieure  du  fluide  au  bout  en 
tenis  ( ,  :  la  bauteur  <k)nl  pendant  ce  (puis  le  fluide  s'est 
abaissé  ,  el  h  h  hauteur  du  fluide  au-dessus  de  |l«ri!ice  au 
eummenccment  du  lemsj  h- — z  sera  celte  liauWur  au 
haut  du  tenit  / ,  et  on  aura  pour  la  vjtesse  à  l'oriËcï 
V'i3g(A — Sjj.  Celte  vitesse  peut  être  regardée  comoiï 
constante  peDdaal  le  tefus  dl  durant  lequel  il  s'écoulera  no 
prismi'  de  fliiide  qui  aura  rorifii-^  A  pour  biise  et 
ï/(  V'l_^-g(/'  —  =  j]  pour  hauteur.  Ainsi  le  volume  du 
fluide  écoulé  pendant  l'îpstantV^estWf  ^/ [2g[A — «)]■ 
Mais  pendant  ce  tems  la  surface  supérieure  du  Ûuide 
s'est  abaissée  de  dft ,  et  le  vase  a  perdn  ud  cjlind^e  de 
(luide  a^ant  df  pour  ha^eur  et  K  pour  base  ,  cjrlindre 
doflt  le  volume  es,t  pw  conséquent  Kttz  :  en  égalant  ces 
deux  valeurs  ,  on  en  conclut 

'''=  h^l.gih-.)] ' ^'- 

Comme  l'ajre  K  doit  ftre  donnée  en  ftmchoB  de  *, 
parOa  forme  du  vase  ,  le  second  membre  de  cette  équa- 
tion ne  contient  que  la  variaMe  i  j  et  il  sera  très-aisé  de 
connaître  ,  par  une  intégration  ,  les  abaitsemens  successifi 
du  Auide  dans  un  vase  de  fonne  donné*. 


ECOUL.   PAU  IiE8  PCTITS  ORIFICES.  i^fl 

SS^*  Appliquons  cette  théorie  à  ^ucSqueis  lexemples. 

I.  Si  le  vase  estunfNrisme  en  un  cylindre  vertical,  l'aire 
iC  est  constante  'Ot^égaie  -à  la  section  honsontade  du  corps, 
jy^isi  on  a 

* 

Lorsque  le  tems  /  est  nul ,  l'abaissement  z  de  la  surface 
supérieure  du  fluide  est  nul  :  ainsi  on  a  en  même  tems 
j^  =  o  et  /=o  ;  cette  condition  détermine  la  constante  Cy 
et  donne  pour  le  tems  de  l'écoulement  d'une  hauteur  z 
de  fluide 


l^h^V^Ji^z]. 


On  peut  trouver  aisément  le  tems  de  l'écoulement 
total;  il  ne  «'agît  pour  cela  que  de  faire  z  =  h  y  et  on  a 

IC           ^  h 
1=  -7— .  \/ •  Ce  tems  est  double  de  celui  qui  a 

kg  ^ 

été  trouvé  (356)  pour  le  cas  où  le  va^  re$\e  constamment 
pleÎQ. 

JJ.  S'il  s'agissoit  en  général  d'un  toHde  de. révolution ^ 
dont  Taxe  fut  vertical ,  K  saroit  Paire  d'un  cercle  qui 
auroitpour  rajon  l'ordonnée  /  de  la  courbe  génératrice; 
en  auroit  donc  K=wx* ,  et  l'équation  (#)  donnerait 

■        ^  ,r     cT'^ 


Il  ftudroit  mettre  j^ur  j*  S2l  valeur  dédm'te;  en  fonction 
ié  Zy  de  l'équation  de  la  courbe  génératrice^  et  in-? 
tégrer  :  en  coniplettant  l'intégrale  de  manière  à  avoir  en 
même  tems/  =  0;  et  ;(=0;  on  auroit  par  là/ en  fonction 
4e  -î^ 


liir    llntdr    'tu 

■4'  e>  MBKlfnnni  'M  * 


ifiMnrrr  ]<•  t^nM  fmplojréi  ilans  l'écotilement  par  les  titSê- 
fpfi»  ■hni<«''n>-nt  ffq  flniitc.  On  oomme  un  [tarai  svattee, 
Hotitt^  ifeat  no  CJ^^rrhv:.  C«s  machiiici  o«!eim«nt  une 
^*^  int<TPWi»»rt»  iJsTt»  l'hiïloire  d^smencnet  des  arts,  pv 
l'ma^r  rjn'^n  ont  fflil  l«t  ^mcieits  peoples  pour  la  Busan 
'In  tCTTt!.  On  .«n  aurihiip  l'invention  à  Scipion  INanca.  ipi 
vivnif  '■nvimn  700  »ii»  avant  Jésus-Chrirt  ;  auà  il  «st 
l'rni^emhlabl?  riii'il  i^n  »  Miilrmenr.  tait  «Hinoitre  I'a»Be  à 
florrrp  ;  et  ^nc  le»  E((yptien» ,  qui  s'en  servaient  pour 
>ntn;rer  I«  rniir.t  da  »o\tn\  ,  les  connoiBsoieiit  a  uaa 
'poqup  fi^rt  anii^TiMire.  [/usage  des  horloges  a  pendolcs 
■Sbchrnnvil  tenait  t  d«i  nmions  qui  eii^eDÎent  le  concours 
')ef  décOtifArtM  faites  postorieurcmrnl  daus  les  sciences 
fi  te»  flrto. 


^ 


ECOVL.    PÀK  LES  PETITS  OKIFICXS.  4?? 

La  manière  dont  les  anciens  ont  tiré  parti  de  l'ëconU* 
ment  de  l'eau  pour  sous-diviser  la  durée  aes  années  et  des 
jours  est  souvent  très-intéressante.  Les  idées  de  l'eau  qui 
s'écoule  y  et  du  tems  qui  fuit,  offrent  par  leur  rapproche*» 
ment  des  images  agréables  et  des  comparaisons  y  que  la 
philosophie  et  la  poésie  ne  pouvoient  manquer  de  saisin 
La  clepsydre  de  Ctesibius  en  offre  un  exemple  ingénieux. 
On  ne  peut  se  refuser  à  une  secrette  et  douce  mélancolie 
en  voyant  Teau  s'échapper ,  en  forme  de  pleurs  ;  des  yeux 
d'une  figure  qui  Semble  payer  ce  tribut  de  regrets  aux  ins- 
tans  qui  s'échappent.  Cette  eau  se  rend  dans  un  réservoir 
vertical ,  où  elle  élève  une  autre  figure  qui  tient  une  ba- 
guette au  moyen  de  laquelle  ,  et  de  son  ascension  gra« 
dùclle.;  elle  indique  les  heures  sur  une  colonne.  Le  même 
fluide  sert  ensuite  de  moteur  dans  l'intérieur  du  piédestal 
à  un  mécanisme  qui  fait  faire  à  la  colonne  une  révolution 
autour  de  soti  axe  ;  dans  un  an ,.  de  telle  sorte  que  le  mois 
et  le  jour  où  l'on  est  se  trouvent  toujours, sous  l'index, 
c|ont  l'extrémité  parcourt  une  verticale  divisée  convena- 
blement. 

559.  Il  est  évident  que  tout  vase  peut  servir  à  former 

une  clepsydrQ  )  mais  la  inanière  la  plus  commode  seroit  de 

se  servir  d'un  vase,  dont  la  forme  fût  telle  que  des  portions 

égales  de  tcms  fussent  mesurées  par  des  divisions  égales  de 

l'axe  vertical  du  vase.  Si  donc  on  veut  que  le  fluide  s'abaisse 

d'une  grandeur  donnée  a  datis  chaque  unité  de  tcms  , 

dz  ' 

connue  --7-  représente  l'abaissement  du  fluide  dans  cette 

dz 
unité ,  il  suffira  de  faire  — -  =r  a ,  ce  qui  donnera  pour 

l'équation  («) 

aK=ky/l^g{h'^z)'\. 

ht  rapport  entre  K  tX  z  est  d'ailleurs  arbitraire ,  c'ett-à- 


4lû«<]u''fin  peut  disposer  de  l'aire  K  répondant 
cemeiit  z.  Supposi 
que  le 


;  cela  . 


en»l^e, 
:  soit  rymptrique  par  rapport  à  l'an*  vertical 
pourra   prendre    pour  A'   une    fonction    arbi- 


traire (\y)  d'une  ortlonnée  ttorisostak  ,  et  réquatimi 
^{y)^  ky  ^g{h  — t)3  sera  celle  (in  profil  Terlicïl  de 
ia  clepsydre.     ■ 

On  pourroil ,  si  on  jugeoît  à  propos ,  prendre  pour  Im 
•baissemens  du  fluide  pendant  des  tems  successifs  égaui 
Qtte  fonction  du  tems  ;  il  faudroil  alors  faire  dans  l'équa- 

tioa(w),  — j-  =^^{t);    mais    ce    seroit    une    gcnéraJiU 

inutile  pour  la  pratique. 

Si  on  suppose  (jue  l'on  -veut  TOnstruïre  le  vase  de  ma- 
nïtTe  à  obtenir  des  roclanglcs  pour  les  sections  horison- 
tales ,  en  nommant  p  l'un  des  cfiiés  et  y  l'autre,  il 
feuifra  faire  K  •=  pjr  j  et  substituer  dans  l'équation  pré- 
cédente :  on  aura 


j"=2gC^- 


(0- 


qui  appartient  à  la  parabole  ;  àjnsi  le  profil  vertical  du 
vase  sera  une  parabole  dont  le  sommet  est  ta  bas  à 
l'orifice. 

De  même  ù  oa  veui  que  les  mctiotia  K  acuent  de» 
cercles  ,  il  faudra  prendre  K  =  a-j*'  ,  ce  qui  donnera  pouç 
l'équation  du  profil  vertical  de  la  clepsjdre- 

■   *  ^ 


j^^.^(A_.«)(A)\ 


540.  Il  Jf  a  quelques  corrections  à  faire  aux  dévelop- 
pemens  qui  vie«neDt  d^dtre  doaifés.  Sans  l'ëtat  ptij^i^» 


Clepsydres.  4?^ 

des  choses  y  lorsque  ]a  surface  du  fluide  approche  de  l'ori' 
fioe  ^  il  se  fomi«  an  -  dessus  de  cet  orifice  une  esfièce 
d'eatoimoir  dans  lequel  l'air.  s'iBtrddnk  y  ce  qui  empêche 
^u  partie  le  fluide  de  sortir  et  change  la  nature  de  Fécou- 
lement.  Ce  que  nous  venons  de  dire  n'a  donc  lien  que 
jusqu'au  iiionient  où  l'eftionnonr  commence  à  se  former  ; 
et  cela  arrive  y  pour  l'ordinaire  y  lorsque  ia  surface  du  fluide 
est  à  un  décimètre  de  l'orifice. 

De  plus  ^  on  a  reconnu  par  l'expérience  y  que  lorsqu'un 
fluide  incompressible  s'échappe  d'un  vase  par  une  ouver- 
ture ^  que  je  supposerai  circulaire  y  le  jet  n'avoit  pas  une 
forme  cytindrique  et  diminuoit  progressivement  de  dia- 
mètre y  depuis  l'on'gine  jusqu'à  une  certaine  distance ,  peu 
différente  dans  heaucou|>  de  cai  du  demi  -  diamètre  de 
cet  orifice.  Aîmâ  le  jet  aâeote  y   dans  cet  intervalle  y  la 
forme  d'iiu  cône  (tronqué  4iont  la  grande  base  est  Forifice 
même.  Or  y  pour  é¥akier  la  dépense  y  il  ^«t  à  cet  orifice 
si^tituer  la  p^te  base  du  cAue  tronqué  qui  renferme 
tous    les  filets   fluides   jaiUissans  hors   du    vase  y   lors- 
qu'on   coRQoit    ou    la    vitesse    eocnraune  ou   la   vilesse 
moyenne  d^  ces,^lets.  La  diminutioa  du  diamètre  du 
jet  y  depuis  l'orifice  jusqu'à  une  certaine  distance  de  cet 
orifice  y  est  ce  qu'on  a  appelé  la  contraction  de  la  veine 
fluide. 

L'expérience  a  a^^iis  que  lorsque  l'eau  «'«coule  d'-un 
vase  par  un  petit  onfice  percé  dans  une  mince  paj<oi^  la 
dépense  effective  est  à-peu-près  0^62  de  la  dcjiense  théo- 
rique calculée  par  la  fomrale  du  n^.  55 1.  Ce  déchet  est 
occasionné  par  la  contraction  de  la  veine  fluide  y  et  il  de- 
meure le  même  lorsqu'on  adapte  à  l'orifice  un  ajutage 
dont  là  longueur  est  égale  à  la  distance  de  cet  orifice  à 
la  section  de  la  plus  grande  contraction  y  et  dont  la  paroi 
intérieure  a  la  forme  conoïde  atffectée  dans  cet  intervalle 


I  ;]BI[P3  areteasc 


\rpetic  notïa. 


-    ■rif™.     -t   QBB- .1.   T»— 


^ 


£qU.    GiNÉRJUtM- ^t^  MOUV»    IMES   FLUID18.  J^ 

m 

tst  le  produit  des  trois  arêtes  ci-desM5  ou 

Que  le  fluide  soit  ou  non  compressible  y  la  masse  Ddxdydz 

-ûfdL  pu  changer^  ainsi   sa  différentielle   est  nulle;  D  est 

la  densité  de  la  molécule  :    on  a    donc  par  logarithmes 

dD  d{Jxdrdz) 

H ; — ', — 7"^  =  o  :    or    la    différentielle    de 


éD     ,    /  du  dv  dv\    , 


•  JJ  dxdjrdz 

dxdjrdz  ne  se  prend  pas  ici  par^  les  voies  ordinaires  ^  et' 
il  est  clair  qu'elle  est  l'accroissement  du  volume  qu'on 
vient  de  déterminer  \  donc 

dD     ^    f  du     ^     dy  dv 

Les  vitesses  Uy  f^  et  v  sont  des  fonctions  de  ^  liées  2i  Xy 
j^  et  z  par  dx=zudt*» ..  ainsi  les  intégrales  de  nos  équa- 
tions {A)  et  (B)  résolvent  le  problème  proposé)  et  comme 
elles  sont  aux  différences  partielles  y  elles  comportent  des 
fonctions  arbitraires  qui  .dépendent  du  mouvement  et  de 
la  disposition  du  fluide  au  commencement  du  tems. 

544*  n  faut  distinguer  deux  sortes  de  variations  y  comme 
pag.  573  et  460  'y  tantôt  le  tems  est  constant }  on  com- 
pare alors  au  même  instant  deux  molécules  fluides  :  tantôt 
on  suit  une  métne  molécule  dans  ses  diverses 'positions  suc- 
cessives 'y  c'est  de  ce  dernier  cas  qu'il  s'agit  principalement 
ici.  Or  le  lieu  d'une  mcriécule  est* déterminé  à  l'instant 
donné  y  lorsqu'on  connoît  les  coordonnées  a  y  by  c  y  qui 
fixent  sa  position  initiale  :  ainsi  Xy  j y  z  sont  des  fonc- 
tioBS  de  a^  hp  c  et  I  :  on  doit  en  dire  autant  des  vitesses 
Uy  V ,  Y  fX  de  la  densité  D  lorsqu'elle  est  variable.  Si 
donc  on  connoissoit  cette  fonction  pour  Uy  ou 

u-sstf{aj  hy  c^  t)f  on  obtiendroit -^  en  différentiant 


Mo  HyDIMDYMAMIQtrE. 

y  relstivçment  k  t  seul.  Mais  il  n'en  est  pas  aiosi  ;  poer 
la  connoiuance  actuelle  Àa  mouTement  du  fli];de ,  il  mffit 
de  connoitre  à  chaque  instant  celui  d'une  p-jrticule  qui- 
conque qui  occu|>e  ud  lieu  doncé  dans  l'espace,  saiu 
qu'il  soit  uécessaire  d'en  connoitre  les  étals  prtcideiB- 
II  est  donc  plus  simple  d'envisager  u  comme  fooctton  <ie 
X,y,  Z  et  /,  ou  u^  F  {_x  ,  j- ,  z,  t);  ce  qui  suppose 
iju'oc  a  substitué  dansyCa,  b ,  c  ,  t)  pour  a,  b,  c,  leurs 
valeurs  ^■ax,J',se,\.t,  dont  ou  a  vu  qu'elles  sont 
fonctions.  Or  outre  les  /  qui  eiisteul  dans  /",  cette  sulisii- 
tution  en  introduira  d'autres  qu'il  faut  regarder  comme 

constani ,  lorsqu'on  veut  déduire  —7-  de  i^  au  lieu  de/> 

ainsi  il    ne  faudrait  pas  faire  varier  (  d 

Donc  la  différentielle  relative  à  f  de   - 


^a: 


dt 


du 


compose  de  —7-  et  des  difTêrentielIes  de  F  relatives  à  t 
considéré  conuDe  faisant  partie  de  x,  y,  z.  Il  en  résulte 


f:  ^_du         du^  dx^        du    djr  du    dz 

'  ~"H  "^.dx'  dt    "^  dj  '~dr  "^  dr*"Â"  • 


•  pour.., 

Y  n  c  de 

résuitaU 

Dalo 

d'x 

^- 

è-' 

dp 

1+" 

è-' 

dv 

IF- 

^+" 

dv    . 

dy 
*• 

'~\dt  ^"-^  +''^+''  dz) 


^ 


EqU.    GlÊKéRALKS  DU   MOUV.   DES   FLUIDES*  4^1 

len  introduisaiit  ces  valeurs  dans  (A)  et  (B)  ;  on  a 

da  —  £L  —  ÉL^u    Aj,v    A^v    -^      (€) 

^  =  udx  -h  f^y*  +  ydz.  •  • j. . . .  •  (jD) 

é/Z)         ^.-Dm    ,     d.Dy    ^     d.Dv  _ 


i//  dx  dy  dz 

La  première  équivaut  toujours  à  trois  autres  ^  et  ^  pour 
abréger^  on  y  a. désigné  par  ^  la  valeur  exprimée  par  la 
seconde  :  la  #oisième  exprime  la  continuité  du  fluide } 
lorsque. le  fluide  est  homogène  et  incompressible^  D  est 
constant  et  disparoit  de  (E)  ;  on  a 

du  d{^  dv  „^ 

dans  tout  autre  cas  D  est  une  fonction  donnée  de  p  ou 
de  or,  7*  et  ^.   . 

344-  Malgré  la  forme  plus  simple  de  ces  équations  ^ 
elles  sont  encore  tellement  compliquées  ,  que  leur  inté- 
gration et  la  détermination  des  fonctions  arbitraires  surpasse 
de  beaucoup  les  forces  de  Tanalyse.  Cependant  l'intégration 
s'ex^ute  en  général  dans  un  cas  très-étendu  ^  c'est  celui 
où  la  fonction  ^  est  une  différentielle  exacte ,  relativement 
9i  Xj,jr  tl  z.  Car,  soit 

,            d(b            dtb            dtb 
X=df,d'oaU=-^,y=-^yy=-^ (G) 

l'équation  (C)  s'intègre,  D  ëtant  fonction  de  p,  et  on  a 
rdp  _  d^  f  d^'       dr      dtp*  \ 

^-J  -D=-dr+}{d^-^:^+dFf ^^ 

La  fonction  arbitraire  de  / ,  que  nécessite  cette  intégration ,. 
peut  être  regardée  comme  comprise  dans  f.  On  déter- 
minera p  et  f  ;  et  par  suite  W;  f;  v,  en  fonction  de  ^, 
.  5i 


X  et  Zy  »  l'aiiilc  des  équations  {G)  et  (H)  jointei  à  eâU 
(£)  de  la  continuitc  du  Huide ,  qui  pour  les  fluides  in- 
ConipreMibLes  at  homog^oei  est 


dx' 


d'If 

-dr 


dz^ 


-(/) 


345'  Quoiqu'il  puisse  arriver  qu'on  sache  tirer  parti  de 

l'équation  {C)  sans  que  x  J  s**'^  différentielle  exacte,  on 

voit  cependant  que  la  question  se  simplilîe  beaucoup  ïlon. 

U  convient  maiBlenant  de  chercher  si  la^orictioB  x  <^' 

une   différentielle   eïscte ,  sans  qu'on  soit  obligé  de  la 

connoltre   en   x^j",   z,   puisqu'elle    n'est   donuée   qu'en 

il,    V,    V,   dont  la    recherche    fait    partie    du  problème. 

Supposons  que  pour  une  valeur  déterminée  ée  t,  x  jouisse 

en   effet   de    la  propriété    ci-dessus  ;    ^  deviendra  daai 

dx 
l'initant  suivant  x'\~  ~jr  "^'i  o*"  (^)  donne 


di 


^- 


jp 


•Ir. 


g  est  supposé  ici  avoir  la  valeur  qui  r^>eDd  «n  premier 
Instant ,  et  peut  par  conséquent  être  représenté  p«r  rff  ; 
les  trois  derniers  termes  sont  donc 


=  ~id\ 


dx^ 


dip^ 


(/^* 


")!  + 


* 


est  encore  une  différentielle  exacte.  Donc  si  pour  un 
instant  déterminé  x  «^'  ""^  différentielle  exacte  ,  U  le 
sera  aussi  pour  tous  les  instans  suivons  et  ne  le  sera 
tjue  dans  ee  cas.  Or,  on  connoît  opdinaireineTd  l'élst 
initial  du  fluide,  il  s«ra  donc  aisé  de  savoir,  lorsqae 
t^o,  si  X  jou'*  ^^  '^  propriété  dont  il  s'agit,  ce  qu' 
servira  à  faire  connoitre  si  j^  en  jouit,  quel  que  soit  i. 


Lorsque  l^o,  si  le  fluide  n'a  aucune  vUetse, 


Il  s'il 


O 


EQtr.  6éNÉi!iAi(«sft  ^t;  mouv.  des  fluIdes.       4BS 

ti^a  que    cellef  que   ^omman^tt  un   piston  ^  ^  est  une 

difTërentMlle  exacte  puisque  u  ^  f^  et  v  sont  ^  à  cet  instant , 

nuls  ou  eonstans  dans  tont  le  fluide.  La  même  chose  arrive 

lorsque  les  vitesses  u,  (^  et  v  sont  infiniment  petites^  quelles 

qae  soient  d'ailleurs  les  circonstalnces  initiales  du  mou- 

rfp*      dp*      d^* 
vement  j  car  en  négligeant  -^-^  j  -j-^  i  -r —  ^  on  a  encore 


une  'différenîiéïle  exacte. 


EL 
di 

546.  Le  fluide  étant  incompressible  et  hoihogèiie ,  cher-  '*k-  *'•• 
^rhôns  Us  lois  de  Pécotdement  par  un  orifice  h  pratiqué 
'àu'  vase  ABpq  qui  le^^contient  ^  en  admettant  cependant 
rbypothèse  du  parallélisme  des  tranches  (^25);  prenons 
les'  t  positifs  sm*  la  verticale  Ck  et  de  haut  en  bas  j  q  sera 
z=sgjs}  lés  vitesses  u  et  v  seront  nulles  ^  et  v  sera  la  vi- 
tesse d'une  tranche  quelcoiique  7^ F  dont  l'aire  =4  et 
l'ordonnée  CQ  =  «.  Les  équations  (H)  et  (/  ou  F) 
deviennent  I  en  supposant  la  densité  D=zi  ^ 


ji^gZ^f  = 


.di  ^^'  dz^  '  ir— ^' 


Or,  on  a  (comme  p.  465)  kudt^z^dz  ou  itM=={v, 
u  étant  la  vitesse  du  fluide  à  l'orifice  et  fonction  de  i  seul: 

,  dp  ku        j,  ,  -       P<^*     ,    ^ 

donc    .^=-7— j    d'on    pz=iku%i  -r-+^,   et.... 

'JÊA  du     'P  dz 

—-  =  k  —r  / h  C'  ;  C  et  C  étant  des  fonctions 

de  i  dont  l'une  est  arbitraire  y  et  qu'on  détermine  comm^ 
il  a  été  dit  précédemment  (  p.  465  ).  £n  substituant  ces  vaw 
leurs  dans  celle  de  p^  on  détient  visiblemeOTjf  )  et  par  suite 
toutes  16"$  conséquences  qui  en  résultent. 

547»  Lorsque  le   fluide    n^a  que  de    très-petits  mou- 
yemens  on  peut  négliger  les  carrés  des  vitesses  m  ,  f  et  v  > 


■t  omnie  l'ctjiutMn  [H)  a  tien ,  die  m  dnnge  «8 


-fi 


àp    _  ttf 


di 


.(« 


C'est  à  cetic  «quation  qn'il  &at  rapporter  [e  i 
dei  ondes  el  le  son  ;  mais  il  faat  emplov^er  en  oatre  (£% 
P<NH-  donner  an  eietnple  de  l'usage  de  ces  éqtutioiu, 
cherchons  le  mouvemenl  d'une  l%iie  sonore  bonsontaJei 
l'air  est  ma  dans  un  tube  dont  la  direction  est  celle  àtsx: 
r  et  V  sont  nais  ;  il  en  est  de  m Jme  y  ,  lorsqu'on  iait  ab*- 
traclion  de  la  gravité.  Soit  D' la  densité  de  l'air  dam  l'cUt 
de  repos  ;  l'élasticiiè  la  changej^  ca  D  ^  D'  (  i  -|- 1 .' ,  pai 
i'eflet  du  mouvement,  s  étant  d'aillecn  trè»-petît  :  dt 
plus,  tf  étant  une  constante ,  on  a  p=:i^D,  q*.mi. ... 

f  ~yr  ^=fl'.log(i-+-J)>  (A!)  et  (£)  derieBocnl  donc 


d^ 


=— a'.log(i  +  i) 


,  +  j) 


ȱ^^ 


en  négligeant  "--^  ^i  ^t  da  V.    ordre.  Divisons  li 

(fa 
•econde  par  \-\-  s  y  et  mettons  pour    sa    valeur 

^  .  d  f  -7—  1   tirée  de    la    première  ,  nous  aoroos 

,  dont  l'intégrale  a  été  trouvée  p.  582. 


rf*$ 


"dp"' 

Non»  bornerons  ici  celte  théorie  ,  en  renvoyant  aui  Mé~ 
moires  de  Lngrange  et  Laplace ,  el  à  la  MècoMique  analy- 
tique .  p.  487  et  5o5  ;  nous  pensons  (jue  le  peu  <{ue  nous 
avons  dit  iai  sur  cette  matière  si  délicate  rendra  plus  facile 
]'iiitelligeDce,ik  ces  excellens  ouvrages. 

/ïn  de  FHfdrodynamiquo. 


^ 


iK« 


CALCUL  jyES  VARIAflQP^S. 


VjIbt  Ouvrage  devant  servir  d'étude  préliminaire  aux. 
traités  de  Mécanique  transcendante  ^ .  nous  avons  jugé  utile 
de  mettre  à  la  portée  des  étudians  le  calcul  des  variations 
qui  y  est  d'un  usage  important  et  général. 

Les  problèmes  des  Jsépérimèlres  avoient  déjà  été  résolus 
par  divers  géomètres  avant  la  découverte  du  calcul  des  varia- 
tions :  mais  les  procédés  dont  ils  se  servoient  ne  focmoientpas 
un  corps  de  doctrine^  et  chacun  de  ces  problèmes  n'étoit 
•résolu  que  par  une  méthode  qui  lui  étoit  particulière ,  et 
-par  des  artifices  d'analyse  souvent  très-détournés.  (  Vojrez^ 
pag.  280.)  U'appartenoit  au  célèbre  La  Grange  de  ra- 
«lener  toutes  les  solutions  a  une  méthode  unique  y  à  une 
marche  uniforme.  C'est  sur-^tout  dans  la  Mécanique  trans- 
€endanté  où  elle  joue  un  rôle  important^  et  on  peut, 
même  regarder  cette  science  comme  le  triomphe  de  ce 
genre  de  considérations.  Voici  en  (]uoi  ^Ue  consiste. 

Etant  donnée  une  fonction  ^  de  plusieurs  variables 

aCy  jr on  peut  se  proposer  de  la  faire  jouir  de 

diverses  propriétés  (  telle  TE[ue  d'être  un  maximum ,  ou 

toute  autre  )  ^  soit  en  assignant  à  ces  variables  des  valeurs 

numériques  j  soit   en  établissant  des  relations  entre  ces 

variables  et  les  liant  par  des  équations.  Soit,  par  exemple^ 

Z  =  /^(x,  j-,  r'^y )\  les  quantités  j-%  y'^^ 

dr        d^ 
désignent  ici  les  coeiliciens  di^érentiels  -^  y  -^-^ 


N 


•  • . 


•  •  ^.  », 


c«  qui  tMiffO-u:  «joe  ■*  ci  j-  toat  bn  par  une  i 
foutudU,  id^  ^ley^f  ar.  Si  c^tte  éijiiatioD  est  ilonaée,1 
OB  «n  cUihiit^',  ^*. .  ■  ra  fonction  de  x  ,  et  sabuituul, 
Z  derient  ^/x.  Panni  touln.  les  Tdlnur  qu'on  peiit  I 
allrilKier  à  7  ,  on  peut  dtlenraiwr,  par  les  règle  coBBoa 
du  calcul  di/Têrenliel ,  «Sa  tpn  reodemyi-  un  maximum 
ou  un  minimum.  Mais  si  J'équatïOB  ^  =^  çx  n'esl  point 
donnée,  alors  en  prenant  taccesàvetnent  pour  fz  diC- 
f^ntet  fûnnes,  la  fonction  Z^fx  prendra  elte-iiiê»e 
diflférentei  eipre&si'ons  en  X,  et  on  pent  se  propOHr 
d'auifner  â  flix  une  forme  telle  que  Z  soit  pins  çnodt 
ou  plu)  petite  que  pour  toale  autre  forme  de  fx-,  ^ueBt. 
tjue  soil  d'ailleurs  la  valeur  nunlérique  df  t.  Celle  der- 
nière espèce  de  problème  appartient  au  calcul  des  varia' 
tîona-  Il  (.'ea  faut  de  beaucoup  qu'il  se  home  à  la  théorie 
de*  naxima  et  minima  ;  mais  nous  nous  contenterooi 
de  traiter  cette  matière,  parce  qu'elle  sufTiI  pour  rintel- 
iigcnce  complelte  de  ce  calcul.  N'oublions  pas  toutefois 
que  dans  ce  qui  va  être  dit  les  variables  i  et  y  ne 
sont  pas  indépendantes i  mais  seulement  que  l'éqoatiiJii 
jr  ^^  çx  qui  les  lie  entre  elles  est  inconnue;  et  qu'on 
ne  la  suppose  donnée  que  pour  faciliter  la  rcsointioa  du 
probMme- 

Mettons  x -\- i  pour   x,  et  j"  +  A  pour  ^  dans... 
Z  =^  F {x ,  j ,  jr',  j^ii ) ,  Z  deviendra 

Z'  =  F{x+i,j+k,  j-'  +  A',  j-'+A^...)- 

i  et  k  sont  deux  fonctigns  de  x ,  donl  l'une  est  arbi- 
traire, et  donl  l'autre  en  dépend  en  vertu  de  l'équalion 
jr  =  ^x  :  /',  /" ....  sont  pris  ici  dans  la  mi^mi  sjgm'fica- 
lion  que  j"',  j'" .  • . ,  D'après  les  principes  connus  ,  le 
théori'nic  de  Taylor  ajant  lieu  (  Calcul,  diff.  éUm.  de 
Lacroix,  121,  38),  soit  lorsque  les  quantités  x,jy  /,  k.... 


î 


CâLCVH.   X>S9  TARIATIONf*  tfi^. 

mm  dépeAdtut^,  tok  jorsqu'elies  scst  î^dëpeadantM , 
.Ma' 

**!>«  «iKe  qu'ott  pout  rtgardtr  ^r,  Yj  rS  f^ **••  comme 
autaoi  de  variables  indépendantes  ^  en  iaat  ^'il  ne  a'agit. 
^pie  de  trouver  ce  dëveloppeiuenU 

Celé  pGs^  y  la  nature  de  la  qviestion  exige  que  l'équatiott 
yT::r.^x  ait  été  déterminée  de  manière  que,  quelle  que^ 
âOfl  la  valeur  de  â?  ^  or  ait  tonjonrs  Z'  >  Z ,  ou  Z'  <  Z  ; 
en  raisonnant  comme  dam  la  théorie  des  maxùna  et 
wninima  ordinaires  ^  on  voit  qu'il  faut  que  les  termes  du 
prenaîar  ordre  sdient  «nb  y  et  qu'on  ak 

<te  4r  4r  djr 

Comme  Pûne  des  deux  quantités  K  et  i  est  une  fonc-*- 
tîon  arbitraire  de  :r ^  on  peut  supposer ••••.•.•«••..• 
i=:a+^  {x — X)-\-  \c(x — -X')*-4-etc.,  Xy  a,  ^,  c* 
étant  quelconques  ;  or  comme  cette  équation  et  ses  difïe-<^ 
rentielles  doivent  avoir  lieu  ^  quel  que  soit  x ,  elles  devront 
subsister  lorsque  xz=Xy  ce  qui  donne  k  =  ay  k'-=iby. 
A^  =  c.  • .  •  donc  notre  équation  ne  peut  être  satisfaite  , 
vu  Pindépendance  de  a  y  h,  c,.«.,  à  moins  que  chaque 
terme  ne  soit  nul.  Ainsi  elle  se  partage  en  autant  d'autre» 
qu'elle  renferme  de  termes  ^  et  on  a 

dZ  dZ  dZ  dZ     '  ÂZ 

fn.)  étant  l'ordre  le  plus  élevé  de  Z.  Ces  diverses  équations 
Verront  «(^accorder  toutes  entre  cBwi  ^  et  subsister  en  même 


r 


CaïCUL  SZS  VAKIÀTtOItS. 

leiiis ,    quel  que  soit  x  :  si  cet  accord  a  lieu 
maximum  ou  minimum,  et  la  relation  qui  en  résuUcn  ^ 
entre  j"  et  x  sera  l'équation  cherchée  j-  r=i  ç^  ,  qui  a 
propriété  de  rendre  Z  plus  grand  ofi  plus  petit  que  ne  ' 
pourroit  faire  toute  autre  relation  entre  x  et  f  On  dis-    ^ 
linguera  le  maximum  du  minimum  suivant  les  théories' 
ordinaires  ,  d'après  le  signe  des  termes   du   a°.   ordre. 

Mais  si  loutes  ces  équations  donnent  des  relations  ilif- 
Ërentes  «ntre  x  et  j-,  le  problème  sera  ^impossible  dans 
Vélat  de  généralité  qu'on  lui  a  donné  :  et  s'il  arrive  que 
quelques-unes  seulement  de  ces  équations  s'accordent  eaire 
elles,  alors  ta  fonction  Z  aura- des  maxima  et  mininn 
relatifs  à  quelques-unes  des  quantités  x,  ^,  j-',  j-",.,.. 
sans  en  avoir  d'nbsoliis  et  de  communs  à  toutes  ces  quan- 
tilés.  Les  équations  qui  s'accorderont  entre  elles  donneront 
les  relations  qui  établissent  les  maxima  et  minima  relatifs. 
£t  si  on  ne  veut  rendre  A'  un  maximum  ou  un  minimum 
que  par  rapport  à  l'une  des  quantités  x,  J',  J"',  y'',"- 
comme  alors  il  ne  faudra  satisfaire  qu'à  une  équatien , 
le  problème   sera    toujours  possible. 

Il  suit  des  considérations  précédentes  que  i".  les  quan- 
tités X  et j-  sont  dépendantes  l'une  de  l'autre,  et  que 
néanmoins  on  doit  les  faire  varier  comme  si  elles  étoienl 
indépendantes ,  puisque  ce  n'est  qu'un  procédé  de  calcul 
pour  parvenir  au  résultat.  2°.  Ces  variations  ne  sont  pas 
infiniment  petites;  et  si  on  emploie  le  calcul  différentiel 
pour  les  obtenir,  ce  n'est  que  comme  un  moyen  eipéditif 
d'flvoir  le  second  lerme  du  développement ,  le  seul  qui  soit 
ici  nécessaire. 

Appliquons  ers  notion»  générales  à  un  exemple  :  prenons 
sur  l'aie  des  x  d'une  courbe  dens  abscisses  m  et  w,  et 
menons  des  parallèles  indéfinies  à  l'axe  des  7*:  soit_/^ipx 
l'équatign  de  cette  cuurbe  j  si  en  uu  point   quelconque 


^ 


'  * . 


CiXiCUL  DBS  VARIATIONS.  489 

on  mène  une  tangente^  elle  coupera  nos  parallèles  en 
des  poiplë  qui  ont  pour  coordonnées  y  '^jr*  {m^^  x) 
et  j^H-j^'  (n  — x).  Si  la  forme'  de  f  est  donnée^  tout 
est  ici  connu  ^  mais  si  elle  ^e  Test  point  ^  on  peut  de- 
mander quelle  est  la  courbe  qui  jouit  de  la  propriété 
d'aroir  pour  chaque  point  de  tangence  le  produit  de  ces 
deux  ordonnées  plus  petit  que  pour  toute  autre  courbe* 

,  On  a»  ici 

-^■'.  -  • 

en  clMrchant  — ; —  •  — ; —  et     ,   •  «    il  sera  très-aisé  de 

dx  dj  djr* 

reçonnoitre  que  les  résultats  égalés  à  zéro  donnent  des 
équations  incompatibles  entre  elles  ^  tant  que  m  est  dif- 
férent de  n  (abstraction  faite  de  j*=:Oy  qui  donne  Taxe 
des  x))  ainsi  Z  n'est  pas  susceptible  de  remplir  les 
conditions  de  IsT  question.  Mais  si  ut  =  n ,  on  a 
-Z=(^+'(m — x)jr'Y)  d'où  on  tire  trois  équations  aux- 
quelles on  satisfait  à-la-fois  en  faisant  j^-j-  (m — x)  /'=0;  ou 
'ydx'-)r{m-^x)d)r-==-o  )  en  intégrant  on  a  j*  =  C{m  "^x)  ^ 
équation  d'une  droite  :  cette  relation  rend  visiblement  Z 
un  minimum 'j  car  Z  est  alors  nul^  et  cette  fonction  est 
toujours  positive. 

La  théorie  que  nous  venons  de  donner  n'est  pas  d'une 
grande  étendue ,  et  on  ne  la  doit  considérer  ici  que  comme 
un  développement  préliminaire  utile  pour  l'intelligence  du 
problème  beaucoup  plus. intéressant  qui  nous  reste  à  ré- 
soudre» H  s'agit  d'appliquer  tous  les  raisonnemens  précé- 
dens  à  une  fonction  de  la  forme  fZ  :  le  signe  y*  indique 
que  la  fonction  Z  est  différentielle;  et  qu'après  l'avoir  ' 
intégrée  entre  des  limites  désignées  y  on  veut  la  faire  jouir 
des  propriétés  précédentes.  La  diffiqulté  qui  se  rencontre 
ici  yient  donc  de  ce  qu'il  faut  résoudre  le  problème  sans 


iaire  l'intention  ,  car  on  voit  assn  iju'il  est ,  m  génMM 
impossible  de  t'eitcuter. 

Au  lien  de  représenter  par  i  et  k  les  accroissemens  dei 
variables^  nous  emploierons  le  signe  $;  de  sorte  que  ix , 

ij-, seront  des  fonctions  quelconques  de  x  ,  y,  ... 

tjui  désigneront  les  accroissemens  de  cts  variables.  Pareil- 
lement dx  devenant  d{.r  -^  i.r  )  croîtra  de  dix  ;  rf"! 
croîtra  de  d  ix,  etc.  Observons  que  Ses  variations 'indi- 
quées par  le  signe  J' «  ont  finies,  et  lout-à-fâit  indépeii' 
danles  de  celles  que  désigne  la  caractéristique  d  :  l«i 
OpérMJoiu  Buiquelles  ces  signes  se  rapportent  élaii|  pa- 
reillement indépendantes  ,  l'ordre  dans  lequel  on  \ei 
exécutera  doil  être  indifférent  pour  le  résullal.  De  sorte 
que  i.dx  et  d.ix  sont  deux  choses  identiques,  aussi 
bien  que  d-ix  et  i.d'x;  ....  et  qae  fiU  et  ifU. 

Soit  donc  Z  une  fonction  de  x,  /»  z,  dx,  dy ,  dz, 
d'S  ,  dy,  d-z,...  il  s'agit  d'établir  des  relations  enlce 
X ,  y  et  3  de  manière  que'J'Z  soit  un  maximum  ou  un 
minimum  entre  des  limites  désignées.  Afin  de  rendre 
les  calculs  plus  symétriques  nous  ne  supposerons  aucune 
différentielle  constante  :  d'ailleurs  nous  n'introduisons  ici 
que  trois  variables ,  parce  qu'il  sera  aisé  de  généraliser 
les  résultats  ,  et  que  ce  cas  suffît  pour  entendre  la  théorie. 

Pour  abréger  ,    nous  remplacerons    dx ,  d'x df, 

d'y, ...  etc.  par  x,,  x„,  .  ..y^,  f,,,  etc.;  de  sorte  que 

Z—F{x,x,,x,^,  ...y,  y,,  y  m  •••  z,s,,  z,,---)^ 

Cela  poié^  si  x,y  et  i  reçoivent  .des  accrois»»»»» 
aHtiitraires  et  finis  ix ,  iy,  iz ,  dx  ou  x'  deviendra 
d{x-\-ix)=:dx-^idx^:x,-^ix,:  de  niéme  a-„  croîtra 
de  ix,, ,  et  ainsi  des  autres  ;  de  serte  qu'en  dév^oppant  Z* 
par  le  théorème  de  Tajl«r  et  intégrant, /Z  devien^a 


▼AMIATIOfrS.  49* 


éZ  dZ  éZ  djL  y      / 

ci  OB  okenre  ^c  ki  eomt^iîam  éa  wtajrimian  et  éa  iRcni- 
WÊmm  esiçe  qoe  Ilatégnde  des  termes  da  premier  ordre 
soit  BaDe  eotre  les  Iniîtcs  dés%iKes ,  cC  cela  ^mels  ifme 
soimt  /x  y  /jr  et  iz  ;  hbk  «{«'oa  Fa  m  pgeiétk—ecat, 
IVaMWS  la  liiffircstîelle de  Z  tn  regardant  x,  x^,  x^,,... 


Jv  y  ilTy  •••  My  Jiy  •••|By  v^**.  ctut  les 

pw- rapport  à  X ,  X,  , —j^j-,,  — 
^  «,,...  »«M«»^    u  g  aatast  de  TanoUes.  Si  «t  eôt 

prati^Bé  ceUe  ^^SéPBÊfÉaûom  absoboBeat  de  la 
iMpliijiBl  le  sigae  /,  o«  aBioilea 


Or,  celte  «gnat^  est  pRriiéwesBt  «e£Ie  ^ect  est  «w»  Ee 
ûçmitf  éami  ks  tenses  dk»  fFumu^ar  «wrdre  de  woire  dirre-- 
loppcBKHt  s  cassrlSe  «gse  fi»  <iMK£tK«  4m  wukxùnmm  «oa  da 

dcs%BM»,  <|Mâlo  <fHe  méat  ksi  ^rairnsitiirsai»  ix^  ijf  iz^ 

flfrcaliel   aVï^   e»iif8i9r'é  «•]^   <e»awwe   «b  m^^m  UdU 
iTobtcw  riianaJinii;  et»  Unmê  ^à  Cwi  ^pta*  i  «im^ 


49^  Calcui.  dei  tuiatioKs. 

de  sorte  que  les  variations  sont  encore  ici  finies  et 
quelconques.  D'ailleurs  daus  chaque  cas  particulier,  on 
obtiendra  aisément  In  valeur  SZ ,  c'est-à-dire  les  quanlitéi 
M,N,.'..  m,  n,....  qui  composent  l'ëquation  {A) 
dont  le  nombre  de  termes  est  limité  :  il  suftira  de  dîffé- 
rentier  £  en  emplo^'ant  le  signe  £',  et  regardant  x ,  y,  2', 
dx,  d);  dx\  -• .  comme  autant  de  variables  indépendantes- 
La  preiiiiêre  ligne  de  l'équation  {A)  équivaut  à 
Mi'x  +  Nd.tx  4-  Pd'.lx  +  QdK^x  -+-  etc. 

JH  y  N,  ...contiennent  des  difTérentielles ,  de  sorte  que 
le  défaut  d' homogène ité    n'est  ici   qu'apparent.    Il  s'agit 
maintenant   d'intégrer  :   or,   la   suite   du  calcul    fera   voir 
qu'il  est  nécessaii-e  de  dégager  du'  signe  f,   autant    que  . 
possible ,  les  termes  qui  contiennent  di'.  Pour  y  parvenir 
on  emploie  la  formule  connue  f.\tiy=Xr—/rdX  :  de 
sorte  qu'on  obtient 
flVd.  ^x=  Nix    —  fdN.  tx  ■ 
fPd'.f^x—Pd.^x    —dP.^x-^-fd'P.S-x 
fQiP.^x  =  q.d'.ix—dQ.d.Sx+  d'Q.Î-x  —fd'Q.^x, 

En  réunissant  ces  résultats,  on  a  cette  suite  dont  la  loi 
est  facile  à  saisir 

/lM^dN-+~d'P-d'Q+diH...);-x-^(IV-dP-i-d'Q-J'R...)fx 
+iP-dQ+d'R-...)d}x+iQ-dR+...)d'.ix+(R-...)d'^.., 
L'intégrale  de  {jf),  ou/.  JZ^  o,  devient  donc 
(B)..-j{M-dmd'P-...)Sx^{m-dn+(fp...)ir^it,-d,+...)iz)=o 

/(N-dP-f-d'  Q.  ..)J'a:+(/i-t//»+^g..  .)^  4-;r-</»-|-. ..;  J^ï 
{C),..)+P-d<;y-\-d'R...)dix-\-:p-dq+dT...)d.ij-+iw-dx+...)d.lz 
\+{Q—dR-i-  ...)d'.ix-]~eic \-C=o 


CALCVL   des  TARIÀTI0K8.  49^ 

H7  est  la  constante  arbitraire  :  de  plus  y  nous  avons  coupe 
notre  équation  en  deux  y  parce  que  les  termes  qui  restent 
sous  le  signe  /  ne  pouvant  être  intégrés  à  moins  qu'on 
ne  donne  à  ^x ,  i^y ,  i'z  des  valeurs  particulières  ,  ce 
qui  est  contre  l'hypothèse  ^ /^Z  ne  peut  devenir  =sO| 
à  moins  que  ces  termes  ne  soieift  nuls  à  part  t  et  mémo 
si  la  nature  de  la  question  n'établit  entre  Ix^  fy  nXlZf 
aucune  relation  ^  l'indépendance  de  ces  variations  donna 


o  =  m  —  dn  +  d^p  —  d^q  ^  chr  -^  etc.  V .  •  • .  .(Z)). 
G  =  ^  —  A  +  d^w  -^  tPx  +d^f  -^  etc.  1 

Ces  équations  entre  x ,  jr  et  z  donnent  les  relations 
demandées  (*)  \  elles  tie  peuvent  d'ailleurs  exprinter  d<;s 
conditions  distinctes  ^  puisqu>lles  détermineroient  des 
râleurs  numériques  pour  les  variables  i  dans  ce  cas  ;  la 
question  seroit  absurde. 

G>mme  l'intégrale  est  effectuée  et  doit  être  prise  entre 
les  limités  désignées  ,  les  termes  qui  restent  se  rapportent 
a  ces  limites ,  car  Téqualion  {C)  est  devenue  de  la  (orme 
C -^-L  -=0 y  L  étant  une  fonction  de  x  ^  y  ^  z  p  /j:, 
iy^  tzj...  Marquons  d'un  et  de  deux  accens  les  valeurs 
numériques  de  ces  variables  à  la  première  et  à  la  seconda 
limite.  Conune  rintégrale  a  dû  être  prise  entre  ce%  limites  | 
il  faut  d'abord  déterminer  C  ^  ce  qui  donne  £^  — ^  //  =  o» 
De  plus,  il  £uit  comp&etter  Tinlégrale ,  c'est-^Mlire  changer 
jr  ,/•,...  en  j:^  ,7^ , ...  ^  ce  qui  donne  £^  —  Z.'  =-  o. 
D'oîi  on  voit  qu'il  £tttt  marquer  les  dincrs  termesde  L ,  qui 
composent  Téquation  {C) ,  d'abord  d'un  ,  puis  de  deux 


(^  En  géométrie  ces  é(|ttationf  diffcrenficlUf  fCBl  cellet  de  U 
covxl»e  ou  de  la  sariacc  cbcrcb^c 


4t)4  <CAt.eBI,  BBS  ^ 

■cccns;  retranchEr  lei  rcsultels  et  égaler  à  z^ro  :  de  iofi 
(jne  L*  •—  L'  ne  renferme  plus  de  variables  ,  puis^ 
K,  Sx,  . . .  ont  pria  les  valeurs  x' ,  Sx' ,  . . .  x"  ,  Sx*. 
neiignÂes  par  les  limites  d«  l'iotégration.  11  se  pimente 
maintenant  trMS  cas> 

1".  Si  les  limites  Sont  donnéts  etjiicvs  (*),  c'est-i-Jift 
EÎ  les  valenrs  ertrêrnes  de  :r ,  _j"  et  x  sont  conslantes , 
commeSx',  d.Sx' .  etc.  Sx'  ,  d.Sx" ,  etc.,  sont  nufe, 
tous  les  termes  de  L'  et  L"  sont  nuls ,  et  l'éqinition  ;  (?) 
est  satisfaite  d'elle-même.  Alors  on  détermiDe  les  cons- 
"ianles  ijlje  l'iiïTégration  introduit  dans  les  équations  {D] 
par  les  conditions  que  comportent  les  limitât. 

3".  Si  '  les  limites  sont  ■arbitraires  et  indépendantes , 
s  de  (C5  est  nul  en  particulier, 


alors  ctiacui 


s  coefilcîeii 
ainsi  qu'il  est  facile  de  s'en 
■5°.  S'il  existe  des  équa 
imites  (**),  c'esl-k-dire  si 
entre  elUs  par  des  équatio 
x'     r*    3'    x" ,  y"    z" 

de  ces  équations  pour  obtenir  plusieurs  des 
Sx'  ,  Sjr' ,  Sz',  Sx",  etc.,  en  fonction  des  autres;  eil 
substituant  dans  L"  —  Z,'  =;  o ,  ces  variatiohs  se  trouve^ 
ront  réduites  au  plus  petit  nombre  possible  t  ces  dernièrêi 


ions  de  conditions  pour  les 
la  natiire  de  Ja  question  lie 
is  quelques-unes  des  quantités 

ut  se  servira  des  diliférenlielles 


(•)  Ce  cas  revient  en  géométrie  i  celui  où  on  cherche-une 
couibequi ,  outre  qu'elle  doit  jouir  de  tu  propri^ré  de  maxiniùm 
on  minimum  demandée,  doit  encore  passer  par  deu^  pointa 
donnas.  Le«  équalioni  [D)  sont  celtes  de  la  courbe  chcrchéei 
va  déiermine  les  conitautet  pnr  la  coadjtion  qu«  cette  courlu 
passe  par  les  deux  points  donnés. 

('•)  Cela  signifie  en  géométrie  que  la  courbe  cherchée  doit 
4tre  terminée  A  des  points  qui  ne  sont  plus  fixes,  mai)  qui  doïtent 
{ira  situés  lurdeus  courbss  ou  surfacsi  donoéet.' 


CaMXMI»  lOià  ▼ÂKIATI03II»  ^91^ 

élaml  tWoiamiti t  înâépcBdaates,  l'étpaMwm  se  psrtifeia 
Ml  pliuîears  antres  ^  co  égalant  leurs  coeffidens  à  zéro. 

Au.  Uea  de  œtle  laarche  on  peut  prendre  la  suivante  qni 
ost  infiniment  plus  âéganle.  S<Hcnt  11  =  o,  v'r^o,  .•• 
leâ  équations  de  om^ition  données  ;  on  multipliera  leurs 
Tviations/ii^iai',  ..«ffar  des  indéterminées  a  ,  a',  .1.  ; 
oe  ffM  ismnmt  x/m+3i' /uf +. . .  Ajoutant  cette  somme 
à  U^V,  on  aura  Z,*  —  Z,' +*/«' +A'irii'+ . . .  =  o. 
On  traitera  toutes  les  rariations  ix' ,  tx"  j  •  •  •  comme  in- 
d^endantes  ,  ci  égalant  leurs  coefficâens  à  zéro,  on  âimi^ 
aéra  entre  ces  équations  les  indéterminées  A  ,  A'  ,  • . .  On 
parviendra  par  ce  calcul  an  même  résultat  (pie  par  la  mé- 
thode pitécédente^  car  on  n'a  fait  que  des  opérations 
permises  j  et  on  obtient  linsî  le  même  nombre  d'équations 
finjes  (  Ce  calcul  mieyit  à  la.  métluKle  d'élimination 
donnée  dans  l'algèbre  de  Lacroix*  ] 

fl  Êiut  obsenrcr  qu'on  ne  dast  pas  conclure  de  tt=o, 
^'aux  limites  on  ait  </i£  =  o ,  . . .  ;  ces  conditions  sont 
indépendantes  j  et  peur  eut  fort  bien  ne  pas  co-exister.  St 
toutefois  la  chose  aroit  lieu  ainsi  '^) ,  il  fi^udmît  regarder 
du  =  o  ,  •  •  •  comme  de  nourelles  équations  de  condition  , 
et  cratre  le  A^  u  j  û  fuadroit  aussi  comprendre  x'Jàu  7  - .  • 

Mous  n'avons  rien  dit  ici  du  cas  oii  l'unfc  des  limites  est 
fixe  et  la  seconde  assujettie  à  certaines  cowfitîons ,  ou 
tnéme  tout-à-£ût  arbitraire  ,  parce  que  cela  rentre  dans  les 
•trois  cas  prucédepi.» 

Il  ponrroit  an&si  arrirer  que  la  nature  de  la  question 
assujettit  les  ranations  ix,iy  ti  fzkdt  certaines  condi- 
tions données  par  des  équations  f  =  Oye'  =  o,  •.•;  et 


(*}  Cela  tigaiiîfjxiit  cm  géoxaétrie  qi*e  la  C0urhc  cbercLÂc  doit 
av<nr  à  tz  liuèàut  ua  OHutact  é'aia  certaÎA  Qsࣀ  avec  ia  courlte 
on  la  surface  doux  l'cgu^igu  est  if  =s  &« 


•••*-■•         ' 


-«    ' 


'ëffti 


Iv'MHTi 


*  .' 


ilr 


fjr     ,%  ..- 


i.*.- 


Calcul  ses  TiMATioifs.  497 

ftBWcnncmtdoncîci  jf  —  j=:o,  ^ff— }==®7^(  ^^ 

d'oii'on  iïonclat  ttxzr^adsj  yfy'r=.hds  et  dz=^  éds»  En 
ettvtnt'xes  *  trois  équations ',  et  ajoutant ,  on  trouve 
a*  tr^h*  i-f"  '^  =  >  ;  ainsi-  ces  équations  sont  compa-- 
tibles  entre  elles  ^  lorsqu'on  détermine  l'une  çies  cons- 
tantes fif  h  et  c  par  cettç  xonditjon.   En  divisant  deux 

,     _  ,        .  dy        h       dz        c 

a  deux  nos  équations  nous  avons  ~-  =  —  *   -t-  =  —  ; 

dx       a  .    dx      a  ^ 

d'oii  on  tire 

Gf   qoi  apprend  que  les  |>c6jectioiis  de  la  li^e  cherchée 
sont  4^  droites  ;  aiqsi  cette  ligne  iest  une  droite  elle-même. 

Pour  en  déterminer  la  position,  il  faudroit  connoître  Fig.  139. 
les  cinq  constantes  a,  5 ,  c ,  a'  et  b'.  S'il  s'agit  de  trouver 
la  plus  CQorte  distance  entre  deux  points  fiies  A  eX  C  ^ 
donnés  par  leurs  coordonnées  x^  ^y*  ^z?  \  ^  iT^  i  ^^  9 
il  est  clair,  qu^  assujettissant  nos  deux  équations  à  être 
Si^&iles  Jcnrsqu'on  y  substitue. ces  valeurs  respectives  pour 
X  j  y  cil  iS  y'  on  obtiendra  quatre  équations  entre -les  cons- 
taiUes.;"Cô  qi4résout  le  problème ,  puisqu'on  a  cinq  équa- 
tions ,  en  y  comprenant  a*  +  A^-+-  c*=  i. 

Supposons  que  la  seconde  limite  soit  un  point  fixe  C 
dans  .le  plan  ^ ,  et  la  première  une  courbe  AB  située 
.aiissiidans  ce  [dan }  soit  y'  ^==fx'  l'équation  de  AB  \  on 
en  tare  iy*  ssiAi'x'}  en  -Esûsant  les  raisonnemens  ci- 
dessus  dans  ce  plan ,  on  a  poiu*  la  ligne  cherchée  AC 
une    droite  dont  l'équation  est 

bdx:=:iadYj  09L  bxcz4i^+a\ 

On  trouve   aisément  Zr=-— .^j>4-^,^:  et  comme  la 

*  ds    "^  ' 

52 


%S  CIlcu^  '6w  t1jiiitio!»s. 

■ecoiulc  limite  C  ed  fixe  ,  il  MifHt  de  comlàoer  atsaaiie 
les  ^qnotMMu  ty  =  Ahc' ,  ei  di'  .  /r'-f-rf/'  .  ^  — a. 
£n  SttnlntxA  iy"  on  obtient  i£f'  -f-  Ady'  ^  o.  On  avtal 
pnansù  nmllipLer  l'è]uaiioqdecQn(1ilioD  ^y— jfj!x'=» 
l>ar  l'iQdétermîoée  a  ,  et  ajoolcr  >■£•',  ce  qoi  e6t  donoé 


Equation  qni  se  décompose  en  deu»  autres  — 


Celle  équatioD  comparée  à  celte  bdx'  -^adr' , 

celle  de    notre  droite  AC  en  dx  ■=^  Ady  ,    qui  dimne 

^  =  — — -  ,  et  fait  yoir  qu'elle  est  nonnaJe  à  U  cimrlw 
dx  A  ■ 

proposée  AB,   La  constante  a'  se  détermine  par  la  coBS- 

deration  de  la  seconde  limite. 

11  acroit  laciie  d'appliquer  le  niisonuenient  ^cèdent 

aux  trois  dimeusious  ,   on  parviendroit  à  la  niL^me  consé- 

^cnce  :    ou    peut   donc  conclure  qu'en  géuérat  la  ploi 

.  1^.  courte  distance  AC  entre  deux  courbes  AS ,   CD ,  estij 

droite  qui  leur  est  normale. 

ai  Id  pluft<x>urte  ligne  demandée  devoit  ctre  tracée  ioi 
une  surface  courbe,  dont  u-r:^o  seroit  l'équation,  alon 
l'équation  {D)  ne  se  décomposeroit  plus  en  trois  :  à  moios 
qu'on  n'y  ajoutât,  le  terme  a/u  ;  alors  cm  pourrait  re- 
garder i'x ,  iy  et  i":  cgmuie  indépendant ,  et  on  trou- 
reroit  les  relations 

Eliniinaiit  a  ,  ou  a  les  deux  équations 


Calcul  des  variàtioivs.^  499" 

du  jfdx\       du  ,/dz\       du  j/dz\    .  du  ,/^dj-\ 

qui  sont  celles  de  la  courbe  cherchée. 

Prenons   la  sphère   pour  exemple  5  Torigine  étant  au 


centre,  on  a 


du  du  du 

Nos  équations  deviennent  en  prenant  ds  constant 

z(^x  =  xd^z  y  zdy-  zz.  yd^Zy  à!o\jij'd*x  =  xdy. 

Intégrant^  on  a  zdx  —  xdz  =  ads ,  zdy  ^-^jdz  =  hds  y 
jrdx  -— >  xdjr  =  cds*  £n  multipliant  la  première  de  ces 
équations  par  •—  ^  ^  la  seconde  par  x  ;  la  troisième  par  z  y 
et  ajoutant ,  on  trouve  ay  ^^  bx  —  cz  z=.  o  y  qui  est 
l'équation  d'un  plan  qui  passe  par  l'origine  des  coordon- 
nées. Ainsi  la  courbe  cherchée  est  le  grand  cercle  qui 
passe  par  les  deux  points  donnés  y  ou  qui  est  normal  aux 
deux  courbes  qui  servent  de  limites  et  sont  données  sur  la 
surface  sphérique. 

II.  Prenons  pour  second  exemple  la  Brachysiochrone. 

Nous  avons  vu  (  195^  r'  )  que  le  tems  qu'un  corps  pesant 

met  à  parcourir  l'arc  $  est  /— -; 7—  •  les  z  étant 

ticaux  :  on  a  donc  ici  Z=zl — — ^^-y- i  abstraction 

faite  de  la  constante  2g y  qui  disparoit  lorsqu'on  égale  à 
zéro.  On  formera  ^Z  et  on  auna 

-      ds       j.  dx  dy  dz 


ver- 


{Z'h)l^        dsy{zh)^      ds^^Z'h)^"    ds^{z'hf 
les  autres  quantités  M  y  rttyPy  Q^p...  sont  nulles. 


•■w  ■ 


'5oo  Cai^jchl.  ses  vakiatiom. 

Les  équations  (Z>j  deviennent  donc 

Nous  omettons  ici  la  troisième,  qu'on  peut  dêm&iitm 
compris*'  dans  1rs  deux  sutrcs  :  condilïon  sans  latpiellr  le 
problème  proposé  scroit  absurde.  En  intégrant  et  divisaui 
l'un  par  l'nutre  les  rcsultala ,  on  obtient  djr  ^=  sdU' ,  ce 
qui  proave  que  la  projection  de  la  courbe  sur  le  plan  xy 
est  Doe  droite,  et  que  par  conséquent  celte  courbe  est 
décrite  dans  un  plan  vertical.  Prenons,  pion r  abréger  ,  ce 
plan  pour  celui  des  .7=  ;  la  première  des  valeurs  ^i'  suffira, 
et  nous  aurons  <h:  ==  Cds  \/  (  z  —  A  )  ;  et  comme 
rff'  =  dx''  -\-  di' ,  on  trouve  l^qualion  de  la  cjcloide , 
en  faiaeat  x  —  h  z=  i'.  (  Voy.  p.  282.  ) 

ai  let  limites  sont  dem  points  lixes  jtf  et  C  ,  il  n'^  3 
aucutae  autre  condîtioa  à  remplir  si  ce  n'est  de  faire  passer 
la  cjclôVJe  AC  par  ces  deui  points  ;  ce  qui  détenniDe  le( 
valeurs   des   cocslaoles. 

Si  la  seconde  limite  est  nu  point  fiïe  (y  ,  et  si  la  prr- 
niière  est  une  courbe  AB  située ,  ainsi  que  le  point  fixe  , 
dans  ua  plan  vertical  ;  en  prenant  ce  plan  pour  celui  des 
xz  ,  on  a  r  =:o  ,  el  on  en  déduit 


dx 


',JX- 


dz 


~.iz. 


Comme  Al  aJ'a:''=o,  Js"  =zo  ,  il  suffit  de  rendre 
L'  ilul',  en  ayant  égard  à  la  premièpe  timite>  ^  est  une 
courbe  AB  dont  a:' ^y**  est  l'équalion  donné«.  On  eu 
àéàmt  i'x'  —  Al'z'  =^0;  multipliant  par  A,  ajoutant  à 
L'  ,  on  trouve  les  deux  équations 


dr' 


ds'  y(z'~h) 


+  A^O, 


dz' 
ds'  y/  {z'  ~h) 


—  Ax  = 


Calcul  dei  variations  5oï 

l^tL  ëliminaiit  A^  on  obtient  dz'  -{^Adx'  =zo.  Il  est  visible 
maintenant  que  la  cycloïde  devra  couper  à  angle  droit  Ifi 
courbe  donnée  jiB  ^  la  constante  C  sera  déterminée  en 
comparant  l'cquation  de  la  cjclo'idé  à  la  précédente.  On 
trouveroit  dans  les  trois  dimensions  la  même  conséquence  , 
de  sorte  que  la  courbe  de  plus  vite  descente  d'une  courbe 
quelconque  CD  à  une  autre  jéBy  est  une  cyc/oïde  jSfC  fn.  m»* 
normale  à  ces  deux  dernières.  La  même  chose  auroit  aussi 
Heu  pour  deux  surfaces  courbes  y  ainsi  qu'il  est  facile  de 


s'en  convaincre* 


Si  la  Brachjstochrone  devoit  être  tracée  sur  une  surface 
courbe  donnée  par  son  équation  i/  =  0;  l'équation  (B)  ne 
se  partageroit  en  trois  autres  qu'après  avoir  ajouté  xJ'u  ^ 
ce  qui  donncroit  au  lieu  des  équations  (i)  trois  équations 
entre  lesquelles  éliminant  A  ;  on  auroit  les  équations  de  la 
Brachjstochrone  cherchée.  Si  on  avoit  pour  limites  deux 
points  fixes  y  les  constantes  seroieut  déterminées  par  la 
condition  que  la  courbe  passât  par  ces  deux  points  :  lors- 
qu'on a  ponr  limites  deux  courbes^  celle  qu'on  cherche  doit 
les  couper  à  angle  droit  comme  ci-dessus.  Ainsi  le  reste  du 
problème  est  le  même  dans  les  deux  cas. 

UL  Principe  de  la  moindre  action* 

Nous  avons  tu  [d'  y  p.  226)  que  lorsqu'un  point  xnAt 
tériel  décrit  une  courbe  y  soit  librement  et  en  vertu  des 
fbrccB  qui  l'animent,  soit  en  parcourant  une -surface  sur 
la^cUeil  est  assujetti  à  rester,  on  a  pour  la  valeur  de  sa 
TÎtcfse  V  y  lonqof  Xy  V  et  Z  sont  indépendantes  de 
if  f^=^«4-a;^.  Nous  allons  prouver  que  /yds  est  un 
minimum  on  maxmuim  y  entre  le  point  de  départ  et  le 
point  d'arnvée  }  c'est-à-dire  que  ^fvds-=^Oy  ou  que 

f{vi'>ds-\-  ds.fy]^=o. 

Foor  le  démontrer  y  formons  la  quantité /(«'/.cb-i'^  •'*'/• 


503  CA1.CU1.  DES  T4KIATIOXS. 

i'.  On  a  (^'  —  (ic»  -f  ^*  4-  ^»  ;  diffërentianl  pir  /, 
il  vient  (  à  cause  dtds=  vdt  ) 


Intégrons  et  dégageons  Ici  termes  affectas  de  ^d,  k  t'aide 
At  l'intigration  par  parties.  En  omeltant  les  termes  inté- 

,   dx    .         dr  dz 

P^^-^-^x  +  ^-f^r  +  ^.i-z    qui  se  rapporlenl  lux 

limites,  et  qui  sont  nuls,  puisqu'il  s'agit  de  deux  points 
fixM,  on  a 

a".  L'crjuation  [e' )  diffcrcntiée ,  donne  en  cliangeant 
d  en  J,  vi^=Xt-x  +  r^y  +  Zi-z;  or  vdl=ds,  donc 
en  intégrant 

fds^y  =f{XS-x  ~\-YSy-{.Z^z)  dt. 

Réunissant  ces  deux  résaltats,y'(f  J-.di  4-  ds.  i^v)  devient 

Or  cette  expression  est  nulle,  i".  lorsque  le  mobile  se  meut 
librement ,  puisque  chaque  terme  est  nul  en  particulier  , 
d'après  les  équations  { 6' ,  p-  224  )  j  2"-  quand  le  mobile  est 
assujetti  à  décrire  une  surface ,  puisque  ces  mJmes  équa- 
tions ont  encore  lieu ,  pourvu  qu'on  exprime  que  les  va- 
riations /;f  ,  ^y  et  i'z  ont  entre  elles  une  relation  que 
l'équation  de  la  surface  donne  j  ainsi  on  a  en  général 
Sfvds  ::=  o  ;  c'est  en  cela  que  consiste  le  principe  de  la 
moindre  action.  Ce  méuG  principe  a  cgalemeat  lieu  Ion* 


CAt.CIJX<  OK9  TARUTIOlfS.  So5 

qa'il  s'agit  d'un  sjrstéme  de  coups  y  mais  il  n'est  pas  de 
notre  objet  de  nom  en  occuper.  Il  nous  suffira  de  faire 
remarquer  que  lorsque  le  mobile  décrit  une  surface  j  sans 
qu'aucune  force  accélératrice  agisse  sur  lui,  la  vitesse  v 
étant  constante  ^  on  a  vfds  ou  vs  qui  est  un  minimum 
entre  les  limites  désignées  :  ce  qui  veut  dire  que  le  mobile 
décrit  l'arc  de  courbe  le  plus  court  qu'on  puisse  tracer 
sur  la  surface ,  du  point  de  départ  au  point  d'arrivée. 


Fin  du  Calcul  des  Variations. 


SUR  QUELQUES  VALEURS  NUMÉRIQUES 

EMPLOYÉES   EN  MÉCANIQUE. 


KJn  fait  fréquemment  usage,  dans  les  probléroei  de 
Mécanique,  des  valeurs  numériques  de  certaines  consUatei} 
nous  allons  les  réunir  ici  avec  le  plus  grand  degré  d'ap- 
prosimaliou.  Nous  dcsigncrons  par  le  sij^ne  log.  ,  ainsi 
qu'on  l'a  fait  préccdenuDent ,  les  logarilhmes  hjperbo~ 
liques,  que  Lacroix  a  nommés  avec  plus  de  raison 
logarithmes  Népériens  i  et  pari  les  logarithmes  des  labiés 
ordinaires,  qu'on  nonuue  aussi  logariihmes  de  Briggs, 
dan*  lesquels  la  base  est  lo. 

1*.  La  base  des  logaritluucs  népériens  est 


/ 


i  59045  2^556. 


Comme  tes  formules  ordinairement  employées  en  algèbre 
renferment  les  logarithmes  népériens  ,  parce  qu'ils  sont 
d'un  usage  plus  commode  dans  le  calcul  intégral  ;  et 
comme  il  n'y  a  que  des  tables  peu  étendues  construites 
pour  ce  système,  on  doit  se  rappeler  que  pour  convertir 
les  logarithmes  ncpéricnss  en  logarithmes  tabulaires  , 
il  suffit  de  multiplier  ceux-là  (  Compl.  tfalg.  de  Lacroix  ,_ 
n'-  g2)  par 

AT  =i:«=  0,45429  44819  o525i  827651  11289. 

C'est  ce  nombre  qu'on  nomme  le  Module;  et  on  » 


Vaucu&s  jnmnÉM(^ins.  5o5 

Noos  indignons  ici  pu*  i  qae  la  caracténsticpcie  est  nié- 

^gatire  et  =  -—  i ,  de  sôfte  qoe  c'est  oomtne  si  on  avoit 

JLÂf=:Oy65j. ...  —  1.  Ainsi  lorsqu'une  formule  contient 

log.  a 'y  pour  employer  les  tables  de  Briggs^  il  âtut  la  pré* 

t         1                   MAoe.a  La      _ 

parer  et  remplacer  log.  m  par  lz       =  --^  .   De 

même  aussi  lorsqu'on  veut  ramener  les  logarithmes  de 
Briggs  aux  logarithmes  népériens  y  il  fisiut  niuUipUcr  If  s 
premiers  par 

y*=:^;5o258  5092g  94045  6840  179914  • 
de  «orte  que  Z.a=  ^'  '      =    ■  ^    ■.  On  a  d'ailleurs 

Z/=  o,5622i56886. 

a*.  On  a  pour  le  rapport  du  diamètre  à  la  circon^ 
Jërence  ou  la  demi-circonférence  du  cercle  qui  a  Tunité 
pour  rajon 

»  =  5, 141 59  26555  89795  25846  26455  85279, 
^  Z«  =  0,49714  98726  94i55  85455  127, 
lo§v=  1,14472  98858  49400  17414  542. 

5*.  En  désignant  par  g  la  GRAyrri ,  et  par  r  la  Ion» 
goeur  du  PKifDVLK  sÉnple  qui,  k  Paris,  bat  les  secondes 
dans  le  yide  ,  on  a 


r=:  9^,80879  5248  I       Dans    l'ancienne    division 

\  ,99161  56690  r  du  tenis,  où  la  seconde  est 

r=o*,99585  87446  |  la    86  4oo«.  partie  du    jour 

i>=:T  ,99751  59256  J  moyen. 

(  Fojr,  le  Mémoire  de  Prowy,  sur  le  Jaugeage  des  eaux 
comraruesj  pag.  65.) 


Soi)  VALtUnS  HDM^aïQU-EI. 

Lg=o  ,8640181    (       Dans  la  nouvelle  division  du  toni, 

r=:o",74i887  /  °"  '^  seconde  est  la  100  000',  parlie 
i.r=T  ,87055,8)  J-i""™)-"- 

{Exposiuon.  du  Sj-siéme  du  monde,  pag.  146). 

4°>  Le  quart  du  méridien  a  été  trouvé  d'une  looguHr 
égale  à  5i5ci74o  toises;  la  dix  -  nullioniètne  partie  elt 
l'anité  de  longueur ,  ainsi 

Le  mètre  est=zQ'j5i5o74^5pieds  11  L'gnes. 

Réciproquement 

I  toise  =:  i'",949o56  et  i  pied  ;=  o",5248594- 

Nous  mettrons  ici  tes  logarithmes  de  ces  nombre! 

/<i'"*'"  — io',5i5o74  =7^7101800, 
L  i"'"'  =  L  5'*,-(Si?844  =  0,48855 14 , 
Zi'"i«  =£,™,çj4go56    —0^2898198, 

/.„«d  =^00.^5248594=1,5116687. 

5".  L'air  et  tous  les  gai ,  lorsqu'ils  sont  secs ,  se  dila- 
tent (iu  aSo'.  de  leur  volume  pour  chaque  Jegrii  Ju 
thermomètre  centigrade  :  oïl ,  plus  exactement ,  pour  un 
nombre  x  de  degrés,  te  votlime  d'air  à  zéro  étant  :^  i , 
on  a  I  4.  0,00575.^  pour  ce  volume  dilaté  :  la  pression 
atmosphérique  étant  supposée  76  centimètres. 


Fm  des  Valeurs  numériquei. 


TABLE 


CONTENANT     LES     PESANTEURS     SPECIFIQUES     i)E 
DIFFERENTES     SUBSTANCES. 


•     i^.  Métaux, 

Platine  pur  ......  36,733   ' 

Or  pur î$f,â58 

Or  (de  Paris)  k  aal^a»-  ,  15^486 

Argent  pur .  10,704 

Argent  (  de    Paris  )    & 

iid.  logr-   ....  ;^  16,175 

Mcrcufe  . i3,586 

Plomb  .  .   .......  ii,35a 

Bismuth  '. 9>07Ô 

CHÎTre 8,876 

Laiton.  ••.'..'....    S^SgS 

Fet.  . .  .    7,800 

Acier .  .• 7*767 

Etaiii 7)224 

Zinc.  ;  . ,  .    6,86a 

Antimoine  .' 6,703 

Arsénit.  ........     5,7^5 

Cinabre  rouge.  ....    6,903 

30.  Pierres  précieuses. 

Diamant  oriental  blanc.    3,53i 

Rubis  oriental 4>^^ 

"Topaze  orientale.  .  .  .    49^10 

30.  Pierres  siliceuses. 

Cristal  de  rocbe.  .  .  .    a,653 
Quariz  cristallisa  •  .  .    ^i654 


Grés  de  peVeurë.  ...  3,4 1 5 

Agate  orientale.  ....  3,690 

Agate  ouix  .- 3,637 

Calcédoine.-.  .  ...  .  3,6i5 

Coraaline 3«6i  3 

Pierre  h  fusil  blonde.  .  3,^)94 

Pierre  ik  fusil  noirâtre. .  3«58i 

Jaspe  vert  clair  ....  3,358 

Jaspe  brun 3,691 

i^.  Pierres  diverses. 

Albâtre  orientalblanc 

antique  ........  3,780 

Marbre  de  Carrare   .  ,  3,716 

Id.  dit  brèche  d'Alep.  .  3,G86 

Pierre  de  St.-Leu .  .  ,  1,659 

Pierre  de  lidii ^»o^7 

Spath  pesant 4>44^ 

Spath  fluor.  .....   .  3,5oo 

Granit  rouge  du  Dau- 

pïiine 3,643 

Pierre  ponce o>9«4 

Porcelaine  de  Sèvres.  .  3,i45 

Soufre  natif 3|033 

Soufre  fonda. iy99^ 

Craie  /  ^'^^ 

C  3,'^ao 

Gypse  compactet .  .  .< 

•^  ^  l  9,390 

Verre  blanc •  3;43o 


8 


11 


\: 


Pl.  6. 


IHm  J^ 


»*       ^3 


1 


s 


À' 


flp 


i" 

1^^ 


^ 


-ÉÊÊ 


CE     A  B  R  E  G 

lES   PRINCIPAUX   LIVRES 

JerNJRD,  Libraire  de  l'Ecole  impériale  Polytechnhfue , 
îteur  des  jinnah»  de  Cliimle ,  Libraire  de  l'Ecole  impériale 
t  Ponts  et  C'Iiaussées  ,  quai  des  Augicstina  ,  N".  s-^^  porte 
)lièreprès  la  rue  Git-le-Cœur  ^  au  premier,  à  droUt. 


lettres  non  ajfrancldea  ne    me  parviennent  pas. 

JOURNAUX. 

RNAL     DE    L-ÉCOLE     IMPÉRIALE      POLYTECHNIQUE, 

:  MM.  Lagcange  ,  I.a]ilace,  Monge  ,  Pcony,  Fgiitcioy  j  Berthollet  , 
uqaelm  .  Lacroii  ,  Haclierte,  Poisson  ,  Gay  de  Vernon,  Sganzîn, 
yton,  Barruel ,  Legeiidte,  Haiiy, 

'■ollection  du  Jaurnalpolyuekaiiiue ,  Jusqu'à  la  fia   de    1806 ,  contient 
:  cahiers    iQ-4  ,  avec  des    tableaux,  et  des  plaiidies. 
e  comprend  les    1*'  ,  2," ,  3'  ,  4",  5"  ,  ,é*  ,  7*   ec  8*^ ,   11'' ,    y^'   et 
'  cahiers.  Le  pr^i  de  ceite  collecrioD  est,  poui;  Paris  ,  de  41!  tr. 

piix  de  chaque  cahier  ,   vendu  séparémem  ,  sera,  pour  les  1',  3'^j4^i 
!■  et  6*^ ,  pour  Paris ,  de  .j  fi. 

Us7%b',  n^,  iz'^^t.ij*',  pris  de  ehaque  ealiier ,  vendu  iépa-> 
nent ,  sera  ,  pour  Paris ,  de  .  b  f'i< 

Umier  esc  rate  ;  ou  ce  le  vendra  qu';ivec  U  çolleccion. 
f  et  10^  cahieis,  qui  forment  la  Suite  dt  U  mécanique  philosopl.ique  , 
r  M.  Proiiy  ,  est  sous  presse ,  ainsi   que  le  14^  caliier. 
théorie  des  fonccions  anatytiilues,-f3SM.  Lagcange,  in-4,  pourPdri';,  ^L 
respond^ace  sur  l'êcoU  ■pofyii  ckniqac  ,  sis  nuoi^ros,  in>8,  '  &ii, 

tamme  du  cours  de géomilrie  descriptive  appliquée  iV  l'art  de  l'ingénieur 
fl  poDiï  et  chaussées  ^par  M.^ganzin  ,  piofesseuï-  à  l'école  polyt<.chùi- 
?  ,  inspecteur  gênerai  des  ponts  et  chjussées ,  i  vol.  in-4 ,  3  pi.  ■  /-fr, 
Tartune_du  cours  de,  micunique  ,  par  M.  Prony.  .  . 

rogrammt   des  conaoUsancts   e^cigées'  pour  l'admission   à,  Picole   '■ 
polytechnique.  ■  ■'■' 

il\  L'aTÎlbmétiqun  et  l'eipotilion  du  noUveàu  aystéme  raétrîquB  |  ' 

'l":  L'âl^ibri!  ,  comprenant  lu  réioliiiion  des  éounlions  des  deux  prijiiiien 
"■-âegrAs',  telles  des  éqnatÏQns  indêteimince»  du  premier  degré  ;' la  cum- 

Ksiliûii  génétflle  des  équauons;  la  démiinslialioQ  de  Id  foimufe  dit  lii- 
■me  de  Se-wlon  ,  d.ins  le  cas  seuleniem  des  exposam  entiers  poshiti  ;  U 
l^  ijié^uile  des  ciiviiBurs  commeDliirsblci ,  It  TésolultoD  des  équacioDi  numé.' 
"  rlqoaspRT  approximation  , et  rélinimùciii  de!  inconnue)  diius  dnuv  Éi|ua- 
'  'i4oi»d'uade(tr<que]coni|ucàdeuiiac^iiM': 
S3>  La   llj^orie  (t«  proportîniU y  <Ibi  pri  ,   ,.[ 

''y«Jsgo»lM  lablet  j- 

'}?.  La  ^ioméuie  éUmsatsm  U  ~ 

Ubl»  de  liouij 


s*-  La  £iCB*îl4n  com}iItâde)  lignet  nptitvu&t  par  b«  éL,_ 

mier  SI    deiliiénie   deg(ét  i   deui   incooDues  ;    Itt  profit 

6°.  La  irfliique  iipfiliiiuéfl  princrpiiIeinBai  h  rA]nilibro  de»   , 

j^.  Lei  caadidiis  icioni  tenu)  d'écriie  llaiblem^nl ,  wiii  la  diriécdt  l\ , 

iiHTeur,  pluiicuilpbraseï  Française!  ,  et  d'en  {i\iel'iaa)yse\nimmaDd\ 

S",  n»  KTTOnl  tenin  de  copier  une   l*Ie  d  apréi  l'un  de»  ffesiin»  ptiwiirti  JB 

l'M»mintteiir  i  et  ili  «eicml  en  état  ii'eipliqii«r  Ici  O^cu  de  Cîteit». 

Livres  nictitairi'j  pour  la  première  année. 

Calcul  diiférentiel  intégral ,  de  J.acroii ,  in-8. 

Analyse  appliquée  à  la  gtomcirie  ,  de  Mcage  ec  Hachette  (  i"  pardi  )ia-t 

Milcaniique  de  Francaur,  in  8. 

Géométrie  descriptive  de  Monge,  in  4. 

Philosophie  chiiiii<jue  de  Fourcroy. 

Tableaux  synojiûques  de  chimie,  de  Fourcroy. 

Tatiles  de  Callet 

Complcmentd'algtbre  ,  de  Lacroix  ,  iii-8. 

Précis  des  levons  sur  le  calorique  ei  i'dlecmcîté,  par  Moage  et  Hachera,»  f- 

Correspondance  sur  l'école  polytechnii^ue  {adliiitian)  ,  in-8. 
Pour  U  deuxième  année, 

J^nalyse  appliquées  la  géométrie,  de  Monge  (i' partie  ). 

Ecoi>lemerit  des  fluides  e*  poussée  des  terres,  par Protiy, 

Système  du  monde ,  par  Hassenfratz  ,  in-S. 

Opiiq»e  de  Lacaiile. 
\    Architecture  de  Durand  j  1  vol.  in-+. 

Cours   de   fortifications  de   Gayvernon  ,   a  vol.   io-4. 

Programme  du  cours  de  l'ingénieur  des  ponts  et  chaussées,  par  Sgamiil,in-4i 

Programme  du  cours  de  mécanique  ,  par  Prony. 


lZ3e  îa    manière   d^ètnd'i'i    les    Mathématiques ,     ouvr-age   cons^cii 
Cfui  qui  se  destinent  i  l'école  poiytechai<juei-j'ar  M.  5«-flai«,yfo(tsseB  j 
dans  un   lycée  dePatisj  1.  »ol.   ic-8.,  avec   des    tableaui  ,    ronteoiDl  I 
les  précepces  gënéiaux,  et  leur  applicatiuii  à  l'ai  iihméri que  ;  p<uir  Patb ,  I 
if.  toceor. 

I 
AMNALESDECHFWII,',  par  MM.  Guytott,Mon^f,  Berlhottel,  Fourtny,  ' 
faiigaeiin,  JiwiHoa-La^m'tge,  Prieur,  Chapial,    halynentitr,   Oeyeiut,  A^' 
Hassenfrals,  De'co'ùli ,  Séguin.  _i  e>  ytnnales-de  Chimie  partagent  la  sup*riaité 
incoiiiestable  de  la   Chimie   pficuipmiijpe   IViinçaiie   sa   Euiope.   On  ponnoii  !«    . 
rapport»  fnïimes  de  ieu'e  «ci^iire  avec  la  Ph^sitiiie  ei  la  P^armacte.  Te  Jounul 
devient  aujourtl'lti'i  pins  nél-esaaïie,  par  la  nouvelle  loi  qui  établit  dej  Jur)'l  it 
Widecina  .  lie  (^hïiurpîe  ct"'de  Pharniacip. 

CiMie  coItectTon  .  précipiisé  pur  lei  nonu  céleb^e^  des  fondat^im  de  laChian'i 
par  «a  non  intprrunnoii  depuij  son  onpine  itn  1 7S9 ,  et  par  les  découverru  ^ui 
rennr.lii'sseiit  lotis  lei'  joiJrs  ,  est  composée  ,  jusqu'au  3o  déceuihrs  t8o6  ,  de  6J 
iFolumei  Ai-  S"  ,",i»Bc  ptimchti,  compiis  lei  dpu»  Volumes  de  lablea  demUI*»» 
àii  tioïoluniea:  pIIo  coûte  .  .  .  frJnc»  â  Paiis  ,  [rare). 
-''Le  prëriiîère  tt&iln  dGi'mlB'tiâTei ,  depnïi  le  premier  juai^u'au  irtottàioe  vt^o^l 

T"" -    I 


<3) 

UàUf^tà    ciMBfWrad  lc«  maàitf  dapuit  U  t 

"*   ■  tolmaB  iflclttiîrMBCM ,  purJm  le  3o  oui  ig^^  ;  «Ile  ma 
M  Ja  S  fr.  (  frittc  di  pon  ,  pour  la  dépaneon». 

biMkww  In  aaf,  avec  tbi  ^nrerei  ipiaBd  le  tajoc  l'etige.  L« 
I  b  Sa jMrôr  ;  «c  le  Joutjme ,  le  So  lUcamtM.  L* 
ils    t9  Jnma  posi  Puiii  il  en  fraac  Japon,  dm 

^ — BSB*  ,  a  Ae  34  _^v«et  poGi   l'ctijuiger. 

In  *oL  d>  El  calleetMa  «épuëii -  .  /■  i . 

pti  la  abaaaimxa»  6m    *it  au 


■  4/.  5a  CDU. ,  pour  Pari*. 


i*-4*,  Mn  d  iBiriH 


■  V.  VI,  VU,  po  iki  cDOfdntesn  iW  ^wMiu .  •  ni. 
~-rtir-  *  U  rJ&ttÎM  êmm  Ammtln  4m Cfem*.  {>•«(  Paie , 
I«KAL£â   DE  L-ÈCOr-E  LMPÊRIALE  DE5  POSTS  ET  THACSSEES, 
D-4.  par  aaoéc.avec  ioptoLdic*.  tcpfcnicttoUuiwfBMiaa 
t  isoTi  le  p™  i'»  '^  4K»d  on  Mootya  le  pnoutt  «»- 
:  on  le  fflM  m»  pnssc  Ce  *^âc  pBêcÎRis  â  r4Kfa<tM(Bfc  cml«  <s 
plIne  a  te»  iisnmé  x  rawfJitcr  ane  &m1c  Àe  maSeitM  laU»,  M 
n.ieeDia  letii^âwan&ançm  ntnwifeo,  cptiMënveaclnp»- 


UIMIE    £T     PHYSIQUE. 
^NUEL  DrfV  OaUBS  DE  CHOOE ,  m  Ptmo^  J 
a4ec<i»«dea««.3«al.  ù»->*. ,  avec  ' 

,Eir^^.?ahv£hm^igaKBmmiarm^L*gramgfr< 


t  fr. 
1  t^ 


fcKRIENCEà  ^X/VÎJ.iiS  LT OBSEa\  ATIGKS SLH  LEi  DfF- 


,6. 


aÊOiUES  DE^  VLNTî  ETDEi  OMftS.it^^  Poar  Paœ. 
KlLOèOnilL  CHiM  QUE,  m  V»^^  fbed ^»e«atct de  U  OdMc 
■«Meine,  pw  M,  toBrc  o;.     toI.  ,  lrrô:ia)e  ciîirîaa.  46. 

*'''*^t  d  j (^faso~it^MCet  t^fmi^^e-,  1  (  10I   ï>-S '.  , ^ïa  (Mme.       tsB> 

■     L'.ln  de  Ttiarjit ,  ia  même,  icŒcai*  siîbijtt.  llfb 

ié»41i^ial,  3ToLiii-S'. 


dit  Clliiaieroui  jîr  "eciioanct  la  physique . 
sdeSchoetei,»  vol. 


re  s  Danibournej',  10-4°  et  in- 

le  :  Gallbiii ,  iu-ibJ. 

i-fol. 


Procédés  s.-t  la  T 
s  Termes  de  Min^^tjli 
jmoériloeique  de  Itnnce  , 
re  des  Criîtauii  Hauy.  in-H  ■. 
Llogie  et  Vslieriiii  .  i  vol.  in-8. 
mai»  allemand  des  Minef: ,  in-g^ 
ir  du  Min^talogiçte  ;  Mong'  z  .  s  vol.  in-S". 
llogie  ,  par  Bomare  ,  s  vol.  in-S". 
riens  Micéraloi^if  les  de  France  ;  Gober,  3vol,i 
illoc;Mplnçi  RoRÎ^-Delille,  4  vol.  in-H". 
ilogîe  d'Kkijy,  4  voJ,  et  atlas. 
FoDte  des  Mines  et  des  Fondeiiesj  Hellot ,  2  vol 

Physique. 

IIQUE  MÉCANIQUî^,ae  E.  C.Fischer,  proFesseuf  dephyslciue,  J« 

ith'.'in  a  tiques  et  de  chimie  a  Beiiîn  ,  trad.  de  l'aUemand,  avec  des  nocei 

le    M.  î^i-'t  j    mcmbie  de    rimticut,  i  vol.    in-3.,ikvec  8  pi-,  pour 

Paris ,  .  6  fr. 

n  L'opinion   géni'rate  étant  Rién  pnrmï  tout  tes  IioiDrn^t  ériairét  de  VfM- 

phïïicïen  cëlàb;»  ()ua   In  Ft 


I 


gardf 


lodile 


pour  le    plun  ,    lu  tlai 
enSa    dans  noire  pa 

te  de  leurs  leçoni  ta  A 


ê  ,   la  ntéiliode  ,  la  pléi 

lie  une  eicelirnlfl  acquisil 

ifnsnt-   La   pliipurt  de]   ~ 

leniagne  ,  où  il  y  en  a  ei; 


ir  (tu  Traùé  àa  Dimeruio, 


tgafjri-  dei 


ËiKun  en  fonU 

éditions   On  y  ir. 

dea  Qi'idei ,  riailé»  ■!'»□«   mnoiére   dieiingii^e.    La  phy 

bocheii    de  l'empyrijoio   el  aj'piiyie  sur  fa  cliïiSc  et  It 

pauiprohiser  enRii  deivérîtéa  utile*  i  la  sociéif.  et  suitr 

SHTSgravssHnde.ll  étoit  tiaervé  à  l'iiuie 
Il  TreUi  du  Comifet ,  d'en  aplanir  la 
Le*  noiet  Jerauiéuf  du  TruirA  de  CAtli^iomie  physique  .at  de  l'J^aimî' 
tur  la  Céoinètrie  analylîqae  appHifUfe  aux  eonrbcs  et  aux  turfaeei  du  if 
c»nj  ordre  ,  nous  diijienient  de  tout  é'oge.  » 
(.'elle  physique  mécanii/ue  Je  Fitcker,   pat  M.    BiOTi    tert  dw    eem- 
^  plémcnt  an  traili de  physique  de  M.  H<"'y<  deuxième  jdilioo. 

hleaux  lie  physique,  pat  M.  Sarruel ,  biblioch^caire  de  t'écolepoly' 

;cljnique  ,  p.  pan.  10  I 

'cis  des  Icf'iiis  S'ir  le  calorique  tt  rékctrieili ^   pJrM.  Hiiehitte  ,  ini- 

itiiteur  à  l'école  polyffchnîque,  in-8.  afr.  rto 

1rs  dcPhysique  céleste,   pat  M.  Hasstnfratz^  pioftsseui  à  l'école  pol 

echnique,  in-8-  pi. 

m-eau.  dktinnnairt  du  physique,  par  M,  Libes,  1806,  4  vol. 

loue  I  de  planches,  pour  Paris, 

uts  de  Physique  expérimentale  et  mathématique.  Mustctcnbroek» 

lar  Sigaudde  Lafond,  %  vol,  in'4. 

triages  de  NoUçt  sut  la  physique  et  L'électiiàcé. 


L 


TMerionBaire  if  Physiqne-  Panlian ,  3  vol.  in- 4.  —lÔeM,  4  vol.  în- 

Boyle,  Opéra  varia,  3  vol-  yi-4. 

Physique  du  Monde.  Maûven, ,  10  vol.  iii'4> 

^lectiicit^  du  Corp^  humain.  Bcnholon  ,  a  vol.  iij-8. 

Eleciricité  des  Météores,  par  le  même  ,  1  vol.  in-8. 

HtJCoire  natuiellc  de  l'Ait  et  des  Mécéores,  Richard  ,  li  vol.  in-ix 

<Euvies  de  Franklin  ,  2  vol.  in-4. 

Œuvres  de  Mariotie  ,  2  vol.  in-4, 

S^ravesande  physices  Elemenca  macbematica  ,  1  vol.  io  -4. 

Eiémens  de  Pbystc]uc  ,  Matliën!ari<]«es,  ou, Introduction  à  la  pbiloKftt 
newtonnienne  j  de  Sgraveiande,  trad.  pat  Joncourt,  avol.in-*. 

Philosophie  de  la  Nature ,  drmière  ^diiion  ,  10  val.  in-8. ,  £g,  M  fc 

Etudes  de  la  Nature.  Bernardin  de  Sainc-Pietre ,  s  vol.  io-u.  Didm,  itL 

Cours  complet  de  Physique,  Poia  du  Ptianjas ,  5  vol.  in  -8. 

Théorie  nouvelle  du  Flux  ci  du  R/Jlux  dt  la  Mir.  Depaquit,  in-8. 3  &.  p(. 

Traité  de  la  Pesanteur  spécifique  dts  Corps.  Btisson,  in-4. 

Règne  animal  divisé  en  sir  classes.  Brisson ,  10-4. 

Ornithologie.  Brisson,  6  voi.  in-4.,  'eI. 

Observations  sur  l'intérieur  des  Montagnes.  Txéba  ,  in-fôl. ,  plancJi. 

Dictionnaire  de  Phvsique.  Brisson,  a  vol.  in-4.  Et  1  de  planco, 

—  J</./n.in^8.  6  vol.  et  atlas. 

(Euvies  de  Maupetiuis,  4  vol.  ïn-8. 

Œavres  de  Trabaud. 

Théorie  de  la  Vis  d'ArchimJde.  Pauetnn  ,  in-i2. 

Essai  sur  TElectricitc.  Lacépède,  2  vol.  in-8. 

Théologie  de  l'Eau,  in-8. 

Théologie  des  Insectes  ,  a  vol.  in-S. 

L'Art  de  fabriquer  le  Salin  et  la  Potasse,  in-8. 

Mémoire  sut  le  Salpcttê.   Ducoudraye. 

<Euvres  de  Sigaad. 

Histoire  naturelle  de  l'iine.  Poinsinet  de  Sivry,  12  vol.  in-4,  rd. 

Traité  des  Poisnns,  Fontana  ,  3  vol.  in-4. 

Traité  des  Pierres  précieuses.  Pouguet  fils,  in-4. 

Mémoires  sur  les  Insectes,  Réaumur,  6  vol.  in-4.  *■*!•  j 

Météorologie  de  Cotte ,  a  vol.  in-4.  ' 

Idées  sur  U  Métrologie,  Deluc  ,  in-8. 

Hygrométrie  de  Saussure ,  in-4. 

Mémoires  sur  les  Sciences  et  Arts.  Guettard  ,  in-4.  '      1 

Minéralogie  6a  Dauphiné.  Guettard  ,  i  vol.  in-4,  J 

Spectacle  de  la  Namre  ,  11  vol.  in-ia.  • 

jiistoitc  naturelle  def  Glacières  de  Suisse,  Kéralio,  in-4. 

Avis  aux  Ouvriers  en  fet,  sur  la  fabrication  de  l'acier,  10-4;  '  ^ 

Instruction  sur  l'Art  de  séparer  le  cuivre  du  métal  des  clocheSj  iM|J  '  'u 

Volcans  du  Vivarais.  Faujas  de  Saint-Fonds,  iu'-fbl,  mat.  ' 

Telliamed,  ?  V"I.  in-3. 

Physiologie  végétale,  Sénébier,  j  vol.  îo-8,  11  b, 

<ïuvres  de  Bonutt  ^  lî  loV'vfe^  ,  *  wa  ^«jfàiAiile^pK^M^ 


Ko 

pst«ni 


(7) 


lonstratîons  Je  Botanîqae ,  4  vol.  ia-8.  planch. 

■    Botanique,  6  vol.  ln-8. 
'tores  rei  rustic^,  2  vol.  in-4. 

iqntœ.  Unn^,  éd.  Gmelin,  10  vol.  in-8. 
■getabiiimn.  Linné  .  éd.  Gmelin ,  3  vol.  in-8. 
jaité  des  Arbres  fruirieri.  Duhamel ,  3  vol.  in-S. 
■]]cure  des  Teires.  Duhamel,  6  vol,  îb-ii.. 
ictionnair':  des  Jardiniers.  Miller,  10  vol.  111-4.  tel, 
ssai  sur  Ks  Jaidias.  Vacelet,  in-8. 

Icmoite  sur  le  Laminage  du  plomb   R^mond  de  Sainte-AIbini  . 

iiatomie  comparée.  Cuviec,  j  vol.  iu-8,  j4^-^. 

Iibieau  élémentaire  de  rHiïtoirc  naturelle  des  Animaux,  iu-6.  14  planch. 

Cuviet.  7  tr.  5o  c. 

STOIRE  COMPLETTEDU  GALVANISME,  depuis  sa  d^couvene 

1786  ,  jusqu'à  ee  jour,  avec  lo  détail  des  expériences  faites  et  des  écrits 


îné,  professeur  et  bibliath^ca 
ibie    Ae  la  Société    Galvanique 
pi.  Pour  Paris,  ij 


X  phénomènes  du  Galvanisme  , 

t.  On  j  iruui-a  Ibs  expérieacai 
,  de  Hadietle.  de  Halle  , 
3u«  lespaji  de  l'Europe;  tou 


1  (Chapitre  in 
e  compulse: 


abliéïsiirce  phénomène  ,  par  M.  6u't 
Ecole  de  médecine  de  Paris  ,  m 
iconde  édition,  4  volumes  iii-8.  av< 

tomes  3    et  4  séparément , 

Cetonviage  renferme  tout  ce  qui  tieni 

Volta,  d'Aldixi,  U'Humboldt,   de 
£avani  et  des  Sociétés  Galvaniques,  dans 

Ïiia  été  dit  denale  journai  dé  la  Saciéi 
ranger»  ,  y  eal  OQiiïigné  ;  il  corlien!  l'a 
nnuï  et  élrangers  relatil's  à  ca  phénomène ,  qui  forn 
faut  dans  t'hïsioiia  de  la  pfajiiijue  moderne.  11  dispense 
ce  qui  e  été   écrit,   puisqu'il   réunit  tout   ce  qui   y  c 
11  est  néi^eisaire  dans  toutes  tes  bibliothèques  qui   ont  ie>  eciences 
objet.   Les  livres  te  sont   multipliés  k  un  nombre  si  considérable  ,  c 
est  tiès-heureui  de  posiéder  ceux  qui  renferment,  en  peu  ila  volumes 
analysés  ,  tout  re  qui  a  été  dit  et  pratiqué    (ur   chaque  matièie.  Cei 

AITÉ  DU  GOITRE  ET  DU  CRÉTINISME  ;  p.  Fodéré, 
Ce  Traité   lëuntt  tous  les  moyeni   propre*  à  iléliirer  l'humaniTé  de  ce  Beau, 
■tSTOIHE  COMPARÉE  DES  SYSTÈMES  DE  PHILOSOPHIE ,  pai 
TOegérando;  3  vol.  in-t".  ij  £c, 

f  El  tf  autres  bons  Lh'rts  de  Physique  et  de  Chimie. 

ASTRONOMIE,  Ol'^lQUK ,  GÉOGRAPHIE. 

ITÉ  ÉLÉMENTAIRE  D'ASTRONOMIE  PHYSIQUE,  par  J. -0. 

menabre  de  l'institut,  professeur  au  collège    de  Francei  3  vol. 

16  planches.  Pour  Paris,  10  fr, 

me  Traité,  en  1  vol.  111-4°,  iiî  planches.  Pour  Paris  ,  18  f. 

Le  premier  livre  reiifermc  les  phénomènes  génécaui  du  Sjsténie  du  nionda  qi 

les  moyens  qu'on  a  de  les  nbsarver. 
Xe  tecoad  livre  contient  VjpiJicuiou  de  eu  méthode)  k  U  tbdaria  du  isleïl. 


[1-8,  Paris.  4  f. 


(«) 

l«  lEcoiri}  «olnme  compTcnil  Tel  tiobième  et  quap-îiime  lin 

Le  tmitirmf  liite  coi>tieiii  lapplicntion  de*  méaiei  méthoJes  à  !a  li 

L^  qaatrifme  litre  renferme  de  la  même  mamère  !a  ihiorie  de)  plu 
comèle*.  ei  de>  (atellîlei. 

Cb  Ii"e  en  «doptépHT  l'initruciîon  piibEqiie;  onpein  le  legaider ce 
iraduriSon  au  Syit/me  Ju  mùnde.  par  M,  Lo/iiice.C  eMlostr 
i  laponéedeloutlsoiDDiIp.  Ilrnenricbideuoleiinléressanieip 
cultivent  lei  tniencei.  Le*  marins  y  ttoiiveroni  dei  coDuoiMtocetii 
«drei  pour  rimelligence  des  iraiiéi  d'hydrographie. 
:r£TOrRE  DE   L'ASTRONOMIE  ANCIENNE    ET  MODEF 
de  Bailty  ,   2  vol,  in-S",  ,   dans  le^ijuel;  on  a  conservé  n 
te«e,  en  siipprimaot  seulement  les  calculs  abstraies,  les  notes  bj[i 

tiijues.les  digressions  scientifiques;  par  K.  C Pour  Paris, 

Ou  deiiroit  d<-pui«  IcDg.ienipi  une  MitiuD  des  œuvrai  de  Baillr, 

laoi  ce  <pi  n'étûîi  pas  à  U  panée  de  tom  les  lecteuri ,  el  cet. 

rMnrtion  des  teuvres  de  liutVoa  -.  h  chcrtd  ds«  édilioni  ïd-^".  ,  Ifl 
d'taUiAt  qu'on  apporte  A  tout  ce  qui  ett  bypoifaénque  et  indifféreal  àW 
coup  d'homme»  écUiiis,  juttifîoieot  ce  va^n.  Va  ami  des  tenntt'r 
la  mémniie  de  Bailly  est  chère  ,  s'est  chargé  de  ce  loin.  Il  a  do.mèle 
de  l'Hisloiiede  .'Aiironuroie  ,  sans  aucun  mélange,  lamse  pernwlm  it 
cvne  allérattan  ,  auruoe  obieivation  ,  ea  nous  tranlmellaiit  SdèitBti 
cet  èlÂgant  modèU  dan.  l'art  d'écrire  l'hisloire  dei  Sriencei.  On  r  troif 
pailouc  le  charme  heureui  d'une  brillante  imagination,  la  majin  d'i 
■Ifle  enchanteur,  et  celle  MconHa  variété,  qui  embellit  hormonieuMOK 
l'éniditioii  1b  plus  TRlte  et  la  plus  abiiraite.  Baillv  possède  surtom  "' 
clarté  qui ,  dans  les  sdence«  ,  est  la  première  de«  grâces  ,  et  qui  lui  a  i 
■î  BOmmune  avec    Fonlenetle. 

Cet  ouvrage  ^  réuni  au  Traité  précédent  de  M'.  Biot, /"'" 
vn  Ci'uri  complet  dp  la  Science,  Les  profesieur.i  tout  doivic i^ 
let  disirîbutlons  dts  prix  classiques, 

^acaille.  Traité  d'Optique ,  in-4.  —  Idem  ,  in-8. 

"raiié  d'Optique ,  par  Counivron  ,  10-4. 

\aiié  d"Opti(]ue,  par  Smith,  in-4, 

rr,.ité  d'Optique  de  Newton ,  par  Beaui^e  ,  1  vol.  in-8. 

Traité  d'Optique  de  Newuin,  par  Coste  j  in-4. — Idem  ,  in-ii. 

Traité  d'Optique  ,  par  Bouguer ,  in-4. 

'lemiers  Principes  d"Oj>tique,  Trabaud ,  in-8. 

^acaille.  Lectiones  EIcmentares  Astronomiac  geometr.  et  physic,m-4. 

rfairan.  Traité  physique  et  htstofique  ddi' Aurore  boréale  ,  in-4. 

os.  Eoscovick.  Opéra  prïcipuè  ad  Opticam  et  Asironomiam.     5  vol.  in- 

îesciiption  et  Usage  de  nouveaux  microscopes ,  par  Joblot ,  in-4. 

observations  d'Hist.  natur, ,  faites  avec  le  microscope.  Joblot,  3  vol.  in- 

lecherches  sur  les  découvertes  mi ciosco piques.  Spalaozani,  x  vol.  iii-8. 

•Jouveau  Traité  de  la  Sphère  ,  1  vol.  in-  é  1. 

Jsa^e  des  Globes  céleste  ettcirestte.  Bion,  1  vol,in-i2, 

jt  Microscope  moderne ,  par  Rabiqueau  ,  in-8. 

Ilctcriftion  ^'une  S;itièi:e  roguvante ,  in-fi. 


î  Sphère  ^  par  Rivard,  în-Sf, 

lu  Mouvement  et  de  la  figure  elHptîqae  des  planètes.  Laplace,  ih-4, 

des  Comètes.  Lemonnier,  in-8, 

;tronomiques.  Halley,  in-8. 

ance  de  l'Astronomie.  Dicquemare  ,  in-8. 

>xodromiques^  ou  Application  de  la  théorie  de  la  figure  delà  terre 

rtes  marines .  par  Muidock  9  in-8, 

lémentaires  d'Astronomie.  Lacaille  ,  in-8. 

les  Comètes.  Dionis  du  Séjour ^  in-8, 

les  Comèter.  Ollivier,  in-8. 

aphie.  Expilly,  in-8. 

>tronomi<]ues.  Bertrand ,  in-8. 

s  Mesures  itinéraires.  Danville ,  in-8.  , 

>our  les  Astronomes.  J.  Berpouilly,  2  vol.  'n-8. 

on  .urV usage  dc\cadrans  solaires  horizontaux  et  universels^  Che* 

,  brochure  de  3 1  p. 

les  Phénomènes.  Dionis  du  Séjour,  in-8.  » 

ne  de  Paris  ,  par  Cassini ,  in-4. 

de  la  Lune ,  par  Clairault,  in-4. 

stronomiques  de  Cassini,  in-4, 

d'Astronomie  ,  par  Cassini ,  2  vol.  in-4. 

es  astronomiques ,  par  Cheseaux ,  in-4. 

isLTonomique  et  géographique  ^  par  Maire  et  Boscovtck  ^  iii-4» 

bie  physique.  Noguez^  in-4. 

abulaj  AstronomicsB ,  in-4.  Londini. 

lie  de  Lalande ,  3  vol.  in-4. 

ion  à  l'Etude  de  l'Astronomie  physique ,  par  Cousin,  in-4. 

Tables  astronomiques  calculées  pour  le  méridien  de  Paris ,  in«4« 

ntroductiones  ad  physicam  et  astronomiam ,  in-4. 

rallaxe  de  la  Lune.  Maupertuis  ,  in-8. 

/ement  des  Corps  célestes.  Trabaud ,  in-8. 

lii  Astronomicon ,  in-8. 

de  Calcul  de  Géométrie  et  d'Astronomie ,  în-i  x» 

e  la  Lune ,  par  Clairault ,  in-8, 

don  à  l'Astronomie.  Young,  in-8. 

.  Méridien  entre  Paris  et  Amiens.  Picard ,  in-S. 

e  la  Terre,  par  Maupertuis  ,in-8. 

ificielle  du  Temps.  oully,in-ii. 

inéral  des  Horloges.  Alexandre ,  in-8. 

s  sur  la  Météorologie  ,  par  Cotte,  %  vol.  în-4. 

;ie ,  par  Rome  de  lisle ,  in-4. 

;ie ,  ou  Traité  des  Mesures ,  Poids  et  Monnoies  des  anciens  peuple^ 

modernes.  Paucton ,  in-4. 

er  italien ,  ou  l'Arc  de  çonnoître  toutes  les  Monnoies,  Benaven  / 

in-folio.  /  •     = 

ions  astronomiques ,  par  Darquier,  in-4.  « 

egorii  Astronomiao  Fiiysic»  et  GeomecdsB  Elementa^  %  voLin--4 


Bttlief;ni(4N  aunaoïMjiie.  «tk  PAstioiioaine  »  in-^.,  fV 

IntÙEUiiont  ï.scionornii)u«s .  tn-^. 

Lïhùe-  Tabule  aïiconomicie  ,  in-4. 

Mtwire  du  Méridien  ,  par  la  Cotidamine  ,  m-4, 

Uifoioire  sur  l'Origine  des  ConsccllatioDS.  Dupiûs,  in'4, 

Nouvt'Ue  IVorie  astronomique  ,  pour  servir  d'îatiodiicDOnà  la  diteraiti- 

ûoa  des  longiiudes  ,'|iar  Ruiledge  ,  in'4. 
Pietioiira.  Thïocia  pracica  ,  3  vol.  ia-4. 
Coméco^aphie,  pat  Pingre,  ia-4. 
0[><  Tc  di  Galileo  ,  3  vol.  La-4. 

Jaîuroat  il'un  Voyage  au  nord  ,  i7^fi ,  i???-  Outhîer,  in-4. 
'Voyages  en  Asie,  Ltbiuyn  ,  5  voi.  io-4. — Jt^tm,  a  vol.  ti»-tbUo. 
Journal  du  Voyage  à  l'équareur,  ou  Inuoducrioo  2  la  mesure  de!  uwp^ 

mtei's  degrés  du  meiidien  ,  par  la  Coadaoïiae,  in-4.. 
LTui  hiate  m  le  Tigre.  D'.\nville  ,  in-4. 
Mémoite  sur  la  Mer  caspieLine<  D'Anville,  in-4, 
Descitpcion  de  la  Gaule  btlgique  ,  ir-4. 
Etals  formés  en  Europe  apiès  la  chute  de  l'Eropice  rûmaiu  en  OcdJoi 

D-Aiivi]le,in-4. 
Analyse  géographique  de  l'Italie  ,  in-4. 
Descriprion  du  Golfe  de  Venise  et  de  la  Mot^e ,  io-4. 
Voyages  dails  lu  Mer  dg  l'Inde  LegentU,  t  vol.  L0-4, 
Voyages  à  la  Chine ,  par  Méats ,  3  vol,  iti-S.  et  acUs. 
Troisième  Voyage  de  Cook,  3 -vol.  in-8. 
Description  géograjiiiique  et  hiHorique  de  la  Corse  ,  in-4.  ï  P^" 
Relarion  c'Abissinie.  Legrand  et  Lobo,  iu-4. 
Voyage  dans  la  Louisiane.  Laval ,  in-4. 

Voyages  dans  les  pays  entre  la  Mer  noire  et  la  Mer  Caspienne  ,  iii-4. 
Voyages  dans  les  Alpei.  Saussure,  8  vol.  in-8.  —  fdem,  iii-4. 
Description  Iiiitorique  et  géographique  de  l'Inde.  Aaquetil  du  Penoï) 

4  vol,  in-4. 
Voyage  en  AUemagite.  Cassini ,  in-4. 
Voyage  autour  <tu  monde.  Dixon  ,  in-4. 
Voyage  dans  l'Amérique  septentrionale ,  in-4. 
Voyage  de  Conrianvauic.  Pingréj  10-4  cartes. 
Voyage  en  Syrie  et  en  Egypte.  Volney,  2  vol.  in-4.  P^P-  fi»* 
Voyage  au  Polc  boréal  en  1773,  Piiippsj  '"-4' 
Voyage  de  la  Mer  du  Sud.  Frézier,  10-4, 

Hisroire  des  Navigations  aui  Terres  australes.  Debrosse,  1  vol.  in-4. 
Description  de  l'AraWe.  Niebhur,  Copenhague  ,  in-4, 
Notire  de  l'ancienne  Gaule.  D'Anville ,  in-4. 

Recherches  hisrotiques  et  géographiques  sur  l'Inde,  Anquecil  du  Perronj  i*** 
^end  a  Vesta.  Anquecîl  dii  Perron,  3  vol,  in-4. 
Antiquité  géographique  de  l'Inde ,  etc.  D'An\  ille ,  in-4 
COURS  COMPLET  DE  COSMOGRAPHIE,  DE  GÉOGRAPHIE, D^ 

CHRONOLOGIE  ET  DHISTOIRE  ANCIENNE  ET  MODERN^i 
'    par  M,  McttulUf  itienàiïtt it  YY&^TOa.  ^  mv  i^ -^tiu Ss>r-%-° ,  aT*'" 


i 


Tâ$  Se  3ocaneSfTi\aminéei,  seconde  édliion.Poai^unt,  Sofr, 


•ne  [a  paix  Sera  signée  ,  je  meurai  enaitile  Itsfeuillea  deitiniet  à  com- 
teux  qui  auront  a,  quis  ceCOUM'age. 

Cnier  volume  embruxi!  :  i".  la  CosmogrBpbie  ,  J'aprvt 'as  nouvelle* 
VHlioni  ;  3°-  les  d^fîuitiçiTij  «I  tes  □otioDt  i\énieDtdirei  qui  aervent 
^mttoduction  a  l'étude  de  la  aéogfephie ,  de  la  chronologia  e[  Je  l'hisioire  { 
'.  lii  dmcripiioQ  particuhîre  de  l'^rfiie  ,  de  VA/rii/ue  et  de  l'£une/w 
icîennei  l"-  DsDiles  pa^slnbilës  parles  Dations  câlèljcet  de  l'aDciquiléf 
EU  commencaat  par  les  Asajrieni ,  !cs  tin  by  Ionien  s ,  leiMùdes,  lesPenei, 
kl  HMiieui,  lui  PUniciens.  en  Asie  ;  \e»  Egjniiens  et  les  Carihngtniiii , 
•nArtii)ui;  Ut  Giecj,  les  Roa»m<i  ,  le*  Ganloii ,  tet  Bretons,  les  Gci^ 
«isint ,  etc.  I  en  Europe.  L'auieiiT  y  considère  loua  ces  p^oples  »ous  le*  % 
npponi  géographique). chronologiques,  kiatoriqtiesetpolitïijuos.  i".  DRot 
^^CDDe  de  ces  trois  parties  de  (aotian  continent ,  il  donna  des  notions  sur 
les  pu;»  moins  connus  dej  anciens.  3".  M.  Memellea  raurqué  je>  princip.«Iei 
époques  et  les  changemens  successirs  chez  les  ancieni  peuplas  ,  dans  ua 
Ipr^is  tur  la  période  da  moyen  dge ,  qui  Ils  l'bistoiie  et  U  géographie  BO- 

_! t  1.  -éograpbÎB  et  à  l'histoire  tnodemes. 

ïolume  consent  la  géographie,  la  chronologie  et  l'histoinl  da 
tout  les  Etals  de  Y  Europe  moderne  ,  excepté  de  Jï  France  «  qui  lbriD«  le 
i^loatrième  robrine;  l'Allemagne  et  le  Nota  sont  traités  conloimémeniAnx 
-    nvoileêdivitions  poittiqnes. 

Le  troisième  loluma  renferme  la  description  des  empires  modernes  d'.^ii* 
..A'Afrùfie.  Les  «oyngeurs  contemporains,  Hnrnpmaii  ,  ftciiel,  Brown  , 
'Denon ,  et  les  autres  voyageurs  ,  ont  fourni  les  obtervations  qui  ont  ^arichi 
SW'tfeUii  ]MrtJ«-s  ,  ainsi  qiier^ineV/;us, 

Le  ifaturiime  volume  est  consacré  exclusivement  à  In  réo^raphie  Je 
'  l'empire/'.iH^ait.ll  esld'un  ii-ai  rrodesle  de  l'auteur.  Noire  pairie  raéritoit 
.  cette  distinction.  Elle  est  coAsidéréc  dam  son  état  ancien  et  mo^Ierna.  Pou* 
des  ï'rànç.nis,  une  étude  appcolandie  de  l'histoire  ,  des  institutions  ,  det 
aTUirigea  de  leur  pays  natal,  est  d'une  nécessité  indispensable.  Ce  voluma 
m  dieïst  ea  ^UMTe  parties  :  physique  tt  matkémotiijiie  ,  historique,  tia- 
tiilique  et  topograpld»}!ie. 

La  première  partie  embrasse  les  rapporta  de  la  France  avec  le  g'obe  J 
son  étendoe  en  degrés ,  sa  latitude  ,  sa  longitude  ,  sa  situation  ,  sa  surfacBi 

les  Qeuves  ,  les  rivières ,  les  lorân .  les  canaux  ,  \es  pr6duc(ions  minérales  > 
Tégéulu  et  animales.  — La  fscons^*  coniient  le  latlettu  des  réiobniona  , 
depuis  l'origine  des  Ganles  ,  jiisqu'Ii  lit  (în  de  I'oti  XU  >  ou  1804,  c'esi-'fc- 
<ltre,  Khis  les  Gaitloia  .  les  Fraars  ,  les  Humains ,  les  trait  dynasties  d> 
la  monarchie ,  la  République  Trançuise  ,  -|e  directoire  <  le  consulat ,  l'Em- 

tire.  —  La  iruiiièma  enibraise  an  populacioa  ,  son  état  civil ,  politique  , 
idiciaire,  militaire  ,  mariiime  ,  littéraire,  spécifiuuo  .  rommorcial  ,  in- 
dustriel.—  La  ^afn'éme  renferme  la  description  détaillée  des  cent  buiE 
déparlemena  ,  avec  un  tableau  ï  la  iSte  de  chaque  département ,  qui  en 
donne  l'étendue  ,  les  bornes  ,  lei  rivièici  ,  tes  divisions  ,  les  srrondisjo- 
taietis  rotbmunaui ,  leicbers-Heuidea  cantona,  le  nonihie  des  communes, 
la  population  totale  ,  son  rapport  avec  les  anciennes  provinces.  A  chaqus 
Tille,  on  donne  sa  population,  le  précis  Je  i'événeraent,  ie  nom  da 
l'bomme  distineué  auquel  elle  doit  sa  célébrité.  —  Ce  volume  renferme 
l5a  lableaiix,  dont  un  tableau  général  de  tous  les  déparlemens  classés  ea 
trois  régions ,  et  un  tableau  à  la  léie  de  chaque  département ,  qui  présenta 
dans  une  page  les  bornes,  l'^iendua ,  la  population  ,  les  mesures  géodéi^ 
•if^ucB ,  lu  nviérei  )  Ici  cLeft-Uens ,  eE  leurs  ruppoiis  avec  Iguts  ancif 


i«nii^^^ 


("T 

AviHoni.  l«  «utiel  laUeatiï  a^itniennent  h  !•  aniïuiqna  «lllp 


1°,  d*  lalileniix  ÎD-fo'ioi  a",  il'  »u  c«ite',  doni  i.,  eaUm 
A'/SiZ-i'aiu  jiltSpaite,  At  Sjratuie.  [tnUioieiii  lem»  j 
aametit. 

ABRÉGÉ  ÉLÉMENTAIRt  DE  GÉOGBAPHlEANCfr.NNEF.T  MO- 
DERNE, i  vol.in-8  ,  aveciiï  canes,  et  la  carte  de  I  "cinpiie  f.^, 

.    comparative,  in-fôlio  ,  enlum  Piix,  pour  Paris  y  mt 

h*  prtmUr  vo\uaie  t  ircoade  id'Uian  ,  comient  Hps  n<ïtipiis  'le  ooiorfrar'"'' 

un  trai'é  de  géographie  aDCteiinG  ,  la  ds^rlpiion  du  l'An  éi'>-\Ke,  \it\'Lit 

^  0  de  l'Ariim^e  a.  de  r£iiio|iF  moilrrne  (bnii   la   Frirrce  )  ;  lei  t^fwy^  n» 

îeurea  d«  la  r.lironotogie  ami«nne  .  du  moyen  â|{e,vt  m'xii-rne  .  tMliuiii 

Le  second  volume  csl   la  Géographie  de  l'empire  fiaitcau,  iiiiL(|iiW 

CÉOGR APHIE  MATHÉM ATIQ UE  ET  PHYSIQUE .  H ISTOBiQUE, 
STAXrSTIQUE,  TOPOGRAPHIQUE  DE  L'EMPIRE  FRANÇAIS, 
I  vol.  in-8.  avec  i]2  tabl  aui,  et  unecartecomparative  deî  "tBiiffii- 
femeiis,  enlumiote ,  dessinée  par  M.  Lapity  >  t  gravée  pai  F.  Tjtiiw. 

Ce  livre  est  Ir  plus  précis  et  le  plus  complet  pour  la  partie  dti  dènk, 
hisioiiqiies  j  les  tableaui  en  sonctrés-lumioeui.  PoiuP.iris,  7^ 

'  '  ji  la  paix .  je  mf lirai  m  vettle  la  Jroitk  gui  doit  compléter  la  A** 
wninx  Je  In  pnr-le  h  sliiriqi.e  drp'iii  tan  XII,  ipoqiit  ou  je  don.frruaU 
feiiilh  s'ipplcmriiiiiitf.  j-  j'ùnd  ai  celle  ^ui  doit  en  compléier  la  gro^'j/ii", 
pour  ceux  ifui  o»t  déjà  l  oitt/rage. 

TASLEAUSYKCHRONIQUE  DES  ÉVÉNEMFNS  I>fPORTAMLiE 
L'HISTOIRE  ANCIEN  .\  E  ET  MODERNE,  p^r  ordre  d-  «.-cics.  m-m 
(t  (yW'J  l'ère  vulgjire  ,  in-folio  ,  av^c  une  eiriicjtion  in-8.  pour  itrri 
de  guide  dans  l'ctudt  Je  l'Hiîioire ,  par  MtnttlU.  t  i. 

ATLAS  de  \ien-illc  ,  tn  noir,  br.  sans  tableaus,  de  20  cartes.  8  f, 

—  Le  mcme,  pattie  allci^rine,  7carres,  Or.  j  tt. 

—  Le  nicnie  ,  panie  modcine  ,  ]3  caites ,  br.  tv. 
ATLAS  HISTORIQUE,  GÉNÉALOGIQUE,  CHRONOLOGIQUE, 

ET  GÉOGRAPHiQl  E  <le  Lcsage,  32  cartes  color.  grand  m-IoL, 
pap.  otd, ,  deuxième  édition.  9;  u. 

DICTIONNAIRE  GÉOGRATHiQUE  PORT.\T]F ,  LE  V0SG1L\, 
vingtième  éditiim  t.  vue  et  i^ugmenteed'apcès  le  traité  de  Prtsboiugi5;«, 
1  gr&s  vol,  in-8.  Piii  jour  Pans ,  gt 

£t  d'autres  bons  Livres  £  Astronomie ,  1^  Optique  ic  lie  CéograpUt, 


(i3) 
MATHÉMATIQUES. 

'TJCATION  DE  L'ANALYSE  A  LA  GEOMETRIE,  à l'usa^ 
lèves  de  l'école  f'olytechiiijue  ,  con  enanc  les  fc-àdes  ttanalyse  de 
I,  \!onge ,  avec  des  Note-  de  M.  Hdchecte  ,  éliminateur  des  Candi'lacs 
Polytechnique,  et  jiiofessear  a  Paiis;  in-4.,  avec  plane, 
toisièuie  éJiiion  ;  pour  Paris,  la  fr# 

ITHMÉTIQl'EUNIVERSELLE  DE  NEWTON,  traduiieen français, 
ivec.iesnoteseiplicacives,  ^ài  Biaudeux ,  avol.  ia-4.  14  pi.  bi.  18  f, 
^  exemplaires  ;ur  |>apier  vélin  sont  rares, 

Lm  Mitirii  btinei,  dit  un  Mviiiic ,  laoi  rttet  et  totieiisct  ;  ce  livr» 
lire  mauquoii  à  uoirc  langue,  L'autem  a  fait  de  rechi-f-d'^ziivre  da 
ua  oiiir>iga  clditiqiie,  àd  irttdui^tïoneiiclaircet  élogume  ;  le*  ootei 

)'app!<c4(ioi  Jci  mëilio'lei  m  idi'rfiai  Cetie  édition  a  dié-êtécu'ifa 
■«ec  le  plut  Kr^iid  loin  ;  nn  y  [luuve  la  iiolK  dnl  divcri^Ë*  édiiii>n«  di  iouiIm 
burriiges  ilo  Ne*lori.  hr.  ditconri  pélimindire  sur  la  tio  et  te  gùiiip  de  co 
pnul  htimnip  ,  eit  un  mutiàla  de  g"ùi  ei  de  ciait£.  Bien  ilei  [iroEeiieait 

liclaNëaoni  adopta  pounexte  de  leuia  Irçoiii  ce  livre  ti 

ledca  umvetsalis ,  cum  Comment,  Castithionei  ,21 
niOpuseula  mathemiitica,  5  vo)  in-4. 
m  PhiIu>;opliix  miturali^  Principia  mathemarica,  2  v( 
or  LçcHOiies opticK  ,  if)-8.etin-4. 

Opncci  siveJe  rcflexionibus  et  coloiibi 


1 


:  de  Newton  .Traduit  pat  Beau^ée  , 

m.fne,  jm  Coice 

1  Aiiihmetica  utilversalis ,  îa-4.  Idem  ia-H.  rare. 


V 


DE  GEOMETRIE  ANALYTIQUE ,  appli-jnée  am  courbes  e 
ces  du  second  ordre,  par  M.  Biot,  seconde  édition,  i 
6  pUnclies.  Pour  Paris, 
in-4. 

■  preraiBre  édition  deceionvrage  avoit  paru  avec  un  tirre  plu»  reirfmnt  i 
TWW  analrtiçiie  des  courhei  tt  </«  i^trfacet  d<t  second  ordre.  L'auteu» 
éclaité  pur  le*  ipmiirqiim  J  un  gmnd  ODinbtfl  de  proraHeiin  qui  ont  ea'.eU 
gai  ion  lu re .  a  est  efloicé  d'j  tuire  inutei  Ira  correctioai  nui  peuvent  en 
fa(.iliter  l'éluda.  Il  en  a  éieudu  ruange  en  l'abrégeunt  î  i?i  ,  an  lieu  d'un 
Traité  p^iniculter,  ih>  tâcbé  J'olfiiraun  érèira  ton*  les  élément  niS.<eaa^iree 
poiir  iipureiidre  à  m  mler  U  gf  amjine  analjtioue  ,  lelle  qu'on  l'enseigno  à 
lEctJel'M'rteohnique.d'ai.rB»  le»  principes  da  M.  Mongp  ,  et  tefJB  qu'oa 
1*  troiive  dan*  les  écrit*  de>  plu»  grand*  s^nm-iires.  Le*  couibe»  et  les  siir- 
tatet  du  lecond  ordre  ii*iitfre-il  plus  n.rniip  application  de  cï»  principes  gé- 
néraux ,  ijue  l'auteur  ■  l^ahé  de  rend.e  au  j.i  élémentaire  qu'il  ejl  poliiblo. 
Ce  Uui-e  eut  "niversHilement  adopté  daii»  l'iintruciion  inalAd' 
matiqua  à  Paris. 

ITÉ  DU  CALCUL  DIFFÉRENTIEL  ET  INTÉGRAI,,  par 
"■-,avol.iii-4.  6  pK  deiniÈrc édiiioa,  ti  & 


C  14  ) 
TRAITÉDE  L'ANALYSE  MATHÉMATIQUE  ou 

m«me,  in-S.  bt.  Il  scixd'iacofluciioD au  Calcul  diftëitniiel, 
ŒUVftES  MATHÉMATIQUES  et  ASTftOKOAUQUES 

nouirelle  édition,  in-4,  avec  jL 
tÈMoia,  Arichméiique , 
M  ccanique  , 

Gèométne  , 
Ttairf  des  proprïïcé;  d«  Courlwt  et  ât  l'Ellipie ,  par  Gotutia , 

BibliDiiiccd  mathemiitica .  Murhard,  j  vo!    in-S. 
'  ASeiagctimal  table  .  bjr  Tafloc,  10-4-,  178c. 
Tables  lie  Lo^tttbmcs.  Gardiner,  i  ïoJ.  in-4, 
—  Les  mèmeî ,  en  anglais. 

Tables  Je  logatiihmes ,  par  €a.lUi,  édt  siéiéor, ,  a  toL  \i^%. 
Tables  décimales  iJeSc>ra!ii, gros  111-4.. 
TaKlcs  portatives  de  Muric^  in-ia. 

Cours  «ieMatfaéiDaiiqoes,  ^iCitmas ,  4  vol.  in-S.  gt-  pap. 
Développement  de  la  patde  élémeotaitt  des  Mathématitjuet , 


,k\r 


1  vol.  il 


•il 


Elemens  Je  Calcul  intégral.  Lueur  1 

Traité  du  Calcul  inc^al ,  par  Boagu 

Vecenim  Machemadcorum  qux  eirani ,  ior&l.. 

PappiÂlexacdnMat^iBactexcaUËctioaet.  Vesetîit,  tj$8. 

E)iophanti  Alexandrie!  Atiilimeiiconiin ,  libti  sex  io-fl). 

Eudidis  Ocera  omnia.  Ojonii ,  m-fal.  —  Idem  ,  in-foh  Basile». 

Leibnitii  Opéra  omnia.  Geuive,  1768  1,  6  gros  vol.  iii-4.  rel. 

IT^/^iElcmenca  Matheseos,  5  vol.  iii-4. 
Joaooiï  BeinouUi  Opera,4  vol.in-4. 
Jacobi  Bernaulli  Opcra  ,  i.  vd.  ia-4. 
Danieiis  BeruoulIiHydioJynamica,  in- 4. 
Ara  toDJectandi.  Bernoulli,  in-4. 

{ncroductioD  à  l'analyse  des  lignes  courbes  ,  par  Cnratr ,  111-4. 
imticutions  de  Céoméciie ,  par  La  Ch^peUt,  s  vol.  in-S. 
iVaité  des  Sections  coniques,  par  Iiméate  ,  in-8. 
Traité  des  Sections  coniques,  par  L'HSpicci ,  in-4. 
Analyse  des  infiniment  petits  ,  pat  le  même ,  in-4. 
ïntrodoctioin  Anatysinfnfinitormii.  Za/eW,  3  vol.  111-4. 
Ejusdem  Institutioues  Calculi  dilFereiiualis  et  Calculi  iutegraUs 

.   cum  sBpplemeflcis.  TUlni  et  Petrapali,  6  voL  ia-4, 

EWmeiïs  d'Algèbre.  À'EuUr,  n  vol.  ia-8. 

£e  ies  autres  ouvrages  d'Euler,  séparénteni  et  collecàvement. 

Cpusculfs  &JatI]éniatii]U£S  ,  par  d'^Jeiiiert,  S  vol.  iB-4. 

£t  tous  ses  Ouvrages  en  colUction ,  et  sépùrimeat,    . 

Eléroenî  de  Géométrie  ,  pat  Thomas  Svîlfi^oa,  in-!. 

Becbeicfa